2020届高三文科数学总复习习题：10.1概率

2020年高考文科数学一轮总复习：概率知识点 考纲下载随机事件的 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．了解两个互斥事件的概率加法公式. 理解古典概型及其概率计算公式．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 随机数与几 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 了解几何概型的意义.1．事件的分类(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．3．事件的关系与运算常用知识拓展概率的几个基本性质1．概率的取值范围：0≤P(A)≤1.2．必然事件的概率：P(A)＝1.3．不可能事件的概率：P(A)＝0.4．概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．5．对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．()(2)随机事件和随机试验是一回事．()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．()(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()(6)两互斥事件的概率和为1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×(教材习题改编)总数为10万张的彩票，中奖率是11 000，下列说法中正确的是()A．买1张一定不中奖B．买1 000张一定有一张中奖C．买2 000张一定中奖D．买2 000张不一定中奖解析：选D.由题意知，彩票中奖属于随机事件，故买1张也可能中奖，买2 000张也可能不中奖．(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6 D．0.7解析：选B.设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④解析：选A.由题意可知，事件③④均不是互斥事件；①②为互斥事件，但②又是对立事件，满足题意只有①，故选A.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：成绩人数得以下分数的概率：(1)90分以上的概率：________．(2)不及格(60分及以上为及格)的概率：________． 解析：(1)42600＝0.07.(2)52＋8600＝0.1.答案：(1)0.07 (2)0.1随机事件的关系(师生共研)从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③【解析】 ③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．【答案】 C判断互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；②事件A 的对立事件A －所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．1．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，条件乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次， 事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次都出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．2．一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为310，则概率为710的事件是( )A ．恰有一个红球B ．两个小球都是白球C ．至多有一个红球D ．至少有一个红球解析：选C.因为710＝1－310，所以概率为710的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”．随机事件的频率与概率(师生共研)(2017·高考全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．【解】 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的所有可能值为900，300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样调查，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下表：(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.互斥事件、对立事件的概率(师生共研)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)1张奖券的中奖概率；(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【解】 (1)设“1张奖券中奖”为事件M ，则M ＝A ∪B ∪C ，依题意，P (A )＝11 000，P (B )＝101 000，P (C )＝501 000，因为A ，B ，C 两两互斥，所以P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000，故1张奖券的中奖概率为611 000. (2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋101 000＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.[提醒] 间接法体现了“正难则反”的思想方法．1．某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为________．解析：设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件A ，B ，C ，D 表示，则事件A ，B ，C ，D 是互斥事件，P (A ∪D )＝P (A )＋P (D )＝0.3＋0.4＝0.7，所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.答案：0.72．(一题多解)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：(2)至少3人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A 、B 、C 、D 、E 、F 彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ＋B ＋C ，所以P (G )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ＋E ＋F ，所以P (H )＝P (D ＋E ＋F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.[基础题组练]1．(2019·宁夏银川四校联考)下列结论正确的是( ) A ．事件A 的概率P (A )必满足0＜P (A )＜1B ．事件A 的概率P (A )＝0.999，则事件A 是必然事件C ．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行冶疗，结果有380人有明显的疗效，现有一名胃溃疡病人服用此药，则估计有明显的疗效的可能性为76%D ．某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖解析：选C.由概率的基本性质可知，事件A 的概率P (A )满足0≤P (A )≤1，故A 错误；必然事件的概率为1，故B 错误；某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，不一定有5张中奖，故D 错误．故选C.2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件产品是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：选C.记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235C.1735D ．1解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.故选C.4．设A 与B 是互斥事件，A ，B 的对立事件分别记为A －，B －，则下列说法正确的是( ) A ．A 与B －互斥B ．A －与B －互斥 C ．P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )D ．P (A －＋B －)＝1解析：选C.根据互斥事件的定义可知，A 与B －，A －与B －都有可能同时发生，所以A 与B －互斥，A －与B －互斥是不正确的；P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )正确；A －与B －既不一定互斥，也不一定对立，所以D 错误．5．某城市2018年的空气质量状况如下表所示：时，空气质量为轻微污染，则该城市2018年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2018年空气质量达到良或优的概率为 P ＝110＋16＋13＝35.答案：356．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．解析：由题意知，摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n ，故n ＝15.答案：157．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区(1)(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率．解：(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.55.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.8．(2018·高考北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50.故所求概率为502 000＝0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－3722 000＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．[综合题组练]1．下列结论正确的是( )A ．若事件A ，B 互斥，则P (A )＋P (B )＜1 B ．若事件A ，B 对立，则P (AB )＝0C ．对任意事件A ，B ，P (AB )＜P (A )或P (AB )＜P (B )D ．对任意事件A ，B ，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )解析：选B.互斥事件包含对立事件，所以P (A )＋P (B )≤1，所以A 不正确；因为A ，B 对立，所以A ，B 不可能同时发生，故P (AB )＝0，B 正确；若A ＝B ，则P (AB )＝P (A )＝P (B )，所以C 不正确；若A ，B 可能同时发生，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )，所以D 不正确．2．掷一个骰子，事件A 为“出现的点数为偶数”，事件B 为“出现的点数小于6”，记事件A ，B 的对立事件为A ，B ，则P (A －＋B －)＝( )A.56B.23C.12D.16解析：选B.因为P (A )＝36＝12，P (B )＝56，所以P (A －)＝1－12＝12，P (B －)＝1－56＝16，事件A－为“出现的点数为奇数”，B －为“出现的点数为6”，显然A －与B －互斥，所以P (A －＋B －)＝P (A －)＋P (B －)＝12＋16＝23.3．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：概率为________．解析：由题意，n ＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200＋2 100＝3 300，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为3 3004 500＝1115. 答案：11154．已知随机事件A ，B 互斥，其发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝3a －4，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜2－a ＜1，0＜3a －4＜1，2－a ＋（3a －4）≤1，解得43＜a ≤32.答案：⎝⎛⎦⎤43，325.(应用型)如图，从A 地到火车站共有两条路径L1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0.44. (2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人， 故由调查结果得频率为121212选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，因为P (A 1)＞P (A 2)，所以甲应选择L 1 . 同理，P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， 因为P (B 1)＜P (B 2)，所以乙应选择L 2.6．(应用型)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率) 解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55， x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2) ＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.第2讲 古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 (1)特点①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性； ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．( )(3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．( )(4)“从长为1的线段AB 上任取一点C ，求满足AC ≤13的概率是多少”是古典概型．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×(教材习题改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取到白球的概率为( )A.25B.415C.35D.115解析：选A.从15个球中任取一球有15种取法，取到白球有6种，所以取到白球的概率P ＝615＝25.(2018·高考全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3解析：选D.将2名男同学分别记为x ，y ，3名女同学分别记为a ，b ，c .设“选中的2人都是女同学”为事件A ，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x ，y )，(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，其中事件A 包含的可能情况有(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共3种，故P (A )＝310＝0.3.故选D.已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011，则这个班的男生人数为________．解析：根据题意，设该班的男生人数为x ，则女生人数为63－x ，因为每名学生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63－x63，“选出的标兵是男生”的概率是x63，故63－x 63＝1011×x 63，解得x ＝33，故这个班的男生人数为33. 答案：33同时抛掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是________． 解析：同时抛掷两个骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(1，5)，(2，6)，(5，1)，(6，2)，共4个，故P (A )＝436＝19. 答案：19简单的古典概型(典例迁移)(1)(一题多解)甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A.13B.14C.15D.16(2)在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.310B.15C.110D.112【解析】 (1)法一：因为甲、乙两人参加学习小组的所有情况有(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9种，其中两人参加同一个学习小组的情况有(A ，A )，(B ，B )，(C ，C )，共3种，所以两人参加同一个学习小组的概率为39＝13，故选A. 法二：甲、乙两人参加A ，B ，C 三个学习小组的方法共有3×3＝9(种)，其中两人参加同一个学习小组的方法有3种，则两人参加同一个学习小组的概率为39＝13.故选A.(2)从袋中随机取出2个小球的基本事件总数为10，取出小球标注的数字之和为3的事件为(1，2)，取出的小球标注的数字之和为6的事件为(1，5)，(2，4)，所以取出的小球标注的数字之和为3或6的概率P ＝1＋210＝310.【答案】 (1)A (2)A[迁移探究] (变问法)在本例(2)中，求取出的两个小球标注的数字都不小于2的概率． 解：从袋中随机取出2个小球的基本事件总数为10，其中取出的两个小球标注的数字都不小于2的有(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共6种，故所求的概率为P ＝610＝35.(1)古典概型概率的求解步骤(2)基本事件个数的确定方法1．(2019·石家庄模拟)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下的2种颜色的花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花种在同一花坛的概率是( )A.110B.12C.13D.56解析：选C.把这4种颜色的花种在两个花坛中的所有情况为(红，黄)，(白，紫)；(红，白)，(黄，紫)；(红，紫)，(黄，白)；(黄，白)，(红，紫)；(黄，紫)，(红，白)；(白，紫)，(红，黄)，共有6种，其中红色和紫色的花种在同一花坛的情况有2种，所以红色和紫色的花种在同一花坛的概率P ＝26＝13.故选C.2．(2019·长春市质量检测(一))长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学子的高度赞誉，在第二季“名师云课”中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计如下：(1)(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0，1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000，3 000]内，则需要花费20分钟行剪辑，若点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中任意选出2节课进行剪辑，求剪辑时间为40分钟的概率．解：(1)根据分层抽样，从36节云课中选出6节课，其中点击量超过3 000的节数为636×12＝2.(2)在(1)中选出的6节课中，点击量在区间[0，1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000，3 000]内的有3节，设点击量在区间[0，1 000]内的1节课为A 1，点击量在区间(1 000，3 000]内的3节课分别为B 1，B 2，B 3，点击量超过3 000的2节课分别为C 1，C 2.从中选出2节课的方式有A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1C 1，A 1C 2，B 1B 2，B 1B 3，B 1C 1，B 1C 2，B 2B 3，B 2C 1，B 2C 2，B 3C 1，B 3C 2，C 1C 2，共15种，其中剪辑时间为40分钟的情况有A 1C 1，A 1C 2，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3，共5种，则剪辑时间为40分钟的概率P ＝515＝13.古典概型中的交汇问题(多维探究) 角度一 古典概型与平面向量的交汇从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a ，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16B.13C.14D.12【解析】 由题意可知m ＝(a ，b )有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况．因为m ⊥n ，即m ·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ， 满足条件的有(3，3)，(5，5)共2种， 故所求的概率为16.【答案】 A角度二 古典概型与函数(方程)的交汇(2019·益阳、湘潭调研试卷)已知a ∈{－2，0，1，2，3}，b ∈{3，5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是( )A.310B.35C.25D.15【解析】 函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数，则a 2－2＜0，又a ∈{－2，0，1，2，3}，故只有a ＝0，a ＝1满足题意，又b ∈{3，5}，所以函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是2×25×2＝25.故选C. 【答案】 C角度三 古典概型与解析几何的交汇将一个骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设任意投掷两次使两条不重合的直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，若点(P 1，P 2)在圆(x －m )2＋y 2＝137144的内部，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－518，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，718 C.⎝⎛⎭⎫－718，518 D.⎝⎛⎭⎫－518，718 【解析】 对于a 与b 各有6种情形，故总数为36种．两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的情形有a ＝2，b ＝4或a ＝3，b ＝6，故概率为P 1＝236＝118，两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2相交的情形除平行与重合(a ＝1，b＝2)即可，所以P 2＝3336＝1112，因为点(P 1，P 2)在圆(x －m )2＋y 2＝137144的内部，所以⎝⎛⎭⎫118－m 2＋⎝⎛⎭⎫11122＜137144， 解得－518＜m ＜718，故选D.【答案】 D解决古典概型中交汇问题的方法解决与古典概型交汇的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．1．(2019·武汉市部分学校调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是( )A.736B.12C.1936D.518解析：选C.投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤6，a ∈N *，1≤b ≤6，b ∈N *，所以a 和b 的组合有36种，若方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，则Δ＝b 2－4a ≥0，所以b 2≥4a .当b ＝1时，没有a 符合条件；当b ＝2时，a 可取1；当b ＝3时，a 可取1，2；当b ＝4时，a 可取1，2，3，4；当b ＝5时，a 可取1，2，3，4，5，6；当b ＝6时，a 可取1，2，3，4，5，6.满足条件的组合有19种，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率P ＝1936，故选C.2．设a ∈{2，4}，b ∈{1，3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率． 解：(1)由题意－b2×12a ≥－1，即b ≤a .而(a ，b )共有(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)4种，满足b ≤a 的有3种，故概率为34.(2)由(1)可知，函数f (x )共有4种情况，从中随机抽取两个，有6种抽法． 因为函数f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，所以这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率为16.数学建模——求古典概型的概率(2018·高考天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．【解】 (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种．所以，事件M 发生的概率P (M )＝521.本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．培养学生的数学建模能力．(2019·成都市第一次诊断性检测)某部门为了解该企业在生产过程中的用水量情况，对日用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的日用水量的数据作为样本，得到的统计结果如下表：(2)已知样本中日用水量在[80，90)内的这6个数据分别为83，85，86，87，88，89.从这6个数据中随机抽取2个，求抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率．解：(1)因为3＋6＋m ＝12，所以m ＝3， 所以n ＝312＝14，p ＝m 12＝312＝14.所以m ＝3，n ＝p ＝14.(2)从这6个数据中随机抽取2个数据的情况有{83，85}，{83，86}，{83，87}，{83，88}，{83，89}，{85，86}，{85，87}，{85，88}，{85，89}，{86，87}，{86，88}，{86，89}，{87，88}，{87，89}，{88，89}，共15种．其中2个数据都小于或等于86的情况有{83，85}，{83，86}，{85，86}，共3种． 故抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率P ＝1－315＝45.[基础题组练]1．(2019·黄冈质检)一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是( )A.16B.13。

第三节 几何概型[考纲传真] 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．(对应学生用书第153页)[基础知识填充]1．几何概型向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．2．几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．3．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率．(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数的个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110.( )(3)概率为0的事件一定是不可能事件．( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A [P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．]3．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A ．710B ．58 C ．38D ．310B [如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B ．]4．(2018·石家庄模拟)如图10­3­1所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图10­3­10．18 [由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18. ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.]5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________. 【导学号：00090357】1－π4 [如图所示，区域D 为正方形OABC 及其内部，且区域D 的面积S ＝4.又阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S 阴＝4－π， ∴所求事件的概率P ＝4－π4＝1－π4.](对应学生用书第154页)7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13B ．12 C ．23D ．34图10­3­2(2)如图10­3­2所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．(3)(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．(1)B (2)13 (3)59 [(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B ．(2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧交AC ，AP ，AB 分别为C ′，P ′，B ′.依题意，点P ′在上任何位置是等可能的，且射线AP 与线段BC 有公共点，则事件“点P ′在上发生”．又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π6.故所求事件的概率P ＝＝π6·1π2·1＝13. (3)由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5， ∴P ＝59.][规律方法] 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．(1)第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求P ＝12.(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．[变式训练1] (1)(2017·唐山质检)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( ) 【导学号：00090358】 A ．34B ．12C ．13D ．35(2)(2016·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．(1)B (2)34[(1)作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在上运动时，弦长|AB |＞2R ，∴P ＝＝12.(2)由直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，得|5k |k 2＋1<3，即16k 2<9，解得－34<k <34.由几何概型的概率计算公式可知P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝34.]角度1 (2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4nmB ．2nmC ．4m nD ．2m nC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n ，所以π＝4mn.] 角度2 与线性规划交汇问题(2018·长沙模拟)在区间[0,4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( ) A ．14B ．316C ．916D ．34D [由x ，y ∈[0,4]可知(x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分．易知A (4,2)，S 正方形＝16，S 阴影＝＋2＝12.故“使得x ＋2y ≤8”的概率P ＝S 阴影S 正方形＝34.] [规律方法] 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解． [变式训练2] (1)(2017·全国卷Ⅰ)如图10­3­3，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )【导学号：00090359】图10­3­3A ．14B ．π8C ．12D ．π4(2)(2018·莆田模拟)从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是( ) A ．π8B ．π4C ．12D ．34(1)B (2)B [(1)不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π22×2＝π8.故选B ．(2)任取的两个数记为x ，y ，所在区域是正方形OABC 内部，而符合题意的x ，y 位于阴影区域内(不包括x ，y 轴)，故所求概率P ＝14π×121×1＝π4.]1111ABCD ­A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A ．π12B ．1－π12C ．π6D ．1－π6B [设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ．则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部． ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝23π.∴P (A )＝23－23π23＝1－π12.] [规律方法] 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．[变式训练3] 如图10­3­4，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M ­ABCD 的体积小于16的概率为________．图10­3­412[设四棱锥M ­ABCD 的高为h ，由于V 正方体＝1. 且13·S ABCD ·h ＜16，又S ABCD ＝1，∴h ＜12，即点M 在正方体的下半部分， ∴所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.]。

第十章 10.110.1.3A 级——基础过关练1．(多选)下列是古典概型的是( )A ．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B ．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率【答案】ABD 【解析】A ，B ，D 为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C 不适合等可能性，故不为古典概型．故选ABD ．2．(2020年某某月考)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为( )A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】A 【解析】金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n ＝10,2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率p ＝510＝12.故选A ．3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为( ) A ．25B ．15C ．310D ．35【答案】C 【解析】从五个人中选取三人有10种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为310.故选C ． 4．(2020年某某月考改编)2021年起，某某省高考将实行“3＋1＋2”新高考．“3”是统一高考的语文、数学和英语三门；“1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；“2”也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“1＋2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】A 【解析】基本事件总数n ＝12，某考生自主选择的“1＋2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到包含的基本事件个数m ＝3，历史和政治均被选择到的概率p＝m n ＝312＝14.故选A ． 5．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】所有样本点为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个样本点，所以p ＝26＝13.故选B ． 6．(2019年某某期末)定义：abcde ＝10 000a ＋1 000b ＋100c ＋10d ＋e ，当五位数abcde 满足a <b <c ，且c >d >e 时，称这个五位数为“凸数”．由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个，若从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为( )A ．16B ．110C ．112D ．120【答案】D 【解析】由题意，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543,13542,14532,23541,24531,34521，共6个样本点，所以恰好为“凸数”的概率p ＝6120＝120.故选D ． 7．(2020年某某模拟)某普通高中有数学、物理、化学、计算机四个兴趣小组，甲、乙两位同学各自随机参加一个兴趣小组，则这两位同学参加不同的兴趣小组的概率为________．【答案】34【解析】甲、乙两位同学参加兴趣小组的基本事件总数为16，甲、乙两位同学参加相同的兴趣小组的基本事件个数为4，故两位同学参加不同的兴趣小组的概率p ＝1－416＝34. 8．(2019年某某期末)在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1,2,3,4,5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为_________．【答案】25【解析】从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)共10种，满足2本书编号相连的所有可能情况为(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)共4种，故选出的2本书编号相连的概率为410＝25. 9．(2019年某某期末)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，并分别记为x ，y .(1)若记“x ＋y ＝5”为事件A ，求事件A 发生的概率；(2)若记“x 2＋y 2≤10”为事件B ，求事件B 发生的概率．解：将一颗质地均匀的骰子抛掷1次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，抛掷第2次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，因为骰子共抛掷2次，所以共有36种结果．(1)事件A 发生的样本点有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)共4种结果，所以事件A 发生的概率为P (A )＝436＝19. (2)事件B 发生的样本点有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6种结果，所以事件B 发生的概率为P (B )＝636＝16. 10．(2020年期末)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出三个科目作为选考科目．若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向，随机选取20名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：(2)从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率． 解：(1)由统计表可知，选考方案确定的男生中，同时选择物理、化学和生物的人数是2.(2)由统计表可知，已确定选考科目5名男生中，有2人选择物理、化学和生物，记为a 1，a 2，有1人选择物理、化学和历史，记为b ，有2人选择物理、化学和地理，记为c 1，c 2.从已确定选考科目的男生中任选2人，有10种选法，分别为：a 1a 2，a 1b ，a 1c 1，a 1c 2，a 2b ，a 2c 1，a 2c 2，bc 1，bc 2，c 1c 2，两名学生选考科目完全相同的有2种选法，分别为：a 1a 2，c 1c 2，设事件A 为“从已确定选考科目的男生中任选出2人，这两名学生选考科目完全相同”，则P (A )＝210＝15. B 级——能力提升练11．有一列数由奇数组成：1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3,5，第三组有3个数为7,9,11，…，依此类推，则从第10组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )A ．110B ．310C ．15D ．35【答案】B 【解析】由已知可得前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，则第10组第一个数为45×2＋1＝91，第10组有10个数分别为91,93,95,97,99,101,103,105,107,109，其中恰为3的倍数的数为93,99,105.故所求概率p ＝310.故选B ． 12．从1,2,3,4中任取两个不同的数，则取出两个数之差的绝对值为2的概率是( ) A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B 【解析】从1,2,3,4中任取两个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种不同的结果，取出的2个数之差的绝对值为2有(1,3)，(2,4)共2种结果，故取出两个数之差的绝对值为2的概率p ＝26＝13.故选B ．13．(2020年某某月考)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任取一个数k ∈A ，则幂函数f (x )＝x k 为偶函数的概率为________．【答案】14【解析】集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任取一个数k ∈A ，基本事件总数n ＝8，幂函数f (x )＝x k 为偶函数包含的基本事件个数m ＝2，∴所求概率p ＝m n ＝28＝14. 14．将两颗正方体型骰子投掷一次，则向上的点数之和是10的概率为________，向上的点数之和不小于10的概率为________．【答案】11216【解析】将两骰子投掷一次，共有36种情况．向上的点数之和为10的情况有(4,6)，(5,5)，(6,4)共3种，故概率p 1＝336＝112；向上的点数之和不小于10的情况有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种，故概率p 2＝636＝16. 15．设a 是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数，b 是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数，构成一个样本点(a ，b )．记“这些样本点中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是________．【答案】512【解析】事件E 发生包含的样本点是分别从两个集合中取一个数字，共有12种结果，满足条件的样本点是满足log b a ≥1，可以列举出所有的样本点，当b ＝2时，a ＝2,3,4；当b ＝3时，a ＝3,4.所以根据古典概型的概率公式得到概率是3＋212＝512. 16．某校从高二甲、乙两班各选出3名学生参加书画比赛，其中从高二甲班选出了2名男同学、1名女同学，从高二乙班选出了1名男同学、2名女同学．(1)若从这6名同学中抽出2名进行活动发言，写出所有可能的结果，并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率；(2)若从高二甲班和乙班各选1名同学现场作画，写出所有可能的结果，并求选出的2名同学性别相同的概率．解：(1)设选出的3名高二甲班同学为A ，B ，C ，其中A 为女同学，B ，C 为男同学，选出的3名高二乙班同学为D ，E ，F ，其中D 为男同学，E ，F 为女同学．从这6名同学中抽出2人的所有可能结果有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．其中高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的可能结果有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(C ，D )，(D ，E )，(D ，F )，共9种，故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率p ＝915＝35. (2)高二甲班和乙班各选1名的所有可能结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种，选出的2名同学性别相同的有(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(C ，D )，共4种，所以选出的2名同学性别相同的概率为49. 17．在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有0,1,2,3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回．①若取出的两个小球上数字之积大于4，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[1,4]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶．(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率哪个更大？请说明理由．解：样本空间Ω＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)}共16个．(1)记“获得飞机玩具”为事件A ，事件A 包含的样本点有(2,3)，(3,2)，(3,3)共3个． 故每对亲子获得飞机玩具的概率为P (A )＝316.(2)记“获得汽车玩具”为事件B ，“获得饮料”为事件C ．事件B 包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个，所以P (B )＝616＝38.事件C 包含的样本点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(2,0)，(3,0)共7个，所以P (C )＝716.所以P (B )<P (C )，即每对亲子获得饮料的概率大于获得汽车玩具的概率． C 级——探索创新练18．(2020年某某月考)某学校有40名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足球基础知识问答，测试员把成绩(单位：分)分组如下：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到频率分布直方图如图所示．(1)根据频率分布直方图估计成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)用分层抽样的方法从成绩在第3,4,5组的高中生中抽6名组成一个小组，若从6人中随机选2人担任小组负责人，求这2人来自第3,4组各1人的概率．解：(1)因为(0.01＋0.07＋0.06＋x ＋0.02)×5＝1，所以x ＝0.04.所以成绩的平均值为0.05×75＋802＋0.35×80＋852＋0.30×85＋902＋0.20×90＋952＋0.10×95＋1002＝87.25. (2)第3组学生人数为0.30×40＝12，第4组学生人数为0.20×40＝8，第5组学生人数为0.10×40＝4，所以抽取的6人中第3,4,5组的人数分别为3,2,1.第3组的3人分别记为A 1，A 2，A 3，第4组的2人分别记为B 1，B 2，第5组的1人记为C ，则从中选出2人的基本事件为共15个，记“从这6人中随机选出2人担任小组负责人，这2人来自第3,4组各1人”为事件M ， 则事件M 包含的基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，共6个，所以P (M )＝615＝25.。

第十章 概率 第1节 随机事件的概率 学生用书 课时冲关六十二[基础训练组]1．(2019·宁夏检测)抽查10件产品，设事件A 为“至少有2件次品”，则事件A 的对立事件为( )A ．至多有2件次品B ．至多有1件次品C ．至多有2件正品D ．至少有2件正品解析：B [∵“至少有n 个”的反面是“至多有n －1个”，又∵事件A “至少有2件次品”，∴事件A 的对立事件为“至多有1件次品”．]2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.65解析：B [数据落在[10,40)的频率为2＋3＋420＝920＝0.45，故选B.]3．(2019·厦门模拟)口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )A ．0.45B ．0.67C ．0.64D ．0.32解析：D [摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，故摸出黑球的概率P ＝1－0.45－0.23＝0.32.]4．(2019·辽宁重点中学协作体模拟)甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么()A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分但不必要条件C．甲是乙的必要但不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：C[当A1、A2是互斥事件时，A1、A2不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件；当A1、A2是对立事件时，A1、A2一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件．所以甲是乙的必要但不充分条件．故选C.]5．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )A ．0.20B ．0.60C ．0.80D ．0.12解析：C [“能乘上所需要的车”记为事件A ，则3路或6路车有一辆路过即事件发生，故P (A )＝0.20＋0.60＝0.80.]6．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为__________．解析：因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.答案：0.37．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235， 现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为17＋1235＝1735.答案：17358．一只不透明的袋子中装有7个红球，3个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815.由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件．故至少取得一个红球的概率P (A )＝1－P (B )＝1415.答案：815 14159．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值．解析：记事件“在竞赛中，有k人获奖”为A k(k∈N，k≤5)，则事件A k彼此互斥．(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56.∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.解得y＝0.2.10．(2019·湖北武汉模拟)某鲜花店将一个月(30天)某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表，将日销售量在各区间的销售天数占总天数的值视为概率．(2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择两天做促销活动，求这两天恰好是在日销售量低于50枝时的概率．解析：(1)设日销售量为x枝，则P(0<x<50)＝330＝110，P(50≤x<100)＝530＝16，∴P(0<x<100)＝110＋16＝415.(2)日销售量低于100枝共有8天，从中任选两天做促销活动，共有28种情况；日销售量低于50枝共有3天，从中任选两天做促销活动，共有3种情况．所以所求概率P ＝328.[能力提升组]11．(2019·韶关模拟)我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )A.1415B.1315C.29D.79解析：A [从10部名著中选择2部名著的方法数为10×92＝45(种)，2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为3种，由对立事件的概率计算公式得P ＝1－345＝1415.故选A.]12．(2019·烟台调研)一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回的每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A.132B.164C.332D.364解析：D [从8个球中有放回地取2次(每次取一个球)，所取两球的编号共有8×8＝64种，其中两编号和不小于15的有3种：(7,8)，(8,7)，(8,8)．则所求概率P ＝364，故选D.]13．甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是__________________．解析：基本事件的总数为10×9＝90(个)，甲、乙二人均抽到判断题的基本事件的个数是4×3＝12，故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是1－1290＝1315.答案：131514．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解析：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.。

2020高考数学专题复习：概率（文科）1. 某果农选用一片山地栽种砂糖桔, 收获时 , 该果农随机选用果树20 株作为样本丈量它们 , 每一株的果实产量( 单位 :kg), 获取的全部数据依据区间40,45 , 45,50 , 50,55 , 55,60 进行分组,获取频次散布直方图如图,已知样本50上的果树株数是产量在区间4中产量在区间45,50,60上的果树株数的 3 倍.( Ⅰ ) 求a,b的值( Ⅱ ) 从样本中产量在区间 50, 60上的果树随机抽取两株,求产量在区间55, 60上的果树起码有一株被抽中的概率 .频次组距a0.06b0.02O4045 50 55 60产量 /kg图32. 一个均匀的正四周体上分别有1，2，3，4四个数字 , 现随机扔掷两次 , 正四周风光朝下的数字分别为b,c( Ⅰ ) 记z b3 2c 3 2, 求z 4的概率(Ⅱ)若方程 x2bx c 0起码有一根x 1,2,3,4，称该方程为“美丽方程”,求方程为“美丽方程”的概率 .3. 以下茎叶图记录了甲组 3 名同学寒假假期中去图书室 A 学习的次数和乙组 4 名同学寒假假期中去图书室 B 学习的次数 .乙组记录中有一个数据模糊, 没法确认 , 在图中以x表示 .( Ⅰ ) 假如x7, 求乙组同学去图书室学习次数的均匀数和方差( Ⅱ ) 假如x9,从学习次数大于8的学生中选两名同学,求选出的两名同学恰巧分别在两个图书室学习且学习的次数和大于20 的概率 .甲组乙组90x 891 2124. 某市为了认识今年高中毕业生的体能状况, 从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试, 成绩在8.0米( 精准到0.1米 ) 以上的为合格 . 把所得数据进行整理后 ,分红 6组画出频次散布直方图的一部分( 如图 ), 已知从左到右前5个小组的频次分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30 .第6小组的频数是 7.( Ⅰ ) 求此次铅球测试成绩合格的人数( Ⅱ ) 若由直方图来估计这组数据的中位数, 指出它在第几组内,并说明原因( Ⅲ ) 若参加此次测试的学生中, 有 9 人的成绩为优异,此刻要从成绩优异的学生中, 随机选出 2 人参加“毕业运动会”,已知a 、b 的成绩均为优异, 求两人起码有 1 人当选的概率.5.高三某班有两个数学课外兴趣小组, 第一组有2名男生 , 2名女生 , 第二组有3名男生 , 2名女生 . 此刻班主任老师要从第一组选出 2 人,从第二组选出 1人,请他们在班会上和全班同学分享学习心得. ( Ⅰ ) 求选出的3人均是男生的概率( Ⅱ ) 求选出的3人中有男生也有女生的概率.6. 一个袋中装有四个形状大小完好同样的球, 球的编号分别为1，2，3，4( Ⅰ ) 从袋中随机抽取一个球, 将其编号记为a, 而后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球, 将其编号记为b. 求对于 x 的一元二次方程x22ax b20有实根的概率( Ⅱ ) 先从袋中随机取一个球, 该球的编号为m, 将球放回袋中 , 而后再从袋中随机取一个球, 该球的编号为n. 若以x y0(m, n)作为点p的坐标 ,求点p落在地区x y5 0内的概率 .7. 某网站体育版块足球栏目组倡始了“射手的上一场进连续进球有关系”的检查活动，在全部参加检查的人中，持“有关系”“没关系”“不知道”态度的人数如表所示：有关系没关系不知道40 岁以下80045020040 岁以上（含40150300岁）100 ( Ⅰ ) 在全部参加检查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取 45人，求n（Ⅱ）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人当作一个整体，从这5人中任选用 2人，求起码一人在 40 岁以下的概率（Ⅲ）在接受检查的人中，有8 人给这项活动打出分数以下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2 ，把这8 个人打出的分数看做一个整体，从中任取1个数，求该数与整体均匀数之差的绝对值超出0.6的概率8. 一个盒子中装有 4 张卡片，每张卡片上写有 1 个数字，数字分别是1,2,3,4 ，现从盒子中随机抽取卡片．( Ⅰ ) 若一次从中随机抽取 3 张卡片，求 3 张卡片上数字之和大于或等于7 的概率（Ⅱ）若第一次随机抽取 1 张卡片，放回后再随机抽取 1 张卡片，求两次抽取的卡片中起码一次抽到 2 的概率9.某学校组织 500 名学生体检，按身高（单位： cm ）分组：第 1 组155,160，第 2 组160,165，第 3 组165,170，第 4 组170,175，第 5 组175,180，获取的频次散布直方图以下图．( Ⅰ ) 下表是身高的频数散布表，求正整数m, n的值区间155，160160，165165，170170，175175，180（Ⅱ）现人数5050m150n在要从第1,2,3组顶用分层抽样的方法抽取 6 人，第1,2,3组应抽取的人数分别是多少？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，从这 6 人中随机抽取 2人，求起码有 1 人在第 3 组的概率10.参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩剖析的茎叶图和频次散布直方图均遇到不一样程度的损坏，但可见部分信息以下，据此解答以下问题：（Ⅰ）求参加数学抽测的人数n、抽测成绩的中位数及分数分别在80,90 ， 90,100内的人数（Ⅱ）若从分数在80,100内的学生中任选两人进行调研讲话，求恰巧有一人分数在90,100 内的概率．1 a0.08, b0.04, p9. 2 p z 42,1,2, 2,3, 3,4p3. 3 x9, S27.p5. 4 36.4. 151616215535647137. 9 n 14p. 5 p, p. 6 p, p. 7 n100, p.p. 8 p.p50;1,1,4; p.1230612161084161510 n25,73;4,2.p8152020高考数学专题复习：概率模拟试题1. 某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数以下表：已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二年级女生的概率是0.19（Ⅰ）现用分层抽样的方法在全校抽取48 名学生，问应在高三年级抽取多少人？（Ⅱ）已知y245, z245,求高三年级女生比男生多的概率.高一高二高三女生373x y男生377370z2. 某商场为吸引顾客花费推出一项优惠活动．活动规则以下：花费每满100元能够转动以下图的圆盘一次，此中O为圆心，且标有20 元、 10 元、 0 元的三部分地区面积相等，假定指针停在任一地点都是等可能的．当指针停在某地区时，返相应金额的优惠券. （比如：某顾客花费了218元，第一次转动获取了20 元，第二次获取了10 元，则其共获取了30 元优惠券 . ）顾客甲和乙都到商场进行了花费，并依据规则参加了活动．( Ⅰ) 若顾客甲花费了128元，求他获取优惠券面额大于0 元的概率 ?（Ⅱ）若顾客乙花费了280元，求他总合获取优惠券金额不低于20 元的概率 ?3. 随机抽取某中学甲、乙两班各10 名同学，丈量他们的身高（单位：cm ），获取身高数据的茎叶图如图. ( Ⅰ) 依据茎叶图判断哪个班的均匀身高较高（Ⅱ）现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率4. 商场举行购物抽奖活动，每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个同样小球的抽奖箱中，每次拿出一球记下编号后放回，连续取两次，若拿出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于 4 或3中三等奖( Ⅰ) 求中三等奖的概率（Ⅱ）求中奖的概率5. 为认识《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及状况，检查部门对某校6名学生进行问卷检查，6人得分状况以下：5,6,7,8,9,10.把这 6 名学生的得分当作一个整体( Ⅰ) 求该整体的均匀数（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取 2 名，他们的得分构成一个样本. 求该样本均匀数与整体均匀数之差的绝对值不超出0.5的概率6. 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A, B,C的有关人员中，抽取若干人构成研究小组、有关数据见下表（单位：人）( Ⅰ) 求x, y（Ⅱ）若从高校 B,C抽取的人中选 2 人作专题讲话，求这二人都来自高校C 的概率高校有关人数 抽取人数A 18 xB36 2C 54y7 ．为认识学生身高状况，某校以 10% 的比率对全校 700 名学生按性别进行抽样检查，测得身高状况统计图如下：( Ⅰ) 估计该校男生的人数 （Ⅱ）估计该校学生身高在170 ~ 185 之间的概率（Ⅲ）从样本中身高在180~ 190之间的男生中任选 2 人，求起码有 1 人身高在185 ~ 190之间的概率8 ．设平面向量a mm,1 , b n = 2, n ，此中 m,n 1,2,3,4( Ⅰ ) 请列出有序数组 m,n的全部可能结果（Ⅱ）记“使得a m（am -b n）建立的m, n”为事件 A ，求事件 A 发生的概率rr9. 设连续掷两次骰子获取的点数分别为 m 、 n, 令平面向量a(m, n) , b (1, 3) ．r r( Ⅰ ) 求使得事件“ab”发生的概率rr( Ⅱ ) 求使得事件“| a || b |”发生的概率ym x 与圆x 3 2y 21( Ⅲ ) 使得事件“直线 n订交”发生的概率．10. 设有对于x的一元二次方程x22ax b20 ．(Ⅰ)若 a 是从 0，1，2，3 四个数中任取的一个数， b 是从01，，2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率（Ⅱ）若 a 是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率11. 设一元二次方程Ax2Bx C, 依据以下条件分别求解(Ⅰ) 若A1, B、 C是一枚骰子先后掷两次出现的点数, 求方程有实数根的概率（Ⅱ）设BA,C A3, A随机的取实数使方程有实数根, 求方程起码有一个非正实数根的概率12. 为认识一个小水库中养殖的鱼有关状况，从这个水库中多个不一样地点捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频次散布直方图（Ⅰ）估计数据落在 1.15,1.30 中的概率（Ⅱ）将上边捕捞的100 条鱼分别作记号后再放回水库，几日后再从水库的多处不一样地点捕捞出120 条鱼，其中带有记号的鱼有 6 条，请依据这一状况来估计该水库中鱼的总条数13. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树. 乙组记录中有一个数据模糊，在图中以X 表示.( Ⅰ) 假如X8,求乙组同学植树棵树的均匀数和方差（Ⅱ）假如X 9 ，分别从甲、乙两组中随机选用一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19 的概率 .14. 某日用品按行业质量标准分红五个等级，等级系数X 挨次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计剖析，获取频次散布表以下：X12345f a0.20.45b c( Ⅰ ) 若所抽取的20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有4 件，等级系数为 5 的恰有 2 件，求a、b、c的值（Ⅱ）在 ( Ⅰ ) 条件下，将等级系数为4的3件记为x1, x2, x3,等级为5的2件记为y1, y2，现从 x1 , x2 , x3 , y1 , y2这 5 件日用品中任取两件，写出全部可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰巧相等的概率15. 在某次测试中，有 6 位同学的均匀成绩为 75 分，用x n表示编号为n n1,2, ,6的同学所得成绩，且前 5 位同学的成绩以下：编号 n12345成绩xn7076727072( Ⅰ ) 求第 6 位同学的成绩x6 ，及这 6 位同学成绩的标准差S（Ⅱ）以前 5位同学中，随机地选 2位同学，求恰有 1位同学成绩在区间68,75 中的概率16.某河流上一座水力发电站，每年六月份的发电量Y 与该河上游在六月份时的降雨量X 有关，据统计，当X70时，Y 460；X每增添10，Y增添5．已知近20 年X的值为: 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110, 160,160,200,140,110,160,220,140,160（Ⅰ）达成以下的频次散布表:近 20年六月份降雨量频次散布表降雨量70110140160200220频次0.050.20.1（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的散布规律同样，并将频次看作概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490 或超出 530 的概率17.（某农场计划栽种某种新作物，为此对这类作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分红n 小块地，在总合2n 小块地中，随机选n 小块地栽种品种甲，此外n 小块地栽种品种乙．( Ⅰ )假定n 2 ，求第一大块地都栽种品种甲的概率（Ⅱ）试验时每大块地分红8 小块，即n8，试验结束后获取品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位： kg/hm2）以下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本均匀数和样本方差；依据试验结果，你以为应当种哪一品种？18.假定甲乙两种品牌的同类产品在某地域市场上销售量相等，为认识他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试，结果统计以下：（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200 小时的概率（Ⅱ）这两种品牌产品中，某个产品已使用了 200小时，试估计该产品是甲品牌的概率19. 某校 100名学生期中考试语文成绩的频次散布直方图如图 4 所示，此中成绩分组区间是：50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100( Ⅰ )求图中a的值（Ⅱ）依据频次散布直方图，估计这100名学生语文成绩的均匀分（Ⅲ）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（ x ）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比方下表所示，求数学成绩在50,90以外的人数分数段60,7070,8080,9050,60x : y 1 : 1 2 : 1 3 : 4 4 : 520. 袋中有五张卡片，此中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标 号分别为1,2.( Ⅰ ) 从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不一样且标号之和小于 4 的概率( Ⅱ ) 现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不一样且标号之和 小于4的概率.21. 某地有小学 21 所 , 中学 14 所 , 大学 7 所，现采纳分层抽样的从这些学校中抽取 6 所学校正学生进行视力调查( Ⅰ ) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目 （Ⅱ）若从抽取的6 所学校中随机抽取2 所学校做进一步数据剖析，（ 1 ）列出全部可能的抽取结果（ 2 ）求抽取的 2 所学校均为小学的概率22. 某花店每日以每枝 5 元的价钱从农场购进若干枝玫瑰花，而后以每枝10 元的价钱销售 . 假如当日卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾办理 .（Ⅰ）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当日的收益y( 单位：元 ) 对于当日需求量 n的函数分析式（Ⅱ）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量 n14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310(i) 假定花店在这 100 天内每日购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日收益（单位：元）的均匀数(ii) 若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频次作为各需求量发生的概率，求当日的收益许多于 75 元的概率 .23. 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超出1mm时，则视为合格品，不然视为不合格品，在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取 5000 件进行检测，结果发现有 50 件不合格品 , 计算这50 件不合格品的直径长与标准值的差（单位： mm） , 将所得数据分组，获取以下频次散布表：分组 频数频次3, 20.12, 1 81,20.52,3 103，4共计50 1（Ⅰ）将上边表格中缺乏的数据补齐（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间1,3内的概率（Ⅲ）现对该厂这类产品的某个批次进行检查，结果发现有20 件不合格 , 据此估量这批产品中的合格品的件数24. 某商场为认识顾客的购物量及结算时间等信息，随机采集了在该商场购物的100位顾客的有关数据，以下表 :已知这 100位顾客中的一次购物量超出8 件的顾客占55 ％（Ⅰ）确立x, y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的均匀值（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超出 2 分钟的概率 . （将频次视为概率）25. 某中学从高二年级学生中随机地抽取120名学生，测得身高状况以下表所示. ( Ⅰ ) 请在频次散布表中的①，②地点上填上适合的数据，并补全频次散布直方图（Ⅱ）现从180～190这些同学中随机地抽取两名，求身高为185以上(包含185)的同学被抽到的概率26.由世界自然基金会倡始的“地球1 小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参加人数再创新高 . 但是也有部分民众对该活动的实质成效与负面影响提出了疑问. 对此，某新闻媒体进行了网上检查，所有参加检查的人中，持“支持”、“保存”和“不支持”态度的人数以下表所示：支持保存 不支持 20 岁以下800450 20020 岁以上（含 20 岁） 100150300（Ⅰ）在全部参加检查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从 “支持 ”态度的人中抽取了 45 人，求 n值 （Ⅱ）在持 “不支持 ”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 5 人当作一个整体，从这5 人中随意选用2 人，求至罕有 1 人 20 岁以下的概率（Ⅲ）在接受检查的人中，有 8 人给这项活动打出的分数以下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2 把这 8 个人打出的分数看作一个整体，从中任取1 个数，求该数与整体均匀数之差的绝对值超出0.6 的概率 .27. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理订价，将该产品按预先制定的价钱进行试销，获取以下数据：$bx a ，此中 b 20( Ⅰ ) 求回归直线方程 y（Ⅱ）估计在此后的销售中，销量与单价仍旧听从 ( Ⅰ ) 中的关系，且该 产品的成本是 4 元 / 件，为使工厂获取最大收益，该产品的单价应定为多少元？28. 某班同学利用寒假进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯能否切合低碳观点的检查，若生活习惯切合低碳观点的称为“低碳族”，不然称为“非低碳族”，获取以下统计表和各年纪段人数频次散布直方图：（Ⅰ）补全频次散布直方图并求n, a, p的值（Ⅱ）从年纪段在[40,50)的“低碳族”中采纳分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动，此中选用 2 人作为领队，求选用的 2 名领队中恰有 1 人年纪在[40,45)岁的概率29. 有A, B, C , D , E五位工人参加技术比赛培训．现分别从A, B二人在培训时期参加的若干次初赛成绩中随机抽取 8 次．用茎叶图表示这两组数据以下：（Ⅰ）现要从A, B中选派一人参加技术比赛，从均匀状况和方差的角度考虑，派哪位工人参加适合?（Ⅱ）若从参加培训的 5 位工人中选 2 人参加技术比赛，求A, B二人中起码有一人参加技术比赛的概率．30. 汽车是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2020年开始，将对CO2排放量超出130g / km 的M1 型新车进行处罚，某检测单位对甲、乙两类M1 型品抽取5辆进行CO2 排放量检测，记录以下甲80110120140150乙100120x y160经测算发现，乙品牌车CO2排放量的均匀值为x乙120g / km.（Ⅰ）从被检测的 5 辆甲类品牌中任取 2 辆，则起码有一辆CO2排放量超标的概率是多少？（Ⅱ）若乙类品牌的车比甲类品牌的CO2的排放量的稳固性要好，求x的范围31. 某中学随机抽取了50 名学生举行了一次环保知识比赛, 本次比赛的成绩( 得分均为整数, 满分 100 分 ) 整理得到的频次散布直方图如右 .( Ⅰ ) 若图中第一组 ( 成绩为40,50) 对应矩形高是第六组( 成绩为90,100) 对应矩形高的一半, 试求第一组、第六组分别有学生多少人 ?（Ⅱ）在 ( Ⅰ ) 的条件下 , 若从第一组中选出一名学生, 从第六组中选出 2 名学生 , 共 3 名学生召开会谈会 , 求第一组中学生A1 和第六组中学生B1 同时被选中的概率？频次组距0.0300.0280.0240.006O405060708090100 成绩32. 某产品按行业生产标准分红8个等级，等级系数ξ挨次为1,2,⋯,8，此中ξ5为标准 A ，ξ3为标准B ，产品的等级系数越大表示产品的质量越好．已知某厂履行标准 B 生产该产品，且该厂的产品都切合相应的履行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数构成一个样本，数据以下：35338556346347534853 8343447567该行业规定产品的等级系数ξ7的为一等品，等级系数5 ξ 7的为二等品，等级系数3 ξ 5的为三等品．（Ⅰ）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率（Ⅱ）从样本的一等品中随机抽取 2 件，求所抽得2 件产品等级系数都是8 的概率33. 某单位为了认识职工喜爱户外运动能否与性别有关，决定从本单位全体650人中采纳分层抽样的方法抽取50人进行了问卷检查，获取了以以下联表：喜爱户外运动不喜爱户外运动共计男性5女性10共计503已知在这50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱户外运动的职工的概率是5( Ⅰ ) 请将上边的列联表增补完好（Ⅱ）求该企业男、女员各多少名（Ⅲ）能否有99.5%的掌握以为喜爱户外运动与性别有关？并说明你的原因；下边的临界值表仅供参照：P(K 20.100.050.0250.0100.0050.001k) 0.15k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参照公式： K 2 =n(ad bc)2,此中 n a b c d(a b)(c d )(a c)( b d )34. 电视传媒企业为了认识某地域电视观众对某类体育节目的收视状况，随机抽取了100 名观众进行检查，此中女性有55 名 . 下边是依据检查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频次散布直方图；非体育迷体育迷共计男女共计将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10 名女性( Ⅰ ) 依据已知条件达成下边的 2 2 列联表，并据此资料你能否定为“体育迷”与性别有关？( Ⅱ ) 将日均收看该体育项目不低于从“超级体育迷”中随意选用250 分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有人，求起码有 1 名女性观众的概率2 名女性，若5 2 2，23 5731 12, .2 ,， . 4 , . 5 x 7.5, P 7 8 . 6 x 1, y 3, P A .3 . 3 x 甲 170 x 乙171.1811 35 815 1035 1 9 3m21 2 6 5 9 4 19， Ax 2 Ax A 30.7 400,2 ,. 8 16.n 18 . 9， ， . 10， .117015 536 36 3612 636n 2 335114 142n 10,3 . 12 0.47,2000. 13 x , S 2 , . 14 a 0.05, b 0.2,c0,4 44 16 16 410515 x 690, S 7.p2. 16 0.15,0.35,0.15; Y 0.5 X 425P x 130, x210 0.3 171, x 甲 400，56x乙，2，256. 18 p1 7515. 19 a 0.05, x，3, 815412S 甲57.25 S 乙4 ,2973 10. 2010 . 21 3,2,1.n14515p1 22 y85, n 17x 76.4, p x 750.7 23 0.7,1980 24 x 15, y20, x 1.9, p7 25 6,10n 85, n 175100.35， p21. 26 n 100, p7.x9, p1. 27 a 250.Lx420x 25020 x 2 330x 100036108x 8.25 34 50/ 50, K28.399.5%. 28 p0.65, a60, n1000.4 : 2p8. 29 x 甲 x 乙 85，15S 甲 2 41， S 乙 235.5. p 7. 30 p 7, x y 220, x 2 220x 11700 0 90,130 . 31 2,4; p 3 110 10 12 4 326,9,15 , p1 ， ； K2 25 99.5%. 34 30,15,45,10.k 2100 3.03 3.841 730. 33 325 325 3 33 90% .p510 2020 山东文科高考真题：概率（ 14 ）海关同时从A, B, C三个不一样地域入口的商品进行抽样检查，从各地域入口该商品的数目以下图，工作人员用分层抽样的的方法从这些商品中共抽取6 件样品进行检测（Ⅰ）求这 6 件样品中来自A, B,C各地域商品的数目（Ⅱ）若在这 6 件样品中随机抽取2 件送往甲机构进前进一步检测，求这2 件商品来自同地域的概率地域 ABC数目50 150100（ 13 ）某小组共有 A 、B 、C 、D 、E五位同学，他们的身高（单位: 米）以及体重指标（单位:千克 /米 2）以下表所示：AB C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标19.225.118.523.320.9（Ⅰ）从该小组身高低于 1.80的同学中任选 2 人，求选到的2 人身高都在1.78以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2 人，求选到的 2 人的身高都在1.70以上且体重指标都在 18.5,23.9 中的概率（ 12 ）袋中有五张卡片，此中红色卡片三张，标号分别为 1 、2 、3 ；蓝色卡片两张，标号分别为1 、 2.（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不一样且标号之和小于 4 的概率（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不一样且标号之和小于4的概率.（ 11 ）甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，此中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女 .（Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出全部可能的结果，并求选出的 2 名教师性别同样的概率（Ⅱ）若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出全部可能的结果，并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率.（ 10 ）一个袋中装有四个形状大小完好同样的球，球的编号分别为1,2,3,4（Ⅰ）从袋中随机取两个球，求拿出的球的编号之和不大于 4 的概率（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，而后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求 n m 2 的概率（ 09 ）汽车厂生产A, B,C三类轿车，每类轿车均有舒坦型和标准型两种型号，某月的产量以下表轿车 A轿车 B轿车C舒坦型100150Z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，此中有 A 类轿车10辆.（Ⅰ）求 Z 的值（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为 5 的样本，将该样本当作一个整体，从中任取 2 辆，求起码有 1 辆舒坦型轿车的概率（Ⅲ）用随机抽样的方法从 B 类舒坦型轿车中抽取8辆，得分以下 : 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7，9.3,9.0,8.2 .把这8辆轿车的得分当作一个整体，从中任取一个数，求该数与样本均匀数之差的绝对值不超出0.5的概率 .（ 08 ）现有8 名奥运会志愿者，此中志愿者A1、A2、A3精通日语，B1、B2、B3精通俄语，C1、C2 精通韩语.从中选出精通日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，构成一个小组 .（Ⅰ）求A1被选中的概率（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率 .4 13 3 84 2 1 13 71 5 14 1，3，2； . 13， .1210 ， .119； .103 ； .09 400，；0.75. 08 , .15 2 10 15 316103 62020. 解： (1) 从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，其全部可能的结果构成的基本领件有：(A ，B) ， (A ，C) ，(A ，D) ，(B ，C) ，(B ，D) ，(C ，D) ，共 6个．选到的 2 人身高都在 1.78以下的事件有： (A ， B) ， (A ， C) ，(B ， C) ，共 3 个．3 1所以选到的2 人身高都在 1.78 以下的概率为 6＝2.(2) 从该小组同学中任选 2 人，其全部可能的结果构成的基本领件有：(A ，B) ， (A ，C) ，(A ，D) ，(A ，E) ，(B ，C) ，(B ，D) ，(B ，E) ，(C ， D) ，(C ，E) ，(D ，E) ，共 10 个． 因为每一个人被选到的时机均等，所以这些基本领件的出现是等可能的．选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在 [18.5,23.9) 中的事件有： (C ， D) ，(C ，E) ， (D ， E) ，共 3 个．3所以选到的2 人的身高都在1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为 10 .2020.（ 1 ）甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 来表示，两女教师用E 、 F表示 .从甲校和乙校报名的教师中各任选1 名的全部可能结果为：( A, D ),( A,E),( A,F ),( B, D ),( B, E),( B,F ),( C, D),( C, E),( C, F) 共 9 种.从中选出两名教师性别同样的结果有：(A,D),( B,D),( C, E),( C, F) 共 4 种，4P选出的两名教师性别同样的概率为9.（ 2 ）从甲校和乙校报名的教师中任选2 名的全部可能结果为：A,B, A,C, A,D ,A,E, A,F, B,C,B,D, B,E, B,F,C,D,C,E,C,F, D,E,D,F, E,F 共15 种从中选出的两名教师来自同一学校的结果有：( A, B),( A,C),( B,C),( B, D ),( D ,E),( E,F ) 共6种 ，P6 2选出的两名教师来自同一学校的概率为15 3 .50 102020 解: (1). 设该厂本月生产轿车为 n 辆 , 由题意得 , n100 300,所以 n=2000.z=2000-100-300-150-450-600=400400 m设所抽样本中有 m 辆舒坦型轿车 , 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本 , 所以 10005, 解 得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒坦型轿车 ,3 辆标准型轿车 , 分别记作 S1,S2;B1,B2,B3, 则从中任取 2 辆的基本领件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3) 共 10 个 , 此中起码有 1 辆舒坦型轿车的基本领件有7 个基本领件 :(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),。

10-1课时作业A组——基础对点练1．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A．至多有1张移动卡B．恰有1张移动卡C．都不是移动卡D．至少有1张移动卡【答案】 A2．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是() A．①B．②④C．③D．①③【答案】 C【答案】 C4．(2019·昆明检测)AQI(Air Quality Index，空气质量指数)是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度．AQI共分六级，从一级优(0～50)，二级良(51～100)，三级轻度污染(101～150)，四级中度污染(151～200)，直至五级重度污染(201～300)，六级严重污染(大于300)．如图是昆明市2017年4月份随机抽取10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份空气质量优的天数为()A．3 B．4C．12 D．21【答案】 C5．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10，40)的频率为()A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65【答案】 B6．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为()A．0.20 B．0.60C．0.80 D．0.12【答案】 C7．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________．【答案】0.38．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．【答案】0.969．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．10．某校在高三抽取了500名学生，记录了他们选修A，B，C三门课的情况，如下表：(1)试估计该校高三学生在A，B，C三门选修课中同时选修两门课的概率．(2)若某高三学生已选修A门课，则该学生同时选修B，C中哪门课的可能性大？B组——能力提升练1．(2019·济宁模拟)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5)2[15.5，19.5)4[19.5，23.5)9[23.5，27.5)18[27.5，31.5)11[31.5，35.5)12[35.5，39.5)7[39.5，43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5，43.5)的概率约是()A.16 B.13C.12 D.23【答案】 C2．在检测一批相同规格共500 kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批航空用耐热垫片中非优质品约为() A．2.8 kg B．8.9 kgC．10 kg D．28 kg【答案】 B3．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A＋B)＝________．【答案】2 34．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：75270293714098570347437386366947141746980371 623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．【答案】0.45．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率．(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．。

2020年高考文科数学一轮复习大题篇----概率统计题型一 概率与统计的综合应用【例】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图．记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数． (1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 【解】 (1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x >19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700. 所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x >19(x ∈N )． (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000；若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050.比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．【思维升华】概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．【训练】某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a的值；(2)若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．【解】(1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.030. (2)根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.010)＝0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有(A ，B )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共7个，故所求概率P (M )＝715.题型二 概率与统计案例的综合应用【例】某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.【解】 (1)将2×2列联表中数据代入公式计算，得 χ2＝100×60×10－20×10270×30×80×20＝10021≈4.762. 由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)设这5名数学系的学生喜欢甜品的为a 1，a 2，不喜欢甜品的为b 1，b 2，b 3，从5名数学系的学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}． Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}，A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.【思维升华】 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．【训练】某校计划面向高一年级1 200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类、自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．(1)分别计算抽取的样本中男生、女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类的学生人数；(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成以下2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .【解】 (1)由条件知，抽取的男生有105人，女生有180－105＝75(人)．男生选择社会科学类的频率为45105＝37，女生选择社会科学类的频率为4575＝35.由题意，知男生总数为1 200×105180＝700，女生总数为1 200×75180＝500，所以估计选择社会科学类的人数为 700×37＋500×35＝600.(2)根据统计数据，可得列联表如下：则χ2＝180×60×45－30×452105×75×90×90＝367≈5.142 9>5.024， 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能认为科类的选择与性别有关．专题突破训练1.某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80的为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：χ2＝nn 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.【解】 (1)由已知得，样本中有25周岁以上(含25周岁)组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以样本中日平均生产件数不足60的工人中，25周岁以上(含25周岁)组工人有60×0.005×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.005×10＝2(人)，记为B 1，B 2. 从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上(含25周岁)组”中的生产能手有60×(0.02＋0.005)×10＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×(0.032 5＋0.005)×10＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×15×25－15×45260×40×30×70＝2514≈1.79. 因为1.79<2.706.所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．2．某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5个城市，得到观看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损．(1)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数的概率；(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并绘制了如下对照表：根据表中数据，试求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测年龄为55岁的观众周均学习成语知识的时间．参考公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x2，a ^ ＝y －b ^x .【解】 (1)设被污损的数字为a ，则a 有10种情况． 由88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a ＋99， 得a <8，∴有8种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数， 所求概率为810＝45.(2)由表中数据，计算得x ＝35，y ＝3.5，b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x y∑4i ＝1x 2i －4x 2＝525－4×35×3.55 400－4×352＝0.07，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.07×35＝1.05.∴y ^＝0.07x ＋1.05.当x ＝55时，y ^＝4.9.即预测年龄为55岁的观众周均学习成语知识的时间为4.9小时．3．长沙某购物中心在开业之后，为了解消费者购物金额的分布情况，在当月的电脑消费小票中随机抽取n 张进行统计，将结果分成6组，分别是[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500)，[500,600]，制成如图所示的频率分布直方图(假设消费金额均在[0,600]元的区间内)． (1)若按分层抽样的方法在消费金额为[400,600]元区间内抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票均来自[400,500)元区间的概率；(2)为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案． 方案一：全场商品打八折．方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免，利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由(直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值)．【解】 (1)由题意知，在[400,500)元区间内抽4张，分别记为a ，b ，c ，d ，在[500,600]元区间内抽2张，分别记为E ，F ，设“2张小票均来自[400,500)元区间”为事件A ，从中任选2张，有以下选法：ab ，ac ，ad ，aE ，aF ，bc ，bd ，bE ，bF ，cd ，cE ，cF ，dE ，dF ，EF ，共15种．其中，2张小票均来自[400,500)元区间的有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共6种， ∴P (A )＝25.(2)方法一 由频率分布直方图可知，各组频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05.方案一：购物的平均费用为0.8×(50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05)＝0.8×275＝220(元)．方案二：购物的平均费用为50×0.1＋130×0.2＋230×0.25＋270×0.3＋370×0.1＋430×0.05＝228(元)．∵220<228，∴方案一的优惠力度更大．方法二由频率分布直方图可知，各组频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05，方案一：平均优惠金额为0.2×(50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05)＝0.2×275＝55(元)．方案二：平均优惠金额为20×(0.2＋0.25)＋80×(0.3＋0.1)＋120×0.05＝47(元)．∵55>47，∴方案一的优惠力度更大．4．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶30进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：(1)求表中a，b的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值大于10的概率．【解】(1)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，∴a＝0.1，b＝3.成绩在[70,90)内的样本数为0.25×20＝5.∴成绩在[90,110)内的样本数为20－2－5－5＝8.估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)所有可能的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21个，取出的两个样本中数字之差的绝对值大于10的结果为(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,118)，(106,128)，(106,118)，(106,128)，(116,128)，共11个，∴P(A)＝1121.。

热点10 概率与统计【命题趋势】统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.【热点预测以及解题技巧】热点一：“统计”背景下的“概率”问题这类问题一般将统计与概率相结合.以频率分布直方图或茎叶图为背景来考查概率知识，有时以表格为背景来考查概率知识，需要从统计图、表格获取信息、处理数据的能力，并根据得出的数据求概率.热点二：样本分析并通过样本分析作决策进行样本分析时从统计图表中获取数据，得出频率、平均数、方差，用样本频率估计概率、样本数字特征估计总体数字特征，有时需以此作出决策.热点三：线性回归分析根据最小二乘法得出回归直线方程，有时需适当换元转化为线性回归方程. 由于计算量很大，题目一般会给出的参考数据，但是注意数据设置的“障眼法”，这时就要认真领会题意，找出适用的参考数据加以计算.热点四：独立性检验寻找数据完成列联表，下面的解题步骤比较固定，按部就班完成即可.热点五：与函数相结合的概率统计题这类题也是近几年出现较多的一类题，其综合性强，理解题意后找准变量，构建函数关系式.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）1．（2018·黑龙江哈尔滨三中高考模拟（文））从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是( )A．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】D【解析】从茎叶图的数据可以看出甲种树苗的平均高度为27，乙种树苗的平均高度为30，因此乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．又从茎叶图分析知道，甲种树苗的高度集中在20到30之间，因此长势更集中．2．（2019·辽宁高考模拟（文））《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A．215πB．320πC．2115π-D．3120π-【答案】C【解析】【分析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】2251213+=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =. 所以内切圆的面积为24r ππ=，所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C.【名师点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 3．（2019·安徽合肥一中高考模拟（文））甲、乙两名同学在 6 次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如下，若甲、乙两人这 6 次考试的平均成绩分别用,x x 乙甲 表示，则下列结论正确的是（ ）A ．x x >乙甲 ，且甲成绩比乙成绩稳定B ．x x >乙甲 ，且乙成绩比甲成绩稳定C ．x x <乙甲 ，且甲成绩比乙成绩稳定D ．x x <乙甲，且乙成绩比甲成绩稳定【答案】C 【解析】 【分析】从茎叶图提取两个人的成绩，分别求出两个人的平均分，得到甲的平均数比乙的平均数要低，但甲数据比较集中，所以成绩比较稳定. 【详解】757782838590826x +++++==甲，727681869192836x +++++==乙，所以x x <乙甲，因为甲数据比较集中，所以成绩比较稳定. 【名师点睛】茎叶图保留了原始数据，所以可通过计算平均数来比较大小，再通过数据的集中与离散程度判断稳定性. 4．（2018·天津南开中学高考模拟（文））在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 A ．16B ．13C ．23D ．45【答案】C 【解析】试题分析：设AC=x ，则BC=12-x （0＜x ＜12） 矩形的面积S=x （12-x ）＞20 ∴x 2-12x+20＜0 ∴2＜x ＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm 2的概率10221203p -==-考点：几何概型5．（2019·新疆高考模拟（文））《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为A ．31 B ．41 C ．51 D ．61 【答案】A 【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a ,b ,c ，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A ,B ,C ，由题意可知，可能的比赛为：Aa ,Ab ,Ac ,Ba ,Bb ,Bc ,Ca ,Cb ,Cc ,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba ，Ca ,Cb ，共有3种，则田忌马获胜的概率为p =39=13.本题选择A 选项.【名师点睛】：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.6．（2017·天津耀华中学高考模拟（文））某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为n 的样本，若从丙车间抽取6件，则n 的值为（ ） A ．18 B ．20C ．24D ．26【答案】D 【解析】由分层抽样的定义可得：6300600400300n =++，解得：26n =. 本题选择D 选项.7．（2017·辽宁高考模拟（文））设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +【答案】A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．8．（2017·陕西高考模拟（文））已知函数2()log ,[1,8]f x x x =∈，则不等式1()2f x ≤≤ 成立的概率是( ) A ．17B ．27C ．37D ．47【答案】B 【解析】由()12f x ≤≤，可知21log 2x ≤≤，解得24x ≤≤，由几何概型可知27P =，选B 二、填空题9．（2017·河南高考模拟（文））已知()0,0O ，()2,1A ，()1,2B -，31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，动点(),P x y满足02OP OA ≤⋅≤u u u r u u u r 且02OP OB u u u r u u u r ≤⋅≤，则点P 到点C 的距离大于14的概率为______．【答案】5164π-【解析】由题意得，因为()()()310,0,2,1,1,2,,55O A B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以动点(,)P x y 满足02OP OA ≤⋅≤u u u r u u u r 且02OP OB u u u r u u u r≤⋅≤，所以022{022x y x y ≤+≤≤-≤ ，则点P 到点C 的距离为22311()()5516z x y =-++≥ ，作出不等式组对应的平面区域，如图所示， 因为点P 到点C 的距离大于14，所以14PC >，则对应的部分为阴影部分，由2042,2055x y x y x y -==⎧⇒=+=⎨⎩，即点42(,)55E ，则22425()()555OE =+=,所以正方形OEFG 的面积为45， 则阴影部分的面积为41516π- ，所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为41551614645ππ-=-.【名师点睛】：本题主要考查了几何概型及其概率的计算问题，其中解答中涉及到向量的数量积的运算，二元一次不等式组所表示的平面区域，简单的线性规划的应用，几何概型及其概率的计算公式等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用向量的数量积的运算，转化为简单的线性规划求解是解答的关键.9．（2018·河南高考模拟（文））某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是__________．【答案】40【解析】【分析】先求出组距，然后根据已知的第二个样本的编号，求得第三个样本的编号.【详解】从56名学生中抽取4名，组距为56414÷=，由于抽取到第二个编号为26号，故第三个样本的编号为261440+=号.【名师点睛】本小题主要考查系统抽样的知识，先求得系统抽样的组距，然后根据已知来求得未知的样本编号，属于基础题. 11．（2019·浠水县实验高级中学高三月考（文））设AB=6，在线段AB上任取两点（端点A，B除外），将线段AB分成了三条线段，若分成的三条线段长度均为正整数，则这三条线段可以构成三角形的概率是____________；若分成的三条线段的长度均为正实数，则这三条线段可以构成三角形的概率是_________.【答案】11014【解析】【分析】若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形，由古典概型的概念，得到概率．三条线段的长度均为正实数时，则是几何概型，设出变量，写出全部结果所构成的区域，和满足条件的事件对应的区域，注意整理三条线段能组成三角形的条件，求出面积，作比值得到概率．【详解】若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；2，1，3；2，2，2；2，3，1；3，1，2；3，2，1；4，1，1共10种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形则构成三角形的概率p1 10 =．（2）由题意知本题是一个几何概型设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6﹣x﹣y，则全部结果所构成的区域为：0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6，即为0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6所表示的平面区域为三角形OAB；若三条线段x，y，6﹣x﹣y，能构成三角形，则还要满足666x y x yx x y yy x y x+--⎧⎪+--⎨⎪+--⎩＞＞＞，即为333x yyx+⎧⎪⎨⎪⎩＞＜＜，所表示的平面区域为三角形DEF，由几何概型知所求的概率为：P14DEFAOBSS==VV【名师点睛】本题考查古典概型，考查几何概型，对于几何概型的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果． 三、解答题12．（2019·天津高考模拟（文））为预防H 1N 1病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：A 组B 组C 组疫苗有效 673疫苗无效 77 90已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33． （∴）求x 的值；（∴）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？ （∴）已知y ≥465，z ≥30，求不能通过测试的概率．【答案】（1）660；（2）90；（3）112. 【解析】【分析】（1）由古典概型概率公式列方程求解即可；（2）先求出C 组样本个数，再根据分层抽样方法可得结果；（3）利用列举法可得基本事件空间包含的基本事件有11个，测试不能通过事件包含基本事件2个，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】（1）∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率约为其频率 即x 2000=0.33， ∴ x =660；（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500，现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，应在C 组抽取个数为3602000×500=90；（3）设测试不能通过事件为A,C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y,z )由（2）知500=y+z ，且y,z ∈N ,基本事件空间包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个 若测试不能通过，则77+90+z>200，即z>33事件A 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个 ∴ P(A)=211故不能通过测试的概率为211.【名师点睛】本题主要考查分层抽样以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先(A 1,B 1)，(A 1,B 2)…. (A 1,B n )，再(A 2,B 1)，(A 2,B 2)…..(A 2,B n )依次(A 3,B 1) (A 3,B 2)….(A 3,B n )… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.13．（2019·山东高考模拟（文））2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和中位数a（a的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5,7.5)，[7.5,8.5)的学生中抽取9名参加座谈会．（i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时理工类专业4060非理工类专业附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++（n a b c d=+++）.临界值表：20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）平均数9，中位数8.99；（2）（i ）按照1:2进行名额分配；理由见详解； （ii ）有. 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数的定义进行求解即可（2）完成列联表，计算2K 的观测值，结合独立性检验的性质进行判断即可. 【详解】（1）该组数据的平均数60.0370.180.290.35100.19x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110.09120.049+⨯+⨯=， 因为0.030.10.20.350.680.5+++=>，所以中位数[8.5,9.5)a ∈，由0.030.10.2(8.5)0.350.5a +++-⨯=，解得0.50.338.58.990.35a -=+≈；（2）（i ）每周阅读时间为[6.5,7.5)的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5,8.5)的学生中抽取6名．理由：每周阅读时间为[6.5,7.5)与每周阅读时间为[7.5,8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1:2进行名额分配．（ii ）由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200(0.030.10.2)66⨯++=人，超过8.5小时的共有20066134-=人．于是列联表为：阅读时间不足8.5小时 阅读时间超过8.5小时理工类专业 40 60非理工类专业 26 742K 的观测值2200(40742660)4.432 3.84166134100100k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关． 【名师点睛】本题主要考查独立性检验的应用，根据数据计算出K 2的观测值是解决本题的关键．考查学生的计算能力． 14．（2019·江西高考模拟（文））某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额y （万元）的数据如下： 加盟店个数x （个）1 2 3 4 5单店日平均营业额y （万元）10.9 10.2 9 7.8 7.1（1）求单店日平均营业额y （万元）与所在地区加盟店个数x （个）的线性回归方程；（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数m 的所有可能取值；（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率.（参考数据及公式：51125i ii x y==∑，52155i i x ==∑，线性回归方程ˆy bx a =+，其中1221ni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，a y bx =-.）【答案】(1) ˆ12yx =-+ (2) 5，6，7 (3) 15P = 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法求线性回归方程；（2）解不等式()1235m m -≥得一个地区开设加盟店个数m 的所有可能取值；（3）利用古典概型的概率求选取的地区相同的概率. 【详解】（1）由题可得，3x =，9y =，设所求线性回归方程为ˆybx a =+， 则5152215125135155455i i i i i x y xy b x x ==--===---∑∑，将3x =，9y =代入，得()9312a =--=，故所求线性回归方程为ˆ12yx =-+. （2）根据题意，()1235m m -≥，解得：57m ≤≤，又m Z +∈，所以m 的所有可能取值为5，6，7.（3）设其他5个地区分别为,,,,A B C D E ，他们选择结果共有25种，具体如下：AA ，AB ，AC ，AD ，AE ，BA ，BB ，BC ，BD ，BE ，CA ，CB ，CC ，CD ，CE ，DA ，DB ，DC ，DD ，DE ，EA ，EB ，EC ，ED ，EE ，其中他们在同一个地区的有5种，所以他们选取的地区相同的概率51255P ==. 【名师点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．（2018·天津南开中学高考模拟（文））某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将 他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率． 【答案】（1）0.03a =. （2）544人. （3）()715P M =. 【解析】试题分析：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=． ……2分 解得0.03a =． ……3分（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=． ……5分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人． ……6分 （3）成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B ． ……7分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ． ……8分 若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生， 则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ， (),E F 共15种． ……10分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种． ……11分所以所求概率为()715P M =． ……12分 考点：本小题主要考查频率分布直方图的应用和古典概型概率的求解，考查学生识图、用图的能力和运算求解能力.【名师点睛】：解决与频率分布直方图有关的题目时，要注意到频率分布直方图中纵轴表示的是频率/组距，不是频率，图中小矩形的面积才表示频率.16．（2019·江西高考模拟（文））某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销售量y （单位：吨）和年利润z （单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费i x 和年销售量i y （1,2,3,4,5,6i =）的数据作了初步统计，得到如下数据：年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年宣传费x （万元）38 48 58 68 78 88 年销售量y （吨）16.818.820.722.424.025.5经电脑模拟，发现年宣传费x （万元）与年销售量y （吨）之间近似满足关系式b y a x =⋅（,0a b >）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：()61ln ln i i i x y =⋅∑()61ln i i x =∑()61ln i i y =∑()621ln i i x =∑75.3 24.6 18.3 101.4（1）根据所给数据，求关于x 的回归方程； （2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为e214z x =-若想在2019年达到年利润最大，请预测2019年的宣传费用是多少万元？附：对于一组数据()1,l u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u a β=⋅+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为()1221()()ni i i nii u v n uv un u β==-=-∑∑，v u αβ=-⋅【答案】（1）y e x =2）当2018年的宣传费用为98万元时，年利润有最大值. 【解析】 【分析】（1）转化方程b y a x =⋅，结合线性回归方程参数计算公式，计算，即可.（2）将z 函数转化为二次函数，计算最值，即可. 【详解】（1）对b y a x =⋅，（0a >，0b >），两边取对数得ln ln ln y a b x =+，令ln i i u x =，ln i i v y =，得ln v a b u =+⋅，由题目中的数据，计算24.6 4.16u ==，18.33.056v ==， 且()()6611ln ln i iiii i u v x y ====∑∑ 75.3，()6622111n 101.4ii i i u x ====∑∑；则()6162216ˆ6i i i i i u v u v bu u==-⋅=-⋅∑∑ 275.36 4.1 3.05101.46 4.1-⨯⨯=-⨯ 0.2710.542==，1ln ln 3.05 4.112a v u =-=-⨯=，得出ˆae =， 所以y 关于x 的回归方程是ˆye x =； （2）由题意知这种产品的年利润z 的预测值为2214ˆe zx e x =-=1414e e x -=- (14214e x x -=- 227x e +，2x =98x =时，ˆz 取得最大值， 即当2019年的年宣传费用是98万元时，年利润有最大值. 【名师点睛】考查了线性回归方程求解，考查了二次函数计算最值问题，关键结合题意，得到回归方程，第二问关键转化为二次函数问题，难度中等.。

第十章 10.1 10.1.4A 级——基础过关练1．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )A ．0.40B ．0.30C ．0.60D ．0.90【答案】A 【解析】依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.故选A ．2．(2019年咸阳检测)某校高三(1)班50名学生参加1 500 m 体能测试，其中23人成绩为A ，其余人成绩都是B 或C ．从这50名学生中任抽1人，若抽得B 的概率是0.4，则抽得C 的概率是( )A ．0.14B ．0.20C ．0.40D ．0.60【答案】A 【解析】由于成绩为A 的有23人，故抽到C 的概率为1－2350－0.4＝0.14.故选A ．3．(2019年信阳月考)盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为328，从盒中取出2个球都是黄球的概率是514，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是( )A ．1328B ．57C ．1528D ．37【答案】A 【解析】设“从中取出2个球都是红球”为事件A ，“从中取出2个球都是黄球”为事件B ，“任意取出2个球恰好是同一颜色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝328＋514＝1328.故选A ．4．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A 表示“向上的点数是奇数”，事件B 表示“向上的点数不超过3”，则P (A ∪B )＝( )A ．12B ．23C ．56D ．1【答案】B 【解析】(方法一)A 包含向上点数是1,3,5的情况，B 包含向上的点数是1,2,3的情况，所以A ∪B 包含了向上点数是1,2,3,5的情况，故P (A ∪B )＝46＝23.(方法二)P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝12＋12－26＝1－13＝23.故选B ．5．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )A ．710B ．35C ．45D ．110【答案】B 【解析】(方法一)这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为1830＝35.(方法二)设事件A “摸出的数为偶数”，事件B “摸出的数能被5整除”，则P (A )＝12，P (B )＝630＝15，P (A ∩B )＝330＝110，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝12＋15－110＝35.故选B ． 6．已知P (A )＝0.4，P (B )＝0.2. (1)如果B ⊆A ，则P (A ∪B )＝________，P (AB )＝________；(2)如果A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝________，P (AB )＝________.【答案】(1)0.4 0.2 (2)0.6 0 【解析】(1)因为B ⊆A ，所以P (A ∪B )＝P (A )＝0.4，P (AB )＝P (B )＝0.2.(2)如果A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.2＝0.6，P (AB )＝0.7．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P (A )＝2P (B )，则P (A )＝________.【答案】25 【解析】因为事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，所以P (A )＋P (B )＝1－25＝35.又因为P (A )＝2P (B )，所以P (A )＋12P (A )＝35，所以P (A )＝25.8．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下表所示：已知至多． 【答案】0.68 【解析】由题意知至多3人排队等候的概率为0.72，则a ＋b ＋0.3＋0.1＝0.72，从而得到a ＋b ＝0.32，故至少2人排队等候的概率为1－a －b ＝0.68.9．(2020年保定月考)甲、乙两人进行围棋比赛，记事件A 为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件B 为“乙获得比赛的胜利或者平局”，已知P (A )＝0.7，P (B )＝0.4.(1)求甲获得比赛胜利的概率； (2)求甲、乙两人获得平局的概率．解：(1)甲获得比赛胜利的概率P 1＝1－P (B )＝1－0.4＝0.6. (2)甲、乙两人获得平局的概率为P 2＝P (A )－P 1＝0.7－0.6＝0.1.10．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率．解：将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．令D 表示“此人被评为优秀”的事件，E 表示“此人被评为良好”的事件，F 表示“此人被评为良好及以上”的事件．(1)P (D )＝110.(2)P (E )＝610＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.B 级——能力提升练11．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A ．17B ．1235C ．1735D ．1【答案】C 【解析】易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为17＋1235＝1735.故选C ．12．从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________．【答案】0.2 【解析】设“x ∈(－∞，－1]”为事件A ，“x 是负数”为事件B ，“x ∈(－1,0)”为事件C ，由题意知，A ，C 为互斥事件，B ＝A ∪C ，∴P (B )＝P (A )＋P (C )，∴P (C )＝P (B )－P (A )＝0.5－0.3＝0.2.13．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________． 【答案】1928【解析】由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为37＋14＝1928.14．已知A ，B ，C 两两互斥，且P (A )＝0.3，P (B )＝0.6，P (C )＝0.2，则P (A ∪B ∪C )＝________.【答案】0.9 【解析】因为P (B )＝0.6，所以P (B )＝1－P (B )＝0.4.又A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9.15．口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球、蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是________．【答案】0.81 【解析】因为摸出是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，所以摸出黄球的概率为0.64－0.45＝0.19，所以摸出是红球或蓝球的概率为1－0.19＝0.81.16．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为________．【答案】310 【解析】商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用概率加法公式可解．记“当天商品销售量为0件”为事件A ，“当天商品销售量为1件”为事件B ，“当天商店不进货”为事件C ，则P (C )＝P (A )＋P (B )＝120＋520＝310.17．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000 吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m 吨，厨余垃圾总量为n 吨，则m ＝400，n ＝400＋100＋100＝600.所以厨余垃圾投放正确的概率约为m n＝400600＝23. (2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A 表示“生活垃圾投放正确”，从而P (A )＝400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )＝1－P (A )＝1－0.7＝0.3.18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.C 级——探索创新练19．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：(ⅰ)单位：元)的平均数；(ⅱ)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．解：(1)若当天需求量n ≥17，则利润y ＝85； 若当天需求量n <17，则利润y ＝10n －85.故y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17(n ∈N )．(2)(ⅰ)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100×(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4(元)．(ⅱ)“当天的利润不少于75元”即“当天的需求量不少于16枝”，故当天的利润不少于75元的概率为0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.。