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完全平方公式2_(上课)_PPT

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1.6完全平方公式第2课时-2023-2024学年七年级数学下册同步课件(北师大版)

1.6完全平方公式第2课时-2023-2024学年七年级数学下册同步课件(北师大版)
做一做：有一位老人非常喜欢孩子,每当有孩子到他家做客时,老人都要
拿出糖果招待他们.如果来1个孩子,老人就给这个孩子1块糖果;如果来2
个孩子,老人就给每个孩子2块糖果;如果来3个孩子,老人就给每个孩子3
块糖果……
假如第一天有a个孩子一起去看老人，第二天有b个孩子一起去看老
人,第三天有(a+b)个孩子一起去看老人，那么第三天老人给出去的糖果
刀沿图中折痕剪开,把它分成四块完全相同的小长方形,然后按图②那样
拼成一个大正方形,则中间空白部分的面积是( C )
A.2m
B.(m+n)2
C.(m-n)2
D.m2-n2
四、当堂练习
6.化简:(x+2)2+4(1-x)= x2+8 .
7.一个正方形的边长增加3 cm,它的面积就增加45 cm2,则这个正方形的
思考：怎样计算1022，992更简便呢？
解:(1)1022=(100+2)2
(2)1972=(200-3)2
=1002+2×100×2+22
=2002-2×200×3+32
=10000+400+4
=40000-1200+9
=10404.
=38809.
你是怎样做的？与同伴进行交流.
二、新知探究
跟踪练习
方法二:逆用平方差公式
=a2+2ab+b2-9.
(x+3)2- x2
=(x+3+x)(x+3- x)
=(2x+3)·3=6x+9.
(3)(x+5)2-(x-2)(x-3).
(3)(x+5)2-(x-2)(x-3)

14.2.2完全平方公式(2)ppt

14.2.2完全平方公式(2)ppt
2. (2x-y+z)2 3. (a+2b-1) (a-2b+1)
4.(3x 5)2 (2x 7)2
5.(2x+3y)2-(2x+y)(2x-y),
6.( x 2)2( x 2)2
11..整整式式x2x+24+x+4Px是+P完2全是平完方全式平,则方P＝式,则P＝4__±.__2___ 22..整整式式a(xa2+x2)42x+y2+43x6yy+2是36完y2全是平完方全式平,则方a式= ,则4 . a=__±__2__ 3.整式x2-kx＋9是完全平方式,则k= ±6 .
正方形数: 1, 4, 9, 16, 25… 完全平方数
例1.将正整数按如图规律排列,
则2009在第 行第 列,
第n行第n列的数为
.
第第第 第
123 4 列列列 列
第1行 1 2 5 10
第2行 4 3 6 11
第3行 9 8 7 12
第4行 16 15 14 13
正方形数: 1, 4, 9, 16, 25… 完全平方数
复习回顾: 1.平方差公式：
(a＋b)(a－b)＝ a2－b2
2.完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
去括号的法则
，括到括号里
的各项都不变号；
所添的括号前面是“－”号，括到括号
里的各项都要变号。
整体思想构建公式 1.(-2a-1) (2a+1)
1 6 15 20 15 6 1
110=?1 111=?11 112=?121 113=?1331 114=? 115=? 116=?

《完全平方公式》第2课时示范公开课PPT教学课件【七年级数学下册北师大版】

《完全平方公式》第2课时示范公开课PPT教学课件【七年级数学下册北师大版】
完全平方公式第2课时
平方差公式是怎样的呢？
平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
(a+b)(ab)=a2b2
完全平方公式又是怎样的呢？
完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
解：(1)原式= (x+3)2-x2
=6x+9
= x2+6x+9－x2
例2 计算：
分析：(2)把a+b看作整体(一项)，再利用平方差公式求解即可.
解：(2)原式= [(a+b)+3][(a+b)-3]
= (a+b)2-32
=a2+2ab+b2－9.
a+b看作整体.
(1) (x+3)2-x2； (2) (a+b+3)(a+b-3)； (3) (x+5)2-(x-2) (x-3)．
a2-ab+b2=(a2+b2)-ab
=37-(-6)=43.
完全平方公式的常见变形：
应用：
完全平方公式的应用
①用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2 或者(a−b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．
②对于两个三项式相乘的式子，可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算.
=m2+2mn+n21=n源自2nm2+1看作一项

完全平方公式 课件(共15张PPT) 2024-2025学年人教版初中数学八年级上册

完全平方公式 课件(共15张PPT) 2024-2025学年人教版初中数学八年级上册
=362 − 60 + 25 2
=42 − 4 + 1
2：如果 + + 是一个完全平方式，则x的值为多少？
解：因为 + +
=（） + ∙ ∙ + (±)
所以 x 的值为±
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
“口诀”：首平方，尾平方，积的两倍在中央。
想一想：
你能根据图 1 和图 2 中的面积解释完全平方公式吗?
b
b
a
a
a
b
图1
ห้องสมุดไป่ตู้
a
图2
b
( − ) =?
你是怎样做的？
（ − )2 = ( − )( − )
=2 − 2 +
2
（ − )2 = + (−)
2
=2 + 2(−) + (−)2
(a−b)2=a2−2ab+b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，
完
全
平
方
公
式
加上(或减去)它们的积的2倍.
完全平方公式的特征：
你有什么收获？
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2. ×
4x2 + 4xy + y2
(2)
(x－y)2
=
x2－y2；
x2 + 2xy + y2
1：利用完全平方公式计算：
(1)（6 + 5)2
(2)(2 − 1)2
解：原式=（6)2 − 2 ∙ 6 ∙ 5 + (5)2 解：原式=（2)2 − 2 ∙ 2 ∙ 1 + 12

完全平方公式ppt课件

完全平方公式ppt课件
=2x2-8x+8+3x-2x2-1
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中

x=( )
2 023
,y=2

2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;

2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];

(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2

完全平方公式ppt课件

完全平方公式ppt课件

2.下列等式不成立的是( )
A.(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2
B.(m－n)2＝m2－n2
C.(x－y)2＝(y－x)2
D.(x＋y)2＝(－x－y)2
3.运用完全平方公式计算: (1)(3+5p)2 (2)(a－3b)2
(4)(－2m＋n)2
1600×799＋7992
(5)1032
(7)(x＋2y)2－y(x＋2y) b)2
观察运算结果中 的每一项，说说 它们的共同特点
右边第一项是左边第一项的平方，右边 最后一项是左边第二项的平方，中间一 项是它们两个乘积的2倍．
左边如果为“+”号，右边全是“+”号，左 边如果为“-”号，它们两个乘积的2•倍就为 “-”号，其余都为“+”号．
请类比上面几个运算，计算下列式子：
.(a+b)2=2+2ab+b (a-b)2=a2+2ab+b2
(3)(a+ )2 (6)8002－
(8)(2a＋b)2－(2a－
4.已知A＝2x＋3y，B＝2x－3y，计算A2－B2.
5.已知x＋y＝7，xy＝2，求下列各式的值： (1)x2＋y2； (2)2(x－y)2.
例4.已知：x+y=8,xy=10,求(x+y)2的值.
练习5.已知a－b＝10，ab＝20，求下列式子的值． (1)a2＋b2 (2)(a＋b)2
课堂练习
1.下列计算正确的是( A.(x+y)2＝x2+y2 C.(x+1)(x－1)＝x2－1
) B.(x－y)2＝x2－2xy－y2
D.(x－1)2＝x2－1
14.2.2 完全平方公式

人教版数学八年级上册14.2.2完全平方公式(二)-课件

人教版数学八年级上册14.2.2完全平方公式(二)-课件

a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a–b–c = a–(b+c).
添括号时,如果括号前面 是正号,括到括号里的各项都 不变号;如果括号前面是负号, 括到括号里的各项都改变符号.
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
细实
；；
博会
物谈
使使
人人
深敏
沉捷
；；
You made my day!
伦 理 使 人 庄 重 ； 逻 辑 与 修 辞 使 人 善 辩 。
写 作 与 笔 记 使 人 精 确 ； 史 鉴 使 人 明 智 ； 诗
歌
使
人
巧
慧
；
我们，还在路上……
(1) a + b - c = a + ( b-c );
(2) a – b – c = a – ( b+c ) ;
(3) a - b + c = a – ( b-c ); 能否用去括
号法则检查
(4) a + b + c = a - (-b-c ). 添括号是否
正确?
例5 运用乘法公式计算:
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2.
14.2.2 完全平方公式
复习： 一般地,我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b) 2 = a2-2ab +b2.
即两数和(或差)的平方,等于它们的平 方和,加(或减)它们的积的2倍. 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公 式.

《完全平方公式》第二课时课件

《完全平方公式》第二课时课件

完全平方公式的应用举例
单元一次方程的解
通过完全平方公式将一元一次方程转化为一 元二次方程的形式，从而发现解的规律。
勾股定理的例证
将勾股定理的公式转化为二元一次方程，再 通过完全平方公式进行求解，证明勾股定理 成立。
解完全平方方程的步骤
• 将方程移项，将式子变为标准的形式ax²+bx+c=0 • 求出a、b、c的值 • 将二次项系数拉出系数2再乘以1/2，此时配方后，第一项为二次项系数是（1/2b）²，即 (b/2a)² • 把（b/2a）²去掉括号得到 = b²- 4ac / 4a² • 将b²-4ac的值带入公式，解出x的值
《完全平方公式》第二课 时课件
欢迎来到本课程，本节将教你完全平方公式的定义、推导和应用，以及解完 全平方方程的步骤和相关考点。最后我们会讲述一些练习题并进行总结和关 键观点的阐述。
完全平方公式的定义
完全平方是指可以写成两个相同因数的积的数。 例如：4, 9, 16, 25 都是完全平方数。 完全平方公式则是指将一个二元一次方程转化为一个完全平方的形式。
完;bx+c=0
通过配方法将ax²+bx+c=0的左 侧用完全平方公式进行展开。
用公式计算
从完全平方公式的推导中获得 a、b、c的值后，直接带入公 式求解。
与一元二次方程其他解 法的区别
完全平方公式宜用于系数简单 的单元一次方程，其他解法应 根据具体情况选择。
二次方程根：
ax²+bx+c=0
总结和关键观点
完全平方公式的应用范围十分广泛，涉及到数学、密码学、科技、加密等领 域。
本教材对完全平方公式的定义、推导、应用举例、解方程步骤和相关考点等 进行了全面介绍和详细阐述，旨在帮助大家掌握这一重要知识点，快速提升 数学实力。

完全平方公式课件2

完全平方公式课件2

定义
完全平方是指一个数的平方等于另一个数的平方 之和的情况。
特征
完全平方的数字可以写成两个整数的乘积的形式。
完全平方公式的定义和意义
完全平方公式是一种用来将一个二次多项式表示成一个平方项和一个常数项之和的方法。它在解方程、三角函 数和几何中有广泛的应用。
第一类完全平方公式
1
公式
(a + b)^ 2 = a^ 2 + 2ab + b^ 2
我们将介绍一个真实案例，讲述完全平方公式在工程建设中的实际应用，以及对项目成功的影响。
知识拓展：什么是不完全平方
我们将扩展讲解不完全平方的概念和特征，并与完全平方进行比较。
知识拓展：什么是勾股数和勾 股定理
我们将介绍勾股数和勾股定理的概念以及与完全平方公式之间的关系。
拓展阅读：数学史上的完全平方
完全平方公式在解方程中的应用
完全平方公式可以帮助我们解决一些复杂的二次方程，并在实际问题中找到解。
完全平方公式在三角函数中的 应用
完全平方公式可以用于证明和简化一些三角函数的恒等式和性质。
完全平方公式在几何中的应用
完全平方公式可以帮助我们解决一些几何问题，如计算面积和求解直角三角形的边长。
完全平方公式的证明与思考
我们将探索数学史上与完全平方相关的重要事件和著名数学家的贡献。
反思与评价：完全平方公式学 习心得
让大家有机会分享自己在学习完全平方公式过程中的心得体会，并对课程进 行反思和评价。
例子
例如，5^ 2 - 3^ 2 = (5 + 3)(5 3) = 64
第三类完全平方公式
1 公式
(a - b)^ 2 = a^ 2 - 2ab + b^ 2

完全平方公式公开课ppt课件

完全平方公式公开课ppt课件
应用示例
如将表达式$(x+5)^2$展开，得到 $x^2 + 10x + 25$，比原式更为简 洁，方便后续的代数运算。
解决实际问题
总结词
应用示例
完全平方公式不仅在数学领域有广泛 应用，还能够帮助解决实际生活中的 问题。
如利用完全平方公式解决物理中的自 由落体问题，通过建立数学模型，求 出物体落地时的速度和位移。
批判性思维
03
在学习和应用完全平方公式的过程中，学生可以通过分析和评
价不同的方法和思路，培养批判性思维。
06
总结与展望
本节课的总结
完全平方公式的定义和形式
本节课介绍了完全平方公式的定义和形式，包括平方差公式和完 全平方公式，并通过实例进行了演示和讲解。
完全平方公式的应用
重点讲解了完全平方公式在代数、几何等领域的应用，包括因式分 解、求根公式、一元二次方程的解法等。
条件二
需要满足二次项系数为1的条件。在完全平方公式 中，二次项系数必须为1，否则无法应用完全平方 公式进行简化。
04
完全平方公式的应用实例
代数表达式化简
总结词
完全平方公式在代数表达式化简 中具有重要作用，能够简化复杂 的代数式，提高计算效率和准确
性。
详细描述
通过完全平方公式，可以将复杂的 二次项和一次项组合转化为简单的 平方形式，从而简化代数表达式的 结构，方便计算和推导。
完全平方数的个位数特征
个位数是0、1、4、5、6、9的数不一定是完全平方数， 但个位数是2、3、7、8的数一定是完全平方数。
完全平方公式的形式
完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

北师大版八年级下册数学第2课时完全平方公式课件

北师大版八年级下册数学第2课时完全平方公式课件
解: (1)原式=3a（x2＋2xy＋y2）
=3a（x＋y）2； (2)原式=－(x2－4xy＋4y2)
=－(x－2y)2.
新课讲授
练一练 因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2. 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2；
有公因式要先 提公因式
成的图形的面积吗？
a a² a
ab a ab a b²b
b
b
b
同学们拼出图形为：
b ab b²
新课讲授
a a² ab
a
b
这个大正方形的面积可以怎么求？
（a+b）2
= a2+2ab+b2
将上面的等式倒过来看，能得到：
a2+2ab+b2 = （a+b）2
新课讲授
我们把a²＋2ab＋b²和a²－2ab＋b²这样的式子叫作
新课讲授
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; 是
（2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b－1; 不是 （4）a2+ab+b2; 不是
（5）x2+x+0.25. 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与－1的符号不统一；
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
新课讲授
例1 如果x2－6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
（2）a2-2a(b+c)+(b+c)2
解：原式=a2-2·a·(b+c) + (b+c) 2
=[a- (b+c) ]2

完全平方公式2PPT课件

完全平方公式2PPT课件
2
(2) (2xy+ 1 x )2 ;
5
(3)(n +1)2 − n2; (4)(-x-y)2.
.
10
生活在线：
老王去年承包了一块边长为a的正方形实验田，今年把 实验田进行了扩建，建成了一个边长增加了2米的大正 方形，问现在实验田的面积是多少？比原来增加了多 少？
2
a
a.
2
11Leabharlann 本节本课节你课你的学收到获了是什么什?么？
得出结论：
(a+b)2 = a2+2ab+b2
其实，据有关资料表明，古代中国人在很 多年以前就利用类似的图形认识了这个规 律。
.
3
三：自主探究
请你大胆猜想，科学验证 1：根据上面的结论，你能猜出(a-b)2 的结果吗？ 2：你能用不同的方法验证你猜测的结果吗？
(a-b)2 = a2-2ab+b2
.
6
完全平方公式:
(a+b)2= a2 + 2ab + b 2
(a-b)2= a2 - 2ab + b 2 即：两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的两倍。
两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的两倍。
谐音记忆：
首平方，末平方，2倍的首末中间放，
符号与前一个样。
.
7
学以致用：
例1：利用平方差公式计算 (1)(2x-3)2 (2)(4x+5y)2 (3)(mn-a)2 (4)(-2t-1)2
.
8
做题后反思：
1：利用完全平方公式简便了我们的运算。
2：利用完全平方公式时，我们应注意的 一些问题有：
(1)中间项是积的2倍；
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2.已知(a+b)2＝5， (a-b)2＝6，
则a2+b2= .
变式一：a2+b2＝(a+b)2 - 2ab 。 已知:a+b=5,ab=6,
则a2+b2的值是 13 。
变式二：a2+b2＝(a-b)2+ 2ab 。 已知：a-b=5,ab=6,
则a2+b2的值是 37。
变式三：(a-b)2=(a+b)2- 4ab 。 变式四：(a+b)2=(a-b)2+ 4ab 。
4、添加括号使得下列等式成立：
(1)a+b+c=a+ ( b+c ) (2)a-b+c=a- ( b-c ) 注意
添括号时，如果括号前面是正号，括号 里面的各项 不变符号，如果括号前面是 负号，括号里面的各项 改变符号。
5.添括号： (1) a+b-c=a+( b-c ) （2）a-b+c=a-( b-c ) （3）a-b-c=a-( b+c ）
问题一
运用乘法公式计算： （1）(a+b+3)(a+b-3)
（1）(a+b+3)(a+b-3)
解：原式= [ (a+b) +3] [ (a+b) -3]
=(a+b )2− 32 =a2 +2ab+b2-9
温馨提示：将(a+b)看作一个整体
你还有其他方法吗？
a+b-c=a+( b-c ) a-b+c=a-( b+c)
1.利用平方差公式计算： （1）(a+3b)(a-3b)= a2-9b2 （2）(3+a)(-3+a)= a2-9 （3）(2x-y)(-2x-y)= y2-4x2 2.利用完全平方公式计算
（1）(2x+3)2
4x2+12x+9
（2）(a−3b)2
a2-6ab+9b2
3.去括号．
（1）a+（b+c）= a+b+c 。 （2）a-（b-c）= a-b+c 。
问题四
计算:(x+5)2–(x+2)(x-2)
解: (x+5)2-(x+2)(x-2) =x2+10x+25-(x2-4) = x2+10x+25-x2+4
=10x+4
温馨提示：注意添括号。
当堂训练 反馈效果
（1）(a-b+3)(a-b-3) （2）(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) （3） a2-(a-1)2 （4）(a+2b-1)2
已知：(a+b)2=8 ab=1
则(a-b)2= 4 .
完全平方公式的变化形式
变式一： a2+b2=(a+b)2-2ab 变式二： a2+b2=(a-b)2+2ab 变式三：(a+b)2=(a-b)2+4ab 变式四：(a-b)2=(a+b)2-4ab 变式五：(a+b)2-(a-b)2=4ab
1.已知(a-b)2＝13，ab= 3 则a+b= .
问题二
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
计算：(x+3)2-x2
问题三
你能用几种方法进行计算?试一试。
解:方法一 完全平方公式合并同类项
(x+3)2-x2
=x2＋6x+9-x2
=6x+9
解:方法二：平方差公式单项式乘多项式.
(x+3)2-x2 =(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)·3 =6x+9
1、平方差公式
( a + b )( a – b )=a2 - b2
记忆口诀： 相同项平方减去相反项平方
2. 完全平方公式：
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
记忆口诀：
首平方，尾平方，2倍乘积放中央， 符号算； 2.进一步熟悉平方差公式和完全平方公式； 3.初步掌握完全平方公式的变化形式。
运用乘法公式计算：
（2）(a+b-c)(a-b+c)
（2）(a+b-c)(a-b+c)
解：原式= [ a+ ( b-c)] [ a- ( b-c)]
=a2−( b-c)2
=a2 -（b2-2bc+c2) =a2 -b2+2bc-c2
温馨提示：
将(b-c)看作一个整体.
计算 (a+b+c)2
你有几种方法？