第5讲 直线的倾斜角与斜率新课标要求①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
知识梳理 一、直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角 规定当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°记法 α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可二、直线的斜率定义(α为直线的倾斜角) α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α=90°直线斜率不存在记法 常用小写字母k 表示,即k=tan α 范围 R作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度三、直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),(x 1≠x 2),则直线的斜率公式为k=y 2-y1x 2-x 1.四、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1,l 2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k 1,k 2.则对应关系如下:前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1=k 2l 1∥l 2⇔两直线斜率都不存在图 示五、两条直线垂直与斜率之间的关系对应 关系l 1与l 2的斜率都存在,分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1l 1与l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.图示名师导学知识点1 直线的斜率与倾斜角及其关系【例1-1】（广州期末）直线2y =-的倾斜角是( ) A ．3πB ．4π C ．6π D ．56π 【分析】利用直线的倾斜角的定义作答．【解答】解：由于直线2y =-([0,))θθπ∈，则tan θ 故它的倾斜角为3π， 故选：A ．【例1-2】（三明期末）已知直线a 的倾斜角为45︒，则a 的斜率是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】直接利用直线的倾斜角求出直线的斜率即可．【解答】解：直线a 的倾斜角为45︒，则a 的斜率为：tan451︒=．故选：A ．【变式训练1-1】（舟山期末）直线1y x =+的倾斜角是( ) A ．6πB ．4π C ．2π D ．34π 【分析】根据题意，设直线1y x =+的倾斜角为θ，由直线的方程可得其斜率k ，则有tan 1θ=，结合θ的范围即可得答案．【解答】解：根据题意，设直线1y x =+的倾斜角为θ， 直线的方程为：1y x =+， 其斜率1k =，则有tan 1θ=， 又由0θπ<， 则4πθ=，故选：B ．【变式训练1-2】（钦州期末）直线1y =+的倾斜角为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【分析】求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角即可．【解答】解：因为直线1y =+的斜率为k =，所以直线的倾斜角为α，tan α=，所以120α=︒． 故选：C ．【例2-1】（南京期末）若直线l 经过两点(1,3)-，(3,3)-，则直线l 的斜率为( ) A ．23 B ．23-C ．32 D ．32-【分析】由题意利用直线的斜率公式，求得结论．【解答】解：直线l 经过两点(1,3)-，(3,3)-，则直线l 的斜率为3(3)3132--=---，故选：D ．【例2-2】（玉林期末）已知直线l 过点(A -，(2,)B m 两点，若直线l 的倾斜角是23π，则(m = )A ．-B ．0C ．D ．【分析】根据条件，由斜率公式得到关于m 的方程，再求出m 的值．【解答】解：设直线l 的斜率为k ，则2tan 3k π===，故m =- 故选：A ．【变式训练2-1】（徐州期末）已知点(1,6)M ，(7,3)N ，则直线MN 的斜率为( ) A ．2-B ．12-C ．12D ．2【分析】由题意利用直线的斜率公式，求出结果． 【解答】解：点(1,6)M ，(7,3)N ，则直线MN 的斜率为631172-=--， 故选：B ．【变式训练2-2】（宁波期末）一条直线过点A (1,0)和(2,3)B -，则该直线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．150︒【分析】由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的倾斜角．【解答】解：一条直线过点A (1,0)和(2,3)B -，则该直线的斜率为30121-=---， 故该直线的倾斜角为135︒， 故选：C ．知识点3 直线斜率的运用【例3-1】(江西赣州高一期末)已知直线l 过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段相交,若直线l 的斜率存在,则直线l 斜率的取值范围为 .【分析】分别求出直线AP 和BP 的斜率,再数形结合即可判断. 【解答】直线AP 的斜率k=3+2-2+1=-5, 直线BP 的斜率k=0+23+1=12,因为直线l 过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段 相交,所以k l ≥12或k l ≤-5.则直线l 的斜率的取值范围是(-∞,-5]∪[12,+∞).【例3-2】（红桥区期中）已知(1,2)A -、(2,0)B 、(,3)C x ，且A 、B 、C 三点共线，则x = ．【分析】直接利用直线的斜率相等求出结果．【解答】解：已知(1,2)A -、(2,0)B 、(,3)C x ，且A 、B 、C 三点共线， 所以022302(1)32AB BC k k x --==-==---， 解得：52x =-，故答案为：52-．【变式训练3-1】设点A(3,-5),B(-2,-2),直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.(-∞,-3 ]∪[1,+∞)B. [-3,1]C.[-1,3]D.以上都不对 【分析】分别求出PA 、PB 的斜率结合图形即可求出. 【解答】如图所示,直线PB,PA 的斜率分别为k PB =1,k PA =-3,结合图形可知k≥1或k≤-3. 故选A.【变式训练3-2】（绍兴期末）已知点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上，则2a b -= ． 【分析】三点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上，可得AB BC k k =，利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：三点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上， AB BC k k ∴=，∴111010ba----=--， 化为：21a b -=． 故答案为：1．知识点4 两直线平行的判定【例4-1】（济南校级月考）判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行:(1)l 1经过点A (-1,-2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (-1,-1);(2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2);(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (-1,3),N (2,0);(4)l 1经过点A (-3,2),B (-3,10),l 2经过点M (5,-2),N (5,5).【分析】斜率存在的直线求出斜率,利用l 1∥l 2⇔k 1=k 2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论. 【解答】(1)k 1=1-(-2)2-(-1)=1,k 2=-1-4-1-3=54,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行.(2)k 1=1,k 2=2-12-1=1,k 1=k 2, 故l 1∥l 2或l 1与l 2重合.(3)k 1=0-11-0=-1,k 2=0-32-(-1)=-1,则有k 1=k 2. 又k AM =3-1-1-0=-2≠-1, 则A ,B ,M 不共线.故l 1∥l 2.(4)由已知点的坐标,得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合,故有l 1∥l 2.【变式训练4-1】（长高一调研）已知A (-2,m ),B (m ,4),M (m+2,3),N (1,1),若AB ∥MN ,则m 的值为 . 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论.【解答】当m=-2时,直线AB 的斜率不存在,而直线MN 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意; 当m=-1时,直线MN 的斜率不存在,而直线AB 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意; 当m ≠-2,且m ≠-1时,k AB =4-m m -(-2)=4-mm+2,k MN =3-1m+2-1=2m+1.因为AB ∥MN ,所以k AB =k MN , 即4-m m+2=2m+1,解得m=0或m=1.当m=0或1时,由图形知,两直线不重合. 综上,m 的值为0或1.知识点5 两直线垂直的判定【例5-1】（合肥质检）(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.【分析】(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.【解答】解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在.当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-aa -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-a a -5×a -5-3=-1,解得a=0.综上所述,a 的值为0或5.【变式训练5-1】（全国高二课时练习）已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l （ ） A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直【答案】A 【解析】直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点 ∴直线1l 的斜率：141138k +==-+ 直线2l 的倾斜角为135 ∴直线2l 的斜率：2tan1351k ==-，121k k ∴⋅=-， 12l l ∴⊥. 知识点6 平行与垂直的综合应用【例6-1】如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.【分析】利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系. 【解答】由斜率公式得k OP =t -01-0=t , k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t,k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t=-1t.所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形.【变式训练6-1】（湖南衡阳五中月考）已知在平行四边形ABCD 中，(1,2),(5,0),(3,4)A B C . （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.【解析】(1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴，解得.∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝＝1，k BD ＝＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．名师导练A 组-[应知应会]1．（淮安期中）已知直线:3l x π=，则直线l 的倾斜角为( )A ．3π B ．2π C ．4π D ．6π 【分析】根据题意，由直线l 的方程分析可得直线l 是与x 轴垂直的直线，据此可得答案． 【解答】解：根据题意，直线:3l x π=，是与x 轴垂直的直线，其倾斜角为2π； 故选：B ．2．（广陵区校级期中）若直线l 经过坐标原点和(3,3)-，则它的倾斜角是( ) A ．135︒B ．45︒C ．45︒或135︒D ．45-︒【分析】直接用两点式求直线斜率，然后求倾斜角． 【解答】解：由题可知，直线l 的斜率30130k --==--，设倾斜角为α，则tan 1α=-，135α∴=︒． 故选：A ．3．( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【分析】设此直线的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒，已知tan θ=θ． 【解答】解：设此直线的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒，tan θ=，60θ∴=︒． 故选：B ．4．（郑州期末）过两点(0,)A y ，3)B -的直线的倾斜角为60︒，则(y = ) A ．9-B ．3-C ．5D ．6【分析】首先利用点斜式写出直线方程，然后将点A 的坐标代入求值．【解答】解：由题意知，直线AB 的方程为：3y x +=-． 把0x =代入，得36y +=-． 故9y =-． 故选：A ．5．（银川一中高二月考）已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】D【解析】∵由条件知过A (1,1)，B (1，－3)两点的直线的斜率不存在，而AB ⊥CD ，∴k CD ＝0，即23mn -+＝0，得m ＝2，n ≠－3，∴点(m ，n )有无数个．6．（沙坪坝区校级期末）过点(2,1)A ，(,3)B m 的直线的倾斜角α的范围是3(,)44ππ，则实数m 的取值范围是( ) A ．02m <B ．04m <<C ．24m <D ．02m <<或24m <<【分析】由直线的倾斜角的范围求出直线的斜率的范围，再由两点求斜率求出AB 所在直线的斜率，得到关于m 的不等式，求解m 的范围，再由2m =时直线的倾斜角为2π，符合题意，则答案可求． 【解答】解：由直线的倾斜角α的范围是3(,)44ππ，得直线的斜率存在时，有1k <-或1k >． 又31222AB k m m -==--， ∴212m <--或212m >-， 解得02m <<或24m <<． 当直线的斜率不存在时，2m =． 综上，实数m 的取值范围是(0,4)． 故选：B ．7．（公安县期末）若直线l 经过(2,1)A ，(1B ，2)()m m R -∈两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．04παB ．2παπ<< C ．42ππα<D ．324ππα< 【分析】根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率k ，分析可得斜率k 的范围，结合直线的斜率k 与倾斜角的关系可得tan 1k α=，又由倾斜角的范围，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l 经过(2,1)A ，2(1,)B m -，则直线l 的斜率221121m k m +==+-，又由m R ∈，则211k m =+， 则有tan 1k α=， 又由0απ<，则42ππα<；故选：C ．8．（多选）（惠州期末）如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项正确的是( )A ．132k k k <<B ．321k k k <<C ．132ααα<<D ．321ααα<<【分析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论．【解答】解：如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α， 则230k k >>，10k <，故2302παα>>>，且1α为钝角，故选：AD ．9．（多选）（无锡期末）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有( ) A ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C ．若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为(90)αα≠︒，则该直线的斜率为tan α 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论轮．【解答】解：平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A 正确； 但由于和x 轴垂直的直线倾斜角等于90︒，故它的斜率不存在，故B 错误；若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为不一定是α，如330α=︒时，此时，直线的倾斜角为30︒． 若一条直线的倾斜角为(90)αα≠︒，则该直线的斜率为tan α，故D 正确， 故选：AD ．10．（多选）下列命题中正确的为( )A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；B.若两直线平行，则它们的斜率相等；C.若两直线的斜率之积为1-，则它们垂直；D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为1-. 【答案】AC【解析】当直线12,l l 斜率12,k k 都存在且两直线不重合时,若12k k =，则12l l //；若121k k =-，则12l l ⊥，可知①③正确,当两条直线均与x 轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知②错误,当两条直线一条与x 轴垂直，一条与y 轴垂直时，两直线垂直，但与x 轴垂直的直线斜率不存在，可知④错误. 11．（资阳期末）若过点(4,)A a ，(2,3)B -的直线的倾斜角为34π，则a = ． 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的斜率公式，求得a 的值． 【解答】解：由题意可得33tan 1442a π+=-=-，求得5a =-， 故答案为：5-．12．（宜兴市月考）若直线l 的斜率为1，则直线l 的倾斜角为 ．【分析】设直线l 的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒，可得tan 1θ=，然后求出θ的值． 【解答】解：设直线l 的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒．tan 1θ∴=，解得45θ=︒． 故答案为：45︒．13．（北碚区校级期末）已知两点(3,4)A -，(3,2)B ，直线l 经过点(2,1)P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是 ．【分析】由题意画出图形，分别求出PA ，PB 所在直线当斜率，数形结合得答案． 【解答】解：如图，(3,4)A -，(3,2)B ，直线l 经过点(2,1)P -．2(1)332PB k --==-，4(1)132PA k --==---． ∴若直线l 经过点(2,1)P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是(-∞，1][3-，)+∞．故答案为：(-∞，1][3-，)+∞．14．（闵行区期末）若直线l 的倾斜角的范围为[4π，)3π，则l 的斜率的取值范围是 ．【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出． 【解答】解：直线l 的倾斜角[4πθ∈，)3π，则l 的斜率tan [1θ∈． 故答案为：[1．15．已知1,0A ，()3,2B ，()0,4C ，点D 满足AB CD ⊥，且//AD BC ，则点D 的坐标为______ 【答案】()10,6-【解析】设(),D x y ，则2131AB k ==-，422033BC k -==--，4CD y k x -=，1AD yk x =- AB CD ∵⊥，//AD BC 411213AB CD AD BCy k k x y k k x -⎧⋅=⨯=-⎪⎪∴⎨⎪===-⎪-⎩，解得：106x y =⎧⎨=-⎩，即：()10,6D - 16．（金凤区校级期末）若三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上，则实数b 等于 ． 【分析】三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上，可得AB AC k k =，利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上， AB AC k k ∴=，∴11112383b --=---， 即11055b -=-，化为110b -=-． 解得9b =-． 故答案为9-．17．（山东潍坊三中期中）判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．【解析】 (1)k 1＝－10，k 2＝＝，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴，k 2＝＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2. (3)k 1＝＝－1，k 2＝＝－1，∴k 1＝k 2.又k AM ＝＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2.(4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.18．（平遥县月考）已知直线l 过点(1,2)A ，(,3)B m ，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．【分析】设直线AB 的倾斜角为θ，0180θ︒<︒，根据斜率的计算公式分类讨论：1m ≠和1m =，倾斜角与斜率的关系求得直线AB 的倾斜角的取值范围． 【解答】解：设直线AB 的倾斜角为θ，0180θ︒<︒， 由题意知，(1,2)A ，(,3)B m ，当1m =时，直线AB 的斜率不存在，此时90θ=︒； 当1m ≠时，直线AB 的斜率321011k m m -==≠--，所以0θ≠︒， 综上得，直线AB 的倾斜角的取值范围是(0︒，90)(90︒︒⋃，180)︒， 斜率的取值范围是{|0}k k ≠．19．（全国课时练）已知()222,3A m m +-，()23,2B m m m --，()21,32C n n +-三点，若直线AB 的倾斜角为45︒，且直线AC AB ⊥，求点A ，B ，C 的坐标． 【解析】()()22232tan 45123ABm mk m m m --===+---， 解得1m =-（舍去），2m =-，∴点()6,1A ，()1,4B -．3211216AC n k n --==-+-，解得85n =，∴点2114,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭.20．（武城县校级月考）（1）求证：(1,1)A -，(2,7)B --，(0,3)C -三点共线．（2）若三点1(2,3),(3,4),(,)2A B m C m --共线，求m 的值．【分析】（1）求出直线的斜率，证明三点共线即可； （2）根据三点共线，得到关于m 的方程，解出即可．【解答】（1）证明：(1,1)A -，(2,7)B --，(0,3)C -，71221AB K -+∴==--，31201AC K -+==⋯- AB AC K K ∴=又直线AB 与AC 有公共点A ⋯直线AB 与直线AC 为同一条直线即A 、B 、C 设共线 （2）解：题意得直线AB ，AC 的斜率都存在A ，B ，C 三点共线AB AC K K ∴=，即43313(2)(2)2m m ---=----12m ∴=21．（芜湖期末）已知点(5,1)A -，(1,1)B ，(2,)C m ． （1）若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值． （2）若ABC ∆为直角三角形，求实数m 的值．【分析】（1）由A ，B ，C 三点共线，可得AB BC k k =．利用斜率计算公式即可得出．（2）12AB k =-，1BC k m =-，13AC m k +=-．利用直线相互垂直与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：（1）A ，B ，C 三点共线，AB BC k k ∴=．即11(1)2115m ---=--， 解得：12m =． （2）12AB k =-，1BC k m =-，13AC m k +=-．若2ABC π∠=，则1(1)12m --=-，解得3m =． 若2ACB π∠=，1(1)13m m +--=-，解得2m =±． 若2CAB π∠=，11()132m +-⨯-=-，解得7m =-． 故2m =±，3，7-．22．（静宁县校级期末）已知(1,1)M -，(2,2)N ，(3,0)P ． （1）求点Q 的坐标，满足PQ MN ⊥，//PN MQ ．（2）若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ ∠=∠，求直线MQ 的倾斜角． 【分析】（1）设(,)Q x y ，根据PQ MN ⊥得出313y x ⨯=--，然后由PN MQ ‖得出121y x +=--，解方程组即可求出Q 的坐标．（2）设(,0)Q x 由NQP NPQ ∠=∠得出NQ NP k k =-，解方程求出Q 的坐标，然后即可得出结果． 【解答】解：设(,)Q x y由已知得3MN k =，又PQ MN ⊥，可得1MN PQ k k ⨯=- 即31(3)3yx x ⨯=-≠-① 由已知得2PN k =-，又PN MQ ‖，可得PN MQ k k =，即12(1)1y x x +=-≠-② 联立①②求解得0x =，1y = (0,1)Q ∴（2）设(,0)Q xNQP NPQ ∠=∠，NQ NP k k ∴=-又22NQ k x=-，2NP k =- ∴222x=- 解得1x = (1,0)Q ∴，又(1,1)M -， MQ x ∴⊥轴故直线MQ 的倾斜角为90︒．23．（孝感期末）已知(1,3)A ，(5,1)B ，(3,7)C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D 的坐标． 【解答】解：由题，(1,3)A ，(5,1)B ，(3,7)C所以2AC k =，12AB k =-，3BC k =设D 的坐标为(,)x y ，分以下三种情况： ①当BC 为对角线时，有CD AB k k =，BD AC k k =， 所以，125BD y k x -==- 得7x =，y=5.②当AC 为对角线时，有CD AB k k =，AD BC k k =， 所以，331AD y k x -==-- 得1x =-，9y =③当AB 为对角线时，有BD AC k k =，AD BC k k = 所以125BD y k x -==-，331AD y k x -==-- 得3x =，3y =-所以D 的坐标为(7,5)或(1,9)-或(3,3)-．B 组-[素养提升]1．（芜湖期末）已知直线l 方程为(,)0f x y =，11(P x ，1)y 和22(P x ，2)y 分别为直线l 上和l 外的点，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =表示( )A ．过点1P 且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点2P 且与l 平行的直线D ．不过点2P ，但与l 平行的直线【分析】利用点在直线上推出1(f x ，1)0y =，判断2P 与方程的关系，利用直线的平移，推出结论． 【解答】解：由题意直线l 方程为(,)0f x y =，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =，两条直线平行， 11(P x ，1)y 为直线l 上的点，1(f x ，1)0y =，(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =，化为(f x ，2)(y f x -，2)0y =，显然22(P x ，2)y 满足方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =， 所以(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =表示过点2P 且与l 平行的直线． 故选：C ．2．（全国月考）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在1x x =，2x x =，3123()x x x x x =<<处的函数值分别为11()y f x =，22()y f x =，33()y f x =，则在区间1[x ，3]x 上()f x 可以用二次函数来近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x =+-+--，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，131z k k k x x -=-．若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算sin5π的值是( )A ．1425 B ．35C ．1625D ．1725【分析】根据题意设()sin y f x x ==，且10x =，22x π=，3x π=，计算对应的1y 、2y 、和3y 的值，求出1k 、2k 和k 的值，代入题目中的二次函数计算即可． 【解答】解：设()sin y f x x ==，且10x =，22x π=，3x π=，则有10y =，21y =，30y =；所以11022k ππ-==-，0122k πππ-==--，224k π=-，由2111212244()()()()f x y k x x k x x x x x x ππ≈+-+--=-+，可得2244sin x x x ππ≈-+，224416sin()55525πππππ≈-⨯+⨯=． 故选：C ．3．（越城区校级期中）已知两点(1,2)A -，(,3)B m ．且实数[1m ∈-1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．【分析】分类讨论，当1m =-时，直线AB 倾斜角2πα=；②当1m ≠-时，直线AB 的斜率为11m +，再利用正切函数的单调性求出倾斜角α的范围 【解答】解：①当1m =-时，直线AB 倾斜角2πα=；②当1m ≠-时，直线AB 的斜率为11m +，1[m +∈， 1(1k m ∴=∈-∞+，3[3，)+∞， [6πα∴∈，)(22ππ⋃，2]3π，综合①②知，直线AB 的倾斜角[6πα∈∈，2]3π．。
垂直直线斜率关系垂直直线斜率关系是数学中一个重要的概念，用来描述两条直线之间的垂直关系。
在几何学和物理学等领域中，垂直直线斜率关系的应用非常广泛，它帮助我们理解和解决许多实际问题。
我们来看看什么是直线的斜率。
斜率是直线上任意两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。
对于一条直线来说，斜率是一个常数，可以用来描述直线的倾斜程度。
如果两条直线的斜率乘积为-1，那么它们就是垂直的。
那么如何求两条直线的斜率呢？对于一条直线，我们可以通过已知的两个点来计算斜率。
假设直线上两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么直线的斜率可以用公式k=(y2-y1)/(x2-x1)来计算。
例如，如果直线上两点的坐标分别为(2, 3)和(4, 7)，那么直线的斜率就是(7-3)/(4-2)=2。
现在我们来考虑两条直线的垂直关系。
如果两条直线的斜率乘积为-1，那么它们就是垂直的。
例如，如果一条直线的斜率为2，那么与它垂直的直线的斜率就是-1/2。
这是因为2*(-1/2)=-1。
所以，如果我们知道一条直线的斜率，就可以很容易地求出与它垂直的直线的斜率。
垂直直线斜率关系在几何学中有许多应用。
例如，在求解两条直线的交点时，我们可以利用垂直直线斜率关系来简化计算。
假设有两条直线分别为L1和L2，我们已知L1的斜率为k1，L2与L1垂直，那么L2的斜率为-k1的倒数。
通过求解L1和L2的交点，我们可以得到两条直线的交点坐标。
垂直直线斜率关系还可以应用于物理学中的力学问题。
例如，在斜面上滑动的物体，斜面的斜率和物体的重力方向垂直。
通过计算斜面的斜率，我们可以确定物体在斜面上的运动状态。
同样地，在圆周运动中，切线和半径之间的关系也满足垂直直线斜率关系。
通过计算切线的斜率，我们可以推导出物体在圆周运动中的加速度和速度等重要参数。
总结一下，垂直直线斜率关系是数学中一个重要的概念，用来描述两条直线之间的垂直关系。
通过计算直线的斜率，我们可以判断两条直线是否垂直，并求解两条直线的交点。
垂直的直线斜率的关系
当一条线的斜率为0时，它就是一条垂直线，这条线将空间直接划分成左右、上下两部分，各自独立而又相互联系。
一条垂直线上所有点都有相同的y坐标，也就意味着这些点在x轴上没有距离。
而在斜率上，它们比上文中提到的对角线之类的曲线线条要平直得多。
因此，垂直线的斜率可以定义为：当一条线在x轴上的任何两点的距离都接近于0，斜率就定义为0。
这样的斜率我们称为水平线，换句话说，当x轴上的任何两点的距离都接近于0时，这条线的斜率就定义为0，这样的斜率我们称为垂直线。
一般情况下，无论这条线的斜率是正是负，任何时候都可以根据两个点来估算它的斜率。
但是当这条线完全垂直，我们就没法根据两个点来估算它的斜率了，因为两个点在x 轴上的距离都是0，所以无法得出任何有意义的结果。
因此，要表示垂直线的斜率，我们只能用一个特殊的符号：无穷大，简写为∞ 。
总而言之，垂直线的斜率是一种特殊的斜率，它等于无穷大，简写为∞ 。
它并不像平行线或对角线那样能够通过两点来估算斜率，因此只能通过符号∞ 来表示。
直线平行斜率关系公式直线平行是指两条直线在平面上永远不相交，它们有相同的斜率。
斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。
若给定一条直线的斜率为k，那么与这条直线平行的直线的斜率也为k。
可以使用一种关系公式来表示这个关系，这个公式是基于直线方程的斜截式形式。
直线方程的常见形式为y = mx + c，其中m是斜率，c是直线在y轴上的截距。
如果两条直线平行，它们的斜率相同，所以斜截式方程可以表示为：y = mx + c1 （直线1）y = mx + c2 （直线2）斜率为m的两条平行直线的斜截式方程的截距c1和c2可以不相同，因为它们可能在y轴上的截距不同，但是斜率必须相同才能保证平行。
更进一步，我们可以将直线方程转化为一般形式Ax+By+C=0。
在这种情况下，斜率m可以通过公式m=-A/B获得。
假设有两条平行直线L1和L2，它们的一般形式方程分别为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0。
若直线L1与L2平行，则根据斜率的定义，m1=-A1/B1=m2=-A2/B2、因此，可以使用这个公式来判断两条直线是否平行。
除了斜截式和一般形式方程，还有点斜式方程可以用来表达直线平行关系。
点斜式方程的形式为y-y1=m(x-x1)，其中m是斜率，(x1,y1)是直线上的一点。
如果两条直线平行，则它们的斜率相同，所以点斜式方程可以表示为：y-y1=m(x-x1)（直线1）y-y2=m(x-x2)（直线2）斜率为m的两条平行直线的点斜式方程的截距y1和y2可以不相同，因为它们可能在x轴上的截距不同，但是斜率必须相同才能保证平行。
需要注意的是，斜率为零的直线是水平的，它们在平面上是平行于x 轴的。
斜率为正无穷或负无穷的直线是垂直的，它们在平面上是平行于y 轴的。
在这些特殊情况下，直线平行的条件稍有不同，但是上述斜截式、一般形式和点斜式方程仍然适用。
总结起来，在平面直角坐标系中，斜率相同的两条直线是平行的。
