马氏链模型及matlab程序

马尔可夫链（Markov Chain）是一种数学模型，用来描述一系列事件，其中每个事件的发生只与前一个事件有关，而与之前的事件无关。

这种特性被称为“无后效性”或“马尔可夫性质”。

马尔可夫链常用于统计学、经济学、计算机科学和物理学等领域。

在统计学中，马尔可夫链被用来建模时间序列，如股票价格或天气模式。

在经济学中，马尔可夫链被用于预测经济趋势。

在计算机科学中，马尔可夫链被用于自然语言处理、图像处理和机器学习等领域。

在物理学中，马尔可夫链被用于描述粒子系统的行为。

马尔可夫链的数学表示通常是一个转移概率矩阵，该矩阵描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。

对于给定的状态，转移概率矩阵提供了到达所有可能后续状态的概率分布。

马尔可夫链的一个关键特性是它是“齐次的”，这意味着转移概率不随时间变化。

也就是说，无论链在何时处于特定状态，从该状态转移到任何其他状态的概率都是相同的。

马尔可夫链的方程通常表示为：P(X(t+1) = j | X(t) = i) = p_ij其中，X(t)表示在时间t的链的状态，p_ij表示从状态i转移到状态j的概率。

这个方程描述了马尔可夫链的核心特性，即未来的状态只与当前状态有关，而与过去状态无关。

马尔可夫链的一个重要应用是在蒙特卡罗方法中，特别是在马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法中。

MCMC 方法通过构造一个满足特定条件的马尔可夫链来生成样本，从而估计难以直接计算的统计量。

这些样本可以用于估计函数的期望值、计算积分或进行模型选择等任务。

总之，马尔可夫链是一种强大的工具，用于建模和预测一系列相互关联的事件。

通过转移概率矩阵和马尔可夫链方程，可以描述和分析这些事件的行为和趋势。

张俊、刘 杰、敬成 林、庞一 成、鲍磊 杨华蔚、舒 亚东、张国 帅 舒亚东、张 国帅 焦建军、龙 文、张俊、 鲍磊 龙文、张 俊、刘 杰、、鲍磊 去年数学建 模试题即考 到交通问 题，其中主 要涉及排队 论，常微 分、偏微分 和初等概率 在交通模型 中的应用
上机操作Matlab或SPSS软件 件 差分模型模型
7月25日 14:0017:00
上机操作Matlab软件件或其 他优化软件张俊、庞一 成、刘杰源自焦建军、张 俊、庞一 成、鲍磊
模型，并结合历年竞赛试题进 行讲解)
7月21日 14:0017:00 7月22日 8:3012:00 7月22日 14:0017:00 7月23日 8:3012:00 7月23日 14:0017:00
上机操作Matlab软件件 离散模型
（培训内容参考姜启源《数学 模型》中的离散模型，并结合 历年竞赛试题进行讲解）
(建议培训内容：线性规划 （主），非线性规划，排队 论，网络流问题等，并结合历 年竞赛试题进行讲解)
丰富)、余孝 军、常佳佳 （建模好 手）、王能 发 舒亚东、余 孝军、常佳 佳 舒亚东(建模 好手，经验 丰富)、余孝 军、常佳佳 （建模好 手）、王能 发 舒亚东、余 孝军、常佳 佳 舒亚东(建模 好手，经验 丰富)、余孝 军、常佳佳 （建模好 手）、王能 发 舒亚东、余 孝军、常佳 佳 舒亚东(建模 好手，经验 丰富)、余孝
7月24日 14:0017:00 7月25日 8:30-
上机操作Matlab软件件或其 他优化软件 交通模型（二）
（培训内容建议参考谭永基 《数学模型》交通流模型和路
张俊、庞一 成、刘杰
余孝军、焦 建军、张
12:00
口交通管理，以及排队论在交 通模型中的相关问题，并结合 历年竞赛试题进行讲解）

解 设 X n (n 1,,97) 为第n 个时段的计算机状态，可以认为它是一个时齐 马氏链，状态空间E {0,1} ，编写如下 Matlab 程序：
a1=‘1110010011111110011110111111001111111110001101101’; a2=‘111011011010111101110111101111110011011111100111’; a=[a1,a2]; f00=length(findstr(‘00’,a)) f01=length(findstr(‘01’,a)) format rat fid=fopen(‘data1.txt’,’r’); a=[ ]; while (~feof(fid))
的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收状态北吸收之前的平均转
移次数。
定理7 设 B FR (bij ) ，其中F 为吸收链的基矩阵，R 为(4)式中的 子阵，则 bij 表示从非吸收状态 i 出发，被吸收状态 j 吸收的概率。
3 马尔可夫链的应用
• 应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要目的是 根据某些变量现在的情况及其变动趋势，预测它在未来某特 定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依据。
可以到达某个吸收状态，那么这个马氏链被称为吸收链。
具有个吸收状态，个非吸收状态的吸收链，它的转移矩阵的标准形式为
P
Ir R
o
S
（4）
其中I r 为 r阶单位阵，O为 r s零阵， R为 s 矩r 阵， S为 s 矩s 阵。从(4)得
Pn
Ir Q
o
S
n
（5）
（5）式中的子阵 S n表示以任何非吸收状态作为初始状态，经过 n步转移后， 处于S 个非吸收状态的概率。

matlab 指数分布 markov 转移概率矩阵Matlab指数分布Markov转移概率矩阵在概率论与统计学中，指数分布是一种描述连续随机变量间隔时间的概率分布。

而马尔可夫链则是一种随机过程，其中未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。

本文将介绍如何使用Matlab来计算指数分布的Markov转移概率矩阵。

1. 概述指数分布是一种连续概率分布，用于描述事件之间的间隔时间。

它的概率密度函数为:f(x) = λ * exp(-λx), 当x>=0，否则为0其中，λ为分布的参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。

2. Markov链Markov链是一种具有马尔可夫性质的随机过程。

在Markov链中，未来的状态只取决于当前的状态，与过去的状态无关。

转移概率矩阵用于描述Markov链中状态之间的转移概率。

3. 计算Markov转移概率矩阵为了计算指数分布的Markov转移概率矩阵，我们需要首先确定状态间的转移概率。

假设我们有一个指数分布的随机变量X，其参数为λ。

我们可以将其分成n个等间隔的区间，每个区间表示一个状态。

假设每个区间的长度为Δ，那么我们可以得到以下状态转移概率矩阵P:P(i, j) = P(X ∈ [jΔ, (j+1)Δ] | X ∈ [(i-1)Δ, iΔ])其中，P(i, j)表示从状态i到状态j的转移概率。

4. 使用Matlab计算Markov转移概率矩阵在Matlab中，我们可以使用以下代码来计算指数分布的Markov转移概率矩阵:```matlablambda = 0.2; % 指数分布的参数n = 10; % 状态的个数delta = 1; % 区间的长度P = zeros(n, n); % 转移概率矩阵for i = 1:nfor j = 1:nP(i, j) = exp(-lambda * delta * (j - i));endP(i, :) = P(i, :) / sum(P(i, :)); % 归一化end```在这段代码中，我们预设了lambda为0.2，状态的个数为10，区间的长度为1。

举例
例1 在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排（含两门火炮） 为单位对我方进行干扰和破坏．为躲避我方打击，敌方对其阵地 进行了伪装并经常变换射击地点．
经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指示有50％是准 确的，而我方火力单位，在指示正确时，有1/3的射击效果能毁 伤敌人一门火炮，有1/6的射击效果能全部毁伤敌人火炮．
蒙特卡罗方法的关键步骤在于随机数的产生， 计算机产生的随机数都不是真正的随机数(由算 法确定的缘故)，如果伪随机数能够通过一系列 统计检验，我们也可以将其当作真正的随机数 使用。
rand('seed',0.1);
rand(1) ％每次运ra行nd程('s序tat产e',s生um的(1值00*是clo相ck同)*r的and);
E = P(A0) = P(j=0)P(A0∣j=0) + P(j=1)P(A0∣j=1)
= 1 0 1 1 0.25 2 22
P(A1) = P(j=0)P(A1∣j=0) + P(j=1)P(A1∣j=1)
= 10 11 1 2 23 6
P(A2) = P(j=0)P(A2∣j=0) + P(j=1)P(A2∣j=1)
非常见分布的随机数的产生
• 逆变换方法
由定理 1 ，要产生来自 F(x) 的随机数，只要先 产生来自U (0,1) 随机数 u ，然后计算 F 1(u) 即 可。具体步骤如下：
(1) 生成 (0,1)上 均匀分布的随机数U。
(2) 计算 X F -1(U ) ,则 X 为来自 F(x) 分布的随机数.
蒙特卡罗方法的基本思想很早以前就被人们所发现和 利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率” 来决定事件的“概率”。19世纪人们用蒲丰投针的方法 来计算圆周率π，上世纪40年代电子计算机的出现，特别 是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算 机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。

态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生 变化。如某种产品在市场上本来是滞销的，但是由于销售 渠道变化了，或者消费心理发生了变化等，它便可能变为 畅销产品。
4
定义 1 设{ Xn , n 1,2, }是一个随机序列，状态 空间 E为有限或可列集，对于任意的正整数m,n，若
i, j,ik E(k 1, ,n 1)，有
15
解 设 Xn(n 1, ,97) 为第 n 个时段的计算机状 态，可以认为它是一个时齐马氏链，状态空间
E {0,1}。要分别统计各状态一步转移的次数，即
0→0，0→1，1→0，1→1 的次数，也就是要统计数据
字符串中‘00’，‘01’，‘10’，‘11’四个子串的个数。
利用 Matlab 软件，求得 96 次状态转移的情况是
马尔科夫Markov链
Markov原名A.A. Markov（俄，1856－1922） 于1906年开始研究此类问题.
1
1 马尔可夫链的定义 现实世界中有很多这样的现象，某一系统在已知 现在情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有 关，而与过去的历史无直接关系。比如，研究一个商 店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知， 则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一 时刻累计销售额无关。描述这类随机现象的数学模型 称为马尔科夫模型，简称马氏模型。
0→0，8 次；
10
（1）对一切i, j E ，0 pij (m) 1；
（2）对一切i E ， pij (m) 1； jE
（3）对一切i,
j
E ， pij (0)
ij
1, 当i 0， 当i
j时, j时 .
11
当实际问题可以用马尔可夫链来描述时，首先要 确定它的状态空间及参数集合，然后确定它的一步转 移概率。关于这一概率的确定，可以由问题的内在规 律得到，也可以由过去经验给出，还可以根据观测数 据来估计。

摘要问题一考虑到水流由地势高流向地势低，将原始数据进行处理，并建立0-1变量来评定两个村庄间能否建立泄洪河道。

再由修建泄洪河道的费用计算式，分析影响费用大小的两大制约因素承载泄洪量和泄洪河道长度，可得两种分别以泄洪量大河道短和泄洪量小河道长为主的修建河道的方案，综合考量这两个因素，确立目标函数的约束条件，建立非线性规划，运用LINGO软件对模型进行优化求解。

问题二中，主要应用了马尔科夫链的相关定义和性质建立数学模型，运用MATLAB编程得出运行结果。

模型中对等可能概率与非等可能概率进行不同的求解，给出了相关通用方的模型。

对运算后得到的稳定性进行判定与分析。

问题三考虑到修建泄洪水道可能会导致下游村庄承载泄洪量过高，而致使修建难度提高，维修不易等因素，我们提出可以修建水库。

这样不仅缓解了下游的泄洪水道压力，而且水库具有滞洪、蓄洪，调节水源的作用，可以有效的减少洪涝灾害带来的损失。

一．问题重述某个偏远贫困乡，地处山区，一旦遇到暴雨，经常发生洪涝灾害。

以往下雨时，完全是依靠天然河流进行泄洪。

2010年入夏以来，由于史无前例的连日大雨侵袭，加上这些天然河流泄洪不畅，造成大面积水灾，不仅夏粮颗粒无收，而且严重危害到当地群众的生命财产安全。

为此，乡政府打算立即着手解决防汛水利设施建设问题。

从长远考虑，可以通过修建新泄洪河道的办法把洪水引出到主干河流。

经测算，修建新泄洪河道的费用为LQP51.066.0（万元），其中Q表示新泄洪河道的可泄洪量（万立方米/小时），L表示新泄洪河道的长度（公里）。

该乡共有10个村,分别标记为①—⑩，下图给出了它们大致的相对地理位置，海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势。

①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩其中村⑧距离主干河流最近，且海拔高度最低。

乡政府打算拟定一个修建在各村之间互通的新泄洪河道网络计划，将洪水先通过新泄洪河道引入村⑧后，再经村⑧引出到主干河流。

要求完成之后，每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时以上的泄洪能力。

马尔科夫链matlab程序自己编写的马尔科夫链程序A 代表一组数据序列一维数组本程序的操作对象也是如此t=length(A); % 计算序列“A”的总状态数 B=unique(A); % 序列“A”的独立状态数顺序，“E”E=sort(B,'ascend');a=0;b=0;c=0;d=0;for j=1:1:ttLocalization=find(A==E(j)); % 序列“A”中找到其独立状态“E”的位置for i=1:1:length(Localization) if Localization(i)+1>tbreak; % 范围限定 elseif A(Localization(i)+1)== E(1)a=a+1;elseif A(Localization(i)+1)== E(2)b=b+1;elseif A(Localization(i)+1)== E(3)c=c+1;% 依此类推，取决于独立状态“E”的个数elsed=d+1;endendT(j,1:tt)=[a,b,c,d]; % “T”为占位矩阵 endTT=T;for u=2:1:ttTT(u,:)= T(u,:)- T(u-1,:); endTT; % 至此，得到转移频数矩阵Y=sum(TT,2);for uu=1:1:ttTR(uu,:)= TT(uu,:)./Y(uu,1); endTR % 最终得到马尔科夫转移频率/概率矩阵 % 观测序列马尔科夫性质的检验: N=numel(TT);uuu=1;Col=sum(TT,2); % 对列求和Row=sum(TT,1); % 对行求和 Total=sum(Row); % 频数总和 for i=1:1:tt for j=1:1:ttxx(uuu,1)=sum((TT(i,j)-(Row(i)*Col(j))./Total).^2./( (Row(i)*Col(j))./Total));uuu=uuu+1; % 计算统计量x2 endendxx=sum(xx)。

n1
(a1 (n 1),a2 (n 1)) w (w1 ,w2 )
w1 w2
w1 w1
p11 p12
w2 w2
p21 p22
0.8w1 0.7w2 w1 0.2w1 0.3w2 w2
w1 w2 1
w (7 / 9,2 / 9)
健康与疾病
例2. 健康和疾病状态同上，Xn=1~ 健康, Xn=2~ 疾病
死亡为第3种状态，记Xn=3 0.8
0.18
0.25
p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02
0.65
1
2
p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1
0.02 3 0.1
p31=0, p32=0, p33=1
1
a1(n 1) a1(n) p11 a2 (n) p21 a3 (n) p31 a2 (n 1) a1(n) p12 a2 (n) p22 a3 (n) p32 a3 (n 1) a1(n) p13 a2 (n) p23 a3 (n) p33
p21 0.7 p22 1 p21 0.3
1
Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, …无关
0.2
0.3
0.7
2
状态转移具 a1(n 1) a1(n) p11 a2 (n) p21
有无后效性 a2 (n 1) a1(n) p12 a2 (n) p22
状态与状态转移 0.8
0.2
0.3
• 不论初始状态如何，最终都要转到状态3 ；
• 一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 则对于n>k, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即从状态3不会转移到其它状态。

马尔可夫链在自然界与社会现象中，许多随机现象遵循下列演变规律，已知某个系统(或过程)在时刻0t t =所处的状态，与该系统(或过程)在时刻0t t >所处的状态与时刻0t t <所处的状态无关。

例如，微分方程的初值问题描述的物理系统属于这类随机性现象。

随机现象具有的这种特性称为无后效性(随机过程的无后效性)，无后效性的直观含义：已知“现在”，“将来”和“过去”无关。

在贝努利过程(){},1X n n ≥中，设()X n 表示第n 次掷一颗骰子时出现的点数，易见，今后出现的点数与过去出现的点数无关。

在维纳过程(){},0X t t ≥中，设()X t 表示花粉在水面上作布朗运动时所处的位置，易见，已知花粉目前所处的位置，花粉将来的位置与过去的位置无关。

在泊松过程(){,0}N t t ≥中，设()N t 表示时间段[0,]t 内进入某商店的顾客数。

易见，已知时间段0[0,]t 内进入商店的顾客数()0N t ，在时间段()0[0,]t t t >内进入商店的顾客数()N t 等于()0N t 加上在时间段0(,]t t 内进入商店的顾客数()()0N t N t -，而与时刻0t 前进入商店的顾客无关。

一、马尔可夫过程定义：给定随机过程(){},X t t T ∈。

如果对任意正整数3n ≥，任意的12,,1,,n i t t t t T i n <<<∈=，任意的11,,,n x x S -∈S 是()X t 的状态空间，总有()()()1111|,n n n n P X x X t x X t x --≤==()()11|,n n n n n P X x X t x x R --=≤=∈ 则称(){},X t t T ∈为马尔可夫过程。

在这个定义中，如果把时刻1n t -看作“现在”，时刻n t 是“将来”，时刻12,,n t t -是“过去”。

马尔可夫过程要求：已知现在的状态()11n n X t x --=，过程将来的状态()n X t 与过程过去的状态()()1122,,n n X t x X t x --==无关。

马尔科夫链matlab代码马尔科夫链%This is programmed for calculating the Markov-chain state transfer probability(First order) matrice! %This program is based on 4 thresholds,that is, the transfer probability matrice is 4x4.%Follow the notes to conduct the processing.%Coded by EOS%Nanchang Chinaclearclc%A=csvread('widetype.csv');% % or manually define via "A=[ ]".A=[]%A is the information matrix which must be adjusted to wide-type,i(section)-j(time)%%out=zeros(4,4);%Initialize the transfering probability(First order) matrice[r1,r2,r3]=deal(1.009, 1.285, 1.7256);%%Define the state threshold value manually.flag=0;trans=zeros(4,4);s0=zeros(1,4);epro=zeros(10,4);for i=1:10if A(i,1)< r1s0(1,1)=s0(1,1)+1;elseif A(i,1)>= r1 && A(i,1)s0(1,2)=s0(1,2)+1;elseif A(i,1)>=r2 && A(i,1)s0(1,3)=s0(1,3)+1;elses0(1,4)=s0(1,4)+1;endendfor i=1:10for t=1:14if A(i,t)< r1epro(i,1)=epro(i,1)+1;elseif A(i,t)>= r1 && A(i,t)epro(i,2)=epro(i,2)+1;elseif A(i,t)>=r2 && A(i,t)epro(i,3)=epro(i,3)+1;elseepro(i,4)=epro(i,4)+1;endendendfor s=1:10for t=1:13%%within an initial state 1if A(s,t) < r1flag=1;if A(s,t+1)trans(flag,1)=trans(flag,1)+1; elseif A(s,t+1)>=r1 && A(s,t+1) trans(flag,2)=trans(flag,2)+1; elseif A(s,t+1)>=r2 && A(s,t+1) trans(flag,3)=trans(flag,3)+1; elsetrans(flag,4)=trans(flag,4)+1; end%%within an initial state 2 elseif A(s,t)>=r1 && A(s,t) flag=2;if A(s,t+1)trans(flag,1)=trans(flag,1)+1; elseif A(s,t+1)>=r1 && A(s,t+1) trans(flag,2)=trans(flag,2)+1; elseif A(s,t+1)>=r2 && A(s,t+1) trans(flag,3)=trans(flag,3)+1; elsetrans(flag,4)=trans(flag,4)+1; end%%within an initial state 3 elseif A(s,t)>=r2 && A(s,t) flag=3;if A(s,t+1)trans(flag,1)=trans(flag,1)+1;elseif A(s,t+1)>=r1 && A(s,t+1)trans(flag,2)=trans(flag,2)+1;elseif A(s,t+1)>=r2 && A(s,t+1)trans(flag,3)=trans(flag,3)+1;elsetrans(flag,4)=trans(flag,4)+1;end%%within an initial state 4elseflag=4;if A(s,t+1)trans(flag,1)=trans(flag,1)+1;elseif A(s,t+1)>=r1 && A(s,t+1)trans(flag,2)=trans(flag,2)+1;elseif A(s,t+1)>=r2 && A(s,t+1)trans(flag,3)=trans(flag,3)+1;elsetrans(flag,4)=trans(flag,4)+1;endendendend%Calculate the Markov state transfering probability matrice for i=1:4 for j=1:4out(i,j)=trans(i,j)/sum(trans(i,:));endenddisp('Markov state transfering probability matrice is:') disp(out)。

马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。

方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。

针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。

基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。

确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。

因此，变化过程可用时间的函数来描述。

不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。

这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。

在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。

这就要研究无限多个，即一族随机变量。

随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。

客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。

状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。

设客观事物有N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。

一、用法，用来干什么，什么时候用 二、步骤，前因后果，算法的步骤，公式 三、程序 四、举例五、前面国赛用到此算法的备注一下马氏链模型用来干什么马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链（Markov chain ）的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律，并由此预测其未来变化趋势的一种预测技术。

什么时候用应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析， 主要目的是根据某些变量现在的情 况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依 据。

马尔可夫链的基本原理我们知道，要描述某种特定时期的随机现象如某种药品在未来某时期的销售情况，比如说第n 季度是畅销还是滞销，用一个随机变量X n 便可以了，但要描述未来所有时期的情况，则需要一系列的随机变量 X 1，X 2，…，X n ，…．称{ X t ，t ∈T ，T 是参数集}为随机过程，{ X t }的取值集合称为状态空间．若随机过程{ X n }的参数为非负整数， X n 为离散随机变量，且{ X n }具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔可夫链（简称马氏链）．所谓无后效性，直观地说，就是如果把{ X n }的参数n 看作时间的话，那么它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与过去取什么值无关．对具有N 个状态的马氏链，描述它的概率性质，最重要的是它在n 时刻处于状态i 下一时刻转移到状态j 的一步转移概率：N j i n p i X j X P j i n n ,,2,1,)()|(1若假定上式与n 无关，即 )()1()0(n p p p j i j i j i ，则可记为j i p （此时，称过程是平稳的），并记N N N N N N p p p p p p p p p P212222111211（1） 称为转移概率矩阵．转移概率矩阵具有下述性质：（1）N j i p j i ,,2,1,,0 ．即每个元素非负．（2）N i p Nj j i ,,2,1,11．即矩阵每行的元素和等于1．如果我们考虑状态多次转移的情况，则有过程在n 时刻处于状态i ，n +k 时刻转移到状态j 的k 步转移概率：N j i n p i X j X P k j i n k n ,,2,1,)()|()(同样由平稳性，上式概率与n 无关，可写成)(k j i p ．记)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P（2）称为k 步转移概率矩阵．其中)(k j i p 具有性质：N j i p k ji ,,2,1,,0)( ； N i p Nj k j i ,,2,1,11)( ．一般地有，若P 为一步转移矩阵，则k 步转移矩阵)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P（3） （2）状态转移概率的估算在马尔可夫预测方法中，系统状态的转移概率的估算非常重要．估算的方法通常有两种：一是主观概率法，它是根据人们长期积累的经验以及对预测事件的了解，对事件发生的可能性大小的一种主观估计，这种方法一般是在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下使用．二是统计估算法，现通过实例介绍如下．例3 记录了某抗病毒药的6年24个季度的销售情况，得到表1．试求其销售状态的转移概率矩阵．表1 某抗病毒药24个季度的销售情况季度销售状态季度销售状态季度销售状态季度销售状态1 1 (畅销) 7 1(畅销) 13 1(畅销) 19 2(滞销)2 1(畅销) 8 1(畅销) 14 1(畅销) 20 1(畅销)3 2(滞销) 9 1(畅销) 15 2(滞销) 21 2(滞销)4 1(畅销) 10 2(滞销) 16 2(滞销) 22 1(畅销)5 2(滞销) 11 1(畅销) 17 1(畅销) 23 1(畅销) 62(滞销)122(滞销)181(畅销)241(畅销)分析表中的数据，其中有15个季度畅销，9个季度滞销，连续出现畅销和由畅销转入滞销以及由滞销转入畅销的次数均为7，连续滞销的次数为2．由此，可得到下面的市场状态转移情况表（表2）．表2 市场状态转移情况表现计算转移概率．以频率代替概率，可得连续畅销的概率：1170.5151p连续出现畅销的次数出现畅销的次数分母中的数为15减1是因为第24季度是畅销，无后续记录，需减1．同样得由畅销转入滞销的概率：1270.5151p畅销转入滞销的次数出现畅销的次数滞销转入畅销的概率：2170.789p滞销转入畅销的次数出现滞销的次数连续滞销的概率：2220.229p连续滞销的次数出现滞销的次数综上，得销售状态转移概率矩阵为：22.078.05.05.022211211p pp p P 从上面的计算过程知，所求转移概率矩阵P 的元素其实可以直接通过表2中的数字计算而得到，即将表中数分别除以该数所在行的数字和便可：77711p 77712p 27721p 77222p Matlab 程序：format rat clca=[ 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2,1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1]; for i=1:2 for j=1:2f(i,j)=length(findstr([i j],a)); end end fni=(sum(f'))' for i=1:2p(i,:)=f(i,:)/ni(i); end p由此，推广到一般情况，我们得到估计转移概率的方法：假定系统有m 种状态S 1，S 2，…，S m ，根据系统的状态转移的历史记录，得到表3的统计表格，以j i pˆ表示系统从状态i 转移到状态j 的转移概率估计值，则由表3的数据计算估计值的公式如下：表3 系统状态转移情况表（3）带利润的马氏链在马氏链模型中，随着时间的推移，系统的状态可能发生转移，这种转移常常会引起某种经济指标的变化．如抗病毒药的销售状态有畅销和滞销两种，在时间变化过程中，有时呈连续畅销或连续滞销，有时由畅销转为滞销或由滞销转为畅销，每次转移不是盈利就是亏本．假定连续畅销时盈r 11元，连续滞销时亏本r 22元，由畅销转为滞销盈利r 12元，由滞销转为畅销盈利r 21元，这种随着系统的状态转移，赋予一定利润的马氏链，称为有利润的马氏链．对于一般的具有转移矩阵N N N N N N p p p p p p p p p P212222111211的马氏链，当系统由i 转移到j 时，赋予利润r ij （i ，j =1，2，…，N ），则称N N N N N N r r r r r r r r r R212222111211 （5） 为系统的利润矩阵，r ij ＞0称为盈利，r ij ＜0称为亏本，r ij = 0称为不亏不盈．随着时间的变化，系统的状态不断地转移，从而可得到一系列利润，由于状态的转移是随机的，因而一系列的利润是随机变量，其概率关系由马氏链的转移概率决定．例如从抗病毒药的销售状态的转移矩阵，得到一步利润随机变量)1(1x 、)1(2x 的概率分布分别为：其中 p 11+ p 12 = 1 ，p 21+ p 22 = 1．如果药品处于畅销阶段，即销售状态为i =1，我们想知道，经过n 个季度以后，期望获得的利润是多少？为此，引入一些计算公式．首先，定义)(n i v 为抗病毒药现在处于)2,1( i i ，经过n 步转移之后的总期望利润，则一步转移的期望利润为：212211)1()1()(j j i j i i i i i i i p r p r p r x E v其中)()1(i x E 是随机变量)1(i x 的数学期望．二步转移的期望利润为：21)1(2)1(221)1(11)2()2(][][][)(j j i j j i i i i i i i p v r p v r p v r x E v其中随机变量)2(ix （称为二步利润随机变量）的分布为：2,1,)()1()2( j p v r x P j i j j i i例如，若6.04.05.05.0P ，7339R则抗病毒药销售的一步利润随机变量：抗病毒药畅销和滞销时的一步转移的期望利润分别为：65.035.09)(12121111)1(1)1(1 p r p r x E v 36.074.03)(22222121)1(2)1(2 p r p r x E v二步利润随机变量为：抗病毒药畅销和滞销时的二步转移的期望利润分别为：12)1(21211)1(111)2(1)2(1][][)(p v r p v r x E v5.75.0)33(5.0)69(22)1(22221)1(121)2(2)2(2][][)(p v r p v r x E v4.26.0)37(4.0)63(一般地定义k 步转移利润随机变量),2,1()(N i x k i的分布为：N j p v r x P ji k j j i k i ,2,1)()1()(则系统处于状态i 经过k 步转移后所得的期望利润)(k iv 的递推计算式为：j i k j Nj j i k i k i p v r x E v )()()1(1)()(Nj j i k j i Nj j i k j Nj j i j i p v v p v p r 1)1()1(1)1(1（6）当k =1时，规定边界条件0)0( iv ．称一步转移的期望利润为即时的期望利润，并记N i q v i i ,2,1,)1( ．可能的应用题型题型一、市场占有率预测例题1在购买该药的总共1000家对象（购买力相当的医院、药店等）中，买A 、B 、C 三药厂的各有400家、300家、300家，预测A 、B 、C 三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况。

马氏链的性质
总结词
马氏链具有无记忆性、强马尔可夫性和转移概率性等性质。
详细描述
马氏链的一个重要性质是无记忆性，即下一个状态与过去状 态无关，只与当前状态有关。此外，马氏链还具有强马尔可 夫性和转移概率性等性质，这些性质使得马氏链在描述随机 现象时具有独特的优势。
马氏链的分类
要点一
总结词
马氏链可以分为离散时间和连续时间的马氏链，以及有向 和无向的马氏链。
机器学习算法
马氏链在强化学习中用于 估计策略值函数和近似最 优策略，提高机器学习的 效率和准确性。
图像处理
通过马氏链模拟图像的随 机过程，实现图像的降噪 、增强和修复等处理。
数据压缩
利用马氏链对数据进行编 码和压缩，降低存储和传 输成本，提高数据处理的 效率。
在其他领域的应用
物理学中的随机过程模拟
在生态领域的应用
种群动态模拟
01
马氏链用于模拟物种数量的变化过程，研究种群的增长规律和
生态平衡机制。
生态系统稳定性分析
02
通过马氏链分析生态系统中的反馈机制和稳定性条件，评估生
态系统受到干扰后的恢复能力。
生物多样性保护
03
利用马氏链预测物种的灭绝风险和保护策略，为生物多样性保
护提供科学依据。
在计算机科学领域的应用
马氏链面临的挑战和问题
理论体系的完善
马氏链理论体系仍需不 断完善和发展，以适应 不断涌现的新问题和挑 战。
应用领域的拓展
尽管马氏链在某些领域 已经取得广泛应用，但 仍需拓展更多应用领域 ，解决实际问题。
计算效率的提高
随着数据规模的增大， 如何提高马氏链的计算 效率成为亟待解决的问 题。
THANKS

马尔可夫跳变系统matlab程序马尔可夫跳变系统是一种随机过程模型，其中系统的状态在不同时间点之间发生跳变。

在Matlab中，我们可以通过编写程序来模拟和分析马尔可夫跳变系统的行为。

下面将介绍如何使用Matlab编写马尔可夫跳变系统的模拟程序。

马尔可夫跳变系统简介马尔可夫跳变系统是一种描述状态随时间发生突变的随机过程模型。

在这种系统中，系统的状态在不同时间点之间以一定的概率发生跳变，而且这些跳变是根据马尔可夫性质进行转移的。

马尔可夫性质指的是系统的下一个状态只与当前状态有关，与之前的状态无关。

马尔可夫跳变系统模拟步骤步骤一：定义状态空间和转移概率矩阵首先，我们需要定义马尔可夫跳变系统的状态空间和转移概率矩阵。

状态空间表示系统可能处于的所有状态，而转移概率矩阵描述了不同状态之间的转移概率。

步骤二：生成随机数确定状态转移利用Matlab中的随机数生成函数，根据转移概率矩阵生成随机数确定系统在不同时间点的状态转移情况。

步骤三：模拟系统行为根据生成的随机数序列，模拟马尔可夫跳变系统在不同时间点的状态演化过程。

步骤四：分析结果对模拟得到的系统行为进行分析，可以计算系统在不同状态下停留的时间、状态转移概率等指标，以评估系统的性能和稳定性。

Matlab代码示例下面给出一个简单的马尔可夫跳变系统模拟程序的Matlab代码示例：示例代码star：编程语言：matlab定义状态空间和转移概率矩阵states = [1, 2, 3]; % 状态空间transition_matrix = [0.7, 0.2, 0.1; 0.3, 0.5, 0.2; 0.1, 0.3, 0.6]; % 转移概率矩阵模拟系统行为num_steps = 100; % 模拟步数current_state = states(1); % 初始状态state_sequence = zeros(1, num_steps); % 状态序列for i = 1:num_stepsstate_sequence(i) = current_state;current_state = randsample(states, 1, true,transition_matrix(current_state, :));end分析结果可根据state_sequence进行进一步分析和绘图示例代码end以上代码演示了一个简单的马尔可夫跳变系统模拟程序，可以根据实际情况进行修改和扩展。

马氏链的遍历极限(II)
若马氏链{ξn: n≥ 0}的状态空间S为有限 集(不妨设S={1,2,L, N}),且转移矩阵 矩阵的每个元素为正,则它存在唯一不 变概率分布π=(π1,π2,L, πN), 满足如下 (指数)遍历性
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马氏链的遍历极限(III)
令Ti(ω)是(ξ1(ω),L,ξn(ω))首次出现状态 i 的时间.那么μi=E(Ti(ω) | ξ0(ω)=i)就是 一个平均返回(状态i)时间.有结论如下
也就是说随机过程下一时间的发展只和包括当 前时间在内的最近的k个时间的状态有关 而和 这k个时间之前的历史没有关系, (其中k=0, 1, 2, L) ,我们把这样的随机过程叫做k-阶马氏 链.
关于名称的一点说明
参考书中,看到马氏链(过程)的时候要根据上下 文进行判断.有的时候是指普遍的马氏链(包括 高阶,一阶,零阶),有时候特指一阶马氏链. 在大多数情况下,如不特别说明,通常是特指 一阶时齐的马氏链. 如果将一个 k-阶马氏链的相邻 k 个时间的状态 合为一个新的状态: yn=(xn,xn-1,L,xn-k+1) ,则 {yn} 是一个 1-阶马氏链.程
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时齐马氏链性质 (I)
时齐马氏链由转移概率矩阵和初分布完 全确定,设转移概率矩阵为P=(pij),初 始分布: ,则
时齐马氏链性质 (II)
若记μi(n)=P(ξn=i), μ(n)=(μi(n): i∈ S),即 所谓绝对概率,则:
马氏链的不变分布
记之为pi,j(n,n+k) 矩阵P(n,n+k)=( pi,j(n,n+k) )称为从n出 发的k步转移概率矩阵
高阶马氏过程
若一个随机过程满足:
零(1)阶马氏过程

正则马氏链模型正则马氏链模型是一种常用的概率模型，它是一种离散时间、离散状态的随机过程。

该模型的基本假设是：在任意时刻，系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。

正则马氏链模型可以用来描述许多实际问题，比如天气预报、股票价格变化、人口迁移等。

一、基本概念1. 马氏性质马氏性质是指一个随机过程中，在任意时刻，系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。

这种性质也称为无后效性。

2. 状态转移矩阵状态转移矩阵是一个n×n 的矩阵，其中第 i 行第 j 列表示从状态 i 转移到状态 j 的概率。

对于正则马氏链模型而言，每个状态可以转移到任何其他状态，因此矩阵中所有元素都大于等于 0，并且每行元素之和为 1。

3. 平稳分布平稳分布是指当一个随机过程在长期运行后，其概率分布不再发生变化，并且该分布与起始分布无关。

对于正则马氏链模型而言，其平稳分布存在且唯一。

二、模型定义正则马氏链模型可以用一个四元组来表示，即(S, P, π, T)。

其中：1. S 表示状态集合，每个状态都有一个唯一的标识符。

2. P 表示状态转移矩阵，P(i,j) 表示从状态 i 转移到状态 j 的概率。

3. π 表示初始分布，π(i) 表示初始时系统处于状态 i 的概率。

4. T 表示时间步数，表示模型运行的时间长度。

三、模型计算1. 状态转移概率计算对于正则马氏链模型而言，任意时刻系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。

因此，在已知 t 时刻系统处于某一特定状态 i 的条件下，t+1 时刻系统处于某一特定状态 j 的概率可以用如下公式计算：P(i,j,t+1) = Σ P(i,k,t) × P(k,j)其中 k 是所有可能的中间状态。

2. 平稳分布计算平稳分布是指当一个随机过程在长期运行后，其概率分布不再发生变化，并且该分布与起始分布无关。

对于正则马氏链模型而言，其平稳分布可以通过不断迭代计算得到。