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第15章虚位移原理例题

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材料力学课件-虚位移习题解

材料力学课件-虚位移习题解

Fp
2m
2m 1m
3m
δrD D
δrB δrE δθ B E 45o
FEF
M C
图1
Fp
2m
2m 1m
3m
D δrD
δθ M
B E 45o
C
δrB
F
FCG
图2
FEF = −0.943kN (值为负，表明真
正指向与假定的相反)。
(2)由虚位移原理，有：
A
FPδrD + FCGδrE − Mδθ = 0 (2)
由图 2 所示几何关系：
δrC = 3δθ , δrB = δθ , δrD = δθ / 2
将上述关系式代入(2)中得：
FCG = 1.167kN
解毕。
虚位移原理
1 附图中,连接Ｄ，Ｅ两点的弹簧的弹簧常数为ｋ，ＡＢ
＝ＢＣ＝ l ，ＢＤ＝ＢＥ＝ｂ。当ＡＣ＝ａ时，弹簧拉 力为零。设在Ｃ处作用一水平力 F ，使系统处于平衡，
求Ａ，Ｃ间的距离ｘ（杆ＡＢ，ＢＣ的质量不计，摩擦 不计）。
解：作用于机构上的力除主动力F外，还有弹性力FD,FE, 它们的元功之和不为 0。以ϕ为广义坐标，建立图示坐
B
b l
y
FD
D
ϕ Ax
FE E
x
图1
xC = 2l cos ϕ
δxC = −2l sinϕδϕ .
代入(1)式，并约去δϕ得：
x = a + F ⎜⎛ l ⎟⎞2 k ⎝b⎠
解毕。
C F
2 由ＡＢ和ＢＣ在Ｂ点铰连而成的梁，用铰
支座Ａ及杆ＥＦ和ＣＧ支承，受力 F 及力偶
Ｍ作用。已知Ｆ＝１ｋＮ，Ｍ＝４ｋＮ·ｍ， 梁的重量不计，求杆ＥＦ和ＣＧ的内力。

理论力学课件 虚位移原理

理论力学课件 虚位移原理
f k ( x i ) 0, i 1 ,2 , ,3 n ； k 1,2, , r (约束数 )
x
A
f k ( xi，t ) 0,
i 1,2 , ,3n；k 1,2, , r (约束数)
y B 0 (单侧约束)
y O
B
x
y
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。
δW Fi δri 0
r A
δW Fi δri 0
M δ F δrB 0
M δ F rδ 0
M F r
例题：例15-3
图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。 解：研究整个机构。系统的所有约束都是 完整、定常、理想的。 1） 采用分析法。选取角度为广义坐标，有
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示 虚位移。同样也可以定义虚速度。 虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
与实位移不同，虚位移是约束允许的，与主动力和运动初始条件 无关的，不需经历时间的假想的微小位移。定常约束下，实位移一定 是虚位移中的一个。 F (多种形式)
δ2
k =3n-m-l k =6n-s, k =3n-s s =m+l
n——刚体数 s——约束数
空间刚体系 平面机构
自由度数为1
*自由度计算
k=?
A
解：
k=2n-s=2×3-5=1
B
k=3n-s=3×4-(2×5+1)=1
O1
O2
C
k=3×5-(2×6+2)=1
三种算法，结果相同。

15.虚位移原理

15.虚位移原理

( 3) 双面约束 – 约束条件用方程给出 约束条件用方程给出. 条件用不等式给出. 单面约束 – 约束 条件用不等式给出 x L A
mg
0
A点的约束方程 点的约束方程: 点的约束方程
x +y ≤L
2 A 2 A
y
可积分的运 动约束 圆轮的直线纯滚动. 圆轮的直线纯滚动
(4) 完整约束 – 几何约束和可积分的运动约束 几何约束和可积分的运动约束. 不可积分的运动约束. 非完整约束 – 不可积分的运动约束
E
A
B
l Q = q ⋅ = 800 N 4
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
l 4
P
Q
Q M
A
B
C
D
q=400N/m , P = 200N . M = 200 m.N . l = 8m l Q = q ⋅ = 800 N 4 E 去掉B 支座代之以F 去掉 支座代之以 B , 原结构变成一个自由 度的系统. 杆绕E 度的系统 设CE杆绕 杆绕 点有一个虚角位移δϕ δϕ, 点有一个虚角位移δϕ 则各处有关的虚位移 如图. 如图
实位移
m
dr
v
t
δr
m t+dt
虚位移
3. 虚功 虚功.
δw = F ⋅ δ r
实功. 实功
δw = F ⋅ d r
△: 理想约束 : 若其约束反力的功或约束反力的功之和为零, 定义 : 若其约束反力的功或约束反力的功之和为零 这种约束称 为理想约束. 为理想约束 △△: 虚位移的求法: △△ 虚位移的求法 1. 几何法 - 用几何学或运动学的条件直接求得 用几何学或运动学的条件直接求得. 例一. 试用 杆的转角的变分δφ 各点的虚位移, 例一 试用OA杆的转角的变分 表示 、B、C、D各点的虚位移 杆的转角的变分 表示A、 、 、 各点的虚位移 已知OA = r. 已知 解: δr = r ⋅ δϕ

15 理论力学--虚位移原理及其应用

15 理论力学--虚位移原理及其应用

(i = 1, 2,⋯, n )
O θ1 l1 M1(x1，2) y θ2 y l2 M2(x2，y2) x
如图15-5所示双摆。质点系由两个 质点组成，受到两个几何约束，广义坐 标数（或自由度数）为 2 ，可以选取角
ϕ 1和 ϕ 2作为广义坐标， ϕ 1和 ϕ 2相互
独立。
图 15-5
15.2.4 虚位移分析 15.2.4.1 几何法 应用几何学或运动学的方法求各点虚位移间的关 系。首先根据系统的约束条件，确定自由度，给定虚 位移，画出虚位移图，然后应用运动学的方法求有关 点虚位移间的关系。 质点的无限小位移与该点的速度成正比，即dr = v dt。 两质点无限小位移大小之比等于两点速度大小之比。 两质点虚位移大小之比等于对应点虚速度大小之比。 可以应用运动学中的速度分析方法（如瞬心法、速度 投影法、速度合成定理等）去建立虚位移间的关系。
本章重点 虚位移、理想约束的概念，应用虚位移原理 求解物体系的平衡问题。 本章难点 广义坐标、广义力的概念，广义坐标形式的 虚位移原理。
15.1 约束及其分类 . 15.1.1 约束与约束方程 位形（Configuration）： 位形 质点系内各质点在空间的位置的集合。 约束（Constraints）： 约束 在非自由质点系中，那些预先给定的限制质点系 位形或速度的运动学条件。 例如，限制刚体内任意两点间的距离不变的条件 ，限制车轮在直线轨道上滚动而不滑动的条件 约束方程（Contraint equations）： 约束方程 限制条件的数学方程式。
f j ( x1 , y1 , z1 ; ⋯; xn , yn , zn ) = 0
( j = 1, 2,⋯, s )
（15-3）
15.2 虚位移与自由度 . 15.2.1 虚位移 质点或质点系在给定位置（或瞬时），为约束所 容许的任何无限小位移，称为质点或质点系在该位置 的虚位移 虚位移（Virtual displacement）。 虚位移 虚线位移：δ r ， δ r = δ x i + δ y j + δ z k 。 虚角位移：δϕ ， δθ 。

第十五章虚位移原理

第十五章虚位移原理
F 2l δφ
F'
B
A
W
FN s 2Fl 0


2π
s
h
h s 2π
δs FN
FN h W (2Fl 2π ) 0
FN h 2 Fl 0 2π
1 FN 4π Fl h
例题
第15章 虚位移原理
例 题 1
例题
第15章 虚位移原理
2 1 2 1
2
2 1
y
x22 y22 l32 ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) l
2 2 2
l2 m1
m2 （x ，y ） 2 2
l3 x
l1
（x1，y1）
例3：曲柄连杆机构 约束方程为：
2 2 xA yA r2
y

r φ
A （xA，yA） l
B x （xB，yB）
xC
xC
例题
第15章 虚位移原理
例 题 7
已知图所示结构，各杆都以光滑铰链连接，且有 AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。在点G作用一铅直方向的力F，求 支座B的水平约束反力FBx。
sin ( ) M FAr cos FB r 0 cos
例：图示平面等腰三角形机构，在C点作用主动力P,系统 处于平衡，求A、B两处的约束反力。
A、B两处共有4个反力，应逐个求之。 先求哪个反力，则解除该方向的约束，代 之以对应的反力。暂时不求的则不要解除， 仍保持原约束的性质。
力学小魔术
一根重为F的均质杆简支于A,B支座上，支座的反力 分别为F/2。如果突然将支座B撤去，显然在重力矩 作用下AB杆将绕A点顺时针转动而掉下。现在，允 许在AB杆上采取一些措施，但不能对系统施加绕A 点的外力矩，使得在支座B撤去后，AB杆仍能维持 水平而不掉下。你能做到吗？

虚位移原理例题

虚位移原理例题

虚位移原理例题虚位移原理是力学中的一个重要概念，它是描述物体在受力作用下发生位移的原理。

虚位移原理在力学、静力学、动力学等领域都有着广泛的应用。

下面我们通过一些例题来深入理解虚位移原理的应用。

例题一，弹簧振子。

一根质量为m的弹簧上挂着一个质量为M的物体，当物体受到外力F时，弹簧发生形变。

求弹簧的位移x。

解析，根据虚位移原理，我们可以假设弹簧的位移为x，那么弹簧所受的弹力为-kx，其中k为弹簧的弹簧系数。

根据牛顿第二定律，物体所受的合外力为F-kx，根据虚位移原理，这个合外力所做的虚功等于零。

因此，我们可以得到F-kx=0，解得x=F/k。

例题二，斜面上的物体。

一个质量为m的物体沿着无摩擦的斜面向下滑动，斜面的倾角为θ，斜面的高度为h。

求物体滑动的位移s。

解析，根据虚位移原理，我们可以假设物体沿着斜面滑动的位移为s，那么物体所受的重力分解成沿斜面方向的分力为mgsinθ，垂直斜面方向的分力为mgcos θ。

根据虚位移原理，物体所受的合外力为mgsinθ，这个合外力所做的虚功等于零。

因此，我们可以得到mgsinθs=0，解得s=0。

例题三，简谐振动。

一个质量为m的物体挂在一个弹簧上，弹簧的劲度系数为k。

求物体振动的最大位移A。

解析，根据虚位移原理，我们可以假设物体振动的位移为x，那么物体所受的弹力为-kx。

根据牛顿第二定律，物体所受的合外力为-mg-kx，根据虚位移原理，这个合外力所做的虚功等于零。

因此，我们可以得到-mg-kA=0，解得A=mg/k。

通过以上例题的分析，我们可以看到虚位移原理在力学问题中的重要作用。

它通过假设物体的虚位移，使得问题的分析变得简单而直观。

虚位移原理的应用不仅仅局限于上面的例题，它在静力学、动力学、弹性力学等领域都有着广泛的应用。

因此，掌握虚位移原理对于理解力学问题、解决实际问题具有重要意义。

总结：虚位移原理是力学中的一个重要概念，它描述了物体在受力作用下发生位移的原理。

第15章 虚位移原理(古)

第十五章 虚位移原理15-1图示曲柄连杆机构有多少个自由度。

[答：1个]15-2求图示系统中主动力作用点C 、D 、B 的虚位移大小的比值。

[答：=B D C δδδ::2:2:1]15-3 图示平面机构中，CD 连线铅直，杆BC= BD 。

在图示瞬时，角 30=ϕ，杆AB 水平，求该瞬时点A 和点C 的虚位移大小之间的关系。

[答：C A r 23r δδ=]15-4求图示滑轮系统中，A 、B 两点虚位移之间的关系。

[答：A B r 2r δδ=]15-5重为P 、长为l 的均质杆AB 放置如图。

设各处光滑，在A 点处的水平力F 作用下保持平衡， 60=ϕ，今给A 点一向右的虚位移x δ，试由虚位移原理建立的虚功方程。

[答：0x F -63P=δδ]15-6 杆OA 和AB 各长l ，在A 点用铰链连接，在点O 和B 间连接一根刚度系数为 k 的铅直弹簧，弹簧的原长为0l 。

当在A 点作用铅垂力A F 时，机构处于图所示的平衡位置，且弹簧被拉伸。

如果不计各构件的重量和摩擦，用虚位移原理求机构处于平衡位置时的角度ϕ。

[答：4kl2kl F arcsinA +=ϕ]15-7 如图所示，两等长杆AB 和BC 在点B 用铰链连接。

在杆的点D 和点E 连接水平弹簧，弹簧的刚度系数为k ；从当距离AC a =时，弹簧的拉力等于零。

已知 AB=l , BD=b ，今在点C 作用水平力F 1使系统处于平衡。

若不计构件重量和摩擦，试用虚位移原理求距离AC 的值x 。

[答：21b l kFa x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=]15-8 在图示机构中，已知：力F ，l GC EG DE DC BC AC ======，弹簧的原长为l ，刚度系数为k 。

试用虚位移原理求机构平衡时，力F 与角θ的关系。

[答：()12sin kl 32F -=θ]15-9 平面机构在力F 1和F 2的作用下，在图所示的角度θ位置平衡。

已知1l BD OD ==，2l AD =，如果不计各构件重量和摩擦，试用虚位移原理求F 1 / F 2的比值。

工程力学A 参考习题之虚位移原理习题及解答

虚位移原理习题及解答机构在图示位置平衡，不计各杆自重，求力F 1和F 2的关系解：设AB 杆的A 点为动点，OC 杆为动系，A 、C两点的虚位移如图，则：φδδcos A e r r =φδδδcos OAeeC l ar a r r ==由上述各式和虚功方程012=-C A r F r F δδ解出：机构在图示位置平衡，不计各杆自重，求力偶矩M 与F 之间的关系。

解：设OA 杆的虚位移为δφ，则A 、D 、B各点虚位移如图，图中δφδa r A =θδθδcos 2cos A B r r = θδθδcos 2sin D B r r = 0=+-D r F M δδφ θ2tan F M =已知：弹簧原长0.3m ，刚度系数k=5kN/m ，机构在图示位置平衡，不计各杆自重，求力偶矩M 的大小。

解：设CD 杆上D 点为动点，AB 杆为动系，它们的虚位移如图θδδtan e r r r =θδδδθcos 0.3AD e e rr ==由虚功方程 0=-r k r F M δδθ以及弹簧力)]cos 3.06.0(3.0[θ--=k F k可解出 θθθs i n c o s c o s14503-=M N.m已知：BC=AB=L ，BE=BD=b ，弹簧刚度为k ，当x=a 时，弹簧拉力为零，该系统在力F 作用下平衡，杆重不计，求平衡时x=?解：弹簧力如图，其中)(a x l bk F F k k -='=各力作用点横向坐标及其变分为θcos )(b l x D -= θδθδs i n )(b l x D --= θcos )(b l x E +=θδθδs i n )(b l x E +-=θcos 2l x C = θδθδs i n2l x C -= 代入虚功方程0=∑x F xδ0=+'-C E KD K x F x F x F δδδ 解得：22kb Fl a x += 已知：已知均质杆长，杆重皆为P ，滑块C 重P2，滑轨倾角为θ，求平衡时角φ为多大？φsin 2l x D = δφφδ.cos 2l x D = φcos 2l y D = δφφδ.sin 2l y D -=φsin 2lx E = δφφδ.cos 2l x E =φcos 23l y E = δφφδ.sin 23l y E -= 0=C x 0=C x δφcos 2l y C = δφφδ.sin 2l y C -=把它们代入虚功方程 0)(=+∑y F x F y xδδ得：0sin sin cos sin cos 21111=++++C E E D D y P y P x P y P x P θδθδθδθδθδ解得： θφc o t)(2t a n 211P P P +=15-15 用虚位移原理求图示桁架中杆3的内力。

第十五章 虚位移原理(2)

第十五（1）章 虚位移原理虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。

虚位移原理与达朗贝尔原理结合起来组成动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍的方法，构成了分析力学的基础。

本书只介绍虚位移原理的工程应用，而不按分析力学的体系追求其完整性和严密性。

§15-1 约束·虚位移·虚功1．约束及其分类在第一章，我们将限制物体位移的周围物体称为该物体的约束。

为研究上的方便，现将约束定义为：限制质点或质点系运动的条件称为约束，表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。

我们从不同的角度对约束分类如下。

（1）几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。

例如图15-1所示单摆，其中质点M 可绕固定点O 在平面Oxy 内摆动，摆长为l 。

这时摆杆对质点的限制条件是：质点M 必须在以点O 为圆心、以l 为半径的圆周上运动。

若以x ，y 表示质点的坐标，则其约束方程为222l y x =+。

又如，质点M 在图15-2所示固定曲面上运动，那么曲面方程就是质点M 的约束方程，即()0,,=z y x f又例如，在图15-3所示曲柄连杆机构中，连杆AB 所受约束有：点A 只能作以点O 为圆心，以r 为半径的圆周运动；点B 与点A 间的距离始终保持为杆长l ；点B 始终沿滑道作直线运动。

这三个条件以约束方程表示为()()0222222==-+-=+B A B A B A A y l y y x x r y x上述例子中各约束都是限制物体的几何位置，因此都是几何约束。

在力学中，除了几何约束外，还有限制质点系运动情况的运动学条件，称为运动约束。

例如，图5-4所示车轮沿直线轨道作纯滚动时，车轮除了受到限制其轮心A 始终与地面保持距离为r 的几何约束r y A =外，还受到只滚不滑的运动学的限制，即每一瞬时有0=-ϖr v A上述约束就是运动约束，该方程即为约束方程。

虚位移原理例题

虚位移原理例题虚位移原理是物理学中一个非常重要的概念，它描述了光学中光线的传播规律，也是解决光学问题的基本工具之一。

下面我们通过一些例题来深入理解虚位移原理。

例题一：一根直立的圆柱形玻璃杯里装满了水，现在在玻璃杯旁边放置一个小的物体。

当我们从玻璃杯的一侧观察时，看到的物体会出现在玻璃杯的哪个位置？解析：根据虚位移原理，我们知道光线在从一种介质射向另一种介质时会发生折射。

在这个例子中，当我们从玻璃杯的一侧观察时，光线会从空气中射入水中，然后再从水中射出。

根据虚位移原理，我们可以得出结论，在观察时，物体会出现在实际物体所在位置的上方，这就是虚位移的原理。

例题二：一束光线从空气中射入玻璃中，入射角为30°，折射角为20°。

求玻璃的折射率是多少？解析：根据折射定律，我们知道入射角和折射角之间有一个固定的关系，即折射率n等于正弦入射角与正弦折射角的比值。

根据虚位移原理，我们可以通过求解这个例题来验证虚位移原理的正确性。

根据已知条件，我们可以得出：n = sin(30°) / sin(20°) ≈ 1.5。

因此，玻璃的折射率约为1.5。

例题三：一束光线从空气中射入水中，入射角为45°，求折射角和折射率是多少？解析：根据折射定律和虚位移原理，我们可以通过这个例题来进一步验证虚位移原理的正确性。

根据折射定律，我们可以得出：sin(折射角) = sin(入射角) / n。

代入已知条件，我们可以得出：sin(折射角) = sin(45°) / 1.33 ≈ 0.707 / 1.33 ≈ 0.531。

折射角约为 arcsin(0.531) ≈ 32°。

因此，光线在从空气射入水中时，折射角约为32°，折射率约为1.33。

通过以上例题的分析，我们可以更加深入地理解虚位移原理在光学中的应用。

虚位移原理是解决光学问题的重要工具，它帮助我们理解光线在不同介质中传播的规律，也为光学领域的研究提供了重要的理论基础。

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例2 图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计， 铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力大小P和Q之间 的关系。
解：研究整个机构。 系统的所有约束都是 完整、定常、理想的。
1、几何法：使A发生虚位移 rA ，
B的虚位移 rB ，则由虚位移原理，
得虚功方程：
rA
PrA QrB 0
虚功方程 M FrB 0
arcsin M
2Fl
xB 2l cos xB 2l sin
( x轴向右为正，xB向右，
rB xB 2l sin)
当然，几何法
也可以假设 顺时针，
求解结果相同。
虚功方程 M FxB 0
内移动，不计各构 件自 衡时力F1与F2的关系。
解：给出力
F1
、F2
处的虚位移 rC、rA
几何法：ra rA re rr rA cos re
rC
re
a l / cos
y

rArC C
M 0.45 cos3
(kN m)
例8：书15-8 图示之机构中，弹簧
的刚度系数为k ，当AC 距离等于 d 时，
弹簧拉力为零。如在C点作用一水平力F，
杆系处于平衡，求距离x之值。设
，
，
杆重不AB计。BC a BD b
解：1 、以整个系统为研究对象 2、分析受力，去掉弹簧，暴露出弹簧 作用在AB与BC上的两力。
θ
θCrC D F
Fθ

rB
B
P
rD
F P ctg P
2
选择AB杆、CD杆和滑套D的系统为研究对象。

re

300
cos

rr
re
tan

300sin cos2

去掉弹簧，暴露出弹簧力 F和
F
ra re
rB F rr
F

弹簧原长 (600 300 )mm
弹簧后来长
(600

300 cos
)mm
k a
讨论： 有弹簧存在时，必须计入弹性力虚功， 此时，将弹性力视为常力。
例9：三铰拱上有载荷作用力P及力偶M， 各尺寸如图，求B铰的约束力。 解：（1）求B 铰水平约束力：
解除B 铰的水平约束，代之以水平力FBx 分析主动力：M，P，FBx ，
给虚位移，求虚位移关系：
C*为刚体CDB的瞬心，
弹簧缩短
(
300 cos
300 )mm
弹簧力 F

k
(
300
cos
300 )
由虚 位移原理：
M F
ra

F


rB

0
M Frr 0 0
[M
1.5(
1 cos
1)

0.3
sin cos2
0]

0
sin (1 cos )
re

A rr
F1
由虚功原理 F1rC F2rA 0

F1

a
F2l cos2

φD x
O
解析法：建立如图直角坐标系 yA l tan
求变分 y A

l
cos2

又rC
由虚功原理 F1rC F2yA 0
a
F1
F2l
a cos2
Py A QxB 0 ,
(Pcos Qsin )l 0
由于 任意，故 PQ tg
注意：几何法时，主动力与虚位移方向一致为正； 解析法时主动力、坐标变分各自沿坐标轴方向为正

OA
vA
vB
例3：两均质杆 OA AB l ，均不计重，构成曲柄滑块
机构。今在OA杆上作用力偶 M ，在滑块B上作用力 F ，使 机构处于平衡状态，如例图所示。试求平衡位置角 。
解：将杆BD截断，暴露出内力
F
、F
给出力
P
、
F
处的虚位移 rD、rB
几何法： rC cos rD
rC cos(90 2 ) rB cos A
由虚功原理 PrD FrB 0 0 PrC cos F 2sinrC 0 (P cos 2F sin )rC 0

2Fl

FNs

(2Fl
h
2
FN )

0
由于 是任意的，有： 2Fl
也即：
h
2
FN

0
FN
4
l h
F
讨论： 1）利用约束力不做功避免了所有约束力的出现， 这是虚位移原理解题与矢量静力学解题相比的巨大优点。
2）本题求虚位移间关系的方法为：由物理关系直接给 出法。
xD a bcos , xE a bcos
xD (a b)sin (2) xE (a b)sin (3)
4、列虚功方程： FxC T xD TxE 0 (4)
联立（1）~（4），得：
x

AC

d

F

b
2

M
FNB
而
r1 rB

1 2
,
rC rB
181
,
rB
rG
4
1rB
rE
6
1rB
rC
12
1rB

1 12
181

11 96
1 11 11

FNB

2
P1

8
P2

M 96
例11： 书15-15
用虚位移原理求图示桁架中杆BD的内力，
已知ctgθ =2。
M F 2l sin 0
注意：几何法时，主动力与虚位移方向一致为正；
解析法时主动力、坐标变分各自沿坐标轴方向为正，力偶、角度逆时针为正。
例4 均质杆OA及AB在A点用铰连接，并在O点用固定铰 支座，如图所示。两杆各长2a和2b，各重P1及P2，设在B点
加水平力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角及 。
设弹簧为原长l0 ，则：
当
d l0
时ba，,弹簧l0长度ba为dl ：
有：AC x
x a, lb
l b x a
故弹簧力 T k b x b d kb x d (1)
a a a
3、给虚位移 xC 、 求各虚位移间的关系(解析法简单)
xC 2a cos xC 2a sin
P1asin P2 2asin F2acos 0 P2 bsin F2bcos 0
由此解得：
tg

P1
2F 2P2
,
tg 2F
P2
解法二： 应用虚位移原理，几何法
先使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的一
组虚位移，如图所示。
FrB cos P2rD sin 0
代入(a)式，得：
(P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
(P1asin P2 2asin F2a cos) (P2bsin F2bcos ) 0 由于 , 是彼此独立的，所以：
B
F2
例7： 书15-7
滑套D套在光滑直杆AB上，并带动杆
CD在铅直滑道上滑动。已知=0o时，
弹簧等于原长，弹簧刚度系数为
5(kN/m)，求在任意位置（ 角）平衡
时，加在AB杆上的力偶矩M ？
解：这是一个已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系 的问题。将弹簧力计入主动力，系统简化为理想约束系统，故 可以用虚位移原理求解。
解：1、对象：系统 2、分析受力：M，F
3、给虚位移： ， rB ，求虚位移关系：

几何法(虚位移投影法或者瞬心法)：
rA l
OA
vA
rA cos(90 ) rA sin 2 rB cos
vB
2rA sin rB
解析法：
rB 2l sin
例1：螺旋压榨机中螺杆的螺距为 h 。如果
在手柄上作用一在水平面内的力偶，其
力偶矩为 2Fl ，求平衡时作用于被压榨
物体上的压力。（忽略摩擦）
解：
1、对象：由手柄、螺杆及压板组成的系统
23、、分给析系受统力以：虚主位动移力：（F和, F’s有 )及，：压s板阻h力FN
2
4、列虚功方程： W
rD 5a
rB 2a
M PrD
a 5a

FByrB

0
M Pa FBy 2a 0
FBy

1 2
P

M a

讨论：虚位移原理可用于求解约束反力，只需将约束解除，代 之以约束反力，并将其视为主动力即可。（注：每次只可解 除一个约束）
而 rB 2b , rD b
代入上式，得
tg

F 2b P2 b

2F P2
再使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的另
一组虚位移，如图所示。 图示中：
rA rD rB
FrB cos P1rC sin P2rD sin 0
例10 多跨静定梁，
M
求支座B处反力。
解：将支座B 除
去，代入相应的
约束反力
FNB
。

M