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第一章 概 论第一节 学 科 界 说生物数学(biomathematics)是一门介于生物学与数学之间的边缘学科。
这门学科以数学方法研究和解决生物学问题，并对与生物学有关的数学方法进行理论研究。
它的分支学科较多，从生物学的应用去划分，有数量分类学、数量遗传学、数量生态学、数量生理学和生物力学等。
这些分支是数学与生物学不同领域相结合的产物，在生物学中有明确的研究范围。
从研究使用的数学方法划分，生物数学又可分为生物统计学、生物信息论、生物系统论、生物控制论和生物方程等分支。
这些分支与前者不同，它们没有明确的生物研究对象，只研究那些涉及生物学应用有关的数学方法和理论。
生物数学按照生物学和数学这两个方面去理解，可以从下面的图示获得形象的表示：生物学数 学这里把生物学的分支领域看作一个集合，数学的不同分支领域视作另一个集合，生物数学就是这两个集合导出的乘积空间。
因而生物数学的分支内容十分丰富。
生物数学具有完善的数学理论基础，包括集合论、概率论、统计数学、随机过程、对策论、微积分，微分方程、线性代数、矩阵论和拓扑学，还包括一些近代数学分支，如信息论、图论、控制论、系统论和模糊数学等。
由于生命现象复杂，从生物学中提出的数学问题往往十分复杂，需要进行大量的计算工作。
因此，计算机是生物数学产生和发展的基础，是研究和解决生物学问题的重要工具。
90年代以来，计算机技术的进一步发展，生物学的应用又把数学模型的定量分析与电脑的信息处理技术紧密结合在一起， 计算机在生物数学中日益重要。
然而，不论数学内容多么丰富，计算机的地位多么重要， 就整个学科的内容而论，生物数学需要解决和研究的本质方面是生物学问题，数学和计算机×仅仅是解决问题的工具和手段。
因此生物数学与其他生物边缘学科一样，通常被归属于生物学而不属于数学。
1974年联合国教科文组织编制的学科分类目录，已明确地将生物数学归入生命科学类，与生物化学、生物物理学等生物分支学科并列在一起。
第三章生物分类的数学模型本章开始将讨论生物分类，按照生物分类学家的理解就是指表征分类和分支分类，我们仅研究两种分类概念下的数学理论与方法。
这里的分类也是多元统计关于聚类分析的延续，但是已远远超出统计数学的范围。
表征分类除经典的系统分类以外还包括图论分类、信息分类、模糊分类；分支分类是以抽象代数为基础，研究生物演化规律的分支学科。
因此生物数学中的分类数学模型不能再视作多元统计中的聚类分析，而应称为分类分析。
本章专门讨论分类分析中的表征分类数学模型。
第一节分类的基本概念和原始数据的获得何谓分类？有句俗话“物以类聚”，这句话的意思是说，许多事物依据其类别的特征，相似者归为同一种类。
从这个意思去理解，分类有两个要素。
第一个要素是被分类的对象，分类对象是由许多被分类的实体所组成，3个以上的实体构成一个基本分类对象。
被分类的实体，就是被分类的基本单位，在数量分类学中称为运算分类单位(operational taxonomic unit)简写作分类单位(OTU)。
全部被分类的分类单位构成的集合称为被分类群。
分类的第二个要素是分类的依据，分类依据取决于被类群中分类单位的性状，所谓性状(character)是一个分类单位区分于其他分类单位的性质、特征或属性。
一个分类单位对某个性状所呈现的状态，称为该性状的性状状态(character state)，简称状态(state)。
分类就是将被分类群中所有的分类单位，依据它们的性状状态，遵从一定的原则作出划分或聚合，得到一组新的分类单位集合。
通过分类获得的这个分类单位集合称为分类群(taxon)。
世界上一切事物都存在分类的问题。
专门研究生物物种的分类，也就是生物分类学中的分类，有表征与分支两个对立的概念。
依据生物表现性状相似性全面比较而建立的系统分类称为表征分类(phenetic classification)；遵从生物演化的谱系关系而建立的系统分类称为分支分类(cladistic classification)。
28生物数学－微分方程数学模型微分方程模型是一类十分重要的生物数学模型，其中包括经典的Malthusian 模型、Logistic 模型和Lotka-Volterra 模型。
获诺贝尔奖的神经膜传导H-H 方程，以及获诺贝尔奖的侧抑制神经网络Hartline 方程，都是数学与生物学结合研究—即生物数学的结晶。
微分方程模型在神经生理学、流行病学、生态学、微生物学、酶动力学、药用动力学等领域都已产生了重要的理论与应用价值。
第一节 单种群增长的数学模型种群增长研究中人口增长是最古老的课题之一，我们就以此开始讨论。
美国的人口记录是世界上最完整的记录之一，表3-1给出了美国人口增长的部分记录。
从1790年的610929.3⨯人，到1800年的610038.5⨯人，10年中：66101379.01017901800929.3308.5⨯⨯--＝人口平均增长率＝人／年665.308 3.929100.0351103.929(18001790)-⨯⨯-人口平均相对增长率＝＝人／年表3.1美国人口调查数据28增长率以单位时间 (单位：一般指年)内人口增长的比例来描述，它与时间t 及当时的人口数量有关。
相对增长率则以增长率相对于当时人口的数量来衡量，在一定的时间范围和一定条件下，相对增长率是一个稳定的常数。
现论述这一思想。
设某种群在t 时刻的数量（亦称为种群密度）为)(t N ，其中t 代表时间，则从t 到t +△t 时间间隔中：平均种群增长速率tNt t N t t N ∆∆=∆-∆+=)()( 平均种群相对增长速率tN Nt t N t N t t N ∆∆=∆-∆+=)()()(令t ∆→0取极限，得到在时刻t 的种群增长速率和种群相对增长速率分别为：种群增长速率dtdNt N t =∆∆=→∆0lim28种群相对增长速率dtdNN t N N t 1lim0=∆∆=→∆ 今后也将dtdN记为 )(t N ' 或 N '，对三者不加区分。
