面向量数量积的坐标表示
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平面向量数量积的坐标表示
第六节 平面向量数量积的坐标学习目标：1．掌握两个向量数量积的坐标表示，能通过两个向量的坐标进行两个向量数量积的运算．2．能运用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量的垂直关系．3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．重点、难点：重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的条件．难点：对向量的长度公式，两个向量垂直条件的灵活运用．学习过程：(一) 课前预习检查1.设单位向量j i ,分别与平面直角坐标系中的x 轴、y 轴方向相同，O 为坐标原点，若向量,23j i OA +=则向量OA 的坐标是 ，若向量)2,1(-=a ，则向量a 可用j i ,表示为 .2. 已知,1==j i ,j i ⊥,23j i a +=,j i b -==⋅b a .3. A 点坐标(x 1，y 1)，B 点坐标(x 2，y 2),_____,=AB ______,=BA ．.______=AB4. (1) ______;=⋅b a(2) _____;______;==⋅a a a(3) .______cos ______;=⇔⊥θb a 5. 向量的数量积满足哪些运算律？(二） 提出问题，揭示课题我们学过向量的加法、减法、数乘向量可以用它们相应的坐标来运算,那么怎样用b a 和的坐标来表示b a ⋅呢？ (三） 新课探究1. 平面向量数量积的坐标表示问题1：如图，i 是x 轴方向上的单位向量,j 是y 轴方向上的单位向量,请计算下列式子：(1) ____,=⋅i i (2) ____,=⋅j j(3) ____,=⋅j i (4) .____=⋅j j问题2：如何推导b a ⋅的坐标公式.已知非零向量),(),,(2211y x b y x a == ，设j i 和分别是x 轴和y 轴方向上的单位向量,则有,11j y i x a += j y i x b 22+=)()(2211j y i x j y i x b a +⋅+=⋅∴j j y y i j y x j i y x i i x x ⋅+⋅+⋅+⋅=211221210,1,122=⋅=⋅==i j j i j i2121y y x x b a +=⋅∴两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.2. 向量的模和两点间的距离公式(1) 向量的模.,),,(22222y x a y x a y x a +=+== 或则设（2）两点间的距离公式.)()(),,(),(2212212211y y x x AB y x B y x A -+-=则、设3. 两向量垂直和平行的坐标表示（1）垂直 0=⋅⇔⊥b a b a0)(),(21212,21,1=+⇔⊥==y y x x b a y x b y x a 则设（2）平行 0//)(),(12212,21,1=-⇔==y x y x b a y x b y x a 则设4. 两向量夹角公式的坐标运算.c o s ,180000ba b a b a ⋅=≤≤θθθ则）（的夹角为和设 .c o s ,1800),(),,(222221212121002,211y x y x y y x x b a y x b y x a +⋅++=≤≤==θθθ则）（的夹角为和设.0,022222121≠+≠+y x y x 其中 (四）讲解例题 探究新知例1. 已知)1,1(),32,1(=+-=b a ，求.,,θ的夹角和b a b a b a ⋅⋅解： ,311)32(11+=⨯++⨯-=⋅b a322)32()1(22+=++-=a ， 21122=+=b)31(23242+=+=⋅∴b a,21)31(231c o s =++=θ001800≤≤θ 060=∴θ 例2. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC ∆的形状，并给出证明. 证明： )3,3()25,12(),1,1()23,12(-=---==--=AC AB031)3(1=⨯+-⨯=⋅∴AC ABAC AB ⊥∴是直角三角形A B C ∆∴变式：.),,1(),3,2(的值求实数中，在k k OB OA OAB Rt ==∆例3. 求以点C(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程.解: 设M(x,y)是圆C 上一点,则CM |=r,即 2r CMCM =⋅因为 (),,b y a x CM--= 所以()()222r b y a x =-+-,即为圆的标准方程.如果圆心在坐标原点上,这时a=0,b=0,那么圆的标准方程就是.222r y x =+由解析几何知给定斜率为k 的直线l ,则向量),1(k m = 与直线l 共线,我们把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量.例4 已知直线01243:1=-+y x l 和0287:2=-+y x l ,求直线1l 和2l 的夹角.解: 任取直线1l 和2l 的方向向量)43,1(-=m 和)7,1(-=n . 设向量m 与n 的夹角为θ, 因为θcos n m n m =⋅,从而,22)7(1)43(1)7()43(11cos 2222=-+⨯-+-⨯-+⨯=θ 所以θ=45°,即直线1l 和2l 的夹角为45°.（五） 课堂练习1. 已知)1,1(),432,2(=-=b a ，求.,θ的夹角和b a b a ⋅2. 已知),9,6(),2,3(-==b a 求证.b a ⊥3. 若),6,5(),3,4(=-=b a 则.___432=⋅-b a a4. 若),3,(),1,3(-==x b a ，且b a ⊥，则实数.____=x5. 若),7,4(),3,2(-==b a ，则b a 在方向上的投影是 ；6. 若()2,4=a ，则与a 垂直的单位向量的坐标是 ；（六） 小结：平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.（七） 布置作业 课后巩固1. 已知三点()()(),7,6,3,2,5,7-C B A ，求证：ABC ∆直角三角形.2. 已知),5,(),0,3(k b a == ，.1350的值，求的夹角是与且k b a3. 已知直线017618:1=-+y x l 和09105:2=-+y x l ,求直线1l 和2l 的夹角.。
平面向量数量积的坐标表示
在物理学中，力可以看作向量，通过引入 向量的坐标表示，可以更方便地描述力的 方向和大小。
VS
计算力的合成与分解
利用向量的坐标表示，可以将多个力进行 合成与分解，方便对物体进行受力分析。
在工程中的应用
描述物体的运动
在工程中，物体的运动可以看作是向量的 变化过程，通过引入向量的坐标表示，可 以更精确地描述物体的运动轨迹。
向量场的旋度和散度
• 旋度的性质：旋度具有方向性，其方向与向量场在该点的旋转方向一致；旋度的模长等于向量场在该点的 旋转强度。
• 散度的定义：散度是一个标量，表示向量场中某点处的发散程度。对于一个向量场$\mathbf{F} = (u, v, w)$，其在某点$(x, y, z)$处的散度为$
• abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}$。
坐标表示的意义
通过坐标系来表示向量的位置和方向，进而可以直观地理解数量积的几计算
通过坐标表示可以方便地计算向量的长度，即向量的模。
向量夹角的计算
通过坐标表示可以求出两个向量的夹角，进而可以计算出它们 的数量积。
向量投影的计算
通过坐标表示可以求出一个向量在另一个向量上的投影，进而 可以计算出它们的数量积。
曲线和曲面的切线方向
• 切线方向的确定：切线方向是指曲线或曲面上某一点处的最速上升方向或最速下降方向。在二维平面上， 曲线在某一点的切线方向是该点函数值变化最快的方向。
• 切线方向的计算：对于曲线$y = f(x)$，在某一点$(x_0, y_0)$处的切线方向向量为$(1, f'(x_0))$；对于曲面 $z = f(x,y)$，在某一点$(x_0, y_0, z_0)$处的切线方向向量为$(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0), 1)$。
VS
计算力的合成与分解
利用向量的坐标表示，可以将多个力进行 合成与分解，方便对物体进行受力分析。
在工程中的应用
描述物体的运动
在工程中，物体的运动可以看作是向量的 变化过程，通过引入向量的坐标表示，可 以更精确地描述物体的运动轨迹。
向量场的旋度和散度
• 旋度的性质：旋度具有方向性，其方向与向量场在该点的旋转方向一致；旋度的模长等于向量场在该点的 旋转强度。
• 散度的定义：散度是一个标量，表示向量场中某点处的发散程度。对于一个向量场$\mathbf{F} = (u, v, w)$，其在某点$(x, y, z)$处的散度为$
• abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}$。
坐标表示的意义
通过坐标系来表示向量的位置和方向，进而可以直观地理解数量积的几计算
通过坐标表示可以方便地计算向量的长度，即向量的模。
向量夹角的计算
通过坐标表示可以求出两个向量的夹角，进而可以计算出它们 的数量积。
向量投影的计算
通过坐标表示可以求出一个向量在另一个向量上的投影，进而 可以计算出它们的数量积。
曲线和曲面的切线方向
• 切线方向的确定：切线方向是指曲线或曲面上某一点处的最速上升方向或最速下降方向。在二维平面上， 曲线在某一点的切线方向是该点函数值变化最快的方向。
• 切线方向的计算：对于曲线$y = f(x)$，在某一点$(x_0, y_0)$处的切线方向向量为$(1, f'(x_0))$；对于曲面 $z = f(x,y)$，在某一点$(x_0, y_0, z_0)$处的切线方向向量为$(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0), 1)$。
平面向量数量积的坐标表示
求两向
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
已知向量a,b的夹角θ的范围,求参数的取值范围时,可利用性质:①0°≤θ<90°⇔ a·b>0;②90°<θ≤180°⇔a·b<0.
3.解决投影向量问题的方法 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a在b方向上的投影向量为 · =
. ,
.
平面向量数量积的坐标表示
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2). ( ✕ ) 2.| |的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( √ )
3.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0;反之,若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角. ( ✕ )
.
其中的真命题为 ②③ .(填序号)
思路点拨 根据平面向量的夹角、模及投影向量公式求解.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
解析 对于①,∵a=(1,2),b=(1,1), ∴a+λb=(1+λ,2+λ). ∵a与a+λb的夹角为锐角,
∴
解得
∴λ的取值范围为
∪(0,+∞),故①错误.
对于②,∵a⊥c,∴2x-4=0,解得x=2.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会求两个平面向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们是否垂直. 3.会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题,进一步体会数形结合的 思想方法.
平面向量数量积及坐标表示
2 2 2 2
a b 13 20 7
练习：课本P1071、2、3.
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
y B(2,3) A(1,2) x
0
C(-2,5) 证明 :AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
2.4 平面向量的数量积 及运算律
一、平面向量数量积的定义: 已知两个非零向量 a 和 b ，我们把数量 | a || b | cos q 叫做a与 b的数量积 ( 或内积 ) ( 或点积 )
a a
A
记作 a b , 即 a b a b cos q . 其中，q 是 a与b 的夹角
的夹角为 600， 例3 已知 a 6， 4，a与b b 求( 2b ) (a - 3b ) a . 2 2 解：( 2b ) ( - 3b ) a a b 6b a a 2 2 | a | a b 6 | b |
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为q（0 q
a b ab
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为q， （ (0 q 180 )则 cos q
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
提高练习
1、已知OA (3,1)， (0,5)，且 AC // OB， OB BC AB ，则点C的坐标为
29 C (3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形 .
a b 13 20 7
练习：课本P1071、2、3.
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
y B(2,3) A(1,2) x
0
C(-2,5) 证明 :AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
2.4 平面向量的数量积 及运算律
一、平面向量数量积的定义: 已知两个非零向量 a 和 b ，我们把数量 | a || b | cos q 叫做a与 b的数量积 ( 或内积 ) ( 或点积 )
a a
A
记作 a b , 即 a b a b cos q . 其中，q 是 a与b 的夹角
的夹角为 600， 例3 已知 a 6， 4，a与b b 求( 2b ) (a - 3b ) a . 2 2 解：( 2b ) ( - 3b ) a a b 6b a a 2 2 | a | a b 6 | b |
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为q（0 q
a b ab
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为q， （ (0 q 180 )则 cos q
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
提高练习
1、已知OA (3,1)， (0,5)，且 AC // OB， OB BC AB ，则点C的坐标为
29 C (3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形 .
2022年第部分 第二章 § 平面向量数量积的坐标表示
由 a·b<0，得 1＋2λ<0，故 λ<－12， 由 a 与 b 共线得 λ＝2，故 a 与 b 不可能反向． 所以 λ 的取值范围为－∞，－12. (3)因为 a 与 b 的夹角为锐角， 所以 cos θ>0，且 cos θ≠1， 所以 a·b>0 且 a，b 不同向． 由 a·b>0，得 λ>－12，由 a 与 b 同向得 λ＝2. 所以 λ 的取值范围为－12，2∪(2，＋∞)．
3．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求： (1)(a＋b)2； (2)(a＋b)·(a－b)． 解：a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， (1)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， ∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25.
(2)法一：∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， ∴a2＝32＋(－1)2＝10，b2＝12＋(－2)2＝5， ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝10－5＝5. 法二：∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， ∴a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)， ∴(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1) ＝4×2＋(－3)×1＝5.
8．已知 a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当 k 为何值时， (1)ka－b 与 a＋b 共线； (2)ka－b 的模等于 10？
解：∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)， ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)． a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 应用该条件要注意：由a⊥b可得x1x2＋y1y2＝0；反过来，由 x1x2＋y1y2＝0可得a⊥b.
《平面向量数量积的坐标表示》课件2
3、 cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
4、 a // b x1y2 x2 y1 0 5、 a b x1 x2 y1 y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0, 20 a 0, 3a b a c b c,
4 a b a b , 其中正确的个数为:
A. 4个 B.3个 C. 2个
D
D.1个
2. 已知a, b均为单位向量下列结论正确的是 , :
B
D.a b 0
证明：
AB (2 1,3 2) (1,1)
BC (2 2,5 3) (4,2)
AC (2 1,5 2) (3,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
∴ ＡＢ⊥ＡＣ 又∵ ︱ＡＢ︱ ≠ ︱ＡＣ︱
∴△ABC是直角三角形
练习: 书P107，1，2， 书P108习题2.4A第5题（１）
x2 y2 .
2 2
如何计算？
2）、若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则向量AB的 模
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
这就是A、B两点间的距离公式.
探索3： 你能写出向量夹角公式的坐标表示式
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)
其中假命题序号是:
(2)
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是
A．-1 B.0 C.1 D.2
6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册
解：如图，在平面直角坐标系中画出点，，，
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
平面向量数量积的坐标表示
4
求k的值.
答案：(1)b (3 , 4)或b ( 3 , 4)
55
55
(2)( 2, 2 2)或( 2, 2 2) (3)k 5
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB，
BC AB，则点C的坐标为
C(3, 29) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等.
5、两向量垂直、平行的坐标表示
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
a // b(b 0) a b x1 y2 x2 y1 0
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
例4:已知 a 1,2,b 3,2,当k取何值时,
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示， 即两个向量的数量积等于它们对应坐标 的乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
解：1） ka b k1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时 这两个向量垂直
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b
得 k
1 3
1). k a b 与 a 3b 垂直? 2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向
还是反向?
求k的值.
答案：(1)b (3 , 4)或b ( 3 , 4)
55
55
(2)( 2, 2 2)或( 2, 2 2) (3)k 5
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB，
BC AB，则点C的坐标为
C(3, 29) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等.
5、两向量垂直、平行的坐标表示
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
a // b(b 0) a b x1 y2 x2 y1 0
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
例4:已知 a 1,2,b 3,2,当k取何值时,
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示， 即两个向量的数量积等于它们对应坐标 的乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
解：1） ka b k1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时 这两个向量垂直
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b
得 k
1 3
1). k a b 与 a 3b 垂直? 2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向
还是反向?
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-新人教(A版)
2016/10/11
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
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2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
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b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
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2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
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b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
平面向量的数量积和叉积的坐标表示
平面向量的数量积和叉积的坐标表示平面向量是在二维平面上具有大小和方向的量，可以用有向线段表示。
在平面向量的运算中，数量积和叉积是常见的两种运算方式，它们在坐标表示中有着独特的形式和应用。
一、数量积的坐标表示数量积又称为点积或内积，表示两个向量之间的相对关系。
设有两个平面向量A和B，它们的数量积可以用如下公式表示：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角。
在坐标表示中，平面向量可以用其坐标表示成分的形式表示，设向量A的坐标表示为(A1, A2)，向量B的坐标表示为(B1, B2)，则向量A 和B的数量积可以表示为：A·B = A1B1 + A2B2换句话说，数量积等于两个向量对应坐标分量之积的算术和。
这个表达式表示了平面向量数量积的坐标表示。
二、叉积的坐标表示叉积又称为向量积或外积，表示两个向量之间的垂直关系。
设有两个平面向量A和B，它们的叉积可以用如下公式表示：A×B = |A||B|sinθn其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角，n为垂直于A和B所在平面的单位向量。
在坐标表示中，平面向量可以用其坐标表示成分的形式表示，设向量A的坐标表示为(A1, A2)，向量B的坐标表示为(B1, B2)，则向量A和B的叉积可以表示为：A×B = (0, 0, A1B2 - A2B1)其中，叉积的坐标表示是一个三维向量，第一个分量和第二个分量都为0，只有第三个分量与A和B的坐标分量有关。
这个表达式表示了平面向量叉积的坐标表示。
三、数量积和叉积的应用1. 数量积的应用：- 判断两个向量是否相互垂直，若A·B=0，则向量A和向量B垂直。
- 计算两个向量之间的夹角，通过A·B = |A||B|cosθ可以求得夹角θ的值。
- 判断向量的方向，若A·B>0，则A和B的夹角小于90度，A在B的同向；若A·B<0，则A和B的夹角大于90度，A在B的反向。
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面向量数量积的坐标表示学习内容1．两个向量数量积的坐标表示：若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y22．向量的模：若a=（x，y），则|a|2=a·a=x2+y2，∴|a|=3．两点间的距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2）则=（x2-x1，y2-y1），∴||=4．两向量垂直的坐标条件：设两非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a⊥b x1x2+y1y2=05．设A、B、C是坐标平面上的三点，它们的坐标分别为：A（x1，y2），B（x2，y2），C（x3，y3），则⊥（x3-x1）（x2-x1）+（y3-y1）（y2-y1）=0学习重点1．向量有坐标表示，向量的数量积也有坐标表示，即为：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2于是与a·b=|a|·|b|cosθ（θ是a，b的夹角）相对照，a，b夹角θ的余弦也可以用坐标表示:cosθ=，这样求两个向量（已知坐标）间的夹角就十分方便了．2．两非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2）垂直的充要条件是a·b=0，即x1x2+y1y2=0．它为我们证明几何中的垂直问题提供了强有力的工具．3．两向量a，b共线的充要条件是存在λ∈R，使a=λb．这里应用向量的坐标表示可以得到a，b共线的充要条件是：|x1x2+y1y2|=学习难点：利用向量的数量积解决具体问题。
内容讲解：上一节我们学习了平面向量的数量积及运算律，而向量是可以用坐标来表示的，那么向量数量积是如何用坐标表示呢？下面我们来学习这部分知识。
我们给出两个非零向量（用坐标给出），我们知道坐标是与从原点出发的向量一一对应。
如图不妨设：则有A、B两点坐标为(x1, y1),(x2,y2)，又设x,y轴上的单位向量为，则有，∵是互相垂直的单位向量，∴，，则也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和（结果是数量），即，若则，∵，∴∴，上图中A(x1,y1),B(x2,y2),则则。
这就是我们已经使用过的平面内两点间的距离公式（不用向量你会推导吗）。
上图中若设∠AOB=α，则，即。
由此可得到两个向量的夹角。
特别地，当α=90°时，cosα=0，即x1x2+y1y2=0。
由此知：垂直的充要条件是x1x2+y1y2=0。
这个充要条件在今后解决问题中十分重要。
下面我们通过例题用坐标的形式再一次验证。
例题分析第一阶梯例1.判断题1．若A，B，C是坐标平面上不同的三点，则AB⊥BC的充要条件是·=0（× ）2．设点A（x1，y1），B（x2，y2），则|+|=（× ）3．已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），且a，b的夹角为θ，则sinθ=（× ）例2．已知M（a，0），N（0，b）则||等于（ C ）A．|a|+|b|B．C．D．例3.已知a=（2m-1，2+m），若|a|≤，则m的取值范围为（ B ）A．（-1，1）B．〔-1，1〕C．〔，〕D．（-∞，-1）∪〔1，+∞〕例4.已知A（1，3），B（2，4），C（5，6），则·= 7 ，·= 18例5.已知A（1+a2，0），B（0，1-a2），则||=第二阶梯例1．在下列各命题中为真命题的是①若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b= x1y1+ x2y2②若A=（x1，y1）、B=（x2，y2），则||=③若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=0x1x2+y1y2=0④若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a⊥b x1x2+y1y2=0A．①② B．②③C．③④ D．①④解：根据向量数量积的坐标表示：若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=x1x2+ y1y2，对照命题（1）的结论可知，它是一个假命题．于是对照选择项的结论．可以排除（A）与（D），而在（B）与（C）中均含有（3）．故不必对（3）进行判定，它一定是正确的．对命题（2）而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题．这样就可以排除（C），∴应选择（B）．反思回顾：对于命题（3）而言，由于a·b=0a=0或b=0或a⊥b x1x2+y1y2=0，故它是一个真命题．而对于命题（4）来讲，a⊥b x1x2+y1y2=0．但反过来，当x1x2+y1y2=0时，可以是x1=y1=0，即a=0，而教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y2推不出a⊥b，所以命题（4）是个假命题．例2．已知a=（2，1），b=（-1，3），若存在向量c使得：a·c=4，b·c=-9．试求向量c的坐标．分析：这里应利用方程思想进行求解，我们可根向量数量积的坐标表示建立向量c的纵横坐标的二元一次方程组，解该方程组即可求得C的坐标．解：设c=（x，y），则由a·c=4可得：2x+y=4；又由b·c=-9可得：-x+3y=-9于是有：2x+y=4 （1）-x+3y=-9 （2）由（1）+2（2）得7y=-14．∴y=-2，将它代入（1）可得：x=3∴c =（3，-2）．反思回顾：已知两向量a，b可以求出它们的数量积a·b，但是反过来，若已知向量a及数量积a·b，却不能确定b．需要象本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的数量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．例3.已知A、B、C、D是坐标平面上不共线的四点，则与共线是·=·=0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件分析：这里要选出正确结论，需要判定下列两个命题，（1）若与与共线，则·=·；（2）若·=·=0，则与共线．对上述两个命题的真假情况判断清楚了，本例也就解决了．解：由与共线可知：四边形的边与互相平行，但未必有⊥．所以·=0与·=0不能成立．即命题（1）不真；但是反过来，由·=·=0，可知：⊥及⊥，所以//，即与共线，故命题（2）是真命题，从而应选择（B）．反思回顾：（1）对于四边形ABCD而言，若与共线，同时，与也共线，则该四边形为平行四边行，若这里的两个共线条件改成一个共线，而另一个不共线，则该四边形是梯形．（2）若在四边形ABCD中，有·=·=0，则该四边形，或者是直角梯形，或者是矩形第三阶梯例1.设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值．分析：这里我们应引进向量的坐标表示，这样所求的值及各条件都可用引进的坐标表示，再通过代数运算可求出|3a+b|的值．解：设a=（x1，y1）、b=（x2，y2）∵|a|=|b|=1∴x21+ y21=1，x22+ y22=13a-2b=3（x1，y1）-2（x2，y2）=（3x1-2x2，3y1-2y2）∵|3a-2b|=∴9 x21-12 x1x2+4 x22+9 y21-12 y1y2+4 y22=9∴13-12（x1x2+ y1y2）=9∴x1x2+ y1y2=∵3a+b=3（x1，y1）+（x2，y2）=（3x1+x2，3y1+y2）∴|3a+b|===反思回顾：（1）如果我们在上述解题过程，根据|a|=|b|=1，设a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），则上述运算过程可得到简化．（2）利用本例的解法可解决下面的一般性问题：若向量a、b满足|a|=|b|=r1，及|λ1a+u1b|= r2，求|λ2a+u2b|的值．例2．在□ABCD中，已知A（m1，n1），B（m2，n2），C（m3，n3），试求·的值．分析：要求与的数量积，可利用数量积的坐标表示．因此需要用坐标表示与，由于条件中已知□ABCD三顶点A、B、C的坐标，利用中点公式求出另一顶点D的坐标，这样我们就可以得到与的坐标表示，进一步可求得·的值．解：∵在□ABCD中，对角线AC与BD互相平分，∴AC的中点与BD的中点重合，∴（m1，n1）+（m3，n3）=（m2，n2）+D点的坐标，∴D点的坐标为（m1+m3-m2，n1+n3-n2）于是=（m3，n3）- （m1，n1）=（m3-m1，n3-n1）而=（m1+m3-m2，n1+n3-n2）-（m2，n2）=（m1+m3-2m2，n1+n3-2n2）∴·=（m3-m1）（m1+m3-2m2）+（n3-n1）（n1+n3-2n2）反思回顾：已知两向量的坐标，求它们的数量积时，一定要注意向量积是横坐标之积与纵坐标之积的和，不能出现搭配上的错误．例3．设向量a、b满足：|a|=|b|=1，且a+b=（1，0），求a，b．分析：这里由于向量a与b都是单位向量，所以在假设a，b的坐标时，可以考虑选用三角表示（即用正弦、余弦表示），再通过已知条件建立简单三角方程，求出正弦与余弦的值，就求出了a，b．解：∵|a|=|b|=1，∴可设a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ）∵a+b=（cosα+ c osβ，sinα+sinβ）=（1，0）∴cosα+ cosβ=1 （1）sinα+sinβ=0 （2）由（1）得：cosα=1- cosβ（3）由（2）得：sinα=-sinβ（4）由（3）2+（4）2得：cosβ=∴cosα=1- cosβ=∴sinα=±，sinβ=．∴a=（，），b=（，-）或a=（，-），b=（，）反思回顾：在上述求解过程中，当我们求出了cosα=与cosβ=后，可分别得到：sinα=±与sinβ=±．但是这里要注意到它们需满足（2）式．所以cosα与sinβ的值之间有一个对应关系，这就是决定了a，b只有两组解，而没有四组解．例4．如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点，PECF是矩形，试用向量法证明（1）||=||；（2）⊥分析：如果我们能用坐标来表示与．则要证明的两结论，就只要分别用两点间的距离公式和两向量垂直的充要条件进行验证即可，因此只要建立适当的坐标系，得到点A，B，E，F的坐标后，就可进行论证．解：以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立如图所示的坐标系，设正方形的边长为1，||=λ，则A（0，1），P，E，F于是==（1）∵||==||==∴||=||（2）·==0∴⊥．反思回顾：把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算．从而使问题得到解决．这种解题方法具有普遍性，应该把它掌握好，其中坐标系的建立很重要，它关系到运算的简与繁．例5．设A，B，C，D是坐标平面上的四点，它们的坐标分别为：A（x A，y A），B（x B，y B），C（x C，y C），D（x D，y D）．且任意三点不共线，试证四边形ABCD为正方形的充要条件是（x B-x A，y B-y A）=（x C-x D，y C-y D）且（x B-x A）（x C-y B）+（y B-y A）（y C-y B）=0且（x C-x A）（x D-x B）+（y C-y A）（y D-y B）=0分析：因为四边形ABCD为正方形的充要条件是该四边形既是矩形又是菱形，而一四边形为矩形的充要条件是该四边形为平行四边行且有一个角为直角，一四边形为菱形的充要条件是该四边形为平行四边形且对角线互相垂直，这样就得到了四边形ABCD为正方形的充要条件：四边形ABCD是有一内角为直角且对角线互相垂直的平行四边形，于是我们找到了证明的途径．证明：∵=（x B-x A，y B-y A），=（x C-x D，y C-y D），=（x C-x B，y C-y B），=（x C-x A，y C-y A），=（x D-x B，y D-y B）．∴（x B-x A，y B-y A）=（x C-x D，y C-y D）且（x B-x A）（x C-y B）+（y B-y A）（y C-y B）=0且（x C-x A）（x D-x B）+（y C-y A）（y D-y B）=0且·=0且·=0□ABCD且AB⊥BC且AC⊥BD四边形ABCD既是矩形又是菱形四边形为正方形．例6．如图：ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积。