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决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 xk, yk=0,1,2,3; yk~第k次渡河前此岸的随从数 k=1,2, sk=(xk , yk)~过程的状态 S ~ 允许状态集合
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以
时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20公里）。
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
3
法 允许状态S ~ 10个 点
允许决策D ~ 移动1或2格; 2
k奇,左下移; k偶,右上移.
d1, d11给出安全渡河方案
1 d11
s1
d1
评注和思考
0sn+1 1
2
3x
规格化方法, 易于推广 考虑4名商人各带一随从的情况
习题
• 模仿这一案例，作下面一题： 人带着猫、鸡、米过河，船除需要
人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之 一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃 米。试设计一安全过河方案，并使渡河 次数尽量地少。
越来越受到人们的重视。
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
建模示例 椅子能在不平的地面上放稳吗？
问题 椅子能在不平的地面上放稳吗？
模 1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一人点，四
型 假
脚的连线呈正方形；
设 2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没
有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面；
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
uk~第k次渡船上的商人数 uk, vk=0,1,2;
vk~第k次渡船上的随从数 k=1,2, dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合 sk+1=sk+(-1)kdk ~状态转移律
研究人口变化规律
控制人口过快增长
指数增长模型
常用的计算公式 今年人口 x0, 年增长率 r
k年后人口
x x(1r)k
k
0
马尔萨斯（1788--1834）提出的指数增长模型(1798)
x(t) ~时刻t人口
r ~ 人口(相对)增长率(常数)
x(t t) x(t) r(tx ) t x(t)xert 0
建模示例 如何预报人口的增长
背景
世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
中国人口增长概况
年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 人口(亿) 3 4.7 6 7 10.1 11.3 12
数学建模讲座
第一章 建立数学模型
什么是数学模型
我们常见 的模型
玩具、照片… 风洞中的飞机~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
你碰到过的数学模型——“航行问题”
多步决 策问题
求dkD(k=1,2, n), 使skS按转移律 由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
D={(u , v) u+v=1, 2}
模型求解 穷举法 ~ 编程上机
y
图 解
状态s=(x,y) ~ 16个格点
数学模型:对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当 的数学工具，得到的一个数学结构。
数学建模：建立数学模型的全过程 （包括建立、求解、分析、检验）。
数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展 • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，
模型构成 由假设1，f和g都是连续函数
由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚
B‘
同时着地：对任意t ，f(t)和g(t)中至少有一
个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,f(t)>0,原题
C
归结为证明如下的数学命题：
已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t, f(t) •g(t)=0, C‘ 且g(0)=0,f(0)>0。则存在t0，使f(t0)= g(t0)=0
最后，因为f(t) •g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。
建模示例 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一岸, 河 一旦随从的人数比商人多,
就杀人越货.
小船(至多2人)
但是乘船渡河的方案由商人决定. 3名商人
商人们怎样才能安全过河?
3名随从
问题分析 多步决策过程
甲 乙 两 地 相 距 7 5 0公 里 ， 船 从 甲 到 乙 顺 水 航 行 需 3 0小 时 ， 从 乙 到 甲 逆 水 航 行 需 5 0小 时 ， 问 船 的 速 度 是 多 少 。
用x表示船速，y表示水速，列出方程： (x y)30750 (x y)5 07 5 0
求解得到 x=20, y=5, 答：船速每小时20公里
3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的， 使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
模 椅脚连线为正方形ABCD(如右图)。 型
B‘
构 t ~椅子绕中心点O旋转角度 成 f(t)~A,C两脚与地面距离之和
C
f(t), g(t)0
g(t)~A,C两脚与地面距离之和
C‘
B A‘
t O
D
Ax D‘
B A‘
t O
D
Ax D‘
模型 将椅子旋转90º,对角线AC与BD互换。 由g(0)=0,f(0)>0可
求解 知g( )>0,f( )=0
2
2
令 续 即h函f((tt0数))== 。fg((tt)0根-)。g据(t),连则续h(函0)>数0和的h基(2本) 性<0质，,由必f存和在g的t0 （连0续<t性0<知2 ),h使也h是(t0连)=0，
