高二上学期数学期中考试试卷第9套真题

2022-2023学年山东省青岛市青岛第九中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．双曲线2214y x -=的渐近线方程是（ ）A ．0x =B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】C【分析】根据双曲线的标准方程，即可直接求出其渐近线方程. 【详解】∵双曲线的标准方程为2214y x -=，∴双曲线的焦点在y 轴，2a =，1b =，且双曲线的渐近线方程为2ay x x b=±=±，即20x y ±=. 故选：C.2．若两个不同平面,αβ的法向量分别为()()1,2,1,3,6,3u v =-=--，则（ ） A ．//αβ B ．αβ⊥ C ．,αβ相交但不垂直 D ．以上均不正确【答案】A【分析】根据法向量()()1,2,1,3,6,3u v =-=--，可得3v u =-，可得法向量v 和u 平行即可得解. 【详解】由3v u =-， 所以法向量v 和u 平行， 所以平面α和β平行， 故选：A.3．已知圆C 的圆心(2,3)-，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为 A ．22460x y x y +-+= B ．224680x y x y +-++= C ．22460x y x y +--= D ．224680x y x y +-+-=【答案】A【详解】设直径的两个端点分别A （a ，0）B （0，b ）．圆心C 为点（2，﹣3）， 由中点坐标公式得，a=4，b=﹣6，∴r=1AB 2= 则此圆的方程是（x ﹣2）2+（y+3）2=13，即x 2+y 2﹣4x+6y=0． 故选A ．4．过点()4,2P 作直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，则OA OB +的最小值为（ ） A．B．2+C．6+D ．6【答案】C【解析】由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()24y k x -=-，根据已知条件求出k 的取值范围，并求出A 、B 两点的坐标，再利用基本不等式可求得OA OB +的最小值.【详解】由于过点()4,2P 作直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为()24y k x -=-，即240kx y k -+-=， 在直线l 的方程中，令0y =，可得42k x k -=，即点42,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭； 令0x =，可得24y k =-，即点()0,24B k -. 由题意可得420240k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <，所以，()422246466k OA OB k k k k-+=+-=+-+≥+=+-当且仅当k =时，等号成立， 因此，OA OB +的最小值为6+故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AD ==，3AB =，点F 在线段11C D 上，且11D F =，则异面直线CD 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．22B ．33C ．23D ．24【答案】B【分析】构建空间直角坐标系，求DC ，BF 的坐标，应用空间向量夹角的坐标表示求CD 与BF 所成角的余弦值即可.【详解】如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()0,3,0C ，()2,3,0B ，()0,1,2F ，∴()0,3,0DC =，()2,2,2BF =--. ∴63cos ,3323DC BF DC BF DC BF⋅-〈〉===-⨯，∴异面直线CD 与BF 所成角的余弦值为33.故选：B6．已知圆22()4x a y -+=截直线4y x =-所得的弦的长度为22a 等于 A ．2 B ．6 C ．2或6D ．22【答案】C【详解】∵圆()224x a y -+= 截直线4y x =- 所得的弦的长度为22，圆心(),0a 到直线4y x =-的距离 42a d -=，∴24 422a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2a = 或6a = ．故选C ．7．椭圆221164x y+=上的点到直线20x y+=的最大距离是（）A．3 BC．D【答案】D【分析】设椭圆221164x y+=上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线20x y+=的距离公式，计算可得答案．【详解】设椭圆221164x y+=上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线20x y+=的距离=maxd==D．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．8．已知圆()()22:341C x y-+-=和两点(),0A m-，()(),00B m m>，若圆C上存在点P，使得90APB∠=︒，则m的最大值为A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【详解】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m-=，故选B.【解析】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.二、多选题9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D-，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60︒，下列说法中不正确的是（）A ．16AC =B ．1AC BD ⊥C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60︒D ．1BD 与AC 6【答案】ACD【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可． 【详解】解：对于A 111:AC AB BC CC AB AD AA =++=++， ∴22221111222AC AB AD AA AB AD AD AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅363636266cos60266cos60266cos60216=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，所以1||21666AC A 错误；对于B ：221111()()2AC BD AB AD AA AD AB AB AD AB AD AA AD AA AB ⋅=++⋅+=⋅+++⋅+⋅66cos603666cos603666cos6066cos600=⨯⨯︒++⨯⨯︒--⨯⨯︒-⨯⨯︒=，所以10AC DB ⋅=，即1AC DB ⊥，选项B 正确；对于C ：向量1B C 与1BB 的夹角是18060120︒-︒=︒，所以向量1B C 与1AA 的夹角也是120︒，选项C 错误；对于D ：11BD AD AA AB =+-，AC AB AD =+ 得()2211||BD AD AA AB =+-，1111||36363626626626662222BD ∴=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 同理，可得||63AC =11(AC BD AD AA AB ⋅=+-)()18183636181836AB AD ⋅+=+-++-=，所以111cos 63||AC BD BD AC AC BD ⋅<⋅>===⋅D 错误．故选：ACD ．10．已知椭圆22:143x y C +=的左､右焦点分别为12F F 、，P为椭圆C 上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A ．12PF F △的周长为8B ．12PF F △C ．12PF PF ⋅的取值范围为[23)，D ．12||||PF PF 的取值范围为(34]，【答案】BCD【分析】计算周长得到6，A 错误，P S y =，B 正确，212124PF PF x ⋅=+，根据定义域得到范围，C正确，()21224PF PF t ⋅=--+，得到值域，得到答案. 【详解】根据题意：2a =，b =1c =， 12PF F △的周长为22426a c +=+=，A 错误； 12PF F △面积的为1212P P S F F y y =⋅=≤P 在上下顶点时等号成立，B 正确； 设(),P x y ，则()()2222212311,1,113244PF PF x y x y x y x x x ⋅=---=-+=-+-=+，()2,2x ∈-，故[)122,3PF PF ⋅∈，C 正确； 1224PF PF a +==，设1PF t =，()1,3t ∈，则()()22124424PF PF t t t t t ⋅=-=-+=--+，故12PF PF ⋅的取值范围为(34]，，D 正确. 故选：BCD.11．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，且1ED FB ==，G 为线段EC 上的动点，则下列结论中正确的是（ ）A ．EC AF ⊥B ．该几何体外接球的体积为3πC ．若G 为EC 中点，则//GB 平面AEFD ．22AG BG +的最小值为114【答案】ACD【分析】以D 为原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得D ，A ，B ，C ，F ，E 的坐标，由AF ，EC 的数量积可判断A 选项；该几何体外接球的球心为矩形BDEF 的对角线交点，即可求得半径，可判断B 选项；求得G 的坐标，求得平面AEF 的法向量，计算可判断C 选项；设()0,,1G t t -（01t ≤≤），由两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，可判断D 选项．【详解】由题意以D 为原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(1,1,1)F ，(0,0,1)E ，对于A 选项：有(0,1,1)EC =-，(0,1,1)AF =，由0110AF EC ⋅=+-=，可得EC AF ⊥即EC AF ⊥，所以A 选项正确；对于B 选项：由球的截面性质可知，球心在过正方形ABCD 的中心的垂面上，即为矩形BDEF 的对角线的交点，则该球的半径22222211311122R AB AD BF =++++即该几何体外接球的体积334π4π33V R ==⨯=⎝⎭B 选项错误； 对于C 选项：若G 为EC 中点，则110,,22G ⎛⎫⎪⎝⎭，即111,,22BG ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(1,0,1)AE =-，(0,1,1)AF =，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，由00n AE x z n AF y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，可得(1,1,1)n =-，即111022BG n ⋅=-++=，可得BG n ⊥，又BG ⊄平面AEF ，则GB //平面AEF ，所以C 选项正确；对于D 选项：由三角形EDC 是等腰直角三角形，可设(0,,1)G t t -（01t ≤≤），则222222311465444AG BG t t t ⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，又01t ≤≤，则当3t 4=时，22AG BG +取得最小值114，所以D 选项正确．故选：ACD.12．卵形曲线也叫卵形线，是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线.卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹.设焦点12(0)(0)F c F c -，，，是平面内两个定点，212||||PF PF a ⋅=（a 是定长），特别地，当c a =时的卡西尼卵形线又称为伯努利双纽线，某同学通过类比椭圆与双曲线的研究方法，对伯努利双纽线进行了相关性质的探究，得到下列结论，其中正确的是（ ） A ．曲线过原点B ．关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称C ．方程为222222()2()x y a x yD ．曲线上任意点00()P x y ，，0[]x a a ∈-，，0[]22a ay ∈-， 【答案】ABC【分析】根据212||||PF PF a ⋅=得到轨迹方程为222222()2()x y a x y 得到ABC 正确，验证知),0在曲线上，故D 错误，得到答案.【详解】设(),P x y ，c a =时，212||||PF PF a ⋅==，化简得到：222222()2()x y a x y ，故C 正确；曲线过原点，A 正确；关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称，B 正确；验证知),0在曲线上，故D 错误.故选：ABC.三、填空题13．直线1:330l mx y m +++=与直线2:220l x y -+=平行，则m 的值为____________． 【答案】32-## 1.5-【分析】利用直线的一般式方程确定两直线平行的条件即可求解. 【详解】因为直线1:330l mx y m +++=与直线2:220l x y -+=平行， 所以()()()×21?3=03?22+30m m ----≠⎧⎪⎨⎪⎩，解得32m =-,所以m 的值为32-. 故答案为：32-.14．记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线by x a =±中02b a<≤即可求得满足要求的e 值. 【详解】解：2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a=±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以==c e a又因为1e >，所以1e <≤故答案为：2（满足1e <≤15．如图，已知圆22:16,,O x y A B +=是圆O 上两个动点，点(2,0)P ，则矩形PACB 的顶点C 的轨迹方程是___________．【答案】2228x y +=【解析】设点(,)C x y ，连接,AB PC 交于M ，可写出M 的坐标，再在直角OMB △中，OM MB ⊥，利用勾股定理列方程可得x, y 的关系式，即顶点C 的轨迹方程. 【详解】设点(,)C x y ，如图连接,AB PC 交于M ，由矩形PACB 可知M 为PC 的中点，2,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，PM MB = 连接,OB OM ，在直角OMB △中，OM MB ⊥，则22222OB OM BM OM MP =+=+即2222221622222x y x y +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得2228x y +=， 所以顶点C 的轨迹方程是2228x y += 故答案为：2228x y +=【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点(,)C x y ，然后再利用图像的几何关系找到x, y 的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.四、双空题16．已知点 ()1,2,3P 是空间直角坐标系 O xyz - 内一点， 则点 P 关于 x 轴的对称点 Q 的 坐标为 ________．若点 P 在平面 xOy 上的射影为 M ， 则四面体 O PQM - 的体积为________． 【答案】 （1，－2，－3） 2【分析】由空间直角坐标系中的点的对称性质求解，利用棱锥的体积公式直接求解【详解】()1,2,3P 是空间直角坐标系 O xyz - 内一点， 则点 P 关于 x 轴的对称点 Q 的 坐标为（1，－2，－3），因为点 P 在平面 xOy 上的射影为 M ，所以(1,2,0)M ， 所以四面体 O PQM - 的体积为112213232⨯⨯⨯⨯⨯=，故答案为：（1，－2，－3），2五、解答题17．已知斜率为1的直线l 与圆心为1(1,0)O 的圆相切于点P ，且点P 在y 轴上. （1）求圆1O 的方程；（2）若直线l '与直线l 平行，且圆1O 上恰有四个不同点到直线l '距离等于2，求直线l '纵截距的取值范围.【答案】（1）22(1)2x y -+=；（2）()2,0-.【解析】（1）由题意可知1O P l ⊥，从而可得101t -=--，求出1t =，再由1||r O P =.（2）设l '：y x b =+，由题意可得圆心到直线y x b =+的距离d . 【详解】解：（1）依题意，设点P 的坐标为(0,)t .1O P l ⊥，∴101t -=--，解得1t =，即点P 的坐标为(0,1)，从而圆1O 的半径1||r O P ==故所求圆1O 的方程为22(1)2x y -+=. （2）因为//l l '，设l '：y x b =+，由圆1O 上恰有四个不同点到直线l '得圆心到直线y x b =+的距离d =<，解得20b -<<.即直线l '纵截距的取值范围为()2,0-.18．已知椭圆2222x y C 1a b +=：()0,0a b >>4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P （2,1）作弦且弦被P 平分，则此弦所在的直线方程. 【答案】(1)221164x y += (2) 240x y +-= 【详解】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a ，b ，c 即可；（2）设直线斜率为k ，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k 的值，从而求出直线方程． 试题解析：（1）c e a ==2b=4，所以a=4，b=2，c=221164x y += （2）设以点()2,1P 为中点的弦与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=，分别代入椭圆的方程，两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +-++-=，所以()()1212480x x y y -+-=，所以121212y y k x x -==--，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为()1122y x -=--，即240x y +-=． 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.19．已知ABC 的顶点()2,8C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++=.(1)求顶点A 和B 的坐标； (2)求ABC 外接圆的一般方程. 【答案】(1)()5,1A ，()7,3B - (2)2246120x y x y +-+-=【分析】（1）联立直线BH ，AB 的方程求出点B 的坐标，由AC BH ⊥求出直线AC 的斜率及方程，AC 的方程与直线AB 方程联立求出A 的坐标；（2）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，将A ，B ，C 三点坐标代入求出圆的一般方程求出,,D E F 的值即可求解.【详解】（1）由211320y x x y =-+⎧⎨++=⎩可得73x y =⎧⎨=-⎩，所以点B 的坐标为()7,3-，由320x y ++=可得1233y x =--，所以13BH k =-由AC BH ⊥，可得3AC k =，因为()2,8C -，所以直线AC 的方程为：()832y x +=-，即3140x y --=，由2113140y x x y =-+⎧⎨--=⎩可得51x y =⎧⎨=⎩，所以点A 的坐标为()5,1.（2）设ABC 的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()5,1A ，()7,3B -和()2,8C -三点的坐标分别代入圆的方程可得： 52607358028680D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩，解得：4612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以ABC 的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=. 20．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中1,2,4,AB AA E ==在线段1CC 上.（1）若1A C ⊥平面BDE ，求CE 的长；（2）在（1）的条件下，求直线1D E 与平面BDE 所成角的正弦值. 【答案】（1）1；（2478. 【分析】（1）由已知可得1,,DA DC DD 两两垂直，建立空间直角坐标系D xyz -，利用已知条件写出点的坐标，设CE a =(04a <<)，进而得到点E 的坐标，利用1A C ⊥平面DBE ，可得1440AC DE a ⋅=-=，即可得出a 的值，即可得出结果；（2）由（1）得()10,2,3D E =-，1AC 为平面DBE 的一个法向量，利用线面的所成角的向量求法求解即可. 【详解】解：（1）由已知可得1,,DA DC DD 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，可得()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0D A B C ，()()()()11110,0,4,2,0,4,2,2,4,0,2,4D A B C ，设CE a =(04a <<)， 则()0,2,E a ，()()()10,2,,2,2,0,2,2,4DE a DB AC ===--， ∴1440AC DB ⋅=-+=， ∴1A C DB ⊥. 由1A C ⊥平面DBE ， 得1440AC DE a ⋅=-=， 解得1a =， 即CE 的长为1.（2）由（1）得()10,2,3D E =-，1AC 为平面DBE 的一个法向量，∴11478cos ,1324D E AC ==⋅∴1D E 与平面DBE 所成角的正弦值为47839. 21．如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为22．(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值． 【答案】23【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则111111112211433333A A BC A A ABC A ABC AB BC C C B V Sh h V S A A V ---=⋅===⋅==， 解得2h =所以点A 到平面1A BC 2；（2）取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥, 又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =， 且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ， 在直三棱柱111ABC A B C 中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE =12AA AB ==，122A B =2BC =， 则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1A C 的中点()1,1,1D ， 则()1,1,1BD =，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =，则020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，可取()1,0,1m =-，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =，则020n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩， 可取()0,1,1n =-， 则11cos ,222m n m n m n⋅===⨯⋅， 所以二面角A BD C --21312⎛⎫- ⎪⎝⎭22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点P 为椭圆C 的下顶点，22PF OP ，当l x ⊥轴时，AOB 的面积为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当直线l 不过坐标原点时，求11F A F B ⋅的取值范围. 【答案】（1）22184x y +=；（2）(]4,14-. 【分析】（1）由已知建立关于,,a b c 的方程组，解之可求得椭圆C 的标准方程.（2）由（1）知1(2,0)F -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由直线l 不过坐标原点，所以设直线l 的方程为2x my =+，与椭圆的方程联立得()222440m y my ++-=，得出根与系数的关系式，表示11F A F B ⋅，代入可求得11F A F B ⋅的取值范围.【详解】（1）因为2POF为直角三角形，所以22222)b c PF +==，则b c =，又22122AOBb b cSc a a=⨯⨯==2b c =， 又222a b c =+，所以34b b ==，则24b =，222448a b c =+=+=，故椭圆C 的标准方程为22184x y +=（2）由（1）知1(2,0)F -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则()1112,F A x y =+，()1222,F B x y =+，又直线l 不过坐标原点，所以设直线l 的方程为2x my =+，则222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()222440m y my ++-=，所以12242my y m -+=+，12242y y m -=+， 则111212(2)(2)F A F B x x y y ⋅=+++1212(4)(4)my my y y =+++ 21212(1)4()16m y y m y y =++++()22244141622m m m m m --=++⋅+++23642m =-++， 因为222m +≥，所以2360182m <≤+，所以23644142m -<-+≤+， 所以11F A F B ⋅(]4,14∈-，即11F A F B ⋅的取值范围是(]4,14-.【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．有时若直线过x 轴上的一点，可将直线设成横截式.。

高二上学期期中数学试卷一、选择题1. 下列叙述中正确的是（）A . “m=2”是“l1：2x+（m+1）y+4=0与l2：mx+3y﹣2=0平行”的充分条件B . “方程Ax2+By2=1表示椭圆”的充要条件是“A≠B”C . 命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，x02≥0”D . 命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b都是奇数”2. 已知命题p：若x＞0，则函数y=x+ 的最小值为1，命题q：若x＞1，则x2+2x﹣3＞0，则下列命题是真命题的是（）A . p∨qB . p∧qC . （￢p）∧（￢q）D . p∨（￢q）3. 如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A . k=7B . k≤6C . k＜6D . k＞64. 焦点在x轴上的椭圆的焦距为4 ，则长轴长是（）A . 3B . 6C . 6D . 25. 已知椭圆（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A . 10B . 20C . 2D . 46. 如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A . 3＜m＜4B .C .D .7. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A . a＞b＞cB . b＞c＞aC . c＞a＞bD . c＞b＞a8. 一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A . 57.2，3.6B . 57.2，56.4C . 62.8，63.6D . 62.8，3.69. 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示：甲茎乙5 716 88 8 223 6 7设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A . ，s1＜s2B . ，s1＞s2C . ，s1＞s2D . ，s1=s210. 已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：x1234y2.24.34.54.86.7回归方程是=bx+a，其中b=0.95，a= ﹣b ．则当x=6时，y的预测值为（）A . 8.1B . 8.2C . 8.3D . 8.411. 抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（）A .B .C .D .12. 一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N粒，其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为（）A .B .C .D .二、填空题13. 某产品共有100件，其中一、二、三、四等品的个数比为4：3：2：1，采用分层抽样的方法抽取一个样本，若从一等品中抽取8件，从三等品和四等品中抽取的个数分别为a，b，则直线ax+by+8=0上的点到原点的最短距离为________．14. 椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为m，则m=________．15. 一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．16. 如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为，那么△ABC的面积是________．三、解答题17. 已知三点P（，﹣）、A（﹣2，0）、B（2，0）．求以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程．18. 已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．19. 已知椭圆x2+4y2=4，直线l：y=x+m（1）若l与椭圆有一个公共点，求m的值；（2）若l与椭圆相交于P、Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．20. 甲乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下：游戏Ⅰ：口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．游戏Ⅱ：口袋中有质地、大小完全相同的6个球，其中4个白球，2个红球，由裁判有放回的摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢．（Ⅰ）求游戏Ⅰ中甲赢的概率；（Ⅱ）求游戏Ⅱ中乙赢的概率；并比较这两种游戏哪种游戏更公平？试说明理由．21. 总体（x，y）的一组样本数据为：x1234y3354（1）若x，y线性相关，求回归直线方程；（2）当x=6时，估计y的值．附：回归直线方程，其中，=．22. 在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a值及这100名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．。

高二上学期期中考试试卷（人教A版2019）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．本试卷分单选题、多选题、填空题、解答题四部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试范围：选修一全部内容一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．以点（3，﹣1）为圆心且与直线3x+4y＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝1B．（x+3）2+（y﹣1）2＝1C．（x+3）2+（y﹣1）2＝2D．（x﹣3）2+（y+1）2＝22．已知直线l1：mx+4y﹣2＝0与l2：2x﹣5y+n＝0互相垂直，其垂足为（1，p），则m+n﹣p的值为（）A．4B．﹣16C．0D．203．“m＝﹣2”是“直线l1：mx+4y﹣6＝0与直线l2：x+my﹣3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．在空间直角坐标系Oxyz中，若点M（a，b+3，2c+1）关于y轴的一个对称点M′的坐标为（﹣4，﹣2，15），则a+b+c的值（）A．等于10B．等于﹣17C．等于﹣9D．25．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．46．已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．67．设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（）A．B．3C．D．28．当曲线与直线kx﹣y+2k+4＝0有两个不同的交点时，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣8y＝0的交点为A，B，则有（）A．公共弦AB所在直线方程为x﹣2y＝0B．线段AB中垂线方程为2x+y﹣2＝0C．公共弦AB的长为D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为10．已知直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2）（k为常数），点Q在直线l上，过点Q作圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝1的一条切线QM，M为切点，若△QMC的面积的最小值为，此时（）A．|CQ|＝3B．C．直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|的最小值为2D．直线l上的动点E与圆C上的动点F的距离|EF|的最大值为411．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，G为面对角线B1C上一个动点，则（）A．三棱锥A1﹣EFG的体积为定值B．存在G∈线段B1C，使平面EFG∥平面BDC1C．G为B1C中点时，直线EG与BC1所成角最小D．三棱锥A1﹣EFG外接球半径的最大值为12．如图，已知抛物线C：y2＝4x，从直线l：x＝﹣1上一点P向抛物线C引两条切线PA、PB，切点分别为A、B．直线y＝x+m过线段AB的中点M，则P点到直线y＝x+m的距离可以为（）A．1B．C．D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．直线（m+2）x﹣y﹣（m+1）＝0（m∈R）恒过一定点，则该定点坐标为．14．F1是双曲线的上焦点，以坐标原点O为圆心，为|OF1|半径的圆与该双曲线下支交于A、B两点，若△ABF1是等边三角形，则双曲线的离心率为．15．在棱长为2的正四面体A﹣BCD中，M是BC中点，则和所成角的余弦值是．16．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（m＞4），点A（﹣2，2）是椭圆内一点，B（0，﹣2），若椭圆上存在一点P，使得|PA|+|PB|＝8，则m的范围是；当m取得最大值时，设Q为椭圆上任意一点，C（0，2），则|QB|2+|QC|2的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知点A（1，﹣2，0），B（2，k，﹣3），C（0，1，2），向量＝（﹣3，4，5）．（1）若，求实数k的值；（2）求向量在向量上的投影向量．18．如图，点A是抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点，过点M（2，1）的直线AM与抛物线交于另一点B．（Ⅰ）当A的坐标为（1，2）时，求点B的坐标；（Ⅱ）已知点P（2，0），若M为线段AB的中点，求△PAB面积的最大值．19．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）与椭圆＝1的焦点相同，且双曲线C过点M（2，3）．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F2且斜率为1，直线l与双曲线C交于A，B两点，求△F1AB的面积．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，，BC＝2，平面PAC⊥平面ABCD，E是AB的中点．（1）证明：DE⊥平面PAC；（2）若PA＝PC，且二面角A﹣PD﹣B余弦值为，求直线PA与平面PBD所成的角的正弦值．21．如图，在直角△ABC中，，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．AC边的中线BD所在直线方程为x+7y+2＝0；AB边的中线CE所在直线方程为13x+16y+1＝0．（1）若A点坐标为（1，﹣4），求△ABC外接圆的方程；（2）若，求△ABC的面积S．22．已知椭圆Γ：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．经过点F1且倾斜角为θ（0＜θ＜）的直线l与椭圆Γ交于A，B两点（其中点A在x轴上方），△ABF2的周长为8．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AF1F2）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BF1F2）互相垂直．①若θ＝，求异面直线AF1和BF2所成角的余弦值；②是否存在θ（0＜θ＜），使得折叠后△ABF2的周长为？若存在，求tanθ的值；若不存在，说明理由．高二上学期期中考试试卷解析（人教A版2019）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．本试卷分单选题、多选题、填空题、解答题四部分。

答案： C 知识点：不等式的解法 题型：选择题 必修 V-第三章不等式 -3.2 一元二次不等式及其解法 2、【4 分】解析 :∵a4+b4+c4=2c2(a2+b2), ∴(a 2+b2) 2-2c 2(a 2+b2)+c 4=2a2b2,
即 (a 2+b2-c 2) 2=2a2b2, 即 a2+b2-c 2=± ab,
4、【 4 分】设 a＞b＞0, 试把
,
,,
____________________.
从大到小排列起来
5、 【4 分】在△ ABC中, 三边的长为连续自然数 , 且最大角是钝角 , 这个三角形三 边的长分别为 ______
_________________.
三、解答题 【共 4 道小题， 40 分】
,因为原方程有四
又因为这两个方程的两根之和都等于 2, 且四个根组成等差数列 , 记为 {a n},
所以可设四个根为 a1,a 2,a 3,a 4.
根据等差数列的性质 , 只能 a1+a4=a2+a3=2,
设公差为 d,
则 a1+a4=2a1+3d=2× +3d=2,
d= , 从而 a2= ,a 3= ,a 4= .
于是 |m-n|=|a 1·a4-a 2· a3|=| × - × |= , 故选 C. 答案 :C 知识点：等差数列与等比数列
题型：选择题 必修 V-第二章数列 -2.2 等差数列 5、【4 分】解析 :一个 11 项的数列 ,中间项为 a6,由已知 ,奇数项为 6 项,
∴奇数项之和为
=
=6a6. 由题意 6a6=30,
∴a6=5.
答案： D