工程光学第4章

平面镜成像
平面反射镜又称平面镜，是光学系统中唯一能成完善像的光学元 件，在日常生活中并不少见，如穿衣镜、化妆镜等。
如图3-1所示，物体 A 上任一点发出的同心光束被平面镜反射， 光线 AP 沿 PA 方向原光路返回，光线 AQ 以入射角 I 入射，经反射后沿 射，延长 AP 和 RQ 交于 A′ 。 由反射定律及几何关系 容易证明
若再经过一次反射成像，将恢复成
方向观察时，y 顺时针方向转9 转向 y 是
yO 方向
方向转90°至 x′（沿 z ′O′ 方向观察）。同样，沿 观察的情况相同。
xO 方向观察，
顺时针方向，而 z ′ 转向 y ′则是逆时针方向（沿 x ′O ′方向观察）。沿
1.2 平面镜旋转时的特点 当入射光线方向不变而转动平面镜时，反射光线的方向将发生改变。 如图3-3所示，设平面镜转动角时，反射光线转动角，根据反射定律有
图3-8 反射棱镜的主截面
1.1 简单棱镜 简单棱镜只有一个主截面，它所有的工作面都与主截面垂直。根据 反射面数的不同，又分为一次反射棱镜、二次反射棱镜和三次反射棱镜 。
图3-9 简单棱镜
1.1.1 一次反射棱镜 一次反射棱镜使物体成镜像，最常用的一次反射棱镜有等腰直角 棱镜，如图3-9a所示，它使光轴折转90°；等腰棱镜，如图3-9b所示， 它使光轴折转任意角度。这两种棱镜的入射面和出射面都与光轴垂直， 在反射面上发生全反射。道威棱镜，如图3-9c所示，它是由直角棱镜去 掉多余的直角形成的，其入射面和出射面与光轴不垂直，出射光轴与入 射光轴方向不变。 道威棱镜的重要特性是，当其绕光轴旋转 α 角时，反射像同方向 旋转2α 角。从图3-9c图可以看出，下图相对于上图，道威棱镜旋转了 90°，其像相对于旋转前的像转了180°。道威棱镜的这一特性可应用在 周视瞄准仪中，如图3-10所示。
光线在反射面的反射次序所形成的转向一致。
第二节
平行平板
由两个相互平行的折射平面构成的光学元件称为平行平板。 平行平板是光学仪器中应用较多的一类光学元件，如刻有标尺 的分划板、盖玻片、滤波片等都属于这一类光学元件。反射棱镜也 可看作是等价的平行平板。
1. 平行平板的成像特性
如图3-7所示，轴上点 A 发出一孔径角为U1的光线
平面镜成像
知识要点 平行平板成像及其等 效光学系统
掌握程度 掌握平行平板的成像 特点以及等效成的空 气平板的厚度 熟悉各种反射棱镜的 应用场合； 掌握反射棱镜的成像 方向判断方法 熟悉折射棱镜的偏向 角公式； 掌握最小偏向角公式 及光楔的偏向角 了解平均折射率、阿 贝常数、部分色散和 相对色散的定义； 熟悉透射材料和反射 材料的特点
y
′ l
轴在左边；而当正对着像即沿 z ′O ′方向
图3-2 平面镜成镜像图
观察像时， y ′ 在右边。
(3)平面镜奇数次反射成镜像。偶数次反射成与物一致的像。 由图3-2可知，一次反射像 与物相同的右手坐标系。 (4)当物体旋转时，其像沿反方向旋转相同的角度。 正对着
zO
O ′ − x ′y ′z ′
1
用三角公式展开，并利用
∆ T = d s i n I 1 (1 −
sin I 1 = n sin I ′1
，得
c o s I1 n c o s I ′1
)
所以，轴向位移
∆L ′ =
cos I 1 DG = d (1 − ) n cos I 1′ sin I 1
应用折射定律 sin I
1
sin I ′1 = n，代入得
∆ L ′ = d (1 − t g I ′1 ) n tg I1
该式表明，轴向位移 ∆L′随入射角 I（即孔径角 U 1 ）的不同而不同，即轴上 1 点发出不同孔径同心光束变成了非同心光束，因此，平行平板不能成为完 善像。
2. 近轴区平行平板的成像
当入射光线在近轴区以细光束通过平行平板成像，因为 I 1 很小，余弦 可近似等于1，式
第三节
反射棱镜
将一个或多个反射面磨制在同一块玻璃上的光学元件称为反射棱 镜，在光学系统中主要用于折转光路、转像、倒像和扫描等。在反射 面上，若所有入射光线不能全部发生全反射，则必须在该反射面上镀 以金属反射膜，如银、铝等，以减少反射面的光能损失。
1. 反射棱镜的概念及分类
光学系统的光轴在棱镜中的部分称为棱镜的光轴，如图3-8所示，图 中的
P 1
ω
ω 2 当直角棱镜 在水平面内以角速度
F1 F = y
,物镜焦距为 f ′,则
′ y = f t g 2 θ ≈ 2 f ′θ
式中 y 可由分划板标尺读出，物镜焦距 f ′已知，可求出平面镜转动的微小 角度 θ 。
图3-4 测定微小角度和位移
若平面镜的转动是由一顶杆移动引起的，设顶杆到支点距离为 a ， 顶杆微小移动量为 x ,则 tg θ 式中
∠ y ′′Py = ∠ y ′′Py ′ − ∠ yPy ′ = 2 ∠ RPy ′ − 2 ∠ Q Py ′ = 2α
因此，连续一次像可认为是由物体绕棱边旋转 2α 角形成的，旋转方向由第 一反射镜转向第二反射镜。只要双面镜夹角 α 不变，双面镜转动时，连续 一次像不动。
总之，双平面镜的成像特性可归结为： （1） （2） 二次反射像的坐标系与原物坐标系相同，成一致像。 连续一次像可认为是由物体绕棱边旋转 2α 角形成的，其转向与
图3-6 连续一次像
如图3-6所示，一右手坐标系的物体 x y z ，经双面镜 QPR 的两个反射 镜
PQ 、PR 依次成像为
′ x ′y ′z和 x ′′y ′′z ′′。经 PQ
第一次反射的像
x ′y ′z ′为左手坐
标系，经 PR 第二次反射后成的像（称为连续一次像）x ′′y ′′z ′′ 还原为右手坐 标系。由于
图3-1 平面镜成像
1.1 平面镜成像特点有： (1)像与物相对平面镜对称，物像虚物相反 由球面镜的物像位置公式 1 + 1 = 2 ，令 r = ∞可得 l ′ = −l ，所以， 物与像相对于平面镜对称。
l′ l r
由球面镜的放大率公式 β = - l = 1 可知，实物成虚像，虚物成实像。 (2)平面镜成镜像 由于平面镜成像的对称性，使一个右手坐标系的物体，变换成左手 坐标系的像，这种像称为镜像。如图3-2 所示，一个右手坐标系 O − xyz ，经平面 镜 M 后，其像为一个左手坐标系 O ′ − x ′y ′z ′ 。当正对着物体即沿 zO 方向观察物时，
，即
α = I ′′1 − I 2
所以有
β = 2α
可见，出射光线和入射光线的夹角与入射角的大小无关，只取决于双 平面镜的夹角 α 。由此可以推得，如果双面镜的夹角不变，当入射光线方 向一定时，双面镜绕其棱边旋转时，出射光线方向始终不变。利用这一性 质，光学系统中用双面镜折转光路时，对其安装调整特别方便。
AD ，经平行平板
两面折射后，其出射光线的延长线与光轴相交于 A′2，出射光线的孔径角 为 U ′2 。设平行平板位于空气中，平板玻璃的折射率为 n ，光线在两折 射面上的入射角和折射角分别为 I1 、I ′1 和 I 2 、I ′2 。因为二折射面平行， 则有
I2
=
I ′1
,由折射定律，得
sin I 1 = n sin I ′1 = n sin I 2 = sin I ′ 2
图3-5 双平面镜成像
下面看经双平面镜两次反射后的出射光线与入射光线间的关系。 由 ∆O O M ，有
1 2
( − I 1 + I ′′1 ) = ( I 2 − I ′′ 2 ) + β
根据反射定律，有
β = 2 ( I ′′1 − I 2 )
在 ∆O O N 中，有
1 2
I ′′1 = α + I 2
≈θ = x a
,代入上式，得
y = (2 f ′ a ) x = K x
K = 2 f ′ a 为光学杠杆的放大倍数。利用此式可测量顶杆的微小位移。
2．双平面镜成像
如图3-5所示，设两个平面镜的夹角 为 α ，光线 AO1入射到双平面镜上，经两 个平面镜 PR 和 PQ 依次反射，沿O2 M 方向 出射，出射光线与入射光线的延长线相 交于 M 点，夹角为 β 。
下面通过物点与像点之间产生的轴向位移 是否完善。
∆ L ′ = AA′ 2 讨论平行平板的成像
如图3-7所示，出射光线与入射光线之间的侧向位移 ∆T 在 ∆DEG 和 将 sin( I
− I ′1 )
∆DEF 中，
∆ T = D G = D E sin ( I 1 − I ′1 ) = d co s I ′1 sin ( I 1 − I ′1 )
第4章 平面与平面系统
1.平面镜成像 1. 2.平行平板 2. 3.反射棱镜 3. 4.折射棱镜与光楔 4.
第4 章
平面与平面系统
光学系统除利用球面光学元件（如透镜和球面镜等）实现对物体的成 像特性外，还常用到各种平面光学元件，如平面反射镜、平行平板、反射 棱镜、折射棱镜和光楔等。这些平面光学元件主要用于改变光路方向、倒 像及色散。本章主要讨论这些平面光学元件的成像特性。 【本章教学要点】 本章教学要点】 知识要点 掌握程度 掌握平面镜成像的特 点、平面镜旋转时的 成像特点以及双平面 镜成像的特点； 镜成像的特点； 相关知识 利用平面镜旋转时的 特点测量微小角度和 微小位移； 微小位移； 奇数次与偶数次成像 的不同
θ = − I ′′1 + α − ( − I ′′) = I 1 + α − I = ( I + α ) + α − I = 2α
因此反射光线的方向改变了2α 角。
图3-3 平面镜旋转时的成像
利用平面镜转动的这一性质，可以测量微小角度或位移。如图3-4所 示，刻有标尺的分划板位于准直物镜 L 的物方焦平面上，标尺零位点与物 方焦点 F 重合，发出的光束经物镜 L 后平行于光轴。若平面镜 M与光轴垂 直，则平行光经平面镜 M反射后原光路返回，重新会聚于 F 点。若平面镜 转动 θ 角，则平行光束经平面镜后与光轴成2θ 角，经物镜 L 后成像于 F1 ， 设