随堂讲义•第一部分知识复习专题专题三数列第一讲等差数列与等比数列I I丿M 甘H、甘匸匕安乂刘尘丿4里口屮J 1=1疋里启卩形式出现・考查运用通项公式，前门项和公式建立方程组求解，应为简单题.(2)对等差、等比数列性质的考查是热点,主要以选择题或填空题的形式出现,具有“新、巧、活”的特点,考查利用性质解决有关的计算问题应为中档题・(3)等差、等比数列的综合问题,多以解答题的形式考查,主要考查考生综合数学知识解决问题的能力，应为中档题•栏目链接考点1 等差数列的槪念及通项公式1.等差数列的定义.数列｛耳门｝满足_____________ （其中门^N*, d为与门值无关的常数）。
｛旳是等差数酬+1 —站—〃等差数列的通项公式.若等差数列的首项为"，公差为小贝ijan=a1 + ____________ am+ ________ (n, meN*).(n—1)d{n—rri)d3.等差中项.224.等差数列的前门项和公式.若等差数列首项为0 ,公差为d,则其前门项和Sc = _________ = .n (n —1) d若x, A y 成等差数列，则&= 等差中项.,其中力为x, y 的n (al+an)2考点2 等上匕数列的槪念及通项公式1. 等比数列的定义.血+1数列伽｝满足mi=g（其中劲HO, q是与n 值无关且不为零的常数，〃WN*）0｛血｝为等比数列.2. 等比数列的通项公式.若等比数列的首项为刃，公比为q,则an =*^~1 =am • qn~m（n,加WN*）・3・等比中项.若x, G, y成等比数列，则G2= xy,其中G为x, y的等比中项，G值有两个.4.等比数列的前〃项和公式.设等比数列的首项为刃，公比为g,则na1' ______ ，q=\,Sn=\al (1如上鯉=l_g , gHl・l—g•SII ISX9 SX (S D +它)p —zf D &H P 1T F I I S H Z D — MHS G窿92・Q O CM ・ 0 9L・ 卜・2. （201牛辽宁卷）设等差数列｛刖｝的公差为门 若数列｛2a1 an ｝为递减数列,则（）CA . d<0 B.d>0 C . a1 d< 0 D . a1c/> 02a Ifan ~an 一1)V1,汉;an —an —1 =d,故 2a IdVI,从而"ldVO •故选C.解析:由己知得，2alan<2alan —l f即2a 伽2alan —l3. (2014•新课标II卷)等差数列｛血｝的公差是2,若仇2, «4,於成等比数列，则伽｝的前〃项和S〃=(人)A. n(n+l) B・ n(w—1)n (zi+1) n (n—1)C・ 2 D・ 2解析：由已知得，a24=a2 • «8,又因为伽｝是公差 为2的等差数列，故(必+加)2=必• ©2+6J), @2+4)2=a2 ・(a2+12),解得 «2=4,所以 an=a2+(n —2)d=In,故S 〃 =n (al+aw)2=w(n + l).4•等差数歹1」｛耳门｝的公差不为零，首项G = 1 , m2是日1和日5的等比中项，则数列的前10项之和是（）BA . 90B . 100C . 145D .190解析:设公差为〃，则（1+62"（1+46.• •帀0 ,解得d==2 , =100.突破点1 有关等差数列的基本问题例1己知数列｛an｝是一个等差数列，且a2=l, a5=-5.⑴求伽｝的通项an.⑵设cn=™,bn=2cn,求1=log2b 1+Iog2b2+Iog2b3+… +/og2bn 的值.(I+u)UH U +…+E +Z +Fuq£0+…+2Z M 07+z q z M £+s £07H l ••••UZUZHUq-:(s+uz —)—sUE —S■S —H P寸+IE■S +U Z —H U E :-(Z )•s+uz —HP(I —U)+IEHUE•••.Z —H P・EHIE驱雀.I s ® ・p采揪y s规律方法(1 )涉及等差数列的有关问题往往用待定系数法“知三求二” 进行解决.(2) 等差数列前n项和的最值问题，经常转化为求二次函数的最(3) 等差数列的性质：设m , n , p , q为非零自然数，若m + n =p+ q ,贝(Jam + an = ap + aq.1. (2014•天津卷)设伽｝是首项为al,公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和，若SI, S2, S4成等比数列，则al=( D)A. 2B. ~2C.T D. -*解析:因为SI, S2, S4成等比数列，所以S221 、「= S1S4,即(2« 1 二 1 )2 =伉1 (4al』6), al=亠亍故选D.突破点2 有关等比数列的基本问题例2设数列伽｝的前n项和为Sn,已知ban—2n=(b—l)Sn.⑴证明：当b=2时，｛an—n・2n-l｝是等比数列；(2)求伽｝的通项公式.数即可，或转化为 an+1—(n+l)-2n=(an —n*2n —l)q, q 为据常数.(2)当b=2时,由(1河求出｛an-｝的通项公 式，从而得到伽｝的通项公式；当bH2时，构造新数列, 求其通项公式.思路点拨：⑴只需证明an+1— (n+1)・2n an —n*2n —1为非零常•(IIUZ .UIUE )ZHUZ.(I +u )—uz+UEZHuz.a+u )—I+UE ・••・UZ+UEZHI+UE 亚◎«fe Z H q泪 ◎.uz+UEqnl+UE &.I+u 更TqnuzlueqII+UEq 晅㊀ I © ◎.I+US(I —q) Hi+uz —r+UEq••• ㊀・ u s a —q )H U Z I U E q・.・><又Tal —1・21—1 = 1 HO, /.{an —n ・2n —1}是首 项为1,公比为2的等比数列.解析:(2)当b=2时,由(1)知,an —n*2n —1=2n —1, •'•an=(n+l)・2n —1.当bH2时，由③知：an+1— (n+1)・2n an —n*2n —1an+1—-~~2n+l1 . b • 2n =ban+2n—2n+l=ban-—•；an=^q^[2n+(2—2b)bn—1].(n+1) ・2n—1, b=2, 综上知an=< 1 2 (1-b)a"_百•； an=^^[2n+(2—2b)bn—1]. Vai=2适合上式，bn—L2_b【2n+ (2-2b) bn-1], bH2・规律方法⑴证明数列伽｝为等比数列有如下方法：①证明警円（与11值无关的非零常数）•dll Array②a2n=an—1 • an+l(等比中项)(n$2, nGN).（2）已知an+l=Aan+B（A f B为常数）求伽｝的通项时，用构造数列法.即设an + l — c=A伽一c）,先求出c值尸简，再求C的通项，从而求出初的通项.2.等比数列｛耳门｝中，a1, a2, m3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且"，a2, m3中的任何两个数不在下表的同一列.⑴求数列伽｝的通项公式•(2)若数列｛加｝满足bn=伽+?f记数(n+2) log3 —j—3列伽｝的前"项和为S"，证明：Sw<4-解析：当刃=3时，不合题意;当“1=2时,当且仅当“2=6, «3=18时，符合题意;当al = 10时，不合题意.因此“1=2, "2=6, “3=18.所以公比q=3・⑵证明：因为加=1 1S+2） 1朋（罗「“（n+2）所以S〃=bl+方2+03+…+加故初=2・3〃一1.........................................| ---- k ------ ----- 1X3 2X4 3X5 nX (n+2)if 1 1 1)3扌1+厂吊_胡右,故原不等式成立.突破点3 等差、等比数列纟宗合问题例3 (2014•重庆卷)已知｛an｝是首项为1,公差为2的等差数列，Sn表示伽｝的前n项和.⑴求an及Sn；⑵设｛bn｝是首项为2的等比数列，公比q满足q2-(a4 + l)q+S4=0,求｛bn｝的通项公式及其前n项和Tn.分析：⑴己知等差数列的首项和公差，可直接利用公式an=n (n—1) "—al+(n—l)d, Sn=nal+ d 求解.(2)利用⑴的结果求出a4, S4,解方程q2—(a4+l)q +S4=0得出等比数列｛bn｝的公比q的值，从而可直接fnbl, q=l,由公式bn=bl -qn-1, Tn=< bl (1-qn) 求、1—q ' qHl'｛bn n项和Tn.解析：⑴因为伽｝是首项al = l,公差d=2的等差数列, 所以an=al+(n—l)d=2n—1.故 $尸1+3+・..+(20-1)=也严J=n2.⑵由(1)得，a4=7, S4=16.因为q2-(a4土Uq+S4=0,即q2—8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.又因bl=2,{bn}是公比q=4的等比数列，所以bn=blqn-l=2-4n—l=22n—1.bl (1—qn) 从而｛bn｝的前n项和Tn=i-q规律方法已知等差数列中的某几项成等比数列（或已知等比数列中的某几项成等差数列）,往往是先设公差为d（或公比为q）,用待定系数法求出d（或q）与首项之间的关系，进而再解决问题.3. （2014•福建卷）在等比数列｛an｝中,a2=3, a5=81.⑴求an；⑵设bn = /og6an,求数列｛bn｝的前n项和Sn.分析=⑴设｛劲｝的公比为q,依题意得方程组(2)因为^=log3aw=w-l,利用等差数列的求 和公式即得.alg=3,厂（"lg4=81.解得 al = l,即可写出通项公式.所以数列｛肋｝的前〃项和Sn=— tbn)n2~n 2 •解析：⑴设伽｝的公比为Q 依题意得:\alq=3yfal=l,I T ，解得仁3, 因此，an=3n —l.⑵因为加i = log3an =n —1,小结反思1・等差数列和等比数列的前ri项和公式中ri表示项数.2・若等比数列的公比q用参数表示，注意要分q = 1和进行讨论.3.方程的观点是解决“知三求二”运算题中最基本的数学思想和方4.证明三个实数a, b, c成等差数列时，常证2b = a+c,反之亦然；证明三个实数a, b, c成等比数列时，常证b2=ac,但反之不成立.5.已知三个实数成等差数列时，常设三个实数依次为a—d, a, a+d或a, a+d, a+2d；已知三个实数成等比数列时, 常设三个实数依次是：，a, aq或a, aq, aq2・6.判定一个数列是等差数列的常用方法有：⑴定义法：an+l-an=d(d是常数，用”*)0伽}是等差数列.⑵中项公式法：lan +1=an+2(n G N*)<=>{an提等差数列.7.判定一个数列是等比数列的常用方法有：⑴定义法：不厂=血是不为0的常数，圧N*)0｛切｝是等比数列.(2)中项公式法：a2n~\~l=an *an~\~2(an・切 + 1 *an +2H0,圧椚0伽｝是等比数列.8.对于任一数列｛⑷｝,其通项an和它的前n项和[SI, n = l,之间的关系是 c c 1“ 这是求数列S H Sn 1,"刁2,通项的一种重要方法•。
