2020届陕西、湖北、山西部分学校高三3月联考数学(理)试题

2020届陕西省高三第三次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.全集U =R ,集合(){}ln 1A x y x ==-,{B y y ==,则()U A B =（ ）A. ()1,2B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A【解析】 首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合A 、B ,再利用集合的交、补运算即可求解.【详解】{{}2B y y y y ====≥, {}2U B y y =<,(){}{}ln 11A x y x x x ==-=>, ()()1,2U A B ⋂=． 故选：A ．2.已知复数51i z i +=-（i 为虚数单位）,则在复平面内z 所对应的点在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】根据复数的除法运算,求得复数23z i =+,再结合复数的几何意义,即可求解. 【详解】由题意,根据复数除法运算,可得复数5(5)(1)46231(1)(1)2i i i i z i i i i ++++====+--+, 则在复平面内z 所对应的点为()2,3,在第一象限.故选：A .3.已知向量()2,1a =-,()6,b x =,且//a b ,则a b -=（ ）A. 5B. 25C. 5D. 4【答案】B【解析】 利用向量平行的条件列方程,解方程求得x 的值,求得a b -的坐标后,求得a b -.【详解】由题得260x +=.3x ∴=-,()4,2a b ∴-=-,()224225a b ∴-=-+=.故选：B4.已知二项式()20121n n n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+,且16a =,则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 128B. 127C. 64D. 63【答案】C【解析】 结合二项式展开式的通项公式以及1a ,求得n 的值,利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】由题意,二项式()1n x +展开式的通项为1r n r r n T C x -+=,令1=-r n ,可得1n n n T C x -=,即16n n C -=.解得6n =.令1x =,则6012264n a a a a +++⋅⋅⋅+==.故选:C5.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕,在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文,收到的稿件经分类统计,得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份,则高三年级的交稿数为（ ）A. 2800B. 3000C. 3200D. 3400 【答案】D。

理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】D2.已知复数（是虚数单位），则的实部为（）A. B. C. D.【答案】B3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B4.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A5.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（）A. B. C. 1 D. 3【答案】B6.已知的面积为，三个内角的对边分别为，若，，则三角形是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定【答案】A7.阅读如图所示的程序框图，则输出的（）A. 30B. 29C. 90D. 54【答案】D8.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是（）A. 1B.C. 2D.【答案】A9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B10.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B11.已知双曲线，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D12.已知函数是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则方程在区间上的解的个数是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】由条件通过解方程可得时的根为，进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得的解得个数. 【详解】∵当时，，令，则，解得.∵，∴函数是周期为4的周期函数.又∵函数是定义域为的奇函数，∴在区间上，，，，，则方程在区间上的解有0，1，2，3，4，5，6，7，8共9个.故应选D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数的图像在处的切线方程是，则______．【答案】1014.已知实数满足，则的最大值是______．【答案】1415.将函数的图像向左平移个单位得到一个偶函数的图像，则____．【答案】16.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，则，解得，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴．∴，∴，∴．当且仅当时“＝”成立．∴三棱柱的体积．故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知正项等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】(1) 由题意得，解出基本量即可得到数列的通项公式；(2) 由（1）知，，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列的公比为q，由已知，由题意得，所以．解得，．因此数列的通项公式为．（2）由（1）知，，∴．18.某工厂某产品近几年的产量统计如下表：年份2013 2014 2015 2016 2017 2018年份代码 1 2 3 4 5 6年产量（万件） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4（1）根据表中数据，求关于的线性回归方程；（2）若近几年该产品每千克的价格（单位：元）与年产量满足的函数关系式为，且每年该产品都能售完.①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区年该产品的产量；②当为何值时，销售额最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）①7. 56②【解析】【分析】（1）求得样本中心点，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（2）①将t=7代入线性回归方程，即可预测该地区2019（t=7）年该农产品的产量；②由题，先表示出，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107可知，当y=7.5时，函数S取得最大值，只有y=7.56最靠近y=7.5，可得结果.【详解】（1）由题意，得，，=（–2.5）×（–0.4）+（–1.5）×（–0.3）+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，=（–2.5）2+（–1.5）2+（–0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．由，得，又，得，∴y关于t 的线性回归方程为．（2）①由（1）知，当t=7时，，所以预测2019年该农产品的产量为7.56万吨．②当年产量为y时，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107（元），当y=75时，函数S取得最大值，又因y∈{6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56}，计算得当y=7.56，即t=7时，即2019年销售额最大．19.如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是AC ，的中点．求证：平面；求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定和性质，得到平面，进而证得；（2）建立空间直角坐标系，求面DBE 和面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）∵，D是AC 的中点，∴，∵平面ABC，∴平面平面ABC，∴平面，∴．又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE∴∠A1DA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即．又，∴平面．又，则（2）取中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，设平面DBE的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，观察可知为锐角，故二面角的余弦值为．20.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右顶点作直线与椭圆交于另一个点，是左焦点，连接并延长交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件列方程，进而可得椭圆方程；（2）由，将直线与椭圆联立，结合韦达定理，可得，令，可得，又斜率不存在时，，从而得最大值.【详解】（1）设椭圆方程为，由题意知：，解之得，所以椭圆方程为.（2）由题知，当直线斜率存在时，设所在直线为，，，，①，，.代入①式得，令，则，，当斜率不存时，.故当面积最大时，垂直于轴，此时直线的斜率为，则直线的方程：.21.已知函数，，，为自然对数的底数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，方程有个解，求的值.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）0.【解析】【分析】（1）求函数导数，结合定义域即可得单调区间；（2）设，求函数的导数可得在区间内单调递增，，，结合条件，整理得，结合基本不等式及的范围可得解.【详解】（1）当时，，其定义域为，，解，得，解，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）设，由题意知有个零点，∵，，记，则，知在区间内单调递增.又∵，，∴在区间内存在唯一的零点，即，于是，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，当且仅当时，取等号.由，得，∴，即函数没有零点.即.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性及零点，涉及“隐零点”的解法，是解题的关键，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.【答案】（1）:;:;（2）.【解析】【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵，∴，∴曲线C的直角坐标方程为．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴．∴直线l的极坐标方程为．（2）将代入曲线C的极坐标方程得，∴A点的极坐标为．将代入直线l的极坐标方程得，解得．∴B点的极坐标为，∴．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2），使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）去绝对值得，对于恒成立，设，只需即可得解. 【详解】（1）可化为，∴或或，分别解得或或无解.所以不等式的解集为.（2）由题意：，.设，要想，成立，只需，∵，∴在上单调递增，∴，∴，∴的取值范围为.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.。

初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店 第 1 页 共 14 页 陕西省2020届高三年级第三次联考理科数学一、选择题1．全集U =R ，集合(){}ln 1A x y x ==-，{B y y ==，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．()1,2 B ．(]1,2 C ．[)1,2 D ．[]1,2 2．已知复数51i z i +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知向量()2,1a =-，()6,b x =，且//a b ，则a b -=（ ）A ．5B． CD ．4 4．已知二项式()20121n n n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，且16a =，则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．128B ．127C ．64D ．635．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（ ）A ．2800B ．3000C ．3200D ．34006．已知点()(),,0a b a b >在直线240x y +-=上，则12a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．4 C ．3D ．2 7．设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a ，b 与α所成的角相等，则//a bB ．若//a α，//b β，//αβ，则//a bC ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβD ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥。

绝密★启用前2020届全国第三次（3月）在线大联考（新课标Ⅲ卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设复数z 满足|i ||i |z z -=+，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为(,)Z x y ，则下列结论一定正确的是 A ．1x = B ．1y = C ．0x = D ．0y =答案:D 解：因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ． 2．已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-答案:C 解：因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}AB =.故选C ．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若953S a =，则一定成立的是 A ．46S S = B ．45S S =C ．57S S =D ．56S S =答案:B 解：因为95593S a a ==，所以50a =，则5454S S a S =+=.故选B ．4．国家统计局发布数据显示，2020年1月份全国CPI （居民消费价格指数）同比上涨5.4%，环比上涨1.4%.下图是2019年1月到2020年1月全国居民消费价格同比（与去年同期相比）和环比（与上月相比）涨跌幅，则下列判断错误的是A ．各月同比全部上涨，平均涨幅超过3%B ．各月环比有涨有跌，平均涨幅超过0.3%C ．同比涨幅最大的月份，也是环比涨幅最大的月份D ．环比跌幅最大的月份，也是同比涨幅最小的月份 答案:D 解：由统计图可知，各月同比全部上涨，平均涨幅为(1.7 1.5 2.3 2.5 2.7 2.7 2.8 2.8++++++++3.0 3.84.5 4.55.4)131% 3.09%++++÷⨯≈，超过3%，故A 正确；各月环比有涨有跌，平均涨幅为(0.5+1.00.40.10.00.10.40.70.90.90.40.0 1.4)131%0.446%-++-+++++++÷⨯≈，超过0.3%，故B 正确；同比涨幅最大的是2020年1月，环比涨幅最大的也是2020年1月，故C 正确；环比跌幅最大的是2019年3月，同比涨幅最小的是2019年2月，故D 错误，故选D ．5．已知实数,x y 满足约束条件2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩，则2x y +的取值范围是A ．(3,6]-B ．[3,6]-C ．3(,6]2-D ．3[,6]2-答案:B 解：作出不等式组2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设2z x y =+，则2y x z =-+，平移该直线，当直线2y x z =-+经过点A 时，z 取到最大值，由220220x y x y -+=⎧⎨--=⎩得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ，则max 426=+=z ；当直线2y x z =-+经过点C 时，z 取到最小值，易得(1,1)C --，则min 213=--=-z ，所以2x y +的取值范围是[3,6]-.故选B ．6．函数52sin ()([π,0)(0,π])33x xx xf x x -+=∈--的图象大致为A ．B ．C ．D ．答案:A 解： 因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以()f x 是偶函数，排除B,D ，因为ππ5π(π)033f -=>-，排除C ，故选A.7．已知向量(1,),(2,)t y =-=a b ，其中22121y t t =-++，则当y 最小时，cos ,=a b A 25B ．25C ．55-D 5答案:B 解： 2222221112(1)32(1)31111y t t t t t t =-+=++-≥+⋅-=-+++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时，取等号，y 取得最小值为1-，此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则225cos ,||||515⋅-===-⋅⨯a b a b a b .故选B ．8．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．5答案:B 解：初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ． 9．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，数列{}n a 满足，则数列{}n a的前60项的和为 A ．1830 B ．1830- C ．3660 D ．3660-答案:D 解：当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．10．将函数2()cos f x x x x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象.对于下列四种说法，正确的是 ①函数()g x 的图象关于点π(,0)3成中心对称②函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点③函数()g x 在区间ππ[,]24--，最小值为2-④函数()g x 在区间ππ(,)44-上单调递增 A ．①② B ．②③C ．②③④D ．①③④答案:B 解：21cos2π()cos 2)26x f x x x x x x +=-+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到π())6g x x +的图象.对于①，π4ππ())336g +=()g x 的图象不关于点12{x y =-=成中心对称，所以①错误；对于②，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得()g x 在(π,π)-上有8个极值点，所以②正确；对于③，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则()g x ≤()g x 的最大值为，最小值为-，所以③正确；对于④，当ππ44x -<<时，5ππ7π4666x -<+<，故函数()g x 在区间ππ(,)44-上不单调，所以④错误.故选B ． 11．如图平面多边形中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，外侧4个三角形均为正三角形.若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点1234,,,S S S S 重合为S 点，得到四棱锥S ABCD -，则此四棱锥的外接球的表面积为A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案:D 解：连接,AC BD ，设ACBD H =，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD .设O为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上，连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==，如图所示.因为正方形ABCD 2，所以1,2,1CH SC SH ===，所以,H O 重合，即四棱锥的外接球的半径为1R =，所以四棱锥的外接球的表面积为24π4πS R ==.故选D ． 12．已知过点(4,0)M 的直线与抛物线C ：24y x =交于点,A B ，设O 为坐标原点，则||||||OA OB AB +的最大值为A ．1B ．2C 2D ．22答案:C 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m+=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +.故选C ． 二、填空题13．5(21)x y +-的展开式中22x y 的系数为___________. 答案:120- 解：由题意，5(21)x y +-的展开式中含22x y 的项为2222122531C C (2)C (1)120x y x y ⨯⨯⨯-=-，所以所求系数为120-.14．若π1sin(),(0,π)63αα+=-∈，则πsin(2)3α+=___________.答案:9解：因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又因为π1sin()063α+=-<，所以π7π(π,)66α+∈，所以πcos()6α+==.则πππ1sin(2)2sin()cos()2()(3663ααα+=++=⨯-⨯=. 15．已知双曲线E ：2221(0)x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，M 在E 的右支上，若12ππ[,]43F MF ∠∈，则12MF MF ⋅的最大值为___________.答案:2 解：设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 2θ≤12cos θ≤≤1111cos θ-≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅的最大值为2. 16．若存在直线l 与函数1()(0)f x x x=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________． 答案:解：设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m<，2(,)B n n a +，因为21()f x x'=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n m n a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min ()(2h t h ==-，所以实数a的最小值为2-三、解答题17．已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，π6BDC ∠=，2AD =，4DC =.（1）若5cos 3ABD ∠=，求BD ，BC ； （2）若C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠.答案:（1）3BD =，25123BC =-（2）15sin CBD +∠= 解：（1）在Rt ABD △中，由5cos ABD ∠=22sin 1cos 3ABD ABD ∠-∠，所以3sin ADBD ABD==∠.在BCD中，由余弦定理得2222232cos 3423425123BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯=-， 所以25123BC =-（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-，在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，在BCD 中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD=∠，即45πsin sin()6BD x x =-，所以24π5πsin sin()sin()66x x x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.由sin 0x >得15sin x +=，所以15sin CBD +∠=. 18．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，23CN =（1）证明：平面DMN ⊥平面BCN ； （2）求二面角C MN D --的余弦值. 答案:（1）证明见解析；（2）22解：（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ，因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,23BC CN ==，得2222BN CN BC =-=，由2NA AB ==，可得AB AN ⊥，在直角梯形ABMN 中,可得22MN =，由4BM =，22BN MN ==，可得222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BCBN B =，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系B-xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-,(2,2,2)CN =-,(0,2,2)DN =-,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩，取11x =，得(1,1,2)=n .设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则00MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩， 取21z =，得(1,1,1)=m ， 设二面角C MN D--的平面角为θ，则cos ||||θ⋅===n m n m由图可知二面角C MN D --的余弦值为3. 19．为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取100名学生，统计了他们的竞赛成绩，已知这100名学生的竞赛成绩均在[50,100]内，并得到频数分布表（如下）.（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？（2）根据（1）的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取3人，记被抽取的3人中“不合格”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望()E X .附参考公式及临界值表：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.答案:见解析 解：（1）补充完整的22⨯列联表如下：则2K的观测值2()100(24122836)8.654 6.635()()()()60404852n ad bc ka b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯． 因此有99%的把握认为“法律知识的竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关． （2）根据（1）的数据分析，可得随机抽取一人成绩“不合格”的概率为4021005=.根据题意得2(3,)5~X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3， 00332327(0)C ()()55125P X ==⨯⨯=，11232354(1)C ()()55125P X ==⨯⨯=，22132336(2)C ()()55125P X ==⨯⨯=，3303238(3)C ()()55125P X ==⨯⨯=.所以X 的分布列为所以X 的数学期望2()3 1.25E X =⨯=. 20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆C 的左、右焦点12,F F 分别作倾斜角为π3的直线12,l l ，12,l l . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，求点12,F F 到直线l 的距离之积.答案:（1）22143x y +=；（2）3. 解：（1）设c =12,l l π2sin 3c =1c =，由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b == 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y+=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=，所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++， 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3. 21．已知函数()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-. （1）设()()g x f x '=，求证：1()g x x<； （2）讨论()f x 的单调性.答案:（1）证明见解析；（2）()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数 解：（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数,所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号. 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<. （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0<g x ，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0<g x ，所以当(1,)x ∈+∞时()0<g x ，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线(0)4πθρ=>与l 和C 分别交于点,A B ，求||AB ．答案:(1)直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠;曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=;（2）||AB =解： （1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=． （2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠， 将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=所以|||||A B AB ρρ=-== 23．已知函数()|21||1|f x x ax =+--，a R ∈． （1）当2a =时，求不等式1()1f x -≤≤的解集；（2）当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，求实数a 的取值范围．答案:(1)11[,]44-；（2）[4,0)-解：（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，当21x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可转化为1124211x x -≤-≤≤⎧≤⎪⎨⎪⎩，解得1144x -≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44-． （2）因为1(,0)2x ∈-，所以|21|21x x +=+，所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<． 当0a ≥时，因为1(,0)2x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意． 当0a <时，解|1|1ax -<可得20x a<<， 因为当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12(,0)(,0)2a -⊆，所以212a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-．。

陕西、湖北、山西部分学校2020届高三下学期文数3月联考试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）设集合A={x∈N|5−x⩾0},B={x|x2−3x+2=0}，则∁A B=（）A．{0,3,4}B．{0,3,4,5}C．{3,4}D．{3,4,5}2．（2分）复数3−2i1+i=（）A．12+52iB．12−52iC．−12+52i D．−12−52i3．（2分）若直线2x+4y+m=0经过抛物线y=2x2的焦点，则m=（）A．12B．−12C．2D．−24．（2分）如图所示的是某篮球运动员最近5场比赛所得分数的茎叶图，则该组数据的方差是（）A．20B．10C．2D．45．（2分）已知函数f(x)={2x−x,x⩾0,x2+1,x<0,，则f(f(−1))=（）A．2B．3C．4D．56．（2分）要得到函数y=2sin(2x+π6)的图象，只需将函数y=2cos2x的图象（）A．向左平移π3个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向右平移π6个单位长度7．（2分）已知数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列，且a1,a3,a6成等比数列，则a1d=（）A．4B．3C．2D．18．（2分）已知a=(13)25,b=(25)−13,c=log213，则（）A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a9．（2分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）A．96里B．72里C．48里D．24里10．（2分）已知整数x,y满足x2+y2≤10，记点M的坐标为(x,y)，则点M满足x+y≥√5的概率为（）A．935B．635C．537D．73711．（2分）在高为√3的正三棱柱ABC−A1B1C1中，ΔABC的边长为2，D为棱B1C1的中点，若一只蚂蚁从点A沿表面爬向点D，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A．3B．2√3C．3√2D．212．（2分）过双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)右焦点F2的直线交两渐近线于P,Q两点，∠OPQ=90°，O为坐标原点，且ΔOPQ内切圆的半径为a3，则该双曲线的离心率为（）A．√2B．√52C．√10D．√102二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）已知向量a⃗=(1,2),b⃗=(−1,2)，则|3a−b⃗|=．14．（1分）已知实数x,y满约束条件{x−y+2⩾0,2x+y−5⩽0,y⩾1,，则z=−x+3y的最大值为. 15．（1分）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=3,AA1=AB=4，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值为．16．（1分）已知函数f(x)=e x+ax−1，若x⩾0,f(x)⩾0恒成立，则a的取值范围是.三、解答题 (共7题；共70分)17．（10分）在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且2a=√5csinB+2bcosC.（1）（5分）求tanB；（2）（5分）若a=√5,c=3，求b.18．（10分）如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为矩形，PA⊥平面ABCD,AB=3,AD=AP= 4,E为PD的中点．（1）（5分）证明：AE⊥PC．（2）（5分）若M为线段BC上的一点，且BM=1，求点M到平面PCD的距离．19．（10分）为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了100名高中生，根据问卷调查，得到以下数据：附：K2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．（1）（5分）根据列联表，能否有99.5%的把握认为课外阅读量的大小与作文成绩优秀有关；（2）（5分）若用分层抽样的方式从课外阅读量一般的高中生中选取了6名高中生，再从这6名高中生中随机选取2名进行面谈，求面谈的高中生中至少有1名作文成绩优秀的概率．20．（10分）椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>1)的左、右焦点分别为F1,F2，椭圆E上两动点P,Q使得四边形PF1QF2为平行四边形，且平行四边形PF1QF2的周长和最大面积分别为8和2√3.（1）（5分）求椭圆E的标准方程；（2）（5分）设直线PF2与椭圆E的另一交点为M，当点F1在以线段PM为直径的圆上时，求直线PF2的方程.21．（10分）已知函数f(x)=xlnx+x．（1）（5分）求曲线y=f(x)在x=e处的切线方程；（2）（5分）若不等式f(x)>mx−m对任意x∈(0,1)恒成立，求正整数m的最小值．22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的标准方程为x24+y2=1.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为√2ρsin(θ+π4)=3√5.（1）（5分）求直线l的直角坐标方程；（2）（5分）若点P在曲线C上，点Q在直线l上，求|PQ|的最小值. 23．（10分）已知函数f(x)=|x+1|−|4−2x|.（1）（5分）求不等式f(x)⩾13(x−1)的解集；（2）（5分）若函数f(x)的最大值为m，且2a+b=m(a>0，b>0)，求2a+1b的最小值.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由题得，A={0,1,2,3,4,5},B={1,2}，则∁A B={0,3,4,5}.故选：B.【分析】分别用列举法表示A、B两个集合，再计算∁A B即可. 2．【答案】B【解析】【解答】3−2i1+i=(3−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−3i−2i+2i21−i2=1−5i2=12−52i，故答案为B.【分析】利用复数的乘除法运算法则化简，即可求出复数的代数表达式。

2020年陕西省、湖北省、山西省部分学校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题）1. 设集合A ={x|1−x ≥0}，B ={x|x 2−x −2<0}，则A ∩B =( )A. [1,2)B. (−1,1]C. (−1,1)D. (−2,1]2. 已知a ，b ∈R ，3+ai =b −(2a −1)i ，则( )A. b =3aB. b =6aC. b =9aD. b =12a 3. 若直线2x +4y +m =0经过抛物线y =2x 2的焦点，则m =( )A. 12B. −12C. 2D. −24. 已知函数f(x)={2x −x,x ≥0x 2+1,x <0，则f(f(−1))=( )A. 2B. 3C. 4D. 55. 要得到函数y =2sin(2x +π6)的图象，只需将函数y =2cos2x 的图象( )A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度D. 向右平移π6个单位长度6. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AD =3，AA 1=AB =4，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值为( )A. √25B. 25C. 2√25D. 457. 已知数列{a n }是公差为d(d ≠0)的等差数列，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则a1d =( )A. 4B. 3C. 2D. 18. 如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是( )A. 甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B. 甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C. 甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D. 甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1039. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了( ) A. 96里 B. 72里 C. 48里 D. 24里10. 已知整数x ，y 满足x 2+y 2≤10，记点M 的坐标为(x,y)，则点M 满足x +y ≥√5的概率为( )A. 935B. 635C. 537D. 73711.已知函数f(x)=ln(√x2+1−x)+3−x−3x，不等式f(a√x2+4)+f(x2+5)≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围为()A. [−2,+∞)B. (−∞,−2]C. [−52,+∞) D. (−∞,−52]12.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点为F1，F2，一条渐近线方程为l：y=−ba x，过点F1且与l垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于P，Q，满足OP⃗⃗⃗⃗⃗ =1 2OF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率为()A. √10B. 3C. √5D. 2二、填空题（本大题共4小题）13.已知向量a⃗=(1,2),b⃗ =(−3,2),若向量k a⃗+b⃗ 与2a⃗−b⃗ 共线，则k=______．14.已知实数x，y满约束条件{x−y+2≥02x+y−5≤0y≥1，则z=−x+3y的最大值为______．15.已知函数f(x)=e x+ax−1，若x≥0，f(x)≥0恒成立，则a的取值范围是______．16.已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=BC=5,PB=AC=√15,PC=AB=2√5，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2a=√5csinB+2bcosC．(1)求tan B；(2)若a=√5,c=3，求b．18.如图，已知四棱锥P−ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=3，AP=4，E为PD的中点，AE⊥PC．(1)求线段AD的长．(2)若M为线段BC上一点，且BM=1，求二面角M−PD−A的余弦值．19.某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．方案一：每满100元减20元；方案二：满100元可抽奖一次．具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球(逐个有放回地抽取)，所得结果和享受的优惠如表：(注：所有小球仅颜色有区别)100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率；(2)若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？20.椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>1)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E上两动点P，Q使得四边形PF1QF2为平行四边形，且平行四边形PF1QF2的周长和最大面积分别为8和2√3．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线PF2与椭圆E的另一交点为M，当点F1在以线段PM为直径的圆上时，求直线PF2的方程．21.已知函数f(x)=ae x−x2．(1)若曲线f(x)存在与y轴垂直的切线，求a的取值范围．(2)当a≥1时，证明：f(x)≥1+x−32x2．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的标准方程为x24+y2=1.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为√2ρsin(θ+π4)=3√5．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)若点P在曲线C上，点Q在直线l上，求|PQ|的最小值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x−1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2a +1b的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意A ={x|1−x ≥0}={x|x ≤1}，B ={x|−1<x <2}，则A ∩B =(−1,1]． 故选：B ．先化简集合，根据集合的包含关系求交集．本题考查集合的交集，以及不等式的化简，属于基础题． 2.【答案】C【解析】解：由3+ai =b −(2a −1)i ，得{3=ba =1−2a，即a =13，b =3． ∴b =9a ． 故选：C ．直接利用复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案． 本题考查复数相等的条件，是基础题． 3.【答案】B【解析】解：y =2x 2可化为x 2=12y ，焦点坐标为(0,18)， 由题意可得：2×0+4×18+m =0，故m =−12．故选：B ．由抛物线的方程可得焦点坐标，代入直线方程可得m 的值． 本题考查抛物线的性质及点在直线上的性质，属于基础题． 4.【答案】A【解析】A 解：因为f(x)={2x −x,x ≥0x 2+1,x <0，∴f(−1)=(−1)2+1=2；所以：f(f(−1))=f(2)=22−2=2． 故选：A ．根据分段函数的解析式，先求出f(−1)的值，再求f(f(−1))的值．本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题． 5.【答案】D【解析】解：因为y =2sin(2x +π6)=2cos(2x −π3)=2cos[2(x −π6)]， 所以只需将y =2cos2x 的图象向右平移π6个单位即可，故选：D ．由题意利用诱导公式、函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查诱导公式、函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 6.【答案】C【解析】解：由题意可得AC =AD 1=5,A 1B =CD 1=4√2．因为A 1B//CD 1，所以∠ACD 1是异面直线A 1B 与AC 所成的角，记为θ， 故cosθ=AC 2+CD 12−AD 122AC⋅CD 1=2×5×4√2=2√25． 故选：C ．根据长方体相对的平面上的两条对角线平行，得到两条异面直线所成的角，这个角在一个可以求出三边的三角形中，利用余弦定理得到结果．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题． 7.【答案】A【解析】解：由数列{a n }是公差为d(d ≠0)的等差数列，且a 1，a 3，a 6成等比数列得a 32=a 1⋅a 6， 即(a 1+2d)2=a 1(a 1+5d).化为4d 2=a 1d ，又d ≠0，解得a1d =4．故选：A ．运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，化简方程可得所求值．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题． 8.【答案】D【解析】解：由茎叶图得：甲班的平均分是x 1−=15(97+101+103+107+112)=104， 中位数是：103，方差是：S 12=15[(97−103)2+(101−103)2+(103−103)2+(107−103)2+2(112−103)2]=6.4；乙班的平均分是x 2−=15(95+98+101+103+113)=102， 中位数是101，方差是：S 22=15[(95−102)2+(98−102)2+(101−102)2+(103−102)2+(113−102)2]37.6，故A ，B ，C 均正确．因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D 错误． 故选：D ．分别求出甲、乙两班的平均分、中位数、方差，得到A ，B ，C 均正确．再由甲、乙两班的人数不知道，从而得到两班的总平均分无法计算．本题考查平均分、中位数、方差的求法，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9.【答案】B【解析】解：由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得a 1[1−(12)6]1−12=378，解得a 1=192，∴此人第二天走192×12=96里， 此人第四天走192×(12)3=24里， ∴第二天比第四天多走了96−24=72里， 故选：B ．由题意得：每天行走的路程成等比数列{a n }、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出a 1，由等比数列的通项公式求出答案即可．本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题． 10.【答案】D【解析】解：∵整数x ，y 满足x 2+y 2≤10， ∴满足条件的(x,y)有：(0,0)，(1,0)，(−1,0)，(2,0)，(−2,0)，(3,0)，(−3,0)，(0,1)，(0,−1)，(0,2)，(0,−2)，(0,3)，(0,−3)，(1,1)，(1,−1)，(1,2)，(1,−2)，(1,3)，(1,−3)， (−1,−1)，(−1,1)，(−1,2)，(−1,−2)，(−1,3)，(−1,−3)，(2,−1)，(2,1)，(2,−2)，(2,2)，(3,1)，(3,−1)，(−2,1)，(−2,−1)，(−2,2)，(−2,−2)，(−3,1)，(−3,−1)，共37个， 记点M 的坐标为(x,y)，则点M 满足x +y ≥√5的(x,y)有：(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，共7个， ∴点M 满足x +y ≥√5的概率为P =737．故选：D ．整数x ，y 满足x 2+y 2≤10，列出举满足条件的(x,y)有37个，记点M 的坐标为(x,y)，列举出点M 满足x +y ≥√5的(x,y)有7个，由此能求出点M 满足x +y ≥√5的概率． 本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11.【答案】C【解析】解：函数f(x)=ln(√x 2+1−x)+3−x −3x ，可得f(−x)=ln(√x 2+1+x)+3x −3−x =−f(x),f(x)=ln(√x 2+1−x)+3−x −3x 是奇函数，由y)=−ln(√x 2+1+x)在[0,+∞)上递减，y =3−x −3x 在[0,+∞)上递减， 可得y =f(x)在[0,+∞)上递减 则y =f(x)在R 上单调递减，不等式f(a√x 2+4)+f(x 2+5)≤0，即f(a√x 2+4)≤−f(x 2+5)，即f(a√x 2+4)≤f(−x 2−5)， 结合函数的单调性可得a√x 2+4≥−x 2−5,a ≥−x 2−5√x 2+4=−(√x 2+4+1√x 2+4),−(√x 2+4+1√x 2+4)max =−52，所以a ≥−52．故选：C ．由奇偶性的定义，计算f(−x)，并与f(x)比较；结合单调性的性质可得f(x)在R 上递减，原不等式等价为f(a√x 2+4)≤f(−x 2−5)恒成立，运用单调性和参数分离，结合对勾函数的单调性可得最大值，进而得到a 的范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和参数分离，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题． 12.【答案】A【解析】A 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，直线PQ 的方程为x =ba y −c ． 联立{x =ba y −cb 2x 2−a 2y 2=a 2b 2整理得(b 4−a 4)y 2−2ab 3cy +a 2b 4=0，则y 1+y 2=2ab 3(b 2−a 2)c ,y 1y 2=a 2b 4(b 2−a 2)c 2．因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 为线段QF 1的中点，所以y 2=2y 1，(y 1+y 2)2y 1⋅y 2=92=4a 2b 6(b 2−a 2)c 2(b 2−a 2)2c 2a 2b 4=4b 2(b 2−a 2)，整理得b 2=9a 2，又e 2=1+b 2a 2 故该双曲线的离心率e =√10．故选：A ．设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，直线PQ 的方程为x =ba y −c.联立整理得利用韦达定理可得y 1+y 2=2ab 3(b 2−a 2)c,y 1y 2=a 2b 4(b 2−a 2)c 2.结合OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 2=2y 1，整理得b 2=9a 2，即可求解．本题考查了双曲线的性质、离心率，考查了转化思想、运算能力，属于中档题． 13.【答案】−2【解析】解：由已知可得k a ⃗ +b ⃗ =k(1,2)+(−3,2)=(k −3,2k +2)， 2a ⃗ −b ⃗ =2(1,2)−(−3,2)=(5,2)， 因为向量k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 共线，所以2(k −3)−5(2k +2)=0， 解得k =−2 故答案为：−2 由题意易得向量k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 的坐标，由向量共线的条件可得关于k 的方程，解之即可．本题考查向量共线的坐标表示，属基础题．14.【答案】8【解析】解：根据约束条件{x−y+2≥02x+y−5≤0y≥1，画出可行域，图中阴影部分为可行域．又目标函数z=−x+3y,z3表示直线x−3y+z=0在y轴上的截距，由图可知当x−3y+z=0经过点P(1,3)时截距最大，故z的最大值为8．故答案为：8．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15.【答案】[−1,+∞)【解析】解：因为f(x)=e x+ax−1，所以f′(x)=e x+a，因为x≥0，所以f′(x)≥a+1，①当a+1≥0，即a≥−1时，f′(x)≥0，则f(x)在[0,+∞)上单调递增，从而f(x)≥f(0)=0，故a≥−1符合题意；②当a+1<0，即a<−1时，因为f′(x)=e x+a在[0,+∞)上单调递增，且f′(0)=a+ 1<0，所以存在唯一的x0∈(0,+∞)，使得f′(x0)=0，当0≤x<x0时，f′(x)<0，则f(x)在[0,x0)上单调递减，从而f(x)≤f(0)=0，故a<−1不符合题意，综上，a的取值范围是[−1,+∞)，故答案为：[−1,+∞)．先求出导函数f′(x)，由题意可得f′(x)≥a+1，再对a+1的范围分情况讨论，a≥−1时f(x)在[0,+∞)上单调递增，从而f(x)≥f(0)=0符合题意，a<−1时存在x0∈(0,+∞)，使得f′(x0)=0，f(x)在[0,x0)上单调递减，从而f(x)≤f(0)=0，故a<−1不符合题意，从而得到a的取值范围．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．16.【答案】30π【解析】解：如图所示，将三棱锥P−ABC补成长方体．球O为长方体的外接球，长、宽、高分别为a，b，c，则a2+b2=25，b2+c2=20，a2+c2=15，所以a2+b2+c2=30，所以球O的半径R=√302，则球O的表面积为S=4πR2=4π(√302)2=30π．故答案为：30π．由题意可得此三棱锥的对棱相等，放在长方体中，可得长方体的长宽高的平方和，再由外接球的直径等于长方体的对角线求出半径，进而求出球的表面积．本题主要考查三棱锥与长方体的关系及球的表面积公式，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2a =√5csinB +2bcosC ．∴2sinA =√5sinCsinB +2sinBcosC ； ①∵sinA =sin[π−(B +C)]=sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC ； ② ①②联立得：2cosBsinC =√5sinCsinB ； 因为sinC ≠0⇒2cosB =√5sinB ； ∴tanB =2√5；(2)由(1)得2cosB =√5sinB ；且sin 2B +cos 2B =1，cosB >0； ∴cosB =√53； ∴b 2=a 2+c 2−2accosB =(√5)2+32−2×3×√5×√53=4⇒b =2．【解析】(1)直接利用三角形的内角和以及两角和的正弦展开式即可求解结论；(2)先利用(1)的结论以及同角三角函数关系式求出cos B ，再利用余弦定理即可求解． 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．18.【答案】解：(1)分别以AB ，AP ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ． 设AD =t ，则A(0,0,0),E(0,2,t2),C(3,0,t),P(0,4,0)，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,t2),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4,t)． 因为AE ⊥PC ，所以AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即16−t 2=0，解得t =4， 所以AD 的长为4． (2)因为BM =1，所以M(3,0，1)，又P(0,4，0)，D(0,0，4)，故DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−4),DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,−3)． 设n ⃗ =(x,y,z)为平面DMP 的法向量，则{n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y −4z =0n ⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3x −3y =0，取z =1，解得y =1，x =1，所以n⃗ =(1,1,1)为平面DMP 的一个法向量， 显然，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0)为平面PDA 的一个法向量，则cos〈n ⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=n ⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=33√1+1+1=√33， 据图可知，二面角M −PD −A 的余弦值为√33．【解析】(1)建立空间直角坐标系，设AD =t ，求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解出t 即可；(2)求出平面MPD 及平面PAD 的法向量，利用向量的夹角公式计算得出．本题考查利用空间向量研究立体几何中的距离，空间角问题，考查数形结合思想及计算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出1个红球的概率24=12，白球的概率为24=12，根据二项分布，抽取3个球该顾客获得7折优惠的概率P 1=C 33(12)3=18， 该顾客获得8折优惠的概率P 2=C 32⋅(12)2⋅12=38， 故该顾客获得7折或8折优惠的概率P =P 1+P 2=18+38=12；(2)若选择方案一，则付款金额为180−20=160，若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为126，144，162，180， P(X =126)=18，P(X =144)=C 32(12)3=38， P(X =162)=C 31(12)1(12)2=38，P(X =180)=C 30(12)3=18，则E(X)=126⋅18+144⋅38+162⋅38+180⋅18=153， 因为160>153，所以选择方案二更为划算．【解析】(1)从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出1个红球的概率24=12，白球的概率为24=12，根据二项分布，求出顾客获得7折或8折优惠的概率即可；(2)若选择方案一，则付款金额为180−20=160，若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为126，144，162，180，求出概率和数学期望，判断即可．本题考查了离散型随机变量的应用，还考查了二项分布的应用，求数学期望，考查了运算能力和实际应用能力，中档题．20.【答案】解：(1)由平行四边形PF 1QF 2的周长为8，可知4a =8，即a =2．由平行四边形的最大面积为2√3，可知bc =√3， 又a >b >1，解得b =√3,c =1． 所以椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)注意到直线PF 2的斜率不为0，且过定点F 2(1,0)． 设l PF 2：x =my +1,P(x 1,y 1),M(x 2,y 2)，由{x =my +1x 24+y 23=1消x 得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，所以y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，因为F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1+2,y 1),F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 2+2,y 2)，所以F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1+2)(my 2+2)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4=−9(m 2+1)3m 2+4−12m 23m 2+4+4=7−9m 23m 2+4．因为点F 1在以线段PM 为直径的圆上，所以F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即m =±√73，所以直线PF 2的方程3x +√7y −3=0或3x −√7y −3=0．【解析】(1)由平行四边形PF 1QF 2的周长为8，求出a =2.由平行四边形的最大面积为2√3，可知bc =√3，然后求解椭圆的方程即可．(2)注意到直线PF 2的斜率不为0，且过定点F 2(1,0)，设l PF 2：x =my +1,P(x 1,y 1),M(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及向量的数量积推出F 1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即m =±√73，即可得到直线方程．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】(1)解：由题可得，f′(x)=ae x −2x =0在x ∈R 上有解， 则a =2xe x ，令g(x)=2xe x ，g′(x)=2−2x e x，当x <1时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x >1时，g′(x)<0，g(x)单调递减． 所以x =1是g(x)的最大值点，所以a ≤2e ．(2)证明：由a ≥1，则ae x ≥e x ，所以f(x)≥e x −x 2，要证明f(x)≥1+x −32x 2，只需证e x −x 2≥1+x −32x 2，即证e x +12x 2−x −1≥0． 记ℎ(x)=e x +12x 2−x −1,ℎ′(x)=e x +x −1,ℎ′(x)在R 上单调递增，且ℎ′(0)=0， 当x <0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减； 当x >0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增．所以x =0是ℎ(x)的最小值点，ℎ(x)≥ℎ(0)=0，则e x +12x 2−x −1≥0， 故f(x)≥1+x −32x 2．【解析】(1)求出f(x)的定义导函数，利用切线的斜率为0，求出a ，然后求解a 的取值范围；(2)根据a ≥1，则不等式等价于证明e x −x 2≥1+x −32x 2，构造函数ℎ(x)=e x +12x 2−x −1，利用导数求出其最小值为ℎ(0)，进而可证得结论本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，切线方程的应用，考查计算能力．22.【答案】解：(1)直线l 的极坐标方程为√2ρsin(θ+π4)=3√5.整理得：√2×√22ρsinθ+√2×√22ρcosθ=3√5，转换为直角坐标方程为x +y −3√5=0． (1)曲线C 的标准方程为x 24+y 2=1.转换为参数方程为：{x =2cosθy =sinθ(θ为参数)，设点P(2cosθ,sinθ)， 所以|PQ|=√5|√2=√5sin(θ+α)−3√5|√2，当θ+α=π2时，|PQ|min=√5√2=√10．【解析】(1)直接利用转换关系的应用求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2，因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，解得1≤x≤2或2<x≤4．故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]．(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3．因为2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13×(2×2+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，故2a +1b的最小值是3．【解析】(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论去掉绝对值，解不等式组后取并集即可得到解集；(2)由(1)知，2a+b=3，再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值．本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．。