30度,45度,60度角的三角函数值课件.ppt

边和斜边之间的比值也随之确定.
sin A a , c
sin B b , c
和 , 和 有什么关系?
,.
cos A b , c
cos B a , c
A
B
c
a
┌
b
C
探究
如图,观察一副三角板:
它们其中有几个锐角?分别是多少度?
()°等于多少? ()°等于多少? ()°等于多少?
° °
° ┌° ┌
C
A
∴.
即扶梯的长度为.
.如图,在△中,∠°,
∠,∠ ,∠的对边分别是.
c
求证.
A
b
【证明】在△中，
a2 b2 c2，
a2 c2
，
b2 c2
，
∴
a2 b2 c2
1.
B
a ┌
C
.（黄冈·中考）°（
）
．1 ． 2
2
2
．3 ． 3
2
【解析】选.由三角函数的定义知°
3.
2
．（荆门·中考）计算
．2
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
()°°等于多少?
30°
()°°等于多少? ()°°等于多少? 老师期望:
45°
45° ┌ 60° ┌
你能对伴随你学生生涯的这副三角尺所具有的功能来个重
新认识和评价吗？
根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
填一填：特殊角的三角函数值表
锐角α
° ° °
•
13、认识到我们的所见所闻都是假象，认识到此生都是虚幻，我们才能真正认识到佛法的真相。钱多了会压死你，你承受得了吗?带，带不走，放，放不下。时时刻刻发悲心，饶益众生为他人。

2 2
3 sin A 5
4 cos A 5
A
4 ┌ C (1)
3
3 3 7 tan A 7 7 3 7 sin A cos A 4 4
4 A (2)
3
┌ C
回顾与思考 1
锐角三角函数定义
直角三角形中边与角的关系: 锐角三角函数.
在直角三角形中,若一个锐角确定,那 么这个角的对边,邻边和斜边之间的比 值也随之确定.
BБайду номын сангаас
┌
C
D
●
2.5
2.某商场有一自动 0 扶梯,其倾斜角为30 , 高为7m,扶梯的长度 是多少?
（ 1 ）计算： sin 30 cos 30
2 o 2 0
B
c
sin 2 45o cos2 450 sin 2 60o cos2 600 A
2 2
a
b ┌ C
(2)猜想：对于锐角 A， sin A cos A ？
(2) sin2600+cos2600-tan450
3 1 1 2 2
2 2
0.
3 1 1 4 4
6 随堂练习P12
计算:
(1)sin600-cos450; (2)cos600+tan600;
2 0 0 0 3. sin 45 3 sin 60 2 cos45 . 2
九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系
0 0 0 2.30 ,45 ,60 角的三角函数值(1)
1.如图,根据图(1)求∠A的三角函数 值. 解：根据勾股定理： AB 3 4 5 B
2 2
3 tan A 4

三角函数 锐角α
正弦sinα
余弦cosα
正切tanα
余切cotα
要能记 住有多 好
30o
1
2
3
3
3
2
3
45o
2 2
2 2
1
1
60o
3 2
1 2
3
3
3
这张表还可以看出许多 知识之间的内在联系?
5
例题欣赏 5
行家看“门道”
驶向胜利 的彼岸
例1 计算: (1)sin30o+cos45o;(2) sin260o+cos260o-tan45o.
解: (1)sin30o+cos45o
1 2 1 2 .
22 2
?怎样
解答
(2) sin260o+cos260o-tan45o
3 2
2 Leabharlann 1 22 1
3 1 1
44
0.
老师提示:
Sin260o表示 (sin60o)2, cos260o表示 (cos60o)2,其余 类推.
6
随堂练习 6
直角三角形中的边角关系
驶向胜利 的彼岸
B
看图说话: 直角三角形三边的关系. 直角三角形两锐角的关系. 直角三角形边与角之间的关系. A
c
a
┌
b
C
特殊角30o,45o,60o角的三角函数
值. 互余两角之间的三角函数关系.
30o
同角之间的三角函数关系
45o
45o ┌ 60o ┌
10
独立
扶梯的长度是多少?
B
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.

观察一副三角尺:其中有几个锐角?它们分别是多少度?
30°
60°
45°
45°
思考：你能用所学知识，算出30°，45°，60°的三角函数值吗？
二、自主合作，探究新知
探究一：30°、45°、60°角的三角函数值
问题(1)：sin30°等于多少?你是怎样得到的？
30°
2a
与同伴进行交流.
(2)：cos30°等于多少?tan30°呢？
锐角三角函数的增减性：
当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大
增大（或减小）；
（或减小）而 _______
余弦值随着角度的增大（或减小）而 减小（或增大）
_______
.
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：计算:(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.
A．10 m
10 3
B.
m
3
B
)
5 3
C.
m
2
D．5 3 m
1
2
5.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα=____.
3
6.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=____.：
（1）cos260°＋sin260°
cos 45


tan
45
（2）
sin 45
解： （1） cos260°＋sin260°
（2）
＝1
＝0
三、即学即练，应用知识
8.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，
小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.6m，

2、在Rt△ABC中，A 900 AC：BC＝1：2 AB＝6，∠B＝ ，AC＝ BC＝______
(3)、2 sin 600 3 cos450
zxxkw
3 cos600 (4)、 5 sin 300 1
·
回味无穷
直角三角形中的边角关系
看图说话:
c
B
直角三角形三边的关系.
2 3 sin 450 sin 600 2 cos450. 2 2 2 0 4 sin 30 cos2 600 2 cos2 450. 2
（5)、 sin 60 2 sin 30 cos 30
2 cos 45 (6)、
2 3
2.填空题：
0 4 C 90 A 60, c ，则 8 a _____, 4 3 b _____ 1、Rt△ABC中，
3 sin 600 2 cos450.
再见
A b
a ┌ C
300
450

直角三角形两锐角的关系 . 直角三角形边与角之间的关系 . 特殊角300,450,600角的三角函数 值.
450
┌
600
┌
作业
P13 习题1.3
1.计算;(1)tan450-sin300; (2)cos600+sin450-tan300;
36 tan2 300
450
450 300的?又是怎么做的?
根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
特殊角的三角函数值表
三角函数 正弦 sinα 锐角α
300 要能 记住有 多好
1 2
余弦 cosα
3 2 2 2 1 2
正切tanα

AC＝ 3a
sin30°＝
BC AB
＝a 2a
＝
1 2
B
2a
60°
a
cos30°＝
AC＝
AB
3a 2a
＝
3 2
A
30°
3a ┌ C
tan30°＝
＝ BC
AC
＝ a
3
3a 3
做一做
⑴60°角的三角函数值分别是多少 ?你是怎样得到的?
⑵45°角的三角函数值分别是多少 ?你是怎样得到的?
⑶完成下表:
cos2 A 1 sin2 A. 或cosA 1sin2 A.
B
商的关系:
c
tan A sin A
cos A
A
a
┌
b
C
想一想
如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝a,∠A＝
30°,求BC。
解:∵∠C＝90°,∠A＝30°∴AB＝2BC,设
BC＝x则AB＝2x,由勾股定理得
AC2＋BC2＝AB2
北师大版九年级数学（下）
第二节 30°,45°,60°角的三角函数值
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兰州四十八中学 朱萍
回顾与思考1
锐角三角函数定义
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜
边的比、邻边与斜边比、对边与邻边的比也随之确
定,分别叫做∠A的正弦、余弦、正切。
sin A a c
O
B
C D
A
解:如图,根据题意可知,
∠AOD＝ 12×60°＝30°,OD＝2.5m,
∴OC＝OD
cos30°＝2.5×
3 2
≈
2.165（m）

咋办
驶向胜利 的彼岸
?
将实际问 题数学化
B
C A
D
1 0 0 ∠AOD 60 30 , OD=2.5m, 2.5 2 在Rt△O C D 中， C D B O C 0 cos 30 , A OD 3 0 O C O Dcos 30 2.5 2.165(m). 2
a 2 b 2 a 2 b2 a 2 b2 ( ) ( ) 2 2 2 c2 c c c c
c
b
a B
C
问题: 如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝a,∠A＝ 30°,求BC.
2x
B x C
分析:
A
30°
a
┌
1.由∠C＝90°,∠A＝30°,我们想到了什么?
2.假设BC＝x,那么AB等于多少? 3.接下来如何求出BC?
0
60
0
特殊角的三角函数值的 计算
1. sin 60 2 sin 30 cos 30
3 1 3 解：原式 2 2 2 2
例：计算下列各值：
3 3 2 2
0
例：计算下列各值：
2. sin 60 cos 60
2 2
3 2 1 2 解：原式 ( ) ( ) 2 2
(互余角的三角函数关系）
小结

拓展
回味无穷
直角三角形中的边、角关系
驶向胜利 的彼岸
看图说话:
B
c a A b ┌ C
300
450
直角三角形三边的关系.
直角三角形两锐角的关系. 直角三角形边与角之间的关系. 特殊角300,450,600角的三角函数 值. 互余两角之间的三角函数关系. 同角之间的三角函数关系

2 0
知识巩固
2 0 0 0 3 sin 45 sin 60 2 cos 45 . 2
2 2 0 2 0 2 0 4 sin 30 cos 60 2 cos 45 . 2
直击中考
1 (1+ 2 )0-｜1-sin30°｜+ ( ) -1； 2
知识应用
1.某商场有一自动扶梯,其倾 斜角为30°,高为7m.扶梯的长 度是多少?
150
30米
知识应用
3.一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为 2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰为60°, 且两边的摆动角度 相同,求它摆至最高 位置时与其摆至最 低位置时的高度之差
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1 2 2 2
3 2
角α
30°
45°
3 2
3 3
2 2
1
60°
1 2
3
想一想:
如果已知某一锐角的某种 三角函数值,你能求出这一 锐角吗?比如tanA＝1,锐角 A是多少度?
例题示范
[例1]计算： (1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°.
(3) 2 si走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。

解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥CD，∠D=45°， ∴DE=AE=0.8米， ∴CD=1.2+2×0.8=2.8米， 1 ∴梯形ABCD的面积是 2 ×（1.2+2.8）×0.8=1.6平方米， 故1.6×1500=2400（立方米）． 答：该段水渠最多能蓄水2400立方米 。
5、(问题解决T6)某阶梯的形状如图所示，其中线段 AB=BC，AB部分的坡角为45°，BC部分的坡角为 30°，AD=1.5m。如果每个台阶的高不超过20cm， 那么这一阶梯至少有多少个台阶？（最后一个台阶的 高不足20cm时，按一个台阶计算） 解：在Rt△ABD中，∠BAD=45°，∴BD=AD=1.5m
因此，B、C间的距离约为7m
6o° 3.已知tanａ= 3 ,则ａ=_____
点拨（3分钟）
实际问题数学化:构建直角三角形 2.5 利用三角函数解决。
B
O
┌C A
●
D
解:如图,根据题意可知,
1 AOB 60 0 30 0 , OB OA 2.5, 2 OC
cos 30 0
3 OC OB cos30 2.5 2.165(m). 2 ∴AC=OA-OC=2.5-2.165≈0.34(m).
0
OB
,
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
当堂训练（15分钟）
1.计算; 1 (1)tan450-sin300; 2 (2)cos600+sin450-tan300;
学生自学（3分钟后检测）
自学检测2(6分钟)
1.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°,高为7m,扶梯 14m 的长度是______.
2.如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直 于两岸.桥长12m,在C处看桥两端A,B,夹 角∠BCA=600. 求B,C间的距离(结果精确到1m).

B
AB 2a 2
cos45 AC a 2 ; AB 2a 2
tan 45 BC a 1. AC a
45°
A
C
⑶ 特殊角的三角函数值表
三角函 数值
三角 函数
sinα
角α
30°
1
2
45°
2
2
60°
3
2
cosα
3 2
2 2
1 2
tanα
3 3
1
3
例1 计算: (1)sin30°+cos45°;(2) sin260°+cos260°-tan45°.
解: (1)sin30°+cos45°
1 2
2 2
1
2
2.
(2) sin260°+cos260°-tan45°
3 2
2
1 2
2
1
3 1 1 44
0.
提示:
Sin260°表示(sin60°)2,
cos260°表示(cos60°)2,其 余类推.
例2 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当 秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动 角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置 时的高度之差（结果精确到0.01m）.
36 tan2 30 3 sin 60 2 cos 45.
（1）1 ；（2）3 3 2 - 2 3 ；（3）1- 2 2 .
2
6
2
某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°,高为7m,扶梯的长度是多少?
14m.
如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直于两岸.桥长12m,在C处看桥 两端A,B,夹角∠BCA=60°.求B,C间的距离(结果精确到1m).