高考人教数学(理)大一轮复习检测：第十章 第二节 二项式定理 Word版含解析数学
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限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54 B ．54C ．－1516D ．1516解析：选D.T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D.2．(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数为( ) A ．50 B ．55 C ．45D ．60解析：选B.(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数是C 45＋C 46＋C 47＝55.故选B.3．设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 020x ＋C 22 020x 2＋C 32 020x 3＋…＋C 2 0202 020x2 020＝( ) A ．i B ．－i C ．0D ．－1－i解析：选C.x ＝2i1－i＝－1＋i ，C 12 020x ＋C 22 020x 2＋C 32 020x 3＋…＋C 2 0202 020x2 020＝(1＋x )2 020－1＝i 2 020－1＝0.4．(2018·昆明市教学质量检测)(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数是( )A ．96B ．64C ．32D ．16解析：选B.(1＋2x )3的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 3(2x )r ＝2r C r3x r ，(2－x )4的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 424－k (－x )k ＝(－1)k 24－k ·C k4x k ，所以(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数为20C 03·(－1)·23C 14＋2C 13·(－1)0·24C 04＝64，故选B.5．设n 为正整数，⎝⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( )A ．16B ．10C ．4D ．2解析：选 B.⎝⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n 展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 2n x 2n －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x x k ＝C k 2n (－1)k x 4n －5k 2.令4n －5k 2＝0，得k ＝4n 5，又k 为正整数，所以n 可取10.6.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x n 的展开式的二项式系数之和为8，则展开式的常数项等于( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选B.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x n 的展开式的各个二项式系数之和为8，所以2n ＝8，解得n ＝3，所以展开式的通项为T r ＋1＝C r3(x )3－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2rC r 3x 3－3r 2，令3－3r 2＝0，则r ＝1，所以常数项为6.7．(2018·陕西黄陵中学月考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 6的展开式中常数项为( ) A.52 B ．160 C ．－52D ．－160解析：选A.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎪⎫12x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，所以展开式中的常数项是T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 36＝52，选A.8．(2018·河南新乡模拟)(1－3x )7的展开式的第4项的系数为( )A ．－27C 37B ．－81C 47C ．27C 37D ．81C 47解析：选A.(1－3x )7的展开式的第4项为T 3＋1＝C 37×17－3×(－3x )3＝－27C 37x 3，其系数为－27C 37，选A.9．(2018·广西阳朔中学月考)(x －y )(x ＋2y ＋z )6的展开式中，x 2y 3z 2的系数为( )A ．－30B ．120C ．240D ．420解析：选B.[(x ＋2y )＋z ]6的展开式中含z 2的项为C 26(x ＋2y )4z 2，(x ＋2y )4的展开式中xy 3项的系数为C 34×23，x 2y 2项的系数为C 24×22，∴(x －y )(x ＋2y ＋z )6的展开式中x 2y 3z 2的系数为C 26C 34×23－C 26C 24×22＝480－360＝120，故选B.10．(2018·辽宁辽南协作体模拟)(x ＋y ＋z )4的展开式的项数为( )A ．10B ．15C ．20D ．21解析：选B.(x ＋y ＋z )4＝[(x ＋y )＋z ]4＝C 04(x ＋y )4＋C 14(x ＋y )3z ＋C 24(x ＋y )2z 2＋C 34(x ＋y )z 3＋C 44z 4，运用二项式定理展开共有5＋4＋3＋2＋1＝15项，选B.B 级 能力提升练11．(2018·山西五校第一次联考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－3x ＋4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5的展开式中常数项为( )A ．－30B ．30C ．－25D ．25解析：选 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－3x ＋4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5＋4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r，易知当r ＝4或r ＝2时原式有常数项，令r ＝4，T 5＝C 45(－1)4⎝⎛⎭⎪⎫1x 4，令r ＝2，T 3＝C 25(－1)2⎝⎛⎭⎪⎫1x 2，故所求常数项为C 45－3×C 25＝5－30＝－25，故选C.12．(2018·江西新余一中模拟)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中的常数项为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B.在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1得各项系数之和为4n ，∴A ＝4n ，该二项展开式的二项式系数之和为2n ，∴B ＝2n，∴4n＋2n＝72，解得n ＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 3的展开式的通项T r ＋1＝C r 3(x )3－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r＝3rC r 3x 3－3r 2，令3－3r 2＝0得r ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13＝9，故选B.13．(2018·陕西黄陵中学模拟)若(x －1)5＝a 5(x ＋1)5＋a 4(x ＋1)4＋a 3(x ＋1)3＋a 2(x ＋1)2＋a 1(x ＋1)＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________.解析：令x ＝－1可得a 0＝－32.令x ＝0可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－a 0＝－1＋32＝31.答案：3114．(2018·四川成都检测)在二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a ＝________.解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5a 5－rx 10－5r 2，令10－5r 2＝0，得r ＝4，所以C 45a 5－4＝－10，解得a ＝－2.答案：－215．(2018·上海徐汇模拟)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n (n ≥4，n ∈N *)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n ＝________.解析：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n x n －r ⎝⎛⎭⎪⎫12xr＝C r n 2－r x n －2r ，则前三项的系数分别为1，n 2，n (n －1)8，由其依次成等差数列，得n＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8或n ＝1(舍去)，故n ＝8.答案：816．(2018·湖南长郡中学、衡阳八中联考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋25的展开式中x 2的系数是________．解析：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋25的展开式中，含x 2的项为2C 15⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4,23C 35⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2，所以在这几项的展开式中x 2的系数和为2C 15C 14＋23C 35C 02＝40＋80＝120.答案：120。
