混合时滞与非线性控制输入细胞神经网络同步分析

混合时滞与非线性控制输入细胞神经网络同步分析1黄优良1.韶关学院数学系，广东韶关（512005）2.扬州大学数学科学学院，江苏扬州（225002）E-mail ：youliang_huang@摘 要：研究了一类具有时变时滞与无穷分布时滞、控制输入具扇形非线性性(sector nonlinearity in the control input)的细胞神经网络的全局渐近同步问题，基于驱动－响应方法和Lyapunov 理论，适当设计一个失忆扩散的输入控制律，给出了驱动系统与响应系统同步的充分条件．关键词：同步，细胞神经网络，时变时滞，分布时滞，Lyapunov 方法 中图分类号：O415 文献标识码：A自从1988年L.O. Chua 与L. Yang 在文献[1,2]提出了细胞神经网络有关问题以来，神经网络成了数学应用领域的热门研究课题，各种各样的细胞神经网络，比如Hopfied 神经网络(HNN)，细胞神经网络(CNN)，Cohn-Grossberg 神经网络等，包括带时滞的不带时滞的，离散时滞的分布时滞的，双向联想记忆(BAM)的等等，在最近二十几年来得到了飞速的发展．1990年，Louis M. Pecora 和Thomas L. Carroll 等人又在文献[3]研究了混沌系统的同步问题，混沌同步控制因其有着广阔的应用前景，比如在保密通信、图像处理、模式识别等方面的应用，吸引了相当多专家学者的注意．之后，神经网络的同步控制与研究也受到了极大的关注．就细胞神经网络方面，许多专家学者的研究取得了丰硕的成果．比如，文献[4-7]研究了各类细胞神经网络的各种稳定性问题（全局稳定性，指数稳定性，周期解的稳定性，等等），而文献[8-14]则讨论了各类神经网络的同步问题，应用了耦合的方法，驱动-响应的方法等去研究各类系统的全局渐近同步及指数同步．最近，Xuyang Lou 与Baotong Cui 还研究了一类带反应扩散项的时滞细胞神经网络的渐近同步（文献[10]），其所设计的状态反馈控制输入向量为：)()(t Me t u =，是线性化的．而Wenwu Yu 与Jinde Cao 等则探讨了一类带随机项的时滞神经网络的同步控制问题（文献[13]），文中所给的状态反馈控制输入为：))(()()(1t t e G t Ge t u τ−+=，是非失忆状态输入，并且增加了随机扰动项．而Jun-Juh Yan等在文献[16]讨论了含时变时滞与扇形非线性性(sector nonlinearity) 及微扰项的神经网络的同步问题，其中设计的状态反馈控制输入是非线性的．但其并未讨论含分布时滞尤其是无穷分布时滞的情况，而现实中无穷时滞对细胞神经网络的影响总是存在的．本文主要是在此基础上，探讨一类具时变时滞与无穷分布时滞（混合时滞）及状态反馈控制输入具扇形非线性性并具外部扰动的细胞神经网络的同步控制问题，到目前为止，这类问题的研究非常少．本文利用的是驱动-响应控制同步法，给出主从系统同步的一些充分条件．1. 模型描述与准备文献[16]所讨论的同步问题是关于下述时滞细胞神经网络模型的：i nj j j j ij n j j j ij i i i I t t x f b t x f a t x c t x+−++−=∑∑==11)))((())(()()(τ&，),2,1(n i L = 本文将在此基础上进一步探讨下述兼具时变时滞与无穷分布时滞细胞神经网络模型的同步1本课题得到江苏省教育厅自然科学基金(06KJD110206)和扬州大学科技创新培育基金(2006CXJ002)的资助。

问题：∑∑==−++−=nj ij j j ij n j j j ij i i i t t x f b t x f a t x c t x11)))((())(()()(τ& )()()(1t J ds s x s t k f w i nj tj ij j ij +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∑∫=∞−, ),2,1(n i L = (1) 其中)(t x i 与))((t t x ij i τ−表示第i 个神经元分别在时刻t 与)(t t ij τ−的状态，)(t J i 表示第i 个神经元的外部输入，为便于研究，假定i i J t J =)(为常数输入，连续时滞满足ττ≤<)(0t ij ，且1)(0<≤≤στt ij &，（这里当0)(=t ij τ&时，时变时滞将变为常数时滞：0)(>=ij ij t ττ），常数ij a ，ij b ，ij w 均表示神经元之间的内联权重系数，常数0>i c ，))((t x f T n n t x f t x f t x f )))(()),(()),(((2211L =n R ∈对应于神经元的激励函数，并假定系统(1)满足的初始条件)()(t t x i i φ=()R C ],0,[τ−∈，为由区间]0,[τ−映到R 上的连续有界函数，而函数)(⋅t i x ()R C ],0,[τ−∈定义为：)()(θθ+=t x x i t i ，]0,[τθ−∈．约定：未特别声明时，本文指标均表示：n j i ,,2,1,L =．假定下列两个条件成立：（H 1）激励函数)(⋅i f 是全局Lipschitz 连续的，即存在常数0>i L 使得对任意R ∈ζξ,都有：ζξζξ−≤−ii i L f f )()(．（H 2）函数)(s k ij ：),0[),0[+∞→+∞连续有界，且：1)(0∫+∞=ds s k ij ．本文将以系统(1)作为驱动系统，相应的响应系统为：∑∑==−++−=nj ij j j ij n j j j ij i i i t t y f b t y f a t y c t y11)))((())(()()(τ& ))(()()()(1t v J t ds s y s t k f w i i i i nj t j ij j ij θρ+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∑∫=∞−,(2)响应系统(2)满足初始条件：)()(t t y i i ψ=()R C ],0,[τ−∈，也是由区间]0,[τ−映到R 上的连续有界函数．)(t i ρ为外部扰动，不失一般性，设外部扰动是有界的，即： i i t δρ<|)(|．而)(t v i 为外部控制输入函数，R t v i i ∈))((θ具有连续扇形非线性性，这通常是由系统本身的物理限制所产生的，满足：0)0(=i θ，)())(()()(22t v t v t v t v i i i i i i i αθβ≤⋅≤ (3)如图1(Fig.1.)所示．外部控制输入函数的合理设计，是使得驱动-响应系统达到同步的关键． 下面给出驱动-响应系统全局渐近同步的定义．定义 驱动系统(1)与响应系统(2)称为是全局渐近同步的，如果对任意0≥t 都有：0)()(lim =−+∞→t y t x t ，其中Tn t x t x t x t x ))(,),(),(()(21L =，Tn t y t y t y t y ))(,),(),(()(21L =n R ∈，⋅表示欧氏范数．2. 主要结果同步误差信号设为：)()()(t y t x t e i i i −=，显然，如果对任意n i L ,2,1=，当+∞→t 时，有0)(→t e i ，则驱动系统(1)与响应系统(2)将达到全局渐近同步．驱动-响应系统(1)与(2)的误差系统可记为：∑∑==−++−=nj ij j j ij nj j j ij i i i t t e g b t e g a t e c t e11)))((())(()()(τ& ∑∫∫=∞−∞−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+nj t j ij j t j ij j ij ds s y s t k f ds s x s t k f w 1)()()()())(()(t v t ii i θρ−−, (6)这里))(())()(())((t y f t y t e f t e g i i i i i i i −+=，),2,1(n i L =显然，0)0(=i g ． 定理1 假定条件（H 1）（H 2）成立，并存在常数0>i λ),2,1(n i L =，使得控制输入)(t v i 按如下方式设计：)()()(t e t e t v i i ii i ηγ=， i i βγ1>， (7) 其中：i i n j ji ji ji i ji i i t e b w a L c δσλλη+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++=∑=)(||11||||1， 则驱动系统(1)与响应系统(2)将达到全局渐近同步．证明 设Tn t e t e t e t e ))(,),(),(()(21L =n R ∈，为了证明驱动系统(1)与响应系统(2)达到全局渐近同步，只需证明它们的误差系统(4)的零点是全局渐近稳定的即可．为此，构造Lyapunov-Krasovskii 泛函如下：⎢⎣⎡⋅−+=∑∫∑=−=nj t t t j j ij i ni i ij ds s e g b t e t t e V 1)(1))((11)()),((τσλ⎥⎦⎤⋅+∑∫∫=−∞+nj tst j j ij ij drds r e g s k w 1))(()((8)计算(5)沿着系统(4)轨线的导数，可得：⎢⎢⎣⎡⋅−+⋅≤∑∑==nj j ij j i i in i i t e b L t e t e t e t t e V 11)(11)()()()),((σλ&&∑=−⋅−nj ij j ij j t t e b L 1))((τ()⎥⎦⎤−−⋅+∑∫=∞nj j j j j ij ij ds s t e g t e g s k w 1))(())(()()()))((())(()()()(111t t t e g b t e g a t e c t e t e i n j ij j j ij n j j j ij i i i i ni i ρτλ−⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛−++−≤∑∑∑=== ⎟⎟⎠⎞−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅+∑∫∫=∞−∞−nj i i t j ij j j t ij j ij t v ds s y s t k f ds s x s t k f w 1)(()()()()(θ∑∑==−⋅−⋅−+nj ij j ij j nj j ij j t t e b L t e b L 11))(()(11τσ∑∫=∞⋅+nj j j ij ij ds t e g s k w 1))(()(⎥⎦⎤−⋅−∑∫=∞nj j j ij ij ds s t e g s k w 1))(()(⎢⎣⎡⋅+−≤∑∑==n j j ij j i i ni i t e a L t e c 11)()(λ∑=−⋅+n j ij j ij j t t e b L 1))((τ ∑∫=∞−−⋅+n j t j ij ij j ds s e s t k w L 1)()()(()()()())((t v t e t e t t e sign i i i i i i θρ−−∑∑==−⋅−⋅−+nj ij j ij j nj j ij j t t e b L t e b L 11))(()(11τσ∑∫=∞⋅+nj j j ij ij ds t e g s k w 10))(()(⎥⎦⎤−⋅−∑∫=∞nj j j ij ij ds s t e g s k w 10))(()(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−≤∑=i i i i i ni i t v t e t e ηθλ))(()()(1， 由(3)(7)，可得：)),((t t e V &()011<−−≤∑=ni ii i i ηβγλ． 因此，根据泛函微分方程Lyapunov 方法（文献[15]），误差系统(6)的零点是全局渐近稳定的，从而驱动系统(1)与响应系统(2)是全局渐近同步的．定理证完．推论1 假定条件（H 1）（H 2）成立，存在常数0>i λ),2,1(n i L =，使下述条件成立，i nj ji ji ji i j i c b w a L >⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++∑=1||11||||σλλ并且控制输入)(t v i 按如下方式设计：)()()(t e t e t v i i ii i ηγ=， ii βγ1>， 其中：i i n j ji ji ji i j i i i t e b w a L c δσλλη+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++−=∑=)(||11||||1，则驱动系统(1)与响应系统(2)将达到全局渐近同步．推论2 假定条件（H 1）（H 2）成立，使得控制输入)(t v i 按如下方式设计：)()()(t e t e t v i i ii i ηγ=， ii βγ1>， 其中：i i n j ji ji ji i i i t e b w a L c δση+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++=∑=)(||11||||1，或者i i ni ji ji ji i i t e b w a L δση+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++=∑=)(111， 则驱动系统(1)与响应系统(2)将达到全局渐近同步．推论1可从定理的证明过程得到，推论2是定理中取1=i λ),2,1(n i L =而得。