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高中数学《倾斜角与斜率》课件

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【新教材】第2章 倾斜角与斜率人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件(共49张PPT)

【新教材】第2章 倾斜角与斜率人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件(共49张PPT)
18
①
②
③
19
求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0°，当 直线与 x 轴垂直时，倾斜角为 90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180°.
20
[跟进训练]
1．一条直线 l 与 x 轴相交，其向上的方向与 y 轴正方向所成的
向向量为(1,2)，则 y＝________.
23
(3)如图，直线 l1 的倾斜角 α1＝30°，直线 l1⊥l2，求 l1、l2 的斜率．
24
[思路探究] (1)利用公式 k＝xy22－－xy11(x1≠x2)＝tan α； (2)利用方向向量的共线求解； (3)利用公式 k＝tan α(α≠90°)．
37
2．[变条件]本例中，A、B 两点坐标不变，其它条件去掉，在直
线 y＝－1 上求一点 P，使 PA、PB 的斜率互为相反数．
[解] ∵点 P 在直线 y＝－1 上，∴可设点 P(x，－1)． 又条件可知 kPA，kPB 一定存在． 由斜率公式得 kPA＋kPB＝－4＋3－1x＋23＋－1x＝0， 解得 x＝34. 故所求 P 点坐标为34，－1.
44
3．已知直线 AB 与直线 AC 有相同的斜率，且 A(1,0)，B(2，a)，
C(a,1)，则实数 a 的值是________．
1± 5 2
[依题意：kAB＝kAC，即a2－ －01＝1a－ －01，
解得
a＝1±2
5 .]
45
4．已知直线 l 向上方向与 y 轴正向所成的角为 30°，则直线 l 的
所以 α 的取值范围是 45°≤α≤135°.

人教版高中数学(2019)选择性必修一第二章2.1.1倾斜角与斜率PPT

人教版高中数学(2019)选择性必修一第二章2.1.1倾斜角与斜率PPT

Q （x2，y1）
αPP21（（xx21，y12））
O
x
PP12（（xx1，2，yy1）2）
Q （x2，y1）
α
O
x
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )是直线l上的两个不同点
k tan | PP2 |
| PP1 |
| PP2 | y2 y1 | PP1 | x2 x1
1.(1)若三点 A(－2,3)，B(3，－2)，C 12，m 共线，则 m 的值为 ___1___．
2 (2)直线 l 过点 P(－1,2)且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的
线段相交，则直线 l 的斜率取值范围是________________．
－∞，－12∪[5，＋∞)
学以致用：
2.点 M(x，y)在函数 y＝－2x＋8 的图象上，当 x∈[2,5]时， 求 yx＋＋11的取值范围．
③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有
斜率。
（）
④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平
行于y轴的直线的倾斜角不存在
（）
⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )
小结：
直线的倾斜角
定义
三要素
范围 0an k y2 y1
x2 x1
k , k ,
学以致用：
y
o
（1）
y
x
o
（2）
y
x o
（3）
y
x
o
x
（4）
2、直线的斜率
前进
升高量
升高
坡度= 前进量
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正
切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：

高中数学(新人教A版)选择性必修一：倾斜角与斜率【精品课件】

高中数学(新人教A版)选择性必修一：倾斜角与斜率【精品课件】
P1 , P2的坐标有怎样的关系?
思
新知讲解
如图，向量=( ，1)，且直线OP的倾斜角为α.由正切函数
的定义，有


=
=
.


y
P ( 3 ,1)

x
O
(1)
思
新知讲解
如图， =(− − ，1 − 0)=(− − ，1)．
平移向量 到，则点的坐标为(− − ，1)，且直线的
= = − = −
由于正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，
斜率也不同。因此我们可以利用斜率表示倾
斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度，
3
2
进而表示直线的方向。


k tan
k
- - 2
1
2
o
1

3
2

思
概念生成
如果直线经过两点P1( , )， , ≠ ，那么
倾斜角与斜率
课程标准
通过直观感受直线的变化，了解直线倾斜角与斜率
的概念。掌握通过两点求直线斜率的公式，体会从
特殊到一半，从感性到理性的认知过程，体会数形
结合与化归转化在思想。
新课导入
思
我们知道，点是构成直线的基本元素．
在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表
示直线呢？
为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角

.

思
课堂练习
例1 如图，已知A(3，2)，B( − ,1)，C(0， − 1)，求直线AB，BC，
CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解:直线AB的斜率 =

2.1.1 倾斜角与斜率 (教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.1.1 倾斜角与斜率 (教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

P P
P₂
α
0
0
X
yA
P₁
P
P₂
α
α
O
x
二 、探究本质得 出新知
探究二：直线的斜率
1.直线的斜率：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这 条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k=tana.
2.斜率与倾斜角的对应关系
图示
y 1
0
x
y1
0
x
yl
0O x
y
a
0
x
倾斜角 (范围) 斜率 (范围)
α=0° k=0
1.知识方面：
(1)掌握了倾斜角的概念及范围、斜率的概念. (2)能够利用两点的斜率公式求斜率. 2.思想方面：提升了数学运算素养和观察归纳的能力.
六、作业布置 检测目标
教材P57习题2. 1第2,3,4题
三 、举例应用掌握定义
例1 . (1)已知直线l的倾斜角为θ—25°,则角θ的取值范 围为( D )
A.25°≤0<155°
B.—25°≤0<155°
C.0°≤0<180°
D.25°≤θ<205°
(2)若直线l 经过第二、三、四象限，则直线l的倾斜角 的范围是( C )
A.0°≤α<90° C.90°<α<180°
5.已知A(m,—m+3),B(2,m—1),C
(一1,4),直线AC
的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值 . 【解析】由题意直线AC 的斜率存在，即m≠—1.
所以
,
事
整理得： —m—1=(m—5)(m+1),
即(m+1)(m—4)=0, 所以m=4.

高中数学人教A版必修23.直线的倾斜角与斜率PPT课件

高中数学人教A版必修23.直线的倾斜角与斜率PPT课件
正向与直线向上方向之间所成的 角叫做直线的 倾斜角。
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
y
p
l
o
x
l
规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0° 注意： (1)直线向上方向；(2)x轴的正方向。
问题1：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对， 违背了定义中的哪一条？
y
y
y
y
o x
o
x o
解：
直线AB的斜率
k AB
22 84
0
直线BC的斜率
kBC
22 0 (8)
4 8
1 2
直线CA的斜率
kCA
2 (2) 40
4 4
1
y.
B
.A
.
.
. . o.
.
.
.
x
C
∵ kAB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。
∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。
∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
三、直线的倾斜角与斜率的关系：
问题4：当 =0°时，k值如何？
当0°＜ ＜ 90°时，k值如何？ 当 =90°时，k值如何？ 当90° ＜ ＜180°时，k值如何？
a 0 k tan 0 0
0 a 90 k tan a 0
a
90
tan
a(不存在)
k不存在
90 a 180 k tan a 0 高 中 数 学 人 教A版必 修23. 直线的 倾斜角 与斜率 PPT课件
通过问题2的分析可知倾斜角的取值范围是
0°≤ ＜180°
在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的 倾斜角。而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向，倾斜 角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度。

高中数学2.1 直线的倾斜角与斜率优秀课件

高中数学2.1 直线的倾斜角与斜率优秀课件
本节首先探索确定直线位置的几何要素。
倾斜角 斜率
已知直线 l 经过点 P ，直线 l 的位置能够确定吗？
两点确定一条直线，
过一点 可以作无数条直线 l 1 ，l 2 ，l 3 ，…
y
l3
l4
l2
P
l1
O
x
这些直线区别在那里呢？
它们的倾斜程度不同
怎样描述直线的倾斜程度呢？
怎样描述直线的倾斜程度呢？
k:0
y
0
P
0
O
x
: 2
k 随 的增大而增大
k:0 k(,)
1、完成下面的表格1，并分析直线的倾斜角不同时， 直线的斜率取值是否也不同，在此根底上总结斜率的意义。 表1：

0 30 45 60 90 120 135 150
3
k
0
3
1
3 不存在 3
1
3 3
0
0
2、根据三角函数的相关知识，思考当倾斜角在[0，180〕 内变化时，斜率k如何变化？
1， 1 ，2及 3 的直线 l 1 ，l 2 ，l 3 及 l 4 。
课堂小结
这节课我们学习了什么？
直线的倾斜角 直线的斜率
定义 它们之间的关系 过两点的直线的斜率公式
作业：教材P86 练习 1，2，3。
0
2
2
2
[0 , ) 不存在
(,0)
K随x增大 不存在
而增大
K随x 增大 而增大
思考
我们在几何的学习知道：两点确定一条直线， 那么直线上不重合的两点直线的斜率能确定吗？
已知给定两点 P1( x1 , y1 )，P2( x2 , y2 )，x1 x 2 ，

直线的倾斜角与斜率完整(公开课)ppt课件

直线的倾斜角与斜率完整(公开课)ppt课件
直线的斜率
定义：我们把一条直线的的倾斜角的正切值叫做 这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
ktan（ 90）
注：倾斜角是90 °的直线没有斜率。 我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度
试一试 提 ta 1 示 - n 8 - 0 t： a n
已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
( 1 ) 3 0 o ; ( 2 ) 4 5 o ; ( 3 ) 1 2 0 o ; ( 4 ) 1 3 5 o ;
y
这些直线有何区别？
l O Px
它们的倾斜程度不同．
用什么量来刻画直 线的倾斜程度？
直线的倾斜角
定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做 直线 l 的倾斜角．
y
规定 当直线l与x轴平行或重合时，
它的倾斜角为 0 .
注意： (1)直线向上方向； o (2)x轴的正方向。
()
⑤两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等 ( )
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π ( )
典例讲解
1 、 若 直 线 的 倾 斜 角 为 6 ， 3 ， 求 斜 率 k 的 取 值 范 围 。
变式训练
1 、 若 直 线 的 倾 斜 角 为 6 ， 3 4 ， 求 斜 率 k 的 取 值 范 围 。
如图，直线的斜率分别为，则（C）
A．k1k2 k3 B． k3 k1 k2
Y
l1
C．k3 k2 k1 D．k1 k3 k2
O

X
l3
判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ）
②直线的斜率的范围是 (,)
（）
∨
③任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有

高中数学选择性必修一课件：2.1.1倾斜角与斜率

高中数学选择性必修一课件：2.1.1倾斜角与斜率

|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
2．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2， 3＋1)． (1)求直线AB，BC，AC的斜率； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的变化范围．
解：(1)由斜率公式得kAB＝1－1－－11＝0，
kBC＝
32＋－11－1＝
(2)根据题意，画出图形，如
|素养达成|
课后提能训练
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题 意 ． 通 过 画 图 可 知 ： 当 0°≤α<135° 时 ， 倾 斜 角 为 α ＋ 45° ， 当 135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°.
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
|课堂互动|
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
题型1 对直线的倾斜角、斜率的理解
(1)下列说法中，正确的是 A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C．若直线的倾斜角为α，则sin α>0 D．任意直线都有倾斜角，但它不一定有斜率
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
【例题迁移】 (变换条件)若将本例(2)改为点D在线段AB上(包括 端点)移动时，求直线CD的斜率的变化范围．
解：如图，直线CD绕点C从A旋转至B时，与AB相交，其倾斜角在
逐渐增大，斜率也逐渐增大．
当与y轴重合时，斜率不存在，
旋转到y轴左边时，倾斜角为钝角，斜率为负值． 由kAC＝3－3－－02＝53，kBC＝2－－4－ －20＝－1，

高中数学同步课件 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系

高中数学同步课件 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
由题意知直线的斜率一定存在，设直线的斜率为 k.由 A(1，2)，B(－2，2m－1) 两点知 k＝2m－－2－1－1 2＝3－32m. 由直线的一个方向向量为(1，sin α)，可得k＝sin α.
因为－1≤sin α≤1，
所以k∈[－1，1]. 所以－1≤3－32m≤1， 解得 0≤m≤3.
思维升华
一般地，若已知 a＝(u，v)为直线 l 的一个方向向量，则 λa(λ∈R，且 λ≠0) 均是直线 l 的方向向量，且有 (1)当 u＝0 时，直线 l 的斜率不存在，倾斜角为 90°； (2)当 u≠0 时，直线 l 的斜率存在，此时(1，k)与 a＝(u，v)都是直线 l 的方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知 1×v＝k×u，从而 k ＝vu，因此可知倾斜角 α 满足 tan α＝vu.
(2)若π4≤α≤34π，求斜率 k 的取值范围；
由正切函数的性质，可得当π4≤α＜π2时，k＝tan α≥1； 当π2＜α≤34π时，k＝tan α≤－1；当 α＝π2时，斜率 k 不存在. 综上，斜率 k 的取值范围是{k|k≤－1，或 k≥1}. 特别地，当 α＝π2时，斜率 k 不存在.
(3)若－ 3≤k≤－ 33，求倾斜角 α 的取值范围； 由－1≤k≤ 3，可得－1≤tan α≤ 3. 又 0≤α＜π，所以由正切函数的性质， 得倾斜角 α 的取值范围是α23π≤α≤56π.
(2)直线 l 经过 A(2，1)，B(3，t2)(t∈R)两点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是
A.0，π4
√C.0，π2∪34π，π
B.0，π D.0，π4∪π2，π
由题意得，直线l的斜率k＝t2－1≥－1， 故tan α≥－1，
根据正切函数的图象与性质可知， 0≤α＜π2或34π≤α＜π.

高中数学课件 倾斜角与斜率

高中数学课件 倾斜角与斜率

类型 一 直线的倾斜角 尝试完成下列题目，体会倾斜角与斜率之间的联系，并 掌握求直线倾斜角与斜率的方法及关注点. 1.斜率为 3 的直线的倾斜角是(
3
) C.60° D.30°
A.120°
B.150°
2.已知等边三角形ABC，若直线AB平行于y轴，则∠C的平分 线所在的直线的倾斜角为_______，另两边AC，BC所在的直线 的倾斜角为_______. 【解题指南】1．根据tan α 3 及0°≤α＜180°求解．
(2)斜率k与P1,P2的顺序无关.
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得.
(4)当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°,直线与x轴平行
或重合.
2.斜率与直线的倾斜程度的对应关系 (1)当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜(呈上升 趋势). (2)当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜(呈下降 趋势). (3)当直线的斜率为0时,直线与x轴平行或重合(呈水平状态).
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线 上). (1)过点(0,0)和(1,1)的直线的斜率为 . .
(2)若直线l经过第二、四象限,则l的倾斜角α 的范围是 (3)斜率为2的直线过点(2,1)和(-2,m),则m= .
【解析】(1)根据斜率公式， 1 0 1 k ．
2 1 (2) k 2 5 1＜0，所以α是钝角. 0 (3)
(3)因为两点横坐标相同，所以直线斜率不存在且直线垂直于 x轴，所以α是直角.
2m 1 m m 1
(4) k 3 3m (2 3m 3) 3(m 1) 3＞0(m 1)， 此时α是锐角．
1 0
答案：1 (2)直线l经过第二、四象限，故直线l的倾斜角为钝角，所以 倾斜角α的范围是90°＜α＜180°． 答案： 90°＜α＜180° (3)由斜率公式得 m 1 2， 解得m=-7．

《倾斜角与斜率》示范公开课教学课件【高中数学人教】

《倾斜角与斜率》示范公开课教学课件【高中数学人教】
y
斜率为2的直线经过（0,2），（-1,0）点；
斜率为-2的直线经过（0,2），（1,0）两点。
课堂训练
1.直线倾斜角的定义及其范围：
2.斜率k与倾斜角 之间的关系：
3.斜率公式：
“几何问题代数化”的思想
课堂小结
研探新知
“坡度比”是“倾斜角”的正切值。
研探新知
3m
3m
坡度越大，楼梯越陡。
研探新知
二、直线斜率的定义
通常用小写字母k表示，即
一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率(slope)。
倾斜角α不是90°的直线都有斜率。
注意：
研探新知
思考5 已知一条直线上的两点坐标，如何计算斜率？
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别 为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4。
x
y
解：设A1（x1,y1）是l1上任一点， 根据斜率公式有:
即x1=y1，
设x1=1，则y1=1 ，于是A1的坐标是（1,1）,过原点及点A1（1,1）的直线即为l1。
分析：找出直线异于原点的点。
O
适用
研探新知
O
思考7 当直线平行于y轴，或与y轴重合时，公式还适用吗？
不适用，因为分母为0。斜率不存在。
研探新知
三、斜率公式
公式特点：
(1)与两点坐标的顺序无关;
(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角；
(3)当x1=x2时,公式不适用,此α=90°。
斜率为正，倾斜角为锐角；斜率为负，倾斜角为钝角；斜率为0，倾斜角为0°；斜率不存在时，倾斜角为直角。
研探新知
已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等于( ) (A)-1 (B)1 (C)-3 (D)3

2.1.1倾斜角与斜率 人教A版(2019版)高中数学选择性必修一(共15张PPT)

2.1.1倾斜角与斜率 人教A版(2019版)高中数学选择性必修一(共15张PPT)
思 考 ：确定一条直线的几何要素是什么?对于 平面直角生标系中的一条直线，如何利用坐标系 确定它的位置?
2
学习新知 两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线，设A,B 为直线上的两点，则AB 就是这条直线的方向向量，所以，两点确 定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线，
直线的倾斜角
E、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 F、直线斜率的范围是R G、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。
8
学习新知
探究；经过两点 p(x,y₁),p₂(x₂,y₂),
且x₁≠x₂ 的直线的斜率 k
(1)
(2)
(3)
(4)
1. 当直线PP2 的方向向上时：
图(2)在Rt△PPQ 中 ，k=tan a=tan(180°-θ)=-tanθ
问题1: 在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不 管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形?画图表示。
总 结 ：有四种情况，如图。可用直线l 与x轴所成的角来描
述。我们规定，直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正 角叫做这条直线的倾斜角。 特别地，当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°。
直，α=900
10
达标练习
(1)若直线ax+by+c=0 A.ab>0,bc>0
C.ab<0,bc>0
在第一，二，三象限，则()
B.ab>0,bc<0
D
D.ab<0,bc<0
(2)在图中的直线，l₂,l₃的斜率k₁,k₂,k₂的大小 关系为
11
U
典型例题
例1如下图，已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1), 求直线 AB,BC,CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是 纯角.

高中数学选择性必修一课件：倾斜角与斜率

高中数学选择性必修一课件：倾斜角与斜率

题型三 直线的倾斜角与斜率的关系
例 3 (1)已知过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 45°，求实数 m 的值；
(2)若过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 90°，求实数 m 的值； (3)若过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为钝角，求实数 m 的取值范 围．
【解析】 ∵A，B，C 三点共线， ∴kAB＝kAC. ∴3－4（－－23）＝m2 －5（－－2 3）. ∴m＝12.
∴k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
∴45°≤α≤120°.
讲评 (1)本题极易错误地得出 k∈[－ 3，1]，数形结合则可以避免这种错
误．当 0°≤α<90°时，k∈[0，＋∞)；当 90°<α<180°时，k∈(－∞，0)．
(2)当 α＝90°时，直线的斜率不存在．
自助餐
三点共线问题
例 已知三点 A(1，－1)，B(4，－2)，C(－2，0)．求证：A，B，C 三点共 线．
①A(2，3)，B(4，5)； ②C(－2，3)，D(2，－1)； ③P(－3，1)，Q(－3，10)．
【解析】 ①存在，直线 AB 的斜率 kAB＝54－ －32＝1，
则直线 AB 的倾斜角 α 满足 tan α＝1， 又 0°≤α<180°，
所以倾斜角 α＝45°. ②存在，直线 CD 的斜率 kCD＝2－－（1－ －32）＝－1，
(2)数形结合是一种常用的方法．
思考题 4 经过点 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(2，1)，B(2，－
3)的线段总有公共点，求直线 l 的倾斜角 α 与斜率 k 的取值范围． 【解析】 如图，连接 PA，PB，kPA＝1－（ 2－－01）＝1，则直线

高中数学选择性必修一(人教版)《2.1.1倾斜角与斜率》课件

高中数学选择性必修一(人教版)《2.1.1倾斜角与斜率》课件
(一)教材梳理填空 1．斜率的定义 一条直线的倾斜角 α 的 正切值 叫做这条直线的斜率． 斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝ tan α. 2．斜率公式 过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 y2－y1 k＝_x_2_－__x_1 _.
3．斜率与倾斜角的对应关系
二、应用性——强调学以致用 2．利用斜率公式证明不等式：ba＋＋mm>ab(0<a<b 且 m>0)．
[析题建模] 分析所给式子结构特点 ―联―想→ 斜率坐标公式 ―构―造―法―分―析→ 不等式表达的几何意义 ―→ 得证
证明：∵0<a<b，∴点 P(b，a)在第一象限且位于直线 y＝x 的 下方．又 m>0，∴－m<0，∴点 M(－m，－m)在第三象限且 必在直线 y＝x 上．∴直线 MP 的倾斜角大于 OP(O 为坐标原 点)的倾斜角，即 kMP>kOP，又 kMP＝ba＋ ＋mm，kOP＝ab，∴ab＋ ＋mm>ab.
为锐角，则 m 的取值范围是
()
A．(－∞，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：∵直线 l 的倾斜角为锐角， ∴斜率 k＝m12－－21>0，∴－1<m<1. 答案：C
2．[求参数值]已知三点 A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条 直线上，则实数 a 的值为________．
[方法技巧] 求直线斜率的两种类型
一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为 90°的情 况；另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在 的情况．
[对点练清] 1．设 A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线 AC 的斜率
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角．( √ ) (2)任意一条直线都有斜率．( × ) (3)倾斜角越大，斜率也越大．( × ) (4) 按 照 倾 斜 角 的 概 念 ， 直 线 的 倾 斜 角 α 的 集 合 {α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一映射．( × )
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(2)如图所示，直线 l1，l2，l3，l4 的斜率分别为 k1，k2， k3，k4，其中 l1∥l4，则( )
A．k1<k2<k3<k4
B．k1＝k4<k2<k3
C．k3<k2<k1＝k4
D．k4＝k1<k3<k2
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(2)直线
l1 的斜率
k1＝tanα1＝tan30°＝
3 3.
∵直线 l2 的倾斜角 α2＝90°＋30°＝120°，∴直线 l2 的斜
率 k2＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－ 3.
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)如图 1 所示，直线 l 的倾斜角为___1_3_5_°__．
(2)(教材改编，P86，T1)过点(a，b)与 y 轴垂直的直线的 斜率为____0____．
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的倾斜角．
(1)当直线与 x 轴□4 平行或重合 时，它的倾斜角为 0°； (2)当直线与 x 轴 □5 垂直 时，它的倾斜角为 90°.
2．倾斜角的范围 直线的倾斜角 α 的取值范围为
□6 [0°，180°)
．
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知识点二 直线的斜率与倾斜角的关系 1．斜率的定义
(1)定义法：已知倾斜角 α(α≠90°)，k＝tanα.
(2)两点法：在直线 l 上任取两个不同的点 P1(x1，y1)，
□ P2(x2，y2)，其中(x1≠x2)，则斜率 k＝
1
y2－y1 x2－x1
.
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对直线倾斜角的理解 1．倾斜角定义中含有三个条件 (1)x 轴正向；(2)直线向上的方向；(3)小于 180°的非负 角． 2．从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由 x 轴以 直线与 x 轴交点为原点按逆时针方向旋转到与直线重合时 所成的角．
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拓展提升 直线的倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当 倾斜角是 90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于 x 轴(平行于 y 轴或与 y 轴重合)．
(2)解答这类问题要抓住①倾斜角的定义，注意旋转方 向，②倾斜角的取值范围 0°≤α<180°，③充分结合图形进 行分析．
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解析 (1)有两种情况： ①如图 a，直线 l 向上方向与 x 轴正向所成的角为 60°， 即直线 l 的倾斜角为 60°. ②如图 b，直线 l 向上方向与 x 轴正向所成的角为 120°， 即直线 l 的倾斜角为 120°.
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(3)如图 2 所示，直线 l1，l2，l3 的斜率 k1，k2，k3 的大小
关系为_k_1_<_k_3_<_k_2 ．
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(4)过点(0,1)和(－3,0)的直线的斜率为____3____．
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3．(教材改编，P86，T2)已知直线经过点 A(－2,0)，B(－ 5,3)，则该直线的倾斜角为( )
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3．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直 线对 x 轴的倾斜程度．
4．平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾 斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不 同的直线，其倾斜角不相等．
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A．150° B．135° C．75° D．45°
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探究1 直线倾斜角与斜率的概念 例 1 (1)已知直线 l 向上方向与 y 轴正向所成的角为 30°，则直线 l 的倾斜角为__6_0_°_或__1_2_0_°____． (2) 如图所示，直线 l1 的倾斜角 α1＝30°，直线 l1 与 l2 垂直，求 l1，l2 的斜率．
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【跟踪训练 1】 (1)设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角 为 α，如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°，得到直 线 l1，那么 l1 的倾斜角为( )
A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当 0°≤α<135°时，倾斜角为 α＋45°；当 135°≤α<180° 时，倾斜角为 α－135°
对于倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的□1 正切值叫 做直线的斜率，记作 k＝ □2 tanα ；倾斜角为 90°的直线的
斜率不存在．
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2．斜率与倾斜角的对应关系
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知识点三 斜率的求法
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第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率
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知识点一 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
当直线 l 与 x 轴相交时，取 □1 x 轴 作为基准，x 轴 □2 正向 与直线 l □3 向上方向 之间所成的角 α 叫做直线 l