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巧学物理最小值原理法

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巧学物理：最小值原理法在物理规律中存在着许多最小值问题，如物体受三个力作用而平衡，其中一个力是恒力，第二个力的方向保持不变，当第三个力与第二个力垂直时，第三个力最小；在杠杆平衡问题中，当其他力及其力臂恒定时，当某个力的力臂最大时，对应的这个力也是最小的；除重力外其他力对物体做功为零，机械能可以是最小；电场力不做功时电势能也许是最小，这样的规律被称为最小值原理。

【调研1】如图所示，在绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α，且保持其平衡．保持α不变，当拉力F有最小值时，F与水平方向的夹角β应是( )A．0 B.π/2 C．α D．2α〖巧解〗由题图可知当F与倾斜绳子垂直时具有最小值，所以β=α.答案为C。

【调研2】如图所示，一质量为m、带电量为q的小球用细线系住，线的一端固定在O点，若在空间加上匀强电场，平衡时线与竖直方向成60o，则电场强度的最小值为( )A.mg/2qB.3mg/2qC.2mg/qD. mg/q〖巧解〗此题为电场和重力场的物体平衡问题。

在三力平衡中若已知一个力大小方向不变，一个力方向不变，求另外一个力时有最小值。

对球受力分析可知当电场力与绳拉力方向垂直时，电场强度最小，qE=mg sin60o,得E=32mgq，选B。

【调研3】如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，用挡板AO 将球挡住，使球处于静止状态，若挡板与斜面间的夹角为β，则( )A．当30β︒＝时，挡板AO所受压力最小，最小值为sinmgαB．当60β︒＝时，挡板AO所受压力最小，最小值为cosmgαC．当60β︒＝时，挡板AO所受压力最小，最小值为sinmgαD．当90β︒＝时，挡板AO所受压力最小，最小值为sinmgαOm60o〖巧解〗以球为研究对象，球受三个力作用：重力（恒力）、斜面的支持力N1F（方向不变）、挡板的支持力F N2（大小方向都在变化），当F N2与N1F垂直时，即β=90o时，F N2最小，最小值N2min sinF mg＝由牛顿第三定律知，挡板AO所受压力最小，D 项正确．【调研4】如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距为2l.现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为( )A．mg B. 33mg C. 12mg D. 14mg〖巧解〗如图所示，对C点进行受力分析，由平衡条件可知，绳CD对C点的拉力F CD=mg tan30o；对点进行受力分析，绳CD对D点的拉力F2=F CD=mg tan30o，F1方向一定，则当F3垂直于绳时，F3最小，由几何关系可知，F3=F2sin60o=12mg，答案为C。

【调研5】如图所示，在场强为E的匀强电场中有一个质量为m的带正电的小球A悬挂在绝缘细线上，当小球静止时，细线与竖直方向成30o角，已知此时电场方向恰好使小球受到的电场力最小，则小球所带的电荷量为（）A.mgEB.3mgEC.2mgED.2mgE〖巧解〗由电场方向恰好使小球受到的电场力最小可知，电场强度E的方向与细线垂直，小球的受力情况如图所示，由平衡条件可得12mg=qE，解得q=2mgE,选项D正确.【调研6】将两个质量均为m的小球a、b用绝缘细线相连,竖直悬挂于O点，其中球a带正电、电荷量为q，球b不带电,现加一电场强度方向平行竖直平面的匀强电场(没画出)，使整个装置处于平衡状态,且绷紧的绝缘悬线Oa与竖直方向的夹角为θ=30o，如图所示,则所加匀强电场的电场强度大小可能为（）DBDA.4mg qB.mgq C.2mg q D.34mgq〖巧解〗本题考查带电体的平衡及图解法求极值等知识,意在考查考生的理解能力和用数学处理物理问题的能力。

取小球a 、b 为整体,则受重力2mg 、悬线拉力T 和电场力F 作用处于平衡，当电场力与总重力垂直时，电场力最小，F 的最小值为2mg sin30o =mg ，由F =qE 知A 、C 、D 错，B 对。

巧学巧练【巧练1】如图所示，A 、B 两小球用轻杆连接，A 球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B 球处于光滑水平面内．开始时杆竖直，A 、B 两球静止．由于微小的扰动，B 开始沿水平面向右运动．已知OA 球的质量为m A ，B 球的质量为m B ，杆长为L .则：(1)A 球机械能最小时，水平面对B 球的支持力为多大？(2)若m A =m B ，当A 球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为多大？【巧练2】如图所示，在水平面上固定一个半圆形细管，在直径两端A 、B 分别放置一个正点电荷Q 1、Q 2，且Q 2=8Q 1.现将另一正点电荷q 从管内靠近A 处由静止释放，设该点电荷沿细管运动过程中最小电势能的位置为P ，并设PA 与AB 夹角为θ，则以下关系正确的是 （ ）A 、tan θ=4B 、tan θ=8C 、tan θ=2D 、tan θ=22【巧练3】如图所示，将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线连悬挂于O 点，用力F 拉小球a ，使整个装置处于平衡状态，且悬线Oa 与竖直方向的夹角的大小θ=30o ，则F 的大小 （ ）在B A O A B Q PθQ 2 ab Fθ OA ．可能为33mgB ．可能为32mgC ．可能为mgD ．不可能为mg【巧练4】将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线相连后，再用细线悬挂于O 点，如图所示，用力F 拉小球b ，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa 与竖直方向的夹角保持θ=30o ，则F 达到最小值时Oa 线上的拉力大小为 （ ）A ．3mgB ．mgC ．32mg D ．12mg 【巧练5】 如图所示，顶端附有光滑定滑轮的斜面体静止在粗糙水平地面上，三条细绳结于O 点，一条绳跨过定滑轮平行于斜面连接物块P ，一条绳连接小球Q ．P 、Q 两物体处于静止状态．另一条绳OA 在外力F 的作用下使夹角θ<90o ．现缓慢改变绳OA 的方向至θ>90o ，且保持结点O 位置不变，整个装置始终处于静止状态．下列说法正确的是 ( )A ．绳OA 的拉力一直增大B ．斜面对物块P 的摩擦力的大小可能先减小后增大C ．地面对斜面体有向右的摩擦力D ．地面对斜面体的支持力大于物块P 和斜面体的重力之和a b F θO PAθ O Q F【巧练6】如图所示，斜面顶端固定有半径为R 的轻质滑轮，用不可伸长的轻质细绳将半径为r 的球P 沿斜面缓慢拉升．不计各处摩擦，且R >r ．设绳对球的拉力为F ，斜面对球的支持力为N ，则关于F 和N 的变化情况，下列说法正确的是 ( )A ．F 一直增大，N 一直减小B ．F 一直增大，N 先减小后增大C ．F 一直减小，N 保持不变D ．F 一直减小，N 一直增大【巧练7】如图所示，质量为m 的小球用细线拴住放在光滑斜面上，斜面足够长，倾角为α的斜面体置于光滑水平面上，用水平力F 推斜面体使斜面体缓慢地向左移动，小球沿斜面缓慢升高．当线拉力最小时．推力F 等于 ( ) A ．mg sin α B ．12mg sin α C ．mg sin2α D ．12mg sin2α 【巧练8】用两根绳子系住一重物，如图所示.绳OA 与天花板间夹角不变，当用手拉住绳子OB ，使绳由水平方向逆时针转向竖直方向的过程中，绳所受的拉力将（ ）OB OB P Fα F θA BOA．始终减小；B．始终增大；C．先减小后增大；D．先增大后减小；【巧练9】如图所示，物体在沿粗糙斜面向上的拉力F作用下处于静止状态．当F逐渐增大到物体即将相对于斜面向上运动的过程中，斜面对物体的作用力可能( )A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大【巧练10】如图所示，用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上的球，当细绳由水平方向缓慢向上偏移至竖直方向的过程中，细绳上的拉力将（）A.逐渐增大B.逐渐减小C.先增大后减小D.先减小后增大此内容选自快速提高物理成绩的奇书——《巧学妙解王》高中物理一书，高中课程学习特别是孩子的高中物理课程学习，常常听学生抱怨：“上课听得懂，练习也会做，可一考试就砸”，分析原因，不难发现：学校所发的复习用书大多是课本知识的再现，安排的练习题所涉及的知识点比较单一，解题思路简单，解题方法很少，而考试题往往覆盖的知识点多，综合程度高，所用解题方法灵活；如果学生缺乏一定量的好的解题方法，产生上述抱怨就在情理之中.高中阶段，最难学的课程是物理，既要求学生有过硬的数学功底，还要学生有较强的空间立体感和抽象思维能力。

据调查发现高中生中85%以上的学生恐惧物理，学习具有盲目性，物理解题方法不得当。

李老师经过近30年的教学研究积累，为解答学生学习物理难的这一难题，编著了《巧学妙解王》高中物理一书，李老师阅试题无数，感题目之无限，欲穷尽，难于登天；但题型之有限，与常教学之中，均精通一题型，可灭数千题，遂集吾教学之精华总结与此，盖学习不应苦而应“巧”，做题不应繁而应“妙”，寓于《巧学妙解王》一书，尔必将受益终生！此书收集了许多很精彩的题目，提供了很多很好的巧学妙解的解题方法。

学习完这本书会使你感到学习高中物理变的其实很简单，只要掌握此书的讲解方法，大多高考题保证使你做到试题读完，在10秒内得到答案，使你的物理成绩突飞猛进！李仲旭简介：李仲旭，著名高级物理教师，资深高考阅卷教师，《试题调研》、《金考卷》特约撰稿人，中学学科网特约原创题撰稿名师，市统考命题专家，河南省教育专家，《巧学妙解王》编著者，编辑出版物理专著12部，发表论文80多篇，其中多媒体课件《游标卡尺》，《螺旋测微仪》等25篇发表于清华大学主办的具有学术期刊国家唯一多媒体电子刊物《中国多媒体教学学报》上。

40多篇作品被人民教育出版社收录。

2012年第一个解读考试大纲之人。

可以百度“试题调研李仲旭”进行验证，2010年3月提出的取消高考加分项目，回归高考裸考，为何公众如此焦虑高考不公，刊登于中国青年报，后续被教育部采用，请百度搜索“高三物理教师李仲旭”即可查看。

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Lecture 07 最小值原理

Lecture 07 最小值原理


H (xf , λf ,u f ) = 0
若能知道λ (0)的值，就能根据协态方程解得最优控制
λ (t ) = exp(− AT t )λ0 , u * = − sgn( BT exp(− AT t )λ0 )
如果λ T b j ≠ 0, 可以确定最优控制 u * = − sgn(λ T b j ); j 如果λ T b j = 0, 则不能确定u *。 j 如果λ T b j = 0只在t的离散点上成立，则在这些点上u *作边界 j 值的切换； 如果λ T b j = 0在某一段时间间隔成立，这时无法确定u *j的值
5.1 最小值原理
系统运动方程 & x = f ( x, u, t ) 式中：x ∈ Rn − 状态变量；u ∈ Rm − 控制变量；t ∈[t0 , t f ] − 时间变量。 给定系统的初始时刻和初始状态 x(t0 ) = x0 系统的终端时刻和状态满足r个约束方程 n( x(t f ), t f ) = 0 控制变量满足若干不等式约束 g (u, t ) ≤ 0 最优控制问题的性能指标为 J = θ ( x(t f ), t f ) + ∫ φ ( x, u, t )dt
关于判别线性定常系统最优控制问题的正规性和奇异性， 有以下定理。 & 定理7-1 对于线性定常系统x=Ax+Bu 快速最优控制奇异的充要条件是，m个矩阵 Uj = [b j Ab j A2b j K An −1b j ], j = 1, 2,K , m 中，至少有一个是奇异的。 定理7-2 定理7-3ห้องสมุดไป่ตู้对于线性定常系统，快速最优控制正规的充要条件是： 对于正规快速最优控制问题，其最优控制律u*的每一个 m个矩阵Uj全部是非奇异的。
（1）快速最优控制的正规与奇异问题 定义7-1 若所有函数λ T b j 在时间间隔[0,tf ]上只存在有限个零点，则 对应的快速最优控制问题成为正规的。 定义7-2 如果对所有j=1,2, ,m，至少存在一个λ T b j函数在某一段时间 K 间隔[t1 ,t2 ]∈[0,tf ]上的取值为零，则对应的快速最优控制问题是奇异 的，并称时间间隔[t1 ,t2 ]为奇异段。 对于正规快速最优控制问题，完全能确定最优控制律u* ,即每个控制分量 u*均在边界值之间切换，且切换点就是λ T b j =0的时刻。这种控制方式成为 j “乒乒控制”。 对于奇异快速最优控制问题，在奇异段[t1 ,t2 ]上不能确定最优控制律，但 不表明最优控制u*不存在。因为在奇异段u*上，H函数与对应的u*无关，u* j j 可以取任意容许值，仍能满足最小值原理。此时快速最优控制不再具有 “乒乒控制”形式
有趣的物理学原理小魔术

有趣的物理学原理小魔术

有趣的物理学原理小魔术以下是三个有趣的基于物理学原理的小魔术：1. 悬浮硬币魔术：材料：一枚硬币、一张透明塑料袋、一根绳子、一根小木棍。

操作步骤：1）将硬币放在手掌心，然后将透明塑料袋拉过硬币并将袋子松紧地套在硬币上。

2）将小木棍插入袋子中，让它通过袋子上方的一段绳子，使得绳子两头露出。

3）让观众观察一会儿并确认没有欺骗，然后将一只手彻底放松，只托住木棍另一端的绳子。

4）慢慢地缓慢放开手，观众会看到硬币悬浮在绳子的上方，并且绳子也没有被任何东西支撑。

原理解释：这个小魔术使用了物理原理中的居里-韦斯定律。

这条定律描述了当电场或磁场施加到一个有磁性的物体上时，它会将物体挪开，通过静电或磁场的斥力或引力来悬浮。

在这个魔术中，透明塑料袋套在硬币上，形成一个真空的空间。

当你放开手，只托住绳子，硬币开始悬浮时，实际上是因为硬币和塑料袋之间的空间创建了一个真空，透明塑料带帮助我们隐藏了这个原理，给观众以超自然的感觉。

2. 魔法吸球魔术：材料：一只空气球、一根细绳。

操作步骤：1）将空气球打好，绑上细绳，使得绳子的两端露出。

2）抓住绳子的一端，将另一端藏在手心。

3）将绳子的那一端偷偷藏在背后或者圈在腰带上，让观众看不到。

4）开始表演时，将绳子上升到空气球的最高点，并让观众看到。

5）然后，复原将绳子拉住的那端，只需要托住气球上升。

原理解释：这个小魔术利用了物理原理中的重力和气体性质。

当你将绳子绑在气球上并快速拉高时，看起来绳子的悬浮实际上是因为气球上升而绳子暂时悬浮。

在你放开手，只托住绳子的时候，气球会慢慢上升，给人一种模糊的错觉，好像绳子自己悬浮在空中。

3. 磁铁半漂浮魔术：材料：一块平底锅、一块细木板、两个小强力磁铁。

操作步骤：1）将平底锅倒置，细木板横放在平底锅的外边缘上面。

2）将一个小强力磁铁粘在木板上，另一个小强力磁铁粘在平底锅底部。

3）调整磁铁的位置，让磁铁的引力和平底锅的重力平衡，形成漂浮的效果。

4）让观众看到漂浮的平底锅，并用手轻轻摸一下确认没有任何支撑。

提高物理成绩的利器——巧学妙解王

提高物理成绩的利器——巧学妙解王

第一章、方法与技巧讲解1、整体法整体法是以物体系统为研究对象，从整体或全过程去把握物理现象的本质和规律，是一种把具有相互联系、相互依赖、相互制约、相互作用的多个物体，多个状态，或者多个物理变化过程组合作为一个融洽加以研究的思维形式。

整体思维可以说是一种综合思维，也是多种思维的高度综合，层次深、理论性强、运用价值高。

因此在物理研究与学习中善于运用整体研究分析、处理和解决问题，一方面表现为知识的综合贯通，另一方面表现为思维的有机组合。

灵活运用整体思维可以产生不同凡响的效果，显现“变”的魅力，整体法的思维特点就是本着整体观念，对系统进行整体分析，是系统论中的整体原理在物理中的具体应用，它把一切系统均当作一个整体来研究，从而揭示事物的本质和变化规律，而不必追究系统内各物体的相互作用和每个运动阶段的细节，因而避免了中间量的繁琐推算，简捷巧妙地解决问题。

整体质量等于它们的总质量；整体电量等于它们电量代数和。

整体法适用于求系统所受的外力，作为整体的几个对象之间的作用力属于系统内力不需考虑，只需考虑系统外的物体对该系统的作用力，故可使问题化繁为简。

【例1】在粗糙的水平面上放着一个三角形木块abc ，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为12m m 、的两个物体，且12m m >，如图1-1所示，若三角形木块和两个物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块（ ）A 、有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右；B 、有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左；C 、有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因12m m 、、12θθ、的数值均未给出；D 、以上结论都不对；〖解析〗由于三角形木块和斜面上的两个物体都是静止的，可以把它们看作一个整体，如图1-2所示，竖直方向上受到重力12()m m M g ++和地面的支持力NF 作用处于平衡状态，水平方向无任何滑动趋势，因此不受地面的摩擦力作用，所以D 正确.【例2】如图1-3所示，人和车的质量分别为m 和M ，人用水平力F 拉绳子，图中两端绳子均处于水平方向，不计滑轮质量及摩擦，如果人和车保持相对静止，且水平地面是光滑的，则车的加速度为 .〖解析〗要求车的加速度，似乎需将车隔离出来才能求解，事实上，人和车保持相对静止，即人和车有相同的加速度，所以可将人和车看作一个整体，对整体用牛顿第二定律求解即可.将人和车整体作为研究对象，整体受到重力、水平面的支持力和两条绳的拉力。

极小值原理(一)

极小值原理(一)

极小值原理(一)极小值什么是极小值？•极小值是数学中的一个概念，用于描述函数的最小值或局部最小值。

•在函数的定义域中，如果一个点的函数值比其周围任意点的函数值都要小或相等，那么这个点就被称为极小值点。

•极小值点是函数图像中的一个相对低谷。

极小值定理•极小值定理是研究函数极值的一个重要定理，可以帮助我们判断函数的极值点。

•极小值定理可以分为费马定理和魏尔斯特拉斯定理两种。

–费马定理：如果函数在某一点处有极值，且该点处可导，则导数值为0。

–魏尔斯特拉斯定理：如果函数在某一闭区间内连续，那么一定会在该区间内取到最大值和最小值。

寻找极小值的方法1.导数法–对于可导函数，可以通过判断导数的零点来确定极值点。

–导数为0的点可能是函数的极小值点，但不一定。

–还需要通过二阶导数或其他方法来进行进一步的判断。

2.区间法–如果函数在某一闭区间内连续，那么一定会在该区间内取到最大值和最小值。

–可以通过将区间等分，逐个求函数值，找到最小值所在的区间。

3.迭代法–通过迭代计算，逐步接近极小值点。

–可以使用梯度下降等优化算法进行迭代计算。

4.其他方法–如果函数具有特殊的性质或特定的定义域，可以运用专门的方法来求解极小值。

极小值的应用•在数学领域中，极小值的研究是重要的。

–极小值可以帮助我们了解函数的性质和行为。

–极小值的存在性和唯一性问题是函数论和变分法中的关键问题。

•在其他领域中，极小值也具有广泛的应用。

–在优化问题中，求解极小值可以帮助我们寻找最优解。

–在经济学和管理学中，极小值可以帮助我们进行决策和优化资源分配。

–在机器学习和深度学习中，极小值是优化模型参数的目标。

总结•极小值是数学中的一个重要概念，用于描述函数的最小值或局部最小值。

•极小值定理可以帮助我们判断函数的极值点。

•寻找极小值的方法包括导数法、区间法、迭代法和其他方法。

•极小值具有广泛的应用，不仅在数学领域，还在其他领域中发挥着重要作用。

当我们研究函数的极值时，常常关注的是极小值。