直线的倾斜角、斜率、两直线位置关系

两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系1．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【直线的关系】在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的是相交直线的一个特例，直线垂直．顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为90°．【特点】①当某条直线斜率不存在时，那么与它垂直的直线平行x 轴；②当某条直线斜率存在时，设它的斜率为k （k ≠0），那么与它垂直的直线的斜率为：−1k ，即两条互相垂直的斜率之积为﹣1，符号表示为k 1•k 2＝﹣1．【例题解析】例：设A 、B 为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x ﹣2y +1＝0，则直线PB 的方程是 ．解：根据|PA |＝|PB |得到点P 一定在线段AB 的垂直平分线上，根据x ﹣2y +1＝0求出点A 的坐标为（﹣1，0），由P 的横坐标是2代入x ﹣2y +1＝0求得纵坐标为32，则P （2，32），P 在x 轴上的投影为Q （2，0），又因为Q 为A 与B 的中点，所以得到B （5，0），所以直线PB 的方程为：y ﹣0=32−02−5（x ﹣5）化简后为x +2y ﹣5＝0故答案为：x +2y ﹣5＝0．这个题是以前的一个高考题，非常好．解题时首先要分析出两条直线之间的夹角，最好的方法就是画图，根据等腰三角形底边相等的性质，然后根据斜率为1表示的倾斜角为45°这个特点，求出这两条直线的夹角；然后根据两条垂线的特点求出该直线的斜率；最后因为求出P 点的坐标，带进去即可．【知识点的认识】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系：①当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直；②当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为k1，k2，若两条直线互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们互相垂直．l1⊥l2⇔k2=−1k1⇔k1•k2＝﹣1．。

直线与方程一、基础知识梳理知识点1：直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的 所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为（2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称倾斜角的 为该直线的斜率，即k=t a n α注记：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.（当α=900时， k 不存在）（3）过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式：k=t a n 1212x x y y --=α（当x 1＝x 2时，k 不存在，此时直线的倾斜角为900）.知识点2：直线的方程直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

二、易错知识梳理1、忽视截距为零【易错题1】求经过点（2,1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 2、忽视与x 轴平行的情况 【易错题2】已知直线过（1,2）、（2，b ），求直线方程. 3、忽视斜率不存在的情况【易错题3】已知直线l 过点P （1,2）且与以A(-2,-3)、B （3,0）为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围. 三、考点类型剖析题型一 斜率与倾斜角的关系例1、 已知过点Ｐ（１－ａ，１＋ａ）和Ｑ（３，２ａ） 的直线的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围为归纳小结：任意一条直线都有唯一确定倾斜角，但斜率未必都存在. )000,180⎡∂∈⎣，k R ∈，)000,90⎡∂∈⎣，(0,)k ∈+∞；00(90,180)∂∈(,0)k ∈-∞. 题型二 三点共线问题例2、 求证A （1,5），B （0,2），C （2,8）三点共线.变式训练：（浙江高考）已知a>0，若平面内三点A （1,-a ），B （2, 2a ），C （3, 3a ）共线，则a=题型三 待定系数法求直线方程例3、 过点P(1,3)的直线分别与两坐标轴交于A,B 两点，若P 为中点，求直线的方程.变式训练：一条直线过点A （-2,3），并且与两坐标轴围成三角形的面积为1，求此直线方程. 题型四 直线方程的应用问题例4、如右图所示一条光线从点A （3,2）发出，经x 轴反射，通过B(-1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程.变式训练1：已知直线120mx ny ++=在x 轴，y 轴截距分别为-3和-4，求m,n 的值. 变式训练2：已知点A(2,5)与点B(4，-7)，试在y 轴上求一点P,使得PA PB +的值最小. 四、知能达标训练基础训练1、过点P (－2, m )和Q (m , 4)的直线斜率等于1，那么m 的值等于 （ ） A 、1或3 B 、4 C 、1 D 、1或42、在直角坐标系中，直线y= -3x+1的倾斜角为（ ）A 、0120B 、-030C 、060D 、- 060 3、过点(-3, 0)和点(-4,3)的倾斜角是（ ）A 、030B 、0150C 、060D 、0120 4、如图，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，则有（ ） A 、k 1<k 2<k 3 B 、k 3<k 1<k 2 C 、k 3<k 2<k 1 D 、k 1<k 3<k 25．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在3、过两点（-1，1）和（3，9）的直线，在x 轴上的截距是（ ） A 、32-B 、23- C 、25 D 、23、过点(5,2),且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ） A 、2x+y-12=0 B 、2x+y-12=0 或2x-5y=0 C 、x-2y-1=0 D 、x+2y-9=0或2x-5y=0 7、若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限，则（ ）A 、ab>0，bc>0B 、ab>0，bc<0C 、 ab<0，bc>0D 、 ab<0，bc<0 8、把直线l 的一般式260x y -+=化为斜截式，求出直线l 的斜率以及与两坐标轴的截距.综合训练1．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0) B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)2．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥B ．324k ≤≤ C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 3．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为___________________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为___________________;若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为________________;5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 7、已知ABC ∆的三个顶点是A （3，-4），B （0，3），C （-6，0），求它的三条边所在的直线方程。

5
直线L与直线4x+2y-3=0的距离为____1_0____
7. 若 直 线 l1 ： mx+2y+6=0 和 直 线 l2:x+(m-1)y+m2-
1=0平行但不重合，则m的值是___-_1__.
8．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4的交点在 第一象限，则k的取值范围是___-_2_/3_＜__k_＜__2___.
(6)向量式:
OP OA t为ta参数， 为方a向向量.
(7)参数式：设直线过 点 P（0 x0，y0），v=（a，b）
是它的一个方向向量 ， P（x，y是）直线上任一点，
x
ab（t为参称数）为直线的参数方程
。
(8)点向式： x x0 y y0（ab 0a）、b称为方向数.
（2）若直线 则
l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0，
l1// l2 A1B2—A2B1=0 l1⊥l2 A1A2+B1B2=0
无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所 以此公式用起来更方便.
2.两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对
对 顶 角 ， 把 l1 依 逆 时 针 方 向 旋 转 到 与 l2 重 合 时
4.直线l 在x,y轴上截距的倒数和为常数
1/m，则直线过定点____(_m_,_m__) __.
5．A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，
且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为
x-y+1=0，则直线PB的方程为( B )
(A) 2x-y-1=0
(B) x+y-5=0

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程授课提示：对应学生用书第150页[基础梳理］1．直线的倾斜角(1）定义:(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π）．2条件公式直线的倾斜角θ，且θ≠90°k＝tan__θ直线过点A(x1，y1），B（x2，y2) 且x1≠x2k＝y1－y2 x1－x23.条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1＝k2k1与k2都不存在垂直k1k2＝－1k1与k2一个为零、另一个不存在4。

直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点（x1，y1）y－y1＝k(x－x1）不含直线x＝x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1,y1），(x2，y2)错误!＝错误!（x1≠x2,y1≠y2)不含直线x＝x1（x1＝x2)和直线y＝y1（y1＝y2)截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b错误!＋错误!＝1(a≠0，b≠0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0）平面直角坐标系内的直线都适用5.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1,y1),(x2，y2）,线段P1,P2的中点M的坐标为（x，y)，则错误!此公式为线段P1P2的中点坐标公式．1．斜率与倾斜角的两个关注点(1）倾斜角α的范围是［0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k ＝tan α，图像为：(2）当倾斜角为90˚时,直线垂直于x轴，斜率不存在．2．直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0。

[四基自测]1．（基础点：根据两点求斜率）过点M（－2，m)，N(m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为(）A．1B．4C．1或3 D.1或4答案:A2．（基础点:直线的倾斜角与斜率的关系）直线x＋错误!y＋1＝0的倾斜角是()A.错误!B．错误!C。