高一（数学）试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ）{}2,A x x x Z =<∈{}12B x x =-<<A B = A. B. C.D.{}0,1()0,1{}1,0,1-()1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为，， {}{}2,1,0,1A x x x Z <∈=-{}12B x x =-<<所以. {}0,1A B = 故选：A 2. 已知，且，则的值为（ ） 1cos 3α=3π2π2α<<tan αA. B. C. D.-【答案】D 【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系求解【详解】由题意得，则 sin α==sin tan cos ααα==-故选：D3. 设，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） 2log e a =ln 2b =cos130c =︒A. B. C. D.b ac >>a b c >>c b a >>c a b >>【答案】B 【解析】【分析】先利用对数函数的单调性得到a ，b 的大小，再利用余弦函数在各象限符号判断正负比较即可.c 【详解】因为，，则，22log e>log 21a ==121ln e ln 2ln e=12=<<112b <<又因为，cos1300c =︒<所以， a b c >>故选：B4. 设, 则 “”是“”的（ ） ,a b ∈R 2()0a b a -<a b <A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【详解】由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如，故2()0a b a -<a b <a b <2()0a b a -<0a =选A.【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.5. 命题“，”的否定是（ ） x ∀∈R ()()0f x g x ≠A. ，且 B. ，或 x ∀∈R ()0f x =()0g x =x ∀∈R ()0f x =()0g x =C. ，且 D. ，或0x ∃∈R ()00f x =()00g x =0x ∃∈R ()00f x =()00g x =【答案】D 【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断. 【详解】全称命题的否定是特称命题，原命题的否定是：，，即或， 0x ∃∈R 00()()0f x g x =()00f x =()00g x =故选：D ．6. 如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A.B.C. D.4sin12sin12sin14sin1【答案】A 【解析】【分析】先确定圆的半径，再利用弧长公式，即可得到结论. 【详解】解：设半径为，所以．所以，所以弧长． R 2sin1R =2sin1R =2422sin1sin1l R =⨯=⨯=故选：A ．7. 已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是()()log 8a f x ax =-1a >()1f x >[]1,2a （ ） A. B.C.D.()4,+∞8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()81,4,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的单调性，依题意恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，解得即()21f >可.【详解】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递()()log 8a f x ax =-1a >8y ax =-log a y x =增，所以在定义域上单调递减，()()log 8a f x ax =-因为在区间上恒成立，所以恒成立， ()1f x >[]1,2()()2log 821log a a f a a =->=所以，解得，即；821a a a ->⎧⎨>⎩813a <<81,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：C8. 设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，()f x R x ∈R ()()11f x f x -=+[]0,1x ∈，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，()21x f x =-()()()log 2a g x f x x =-+0a >1a ≠()1,7-则实数的取值范围是（ ） a A.B.()10,7,7⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭()10,9,7⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C.D.()10,7,9⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭()10,9,9⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与()f x ()f x ()y f x =的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可．log (2)a y x =+(1,7)-1a >01a <<【详解】解：函数是定义在上的奇函数，当时，，()f x R []0,1x ∈()21x f x =-当时，，所以，∴[]1,0x ∈-[]0,1x -∈()()21x f x f x -=-=-+-即当时， []1,0x ∈-1(2)x f x --+=又对任意，都有，则关于对称，且x ∈R (1)(1)f x f x -=+()f x 1x =()()()2f x f x f x -=+=-，，即函数的周期为，()(4)f x f x ∴=+()f x 4又由函数且在上恰有个不同的零点， ()()log (2)(0a g x f x x a =-+>1)a ≠(1,7)-4得函数与的图像在上有个不同的交点，又()y f x =log (2)a y x =+(1,7)-4()()151f f ==，()()()1371f f f -===-当时，由图可得，解得；1a >log (52)1log a a a +<=7a >当时，由图可得，解得． 01a <<1log (72)1log a a a -+>-=109a <<综上可得.()10,7,9a ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭故选：C ．二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 下列各组函数中，表示同一函数的是A. ，y =2y =B. ，()=f x x ()t ϕ=C. ，y =y =D. ，y =3y x =-【答案】BC 【解析】【详解】试题分析：A 中定义域不同；B 、C 中定义域，对应关系都相同；D 项对应关系不同 考点：两函数是否为同一函数的判定 10. 下列函数中满足“对任意，，且，都有”的是（ ）1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()12120f x f x x x ->-A. B. C.D. ()31f x x =-+()2f x x=-()243f x x x =++()1f x x x=-【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，确定函数的单调性，再逐项判断作答. ()f x 【详解】函数满足“对任意，，且，都有”，则有函数()f x 1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()12120f x f x x x ->-在上单调递增，()f x (0,)+∞函数在上单调递减，A 不是； ()31f x x =-+(0,)+∞函数在上单调递增，B 是； ()2f x x=-(0,)+∞函数在上单调递增，C 是；()243f x x x =++(0,)+∞函数在上单调递增，D 是. ()1f x x x=-(0,)+∞故选：BCD11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的范围为22ππαβ-<<<βα-()0,πB. 若在第一象限，则在第一、二象限α2αC. 要得到函数的图像，只需将函数向右平移个单位cos 2y x =cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6πD. 在中，若，则的形状一定是钝角三角形 ABC A tan tan 1A B ⋅<ABC A 【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项：利用不等式的性质求范围即可；B 选项：根据题意将的范围表示出来，再通过的范围得到的范围，即可判断的位置； αα2α2αC 选项：根据函数图象平移的结论平移即可；D 选项：利用正切的和差公式表示出来，再分类讨论即可.()tan tan tan 1tan tan A BA B A B++=-⋅【详解】A 选项：因为，所以，又，，所以βα>0βα->22ππβ-<<22ππα-<-<，所以，故A 正确；πβαπ-<-<()0,βαπ-∈B 选项：因为在第一象限，所以，所以，在第一、α()2,22k k k παππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭Z ()24,4k k απππ∈+二象限或轴正半轴上，故B 错； y C 选项：因为，所以向右平移个单位得到cos 2cos 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6π，故C 正确；cos 2y x =D 选项：，所以，由题意知()tan A B +=tan tan 1A B ⋅<1tan tan 0A B -⋅>，当时，则或小于零，此时或为钝角，为钝tan tan 0A B +≠tan tan 0A B +<tan A tan B A B ABC A 角三角形；当时，，所以为锐角，为钝角，为钝角三角tan tan 0A B +>()tan 0A B +>A B +C ABC A 形，故D 正确. 故选：ACD.12. 下列结论中正确的结论是（ ） A. 时，最小值是2 x ∈R 1x x+B. 的最小值为222sin sin 2x x ++2C. 正数，满足，则的最大值为 a b 22a b +=ab 12D. ，，，则的最小值为2 0a >1b >-1a ab +=1a b ++【答案】CD 【解析】【分析】运用基本不等式求解.对于正数，，有，当且仅当时取得等号，也可变形a b a b +≥a b =成.在运用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”这三个方面.22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【详解】A. 时，，有最大值，无最小值.故选项0x <()112x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A 错误；B. ，当且仅当222222sin =sin 2222sin 2sin 2x x x x +++-≥-=++时，等号成立，即.而，故无解，即该式222sin 2sin 2x x +=+()222sin 2x +=2sin 22x +≥()222sin 2x +=无法取得等号. 故选项B 错误；C. 对于正数，，有，当且仅当时，取得等号，即.故选项C 正a b 22a b =+≥21a b ==12≤ab 确；D. ，，，当且仅当时，取得等号，则0a >10+>b ()21112a b a ab a b ++⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭11a b =+=.故选项D 正确.12a b ++≥故选：CD三、填空题：本大题共4小题，每空4分，共16分．13. 已知，则_________. 132a =2log (2)a =【答案】 43【解析】 【分析】由得，再根据对数的运算性质可得解. 132a =21log 3a =【详解】因为，所以，132a =21log 3a =所以.22214log (2)log 2log 133a a =+=+=故答案为：. 43【点睛】关键点点睛：掌握指数式化对数式和对数的运算性质是本题解题关键.14. 已知函数单调递增区间为________. ()π3cos 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【答案】 Z 12125πππ,π+,k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】令，求得的范围，即可求得的单调递增区间． π2ππ22π,Z 6k x k k -≤-≤∈x ()f x 【详解】令，π2ππ22π,Z 6k x k k -≤-≤∈解得， +12Z 1π,25πππk x k k -≤≤∈故的单调递增区间为． ()f x Z 12125πππ,π+,k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦故答案为：． Z 12125πππ,π+,k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦15. 已知函数在上的最大值与最小值分别为，，则________.131()31x xf x ++=+20211[]202-,M m M m +=【答案】4 【解析】【分析】构造是奇函数，由奇函数的对称性求解． ()()2g x f x =-【详解】设，，()()2g x f x =-[2021,2021]x ∈-， 13131()()223131x x x xg x f x ++-=-=-=++， ()()2g x f x -=--=131331322()311313x x xx x xg x -+-++--=-==-+++所以是奇函数，()g x 又，， max max ()()2g x f x M ==-min min ()()22g x f x m =-=-所以，． max min ()()40g x g x M m +=+-=4M m +=故答案为：4．16. 已知函数，其图象相邻的两条对称轴之()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭间的距离为，且的图象关于点对称，则下列结论正确的序号是______． π2()f x π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）函数的图象关于直线对称 ()f x 5π12x =（2）当时，函数的最小值为 ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦()f x（3）若，则 π6f α⎛⎫-=⎪⎝⎭444sin cos 5αα-=-（4）要得到需将向右平移个单位 ()f x ()2g x x =π6【答案】(2)(4) 【解析】【分析】由函数性质求出函数解析式，然后再确定正弦函数的其他性质判断各选项：计算是否为最5π(12f 值，判断(1)；确定函数在的单调性得最小值判断(2)；代入函数解析式求得，再由平ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦cos 2α方关系、二倍角公式计算判断(3)；由三角函数图象变换判断(4)． 44sin cos αα-【详解】由题意，，，A =π2π2T =⨯=2π2πω==，，又，所以，π()]012ϕ⨯-+=π,Z k k ϕ∈π2ϕ<π6ϕ=故，π())6f x x =+对于(1)：，不是对称轴，(1)错误；5π5ππ(012126f =⨯+=5π12x =对于(2)：时，，此时递增，，(2)正确；ππ[,66x ∈-πππ2[,]662x +∈-()f x min π()(6f x f ∴=-=对于(3)：，，ππ()sin(2)262f ααα-=-==3cos 25α=， 4422223cos sin (cos sin )(cos sin )cos 25ααααααα∴-=+-==即，(3)错误；443sincos 5αα-=-对于(4)：将的图象向右平移个单位得函数解析式为()2g x x =π6，(4)正确．πππππ()2()))()63326h x x x x x f x =-=-=-+=+=故答案为：(2)(4)四、解答题：本题共6小题，共74分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）化简；()3sin()cos tan()2cos tan(2)2f ππααπααπαπα⎛⎫---- ⎪⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（2）已知关于的方程的两根为和，.求实数以及x 21204x bx -+=sin θcos θ,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭b 的值.sin cos θθ-【答案】（1）；（2），()sin f αα=-b =sin cos θθ-=【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用韦达定理得到，，再将两边平方即可求出cos 2sin b θθ+=1sin cos8θθ=cos 2sin bθθ+=b ，最后由.sin cos θθ-=sin cos θθ-【详解】解：（1） ()3sin()cos tan()2cos tan(2)2f ππααπααπαπα⎛⎫---- ⎪⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，()()sin sin tan sin sin tan αααααα⋅-⋅-==--⋅即.()sin fαα=-（2）因为关于的方程的两根为和， x 21204x bx -+=sin θcos θ所以，， cos 2sin bθθ+=1sin cos 8θθ=所以，所以，()224s 5cos 12cos in sin 4b θθθθ=⋅=+=+b =因为，所以，且，所以， ,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭sin 0θ>cos 0θ>sin cos θθ>b =sin cos θθ-====18. 已知实数大于0，定义域为的函数是偶函数.a R 3()13x x af x a =++（1）求实数的值并判断并证明函数在上的单调性；a ()f x ()0,∞+（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.t ∈R ()()212f t f t m -≥-m 【答案】（1），在上单调递增，证明见解析；1a =()f x ()0,∞+（2）. 14m =【解析】【分析】（1）利用偶函数的性质求，利用单调性的定义证明函数的单调性即可；a ()f x （2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【小问1详解】 因为为偶函数，且，所以，解()313x x a f x a =++()3113133x x x x a f x a a a ---=++=+⋅+⋅()()=f x f x -得，又，所以,； 1a =±0a >1a =()1313x x f x =++设，则，因为120x x >>()()()121212121211131313313333x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=++---=-- ⎪⋅⎝⎭，所以，，所以120x x >>12330x x ->1212121133101103333x x x x x x ⋅>⇒<<⇒->⋅⋅，所以在上单调递增.()()()()12120f x f x f x f x ->⇒>()f x ()0,∞+【小问2详解】因为为定义在上的偶函数，且在上单调递增，，所以()f x R ()0,∞+()()212f t f t m -≥-，平方得，又因为对任意不等式恒成立，所以212t t m -≥-()22344140t m t m +-+-≥R t ∈，解得. ()()224443140m m ∆=--⨯⨯-≤14m =19. 已知：函数．()2sin cos 2f x x x x =+（1）求的最小正周期和对称轴方程；()f x （2）若方程在定义域上有两个不同的根，求出实数k 的取值范围． ()0f x k -=π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】（1）最小正周期为；对称轴方程为 πππ,Z 122k x k =+∈（2）)2【解析】【分析】（1）先结合降幂公式和辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；（2）由已知可转化为与的交点问题，然后结合正弦函数的性质即可求解．y k =()y f x =【小问1详解】因为()2sin cos 2f x x x x =+， 1πsin 222(sin 22)2sin(223x x x x x =+==+即 ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以的最小正周期． ()f x 2ππ2T ==令，解得， ππ2π,Z 32x k k +=+∈ππ,Z 122k x k =+∈所以的对称轴方程. ()f x ππ,Z 122k x k =+∈【小问2详解】由，可得， π[0,]4x ∈ππ5π2,336x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦而函数在上单调递增，所以，在上单调递减，， ()f x π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x ⎤∈⎦,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]()1,2f x ∈所以若方程在上有两个不同的根，即与有两个交点，如图： ()0f x k -=π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦y k =()y f x =所以．)2k ∈20. 2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T 进行一次记录，用x 表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：()x T 1 2 3 4 5 6 … y (万个) … 10 … 50 …150 … 若该变异毒株的数量y (单位：万个)与经过个单位时间T 的关系有两个函数模型与()*xx ∈N 2y px q =+可供选择．(0,1)=>>x y ka k a （1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．(，2.449≈≈)lg 20.301,lg 60.778≈≈【答案】（1）更合适，；(0,1)=>>x y ka k a 2x y =⋅（2）11.【解析】【分析】(1)将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据的值，即可判2x =10y =4x =50y =6x =断．(2)设至少需要个单位时间，则，再结合对数的计算方法即可求解．)x 10000x …【小问1详解】 若选，将，和，代入可得，，解得2(0)y px q p =+>2x =10y =4x =50y =4101650p q p q +=⎧⎨+=⎩103103p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故，将代入，； 2101033y x =-6x =2101033y x =-250y ≠若选，将，和，代入可得，，解得， (0,1)=>>x y ka k a 2x =10y =4x =50y =241050ka ka ⎧=⎨=⎩2k a =⎧⎪⎨=⎪⎩故，将代入可得，；2x y =⋅6x =2x y =⋅250y =所以选择函数更合适，解析式为．(0,1)=>>x y ka k a 2x y =⋅【小问2详解】设至少需要个单位时间，x则，即，两边同时取对数可得，，10000x (5000x)…lg 53x +则，332210.5811lg5(1lg 2)22x +=+≈-…，*x ∈N 的最小值为11，x ∴故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．21. 设函数221()sin 232f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期及其图像的对称中心；()f x （2）若且，求的值. 052,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()012f x =0cos2x 【答案】（1），对称中心为 T π=()1,Z 262k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）依题意可得，再由的取值范围，求出的范围，即可求出0sin 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭0x 023x π-，最后根据及两角和的余弦公式计算可得. 0cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭00cos 2cos 233x x ππ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦【小问1详解】解：因为 221()sin 232f x x xx π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭ 1sin 2cos cos 2sin 2332x x x ππ=+- 11sin 2222x x =-， 1sin 232x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭即， ()1sin 232f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭所以的最小正周期为． ()f x 22T ππ==令，解得，， 2(Z)3x k k ππ-=∈26k x ππ=+Z k ∈所以函数的对称中心为． ()1,Z 262k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭【小问2详解】解：因为，即， ()012f x =()0011sin 2322f x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭所以 0sin 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为，所以，所以 052,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦02,32x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦0cos 23x π⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以 0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 333333x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=12=-=22. 已知函数，. ()()212log 1f x x =+()26g x x ax =-+（1）若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值； x ()0g x <{}|23x x <<1x >()1g x x -（2）若对任意的、，不等式恒成立，求实数的取值范围．1[1,)x ∈+∞2[2,4]x ∈-12()()f x g x ≤a【答案】（1）（2） 3-112a -≤≤【解析】【分析】（1）根据二次不等式的解集得，再根据基本不等式求解即可；5a =（2）根据题意将问题转化为在恒成立，再令，（261x ax -+≥-[]2,4x ∈-()27F x x ax =-+），分类讨论即可求解. 24x -≤≤【详解】（1）由关于的不等式的解集为，所以知 x ()0g x <{}23x x <<235a =+=∴ ()()256213111g x x x x x x x -+==-+----又∵，∴，取“”时 1x >()21331x x -+-≥-=1x =∴ ()31g x x ≥--即的最小值为，取“”时 ()1g x x -3-=1x =+（2）∵时，， 1x ≥212x +≥()()212log 11f x x =+≤-∴根据题意得：在恒成立261x ax -+≥-[]2,4x ∈-记，（）()27F x x ax =-+24x -≤≤①当时，4a ≤-()()min 2211F x F a =-=+由，∴ 1121102a a +≥⇒≥-1142a -≤≤-②当时， 48a -<<()2min724a a F x F ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭由，∴ 2704a a -+≥⇒-≤≤4a -<≤③当时，8a ≥()()min 4423F x F a ==-+由， 2342304a a -+≥⇒≤a ∈∅综上所述，的取值范围是 a 112a -≤≤【点睛】本题的第二问中关键是采用动轴定区间的方法进行求解，即讨论对称轴在定区间的左右两侧以及对称轴在定区间上的变化情况，从而确定该函数的最值.。
