(寒假总动员)2019年高三数学寒假作业 专题14 椭圆、双曲线、抛物线(学)

高三数学知识点椭圆双曲线高三数学知识点：椭圆与双曲线椭圆与双曲线是高中数学中重要的几何概念之一，它们在代数几何中有着广泛的应用。

本文将重点介绍椭圆和双曲线的基本定义和性质，并讨论它们的图像、方程和几何意义。

一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个给定点称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距。

椭圆还有一个重要的性质，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

椭圆的标准方程为：(x-a)²/b² + (y-c)²/d² = 1，其中(a, c)为椭圆的中心坐标，b和d分别为短轴和长轴长度。

根据椭圆的方程，我们可以确定椭圆的图像和位置。

椭圆还有其他一些重要的性质，如离心率和焦半径等。

离心率是一个表示椭圆形状的重要指标，它的值介于0和1之间。

当离心率接近0时，椭圆形状趋近于圆形；当离心率接近1时，椭圆形状趋近于长条形。

二、双曲线的定义和性质双曲线是平面上满足一点到两个给定点的距离之差等于常数的点的集合。

这两个给定点称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离称为双曲线的焦距。

双曲线还有一个重要的性质，即双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于双曲线的常数项。

双曲线的标准方程有两种形式：(x-a)²/b² - (y-c)²/d² = 1 和 (y-c)²/d² - (x-a)²/b² = 1，其中(a, c)是双曲线的中心坐标，b和d分别为短轴和长轴长度。

根据双曲线的方程，我们可以确定双曲线的图像和位置。

双曲线也有离心率和焦半径等重要性质。

与椭圆不同的是，双曲线的离心率大于1，表明双曲线的形状更加扁平。

双曲线还有两条渐近线，它们与双曲线的曲线趋势完全相同。

三、椭圆和双曲线的几何意义椭圆和双曲线有着重要的几何意义和应用。

在椭圆和双曲线的研究中，我们可以探索许多有趣的性质和结论。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A .y ＝±2x B .y ＝±3x C .y ＝±22xD .y ＝±32x解析 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x . 答案 A2.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A .5B .6C .7D .8解析 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8. 答案 D3.(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23B.12C.13D.14解析 由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，过P 作PE 垂直x 轴，则∠PF 2E ＝60°，所以F 2E ＝c ，PE ＝3c ，即点P (2c ，3c ).∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14. 答案 D4.(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0).(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . (1)解 由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1.把x ＝1代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22.又M (2，0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明 当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线， 所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补. 所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .考 点 整 合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0). 3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝c a ＝1－b2a 2.②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝c a ＝1＋b 2a 2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ab x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c ).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p 2.②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程y ＝－p 2. 4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2. (2)过抛物线焦点的弦长抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .热点一 圆锥曲线的定义及标准方程【例1】 (1)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1(2)(2018·烟台二模)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.解析 (1)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.(2)由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1. 设点M (x 0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.由FM→＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3. 答案 (1)C (2)3探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快. 2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1(2)(2018·衡水中学调研)P 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，记动点Q 的轨迹为Ω，设点B 为椭圆C 短轴上一顶点，直线BF 2与Ω交于M ，N 两点，则|MN |＝________. 解析 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1. (2)∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22，且|PQ |＝|PF 2|，∴|F 1Q |＝|F 1P |＋|PF 2|＝2 2.∴Ω为以F 1(－1，0)为圆心，22为半径的圆. ∵|BF 1|＝|BF 2|＝2，|F 1F 2|＝2，∴BF 1⊥BF 2，故|MN |＝2|F 1M |2－|BF 1|2＝2（22）2－（2）2＝2 6. 答案 (1)B (2)2 6热点二 圆锥曲线的几何性质【例2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2B .2C.322 D .2 2 (2)(2018·北京卷改编)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________.解析 (1)法一 由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.(2)设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2， 由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，则4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4＋23(舍)，e 2＝4－2 3.由0<e <1，得e ＝3－1.答案 (1)D (2)3－1探究提高 1.分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式.建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或ab 的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练2】 (1)(2018·成都质检)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E (0，t )(0<t <b ).已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率为( ) A.32B.22C.12D.33(2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.解析 (1)由椭圆的定义及对称性，△PEF 2的周长的最小值为2a .∴2a ＝4b ，a ＝2b ，则c ＝a 2－b 2＝3b ，则椭圆C 的离心率e ＝c a ＝32. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程：⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b 2a 2p ， 又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p 2，即y 1＋y 2＝p ，∴2b 2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12b a ＝22.∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x . 答案 (1)A (2)y ＝±22x 热点三 直线与圆锥曲线考法1 直线与圆锥曲线的位置关系【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝pt x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ). 代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点.探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N ，H 的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH 的方程与曲线C 联立，根据方程组的解的个数进行判断.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练3】 (2018·潍坊三模)已知M 为圆O ：x 2＋y 2＝1上一动点，过点M 作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，连接BA 延长至点P ，使得|P A |＝2，记点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O 相切，且与曲线C 交于D ，E 两点，直线l 1平行于l 且与曲线C 相切于点Q (O ，Q 位于l 两侧)，S △ODE S △QDE ＝23，求k 的值. 解 (1)设P (x ，y )，A (x 0，0)，B (0，y 0)，则M (x 0，y 0)且x 20＋y 20＝1，由题意知OAMB 为矩形，∴|AB |＝|OM |＝1， ∴AP →＝2BA →，即(x －x 0，y )＝2(x 0，－y 0)， ∴x 0＝x 3，y 0＝－y 2，则x 29＋y 24＝1，故曲线C 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设l 1：y ＝kx ＋n ，∵l 与圆O 相切， ∴圆心O 到l 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝1，得m 2＝k 2＋1，① ∵l 1与l 距离d 2＝|m －n |k 2＋1，② ∵S △ODE S △QDE ＝12|DE |·d 112|DE |·d 2＝d 1d 2＝|m ||m －n |＝23， ∴m ＝－2n 或m ＝25n ，又O ，Q 位于l 两侧，∴m ＝25n ，③ 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ＋n ，消去y 整理得(9k 2＋4)x 2＋18knx ＋9n 2－36＝0， 由Δ＝0，得n 2＝9k 2＋4，④由①③④得k ＝±31111.考法2 有关弦的中点、弦长问题【例3－2】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0). (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差. (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .① 由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x 24＋y 23＝1内， ∴14＋m 23<1，解得0<m <32，故k <－12. (2)解 由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0). 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32.于是|F A →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB→|＝2－x 22. 所以|F A →|＋|FB→|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|， 即|F A →|，|FP→|，|FB →|成等差数列.设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB →|－|F A →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.探究提高 1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算.2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练4】 (2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝6 2. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值.解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b . 由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ， 由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2. 所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2).由已知有y 1>y 2>0， 故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2. 又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB，而∠OAB ＝π4，故|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y 24＝1，消去x ，可得y 1＝6k9k 2＋4. 易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2kk ＋1.代入5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4， 将等式两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0， 解得k ＝12或k ＝1128. 所以，k 的值为12或1128.1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A ，B 是不等的常数，A ＞B ＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B ＞A ＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB ＜0时表示双曲线.2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca .4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题1.(2018·合肥调研)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线2x －y ＋1＝0垂直，则双曲线C 的离心率为( ) A .2B.2C. 3D. 5解析 依题意，2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＝－1，∴b ＝2a .则e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案 D2.(2018·南昌质检)已知抛物线C ：x 2＝4y ，过抛物线C 上两点A ，B 分别作抛物线的两条切线P A ，PB ，P 为两切线的交点，O 为坐标原点，若P A →·PB →＝0，则直线OA 与OB 的斜率之积为( ) A .－14B .－3C .－18D .－4解析 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ，x 2A 4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ，x 2B 4，由x 2＝4y ，得y ′＝x 2.所以k AP ＝x A 2，k BP ＝x B 2，由P A →·PB→＝0，得P A ⊥PB .∴x A 2·x B 2＝－1，则x A ·x B ＝－4，又k OA ·k OB＝x 2A 4x A ·x 2B4x B ＝x A x B 16＝－14. 答案 A3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13B.12C.23D.32解析 由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)， 将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3.又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32. 答案 D4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，A为椭圆上一点，∠F 1AF 2＝π2，连接AF 2交y 轴于M 点，若3|OM |＝|OF 2|，则该椭圆的离心率为( ) A.13B.33C.58D.104解析 设|AF1|＝m ，|AF 2|＝n . 如图所示，由题意可得 ∵Rt △F 1AF 2∽Rt △MOF 2.∴|AF 1||AF 2|＝|OM ||OF 2|＝13，则n ＝3m .又|AF 1|＋|AF 2|＝m ＋n ＝2a ，∴m ＝a 2，n ＝32a .在Rt △F 1AF 2中，m 2＋n 2＝4c 2，即104a 2＝4c 2，∴e 2＝c 2a 2＝1016，故e ＝104. 答案 D5.(2018·石家庄调研)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 28＝1D .x 2－y 22＝1解析 如图，不妨设点P (x 0，y 0)在第一象限，则PF 2⊥x 轴， 在Rt △PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ， 则|PF 2|＝23c 3，|PF 1|＝43c 3，又因为|PF 1|－|PF 2|＝23c3＝2a ，即c ＝3a . 又2b ＝22，知b ＝2，且c2－a2＝2，从而得a2＝1，c2＝3.故双曲线的标准方程为x2－y22＝1.答案 D二、填空题6.(2018·北京卷)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.解析由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2a，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4a＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0).答案(1，0)7.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是________.解析不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝ba x，所以|bc|a2＋b2＝b＝32c，所以b2＝c2－a2＝34c2，得c＝2a，所以双曲线的离心率e＝ca＝2.答案 28.设抛物线x2＝4y的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足|AF|＝2；已知P为抛物线准线上任一点，当|P A|＋|PF|取得最小值时，△P AF的外接圆半径为________.解析由x2＝4y，知p＝2，∴焦点F(0，1)，准线y＝－1.依题意，设A(x0，y0)(x0>0)，由定义，得|AF|＝y0＋p2，则y0＝2－1＝1，∴AF⊥y轴.易知当P(1，－1)时，|P A|＋|PF|最小，∴|PF|＝12＋（－1－1）2＝ 5.由正弦定理，2R＝|PF|sin A＝525＝52，因此△P AF 的外接圆半径R ＝54. 答案 54 三、解答题9.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程. 解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0). 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎨⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10.(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5. (1)解 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由题意得⎩⎨⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n ). 由题设知m ≠±2，且n ≠0.直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2， 故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m ).直线BN 的方程为y ＝n2－m (x －2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2， 所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |， S △BDN ＝12|BD |·|n |.所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.11.设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是椭圆C 上一点，且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1在y 轴上的截距为34，且|MF 2|＝35|MF 1|. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋t 与椭圆C 交于E 、F 两点，且直线l 与圆7x 2＋7y 2＝12相切，求OE →·OF →的值(O 为坐标原点).解 (1)设直线MF 1与y 轴的交点为N ，则|ON |＝34. ∵MF 2⊥x 轴，∴在△F 1F 2M 中，ON 綉12MF 2，则|MF 2|＝32.又|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，|MF 2|＝35|MF 1|，∴|MF 2|＝34a ＝32，∴a ＝2.又|MF 2|＝b 2a ，∴b 2＝3.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 23＝1，消y 得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－12＝0.∴x 1＋x 2＝－8kt3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－123＋4k 2，Δ＝(8kt )2－4(3＋4k 2)(4t 2－12)>0，得t 2<3＋4k 2，(*) 则OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝（1＋k 2）（4t 2－12）3＋4k 2－8k 2t 23＋4k 2＋t 2（3＋4k 2）3＋4k 2＝7t 2－12（1＋k 2）3＋4k 2.又直线l 与圆7x 2＋7y 2＝12相切， ∴|t |1＋k2＝127，则1＋k 2＝712t 2满足(*)式，故OE →·OF →＝7t 2－12×712t 23＋4k 2＝0.。

椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案1、已知椭圆方程为 $x^2/23+y^2/32=1$，则这个椭圆的焦距为（） A．6 B．3 C．35 D．652、椭圆 $4x^2+2y^2=1$ 的焦点坐标是（） A．(-2,0),(2,0) B．(0,-2),(0,2) C．(0,-1/2),(0,1/2) D．(-2/2,0),(2/2,0)3、$F_1$，$F_2$ 是定点，且 $FF_{12}=6$，动点$M$ 满足 $MF_1+MF_2=6$，则 $M$ 点的轨迹方程是（）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段4、已知方程$x^2+my^2=1$ 表示焦点在$y$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的取值范围是（） A．$m1$ D．$1<m<5$5、过点 $(3,-2)$ 且与椭圆 $4x^2+9y^2=36$ 有相同焦点的椭圆方程是（）A．$x^2y^2/15+10=1$ B．$x^2y^2/152+102=1$ C．$x^2/10+y^2/15=1$ D．$x^2y^2/102+152=1$6、若直线 $y=mx+1$ 与椭圆 $x^2+4y^2=1$ 只有一个公共点，那么 $m^2$ 的值是（）A．$1/2$ B．$3/4$ C．$2/3$ D．$4/5$7、已知椭圆 $C:x^2/9+y^2/2=1$，直线 $l:x/10+y=1$，点$P(2,-1)$，则（） A．点 $P$ 在 $C$ 内部，$l$ 与 $C$ 相交B．点 $P$ 在 $C$ 外部，$l$ 与 $C$ 相交 C．点 $P$ 在 $C$ 内部，$l$ 与 $C$ 相离 D．点 $P$ 在 $C$ 外部，$l$ 与 $C$ 相离8、过椭圆 $C:x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的焦点引垂直于 $x$ 轴的弦，则弦长为（） A。

$2b^2/a$ B。

$b^2/a$ C。

$b/a$ D。

$2b/a$9、抛物线 $x+2y^2=0$ 的准线方程是（） A。

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高考达标检测(四十一) 圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限,若|AF｜＝3，则直线l的斜率为（)A．1 B.错误!C.错误!D．2错误!解析：选D 由题意可知焦点F（1，0），设A（x A，y A)，由｜AF｜＝3＝x A＋1，得x A＝2,又点A在第一象限，故A(2,22），故直线l的斜率为2错误!。

2．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x有一个公共点，则实数k的值为（)A. 错误!B．0C. 错误!或0 D．8或0解析：选C 由错误!得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线有一个交点,则y＝2，若k≠0,则Δ＝1－8k＝0，∴k＝错误!，综上可知k＝0或错误!。

3．已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a〉0,b〉0)，过点P(3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N（12,15），则双曲线C的离心率为( )A．2 B.错误!C.错误!D。

（寒假总动员）2020年高三数学寒假作业 专题14椭圆、双曲线、抛物线（练）x 22y （含解析）1•已知椭圆E: 2 a b 2 1(a b 0) 的右焦点为F （3,0）,过点 F 的直线交 E 于A , B 两点•若AB 的中点坐标为 (1, 1) ?则 E 的方程为 ()2 22 2 2 22 2xy1x y1 x y 1X y 1 A. 45 36B .4527C . 27 18D . 18 9【答案】D 【解析】笙二竺+匸空“ 原丸二1二上工空亠Z 剜得工丄 W,得 ab' 花—芒 a i': - v ; a 1 S a 2ff :=18i fe :=9）故选几施 1.W3中皿的关系；乩点差法的应用.2•定义：曲线C 上的点到直线1的距离的最小值称为曲线C 到直线1的距离，已知曲线C 1：y' x a到直线1:x2y 0的距离为「5，则实数a 的值为（）【答案】D 【解析】试题分忻2设平行于M^r r-2i =0_E 的直践黄工一邛十刚二0,gpw =±5,由Higx-2v + w = 0^曲块C\相切.-■龙一2丘一加+翊二CL— 2^/^—2玄+拥=0,由A =】一4『-A +栩）=°得1 + 2口一叨=0 ,①当酬=哎时，d = 2» （检验得不満定亲冲，舍去）②当删二一5时，立二一3,选D.试题分析；由设月（禺』）卫帀・门）、代丄椭圆中得,两式相减得A. 3 或 3B. 2 或 3C.2D. 3F 1H考点：平行直线，直线与曲线相切，一元二次方程的根的判别式2b 2 1(a 0，b 0)的右焦点，若双曲线C 的渐近线与圆【解析】试题分析；扇如双曲箜的渐近塢亩稈为V- ±-,町血土妙丛又風』:(r-c); + v :=-mt 为 a4【解祈】试題分析：设椭园的焦点斤(-亡』》，兀仁Q.由壬倉可知民冏线方程为二-写=1，其酣近线方程为 c iT=±-JC ，又双曲线的两条渐近趺与橢创的煌点构飞的四边形恰酋正方形，所以由瞞园的对除性知双曲线C的斯近绽方程為F 二士口即方二G 所以宀辰"石戲椭圆的离心率为也.肴擦2双曲线、椭圆的性质.瞞圆的离尤苗刘求法.3.已知F (c,°)是双曲线M : (x c)24相切，则双曲线的离心率为(B. 、2C. 33 2D. 2半径5 且双曲线匸的渐近戍与圆・滸启理得即肿7可執二空23考点：收曲缕的性质.直线与囿的位置穴系，欢也的离心駁4.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 2 2M 古1(a b 0)的焦点和顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的焦点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( 1A. 3【答案】B. 2C. 3_2D. 2)5•已知两个正数a, b的等差中项是92，一个等比中项是 2 5，且a2 by _ xb，则抛物线 a 的焦点坐标为( )51 1 c、2(,0)(-,0)(匚,0)(-,0)A. 16B.5C. 5rD. 5【着案】B【解析】N + 占=9’4盂题分析：依题意::= 20，解得口二境ir=4r ' J方程九工*=一二小7=6二其定点ffi] \a>h ~色标为(--.0),选B・皆点：等差中项，等比中项.抛物线的性质.二、填空题6•与抛物线y 8x相切的倾斜角为135的直线1与X轴和y轴的焦点分别为A和B，记过A、B两点的最小圆为C •(I)则圆C的方程是；(n)圆C截抛物线'8x的准线所得的弦长为1):是£PA8当"0时【解析】V = —br试题分析！（ I ）谡直线r 的方程対丁二-X 十乩 麻立方程绢消去工整理得L 十蚤-甜 严—8^越―2Q ）,风Q —2）,过小P 两点的最小團町一叨为审它的鳳 其片程为（＞亠1『十（丁十1）（II ）依题意，抛物^y :=8^Bfg^^：Z].Y=-l 由（1）切囚C 的圆心対（―人―1）,其圆系到准鏡的距离为1-于是所载得的弦长为丄J 而 M = 2.肴点,；直线与拋物録的位置关系，團的方程，直线截園所得的弦按计算.|PA|27•抛物线y 8x的焦点为F ，点（x,y ）为该抛物线上的动点，，又已知点A （ 2,0），则|PF|的取值范围【解析】述题分析：由抛物线的定义可得|W 二 K, X | PA |=7（-V-2）-+V -=^ + 2）:+8JC ）当且仅当K =・卩：V = 2时取等务・于是K+?44Ng,综上所述二皂 的母值范围是[i=JT] + PF普点；拋物统的定久 最值问题，基本不等式.T 直统2抛物线相切，则△二S ： -4其（-$防二0,解得b:直徙r 的方程为工十二o’从而 【答宪】[1.71] 当“0时,1—X'++ 4三•解答题2 2 2C ：x y b 相切于点 M （X 。

第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义－a≤x≤a(1)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，这时，P 在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2.(3)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a .(4)若P 为椭圆上任一点，F 为其焦点，则a －c ≤|PF |≤a ＋c .二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a >|F 1F 2|这一条件，当2a ＝|F 1F 2|其轨迹为线段F 1F 2，当2a <|F 1F 2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 3．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1. 求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．(2)构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3. 求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0<e <1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4. 判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x (或y )的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2| ③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0) ⑥(a,0) ⑦(0，－b) ⑧(0，b) ⑨(0，－a) ⑩(0，a) ⑪(－b,0) ⑫(b,0) ⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1) ⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________ x∈R3.双曲线中的4个常用结论(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2 a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P为双曲线上一点，F为其对应焦点，则|PF|≥c－a.二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a>|F1F2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a>0，b>0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a>b>0，则双曲线的离心率e∈(1，2)；若a＝b>0，则双曲线的离心率e＝2；若0<a<b，则双曲线的离心率e> 2.3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±b a ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±a b.三、技法1. 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2. 求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值.3. 求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程为：x a ±y b＝0.参考答案①之差的绝对值 ②焦点 ③焦距 ④2a <|F 1F 2| ⑤2a ＝|F 1F 2| ⑥2a >|F 1F 2|⑦x ≥a 或x ≤－a ⑧y ≥a 或y ≤－a ⑨x 轴，y 轴 ⑩坐标原点 ⑪x 轴，y 轴⑫坐标原点 ⑬(－a,0) ⑭(a,0) ⑮(0，－a ) ⑯(0，a ) ⑰y ＝±b a x ⑱y ＝±a bx ⑲c a ⑳ a 2＋b 2 ○212a ○222b ○23a 2＋b 2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. (2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)． (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p .二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1. 应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p 2. 2. 求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4. 解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等 ②y 2＝－2px (p ＞0) ③x 2＝－2py (p ＞0) ④x 2＝2py (p ＞0) ⑤x 轴 ⑥y 轴⑦F (－p 2，0) ⑧F (0，－p 2) ⑨F (0，p 2) ⑩e ＝1 ⑪x ＝－p 2 ⑫y ＝－p 2 ⑬－y 0＋p 2⑭y 0＋p 2⑮y ≤0 ⑯y ≥0。

（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业专题14 椭圆、双曲线、抛物线（练）（含解析）1.已知椭圆)0(1:2222>>=+babyaxE的右焦点为)0,3(F，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为)1,1(-，则E的方程为（）A.1364522=+yxB．1274522=+yxC．1182722=+yxD．191822=+yx2.定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线1:C y x a=+到直线:20l x y-=的距离为5，则实数a的值为（）A.3或3-B.2或3-C.2D.3-考点：平行直线，直线与曲线相切，一元二次方程的根的判别式.3.已知)0,(c F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的右焦点，若双曲线C 的渐近线与圆4)(:222c y c x M =+-相切，则双曲线的离心率为（ ）A.332 B.2 C.3 D. 2234.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点和顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的焦点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ）A. 31B.21C.33D.225.已知两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a b >，则抛物线2b y xa =-的焦点坐标为（ ）A.5(,0)16-B.1(,0)5-C.1(,0)5D.2(,0)5-二、填空题6.与抛物线x y 82=相切的倾斜角为135 的直线l 与x 轴和y 轴的焦点分别为A 和B ，记过A 、B 两点的最小圆为C .（Ⅰ）则圆C 的方程是 ；（Ⅱ）圆C 截抛物线x y 82=的准线所得的弦长为. 7.抛物线x y 82=的焦点为F ，点),(y x 为该抛物线上的动点，，又已知点)0,2(-A ，则||||PF PA 的取值范围是 .三．解答题8.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的右焦点F ，y 轴右侧的点A 在椭圆E 上运动，直线MA 与圆222:b y x C =+相切于点),(00y x M .（Ⅰ）求直线MA 的方程； （Ⅱ）求证：||||AM AF +为定值.。

椭圆双曲线与抛物线椭圆双曲线和抛物线是数学中常见的曲线形状，它们在几何、物理和工程学中有广泛的应用。

本文将分别介绍椭圆双曲线和抛物线的定义、特点以及一些实际应用。

一、椭圆双曲线椭圆双曲线是平面上一类特殊的闭合曲线，它由两个焦点和一个恒定的距离和焦点间的任意点的距离之和构成。

椭圆双曲线可以分为椭圆和双曲线两种情况。

1. 椭圆椭圆是一种有两个焦点的闭合曲线，它的定义是：平面上到两个固定点的距离之和等于一个常量。

椭圆具有以下特点：- 所有点到两个焦点的距离之和等于一个常量。

- 椭圆具有对称性，焦点为对称中心。

- 椭圆的离心率小于1，离心率为0时为一个圆。

椭圆在几何学和天体力学中有广泛的应用。

例如，行星绕太阳的轨道就呈现出椭圆形状，地球绕太阳的轨道也是一个椭圆。

2. 双曲线双曲线也是一类有两个焦点的闭合曲线，它的定义是：平面上到两个固定点的距离之差等于一个常量。

双曲线具有以下特点：- 所有点到两个焦点的距离之差等于一个常量。

- 双曲线具有对称性，焦点为对称中心。

- 双曲线的离心率大于1。

双曲线在物理学、电磁学和天体力学中有广泛的应用。

例如，光线在折射过程中呈现双曲线的形状，行星绕太阳的超级高速轨道也是一个双曲线。

二、抛物线抛物线是一种特殊的曲线形状，它由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）上的所有点到焦点和准线的距离相等而构成。

抛物线具有以下特点：- 所有点到焦点和准线的距离相等。

- 抛物线具有对称性，焦点和准线在曲线上的对称点对称。

- 抛物线在平面上无限延伸。

抛物线在物理学、工程学和天文学中有广泛的应用。

例如，摩天大楼的外形常常设计成抛物线形状，抛物面反射器在卫星通讯中也起到重要作用。

总结：椭圆双曲线和抛物线都是重要的数学曲线，在几何、物理和工程学中有广泛的应用。

椭圆双曲线包括椭圆和双曲线两种形态，而抛物线则是一种特殊的曲线形状。

它们的定义、特点和应用在不同领域中都有一定差异，但都有着重要的实际意义。

2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆的定义椭圆是平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

椭圆的集合P={M|MF1+MF2=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数。

当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，P点的轨迹是线段；当2a<|F1F2|时，P点不存在。

2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。

椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)。

椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)或A1(0,-a)，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)。

椭圆的长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b，焦距为2c，离心率为e=c/a，其中c^2=a^2-b^2.3.应用题1) 2017·浙江高考题：椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率是5/3.解析：根据标准方程，a=3，b=2，则c=5，离心率e=c/a=5/3.2) 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(m>0)的焦距为8，则m的值为3或41.解析：根据椭圆的性质，c^2=a^2-b^2，焦距为2c=8，则c=4，a^2=16+b^2.代入m>0的条件，解得b=2√(m+1)，a=4，代入c^2=a^2-b^2，解得m=3或41.解析：当焦点在x轴上时，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m^2}=1$，根据离心率的定义$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}$，所以$\frac{m^2}{4}=1-e^2$，代入得到 $m=\sqrt{4-4e^2}$。

（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业专题14 椭圆、双曲线、抛物线（练）（含解析）1.已知椭圆)0(1:2222>>=+babyaxE的右焦点为)0,3(F，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为)1,1(-，则E的方程为（）A.1364522=+yxB．1274522=+yxC．1182722=+yxD．191822=+yx2.定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线1:C y x a=+到直线:20l x y-=的距离为5，则实数a的值为（）A.3或3-B.2或3-C.2D.3-考点：平行直线，直线与曲线相切，一元二次方程的根的判别式.3.已知)0,(c F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的右焦点，若双曲线C 的渐近线与圆4)(:222c y c x M =+-相切，则双曲线的离心率为（ ）A.332 B.2 C.3 D. 2234.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点和顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的焦点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ）A. 31B.21C.33D.225.已知两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a b >，则抛物线2b y xa =-的焦点坐标为（ ）A.5(,0)16-B.1(,0)5-C.1(,0)5D.2(,0)5-二、填空题6.与抛物线x y 82=相切的倾斜角为135 的直线l 与x 轴和y 轴的焦点分别为A 和B ，记过A 、B 两点的最小圆为C .（Ⅰ）则圆C 的方程是 ；（Ⅱ）圆C 截抛物线x y 82=的准线所得的弦长为. 7.抛物线x y 82=的焦点为F ，点),(y x 为该抛物线上的动点，，又已知点)0,2(-A ，则||||PF PA 的取值范围是 .三．解答题8.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的右焦点F ，y 轴右侧的点A 在椭圆E 上运动，直线MA 与圆222:b y x C =+相切于点),(00y x M .（Ⅰ）求直线MA 的方程； （Ⅱ）求证：||||AM AF +为定值.。