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三角函数值大全（1）特殊角三角函数值sin0=0,sin15=（√6-√2)/4 ,sin30=1/2,sin45=√2/2,sin60=√3/2,sin75=(√6+√2)/2 ,sin90=1,sin105=√2/2*(√3/2+1/2) sin120=√3/2 sin135=√2/2sin150=1/2sin165=（√6-√2)/4sin180=0sin270=-1sin360=0cos0=1cos30= 二分之根号3 cos45= 二分之根号2 cos60=cos90=0tan0=0tan30= 三分之根号3tan45=1tan60= 根号3tan90=无cot0=无cot30= 根号3cot45=1cot60= 三分之根号3cot90=0（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°<α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.附：三角函数值表sin1= sin2= sin3=sin4= sin5= sin6=sin7= sin8= sin9=sin10= sin11= sin12=sin13= sin14= sin15=sin16= sin17= sin18=sin19=0. sin20=0. sin21=sin22= sin23= sin24=sin25= sin26= sin27=sin28= sin29= sin30=sin31= sin32= sin33=sin34= sin35= sin36=0.sin37= sin38= sin39=0.sin40=0. sin41=0. sin42=sin43= sin44= sin45=sin46= sin47= sin48=sin49= sin50= sin51=sin55= sin56=0. sin57=0. sin58= sin59= sin60=0.sin61= sin62=0. sin63=sin64= sin65=0. sin66=sin67=0. sin68= sin69=0. sin70= sin71= sin72=sin73=0. sin74= sin75=0. sin76=0. sin77=0. sin78= sin79= sin80= sin81=sin82=0. sin83= sin84=sin85= sin86= sin87=0.sin88=0. sin89=0.sin90=1cos1=0. cos2=0. cos3=0. cos4= cos5= cos6=cos7= cos8=0. cos9=cos10= cos11= cos12=cos13=0. cos14=0. cos15=0. cos16= cos17=0. cos18=cos22= cos23=0. cos24=cos25=0. cos26= cos27=cos28= cos29= cos30=0.cos31= cos32= cos33=cos34=0. cos35= cos36=cos37= cos38= cos39=cos40= cos41= cos42=cos43= cos44= cos45=cos46= cos47= cos48=cos49=0. cos50=0. cos51=0. cos52= cos53= cos54=0.cos55=0. cos56= cos57=0. cos58= cos59= cos60=cos61= cos62= cos63=0.cos64= cos65= cos66=0.cos67= cos68=0. cos69=cos70=0. cos71= cos72=cos73= cos74= cos75=cos76= cos77= cos78=cos82= cos83= cos84=cos85= cos86= cos87=cos88= cos89=cos90=0tan1= tan2= tan3=tan4= tan5= tan6=tan7= tan8= tan9=tan10= tan11= tan12=tan13=0. tan14= tan15=0. tan16=0. tan17= tan18=tan19= tan20= tan21=0.tan22=0. tan23=0. tan24=0. tan25=0. tan26=0. tan27=0. tan28= tan29= tan30=0.tan31=0. tan32=0. tan33=0. tan34=0. tan35=0. tan36=0. tan37= tan38= tan39=0.tan40=0. tan41=0. tan42=0. tan43= tan44=0. tan45=0.tan46= tan47= tan48=tan49= tan50= tan51=tan52= tan53=1. tan54=tan55= tan56=1. tan57=1. tan58=1. tan59=1. tan60=1. tan61=1. tan62=1. tan63= tan64= tan65= tan66=tan67= tan68=2. tan69=2. tan70=2. tan71= tan72=tan73=3. tan74= tan75=3. tan76= tan77= tan78=tan79= tan80= tan81=tan82= tan83= tan84=tan85= tan86= tan87=tan88= tan89=tan90=无取值。
深入探讨30度、60度和45度的正弦、余弦和正切值，需要从简单的数学概念开始逐步展开，让读者能够全面地理解这些三角函数的概念和性质。
一、简介在数学中，三角函数是研究角和角的变化关系的重要工具。
其中，正弦、余弦和正切是最常见的三角函数。
它们描述了角度和直角三角形边之间的关系。
在本文中，我们将着重讨论特定角度下的正弦、余弦和正切值，即30度、60度和45度，探究它们在数学和实际问题中的应用。
二、30度的正弦、余弦和正切值1. 正弦值：在直角三角形中，30度角的正弦值可以表示为对边与斜边的比值。
即sin(30°) = 1/2。
2. 余弦值：30度角的余弦值可以表示为邻边与斜边的比值。
即cos(30°) = √3/2。
3. 正切值：30度角的正切值可以表示为对边与邻边的比值。
即tan(30°) = 1/√3。
三、60度的正弦、余弦和正切值1. 正弦值：在直角三角形中，60度角的正弦值可以表示为对边与斜边的比值。
即sin(60°) = √3/2。
2. 余弦值：60度角的余弦值可以表示为邻边与斜边的比值。
即cos(60°) = 1/2。
3. 正切值：60度角的正切值可以表示为对边与邻边的比值。
即tan(60°) = √3。
四、45度的正弦、余弦和正切值1. 正弦值：在直角三角形中，45度角的正弦值可以表示为对边与斜边的比值。
即sin(45°) = 1/√2。
2. 余弦值：45度角的余弦值可以表示为邻边与斜边的比值。
即cos(45°) = 1/√2。
3. 正切值：45度角的正切值可以表示为对边与邻边的比值。
即tan(45°) = 1。
五、总结与回顾通过对30度、60度和45度的正弦、余弦和正切值的深入探讨，我们可以发现它们之间的关系和特点。
正弦值描述了角度对应的三角形的竖直分量，余弦值描述了水平分量，而正切值则描述了这两个分量之间的比例关系。
常见度数的三角函数值常见度数的三角函数值是指在三角函数中，常见的角度值所对应的三角函数值。
常见的角度值包括30度、45度和60度，对应的三角函数值包括正弦、余弦和正切。
我们来看30度角。
30度角是一个较小的角度，它是一个锐角。
在直角三角形中，如果角A的度数为30度，那么它的对边与斜边的比值为1:2，即对边与斜边的长度之比为1:2。
根据三角函数的定义，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，所以30度角的正弦函数值为1/2，即sin30°=1/2。
余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，所以30度角的余弦函数值为√3/2，即cos30°=√3/2。
正切函数的值等于对边与邻边的比值，所以30度角的正切函数值为1/√3，即tan30°=1/√3。
接下来，我们来看45度角。
45度角是一个特殊的角度，它是一个直角三角形的内角。
在直角三角形中，如果角A的度数为45度，那么它的对边与邻边的长度相等，即对边与邻边的比值为1:1。
根据三角函数的定义，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，所以45度角的正弦函数值为1/√2，即sin45°=1/√2。
余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，所以45度角的余弦函数值为1/√2，即cos45°=1/√2。
正切函数的值等于对边与邻边的比值，所以45度角的正切函数值为1，即tan45°=1。
我们来看60度角。
60度角是一个较大的角度，它是一个锐角。
在直角三角形中，如果角A的度数为60度，那么它的对边与邻边的比值为√3:1，即对边与邻边的长度之比为√3:1。
根据三角函数的定义，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，所以60度角的正弦函数值为√3/2，即sin60°=√3/2。
余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，所以60度角的余弦函数值为1/2，即cos60°=1/2。
正切函数的值等于对边与邻边的比值，所以60度角的正切函数值为√3，即tan60°=√3。
30度,45度,60度的三角函数值三角函数是数学中非常重要的概念，运用它可以计算与直角三角形相关特定角度的三角函数值。
在三角函数的计算中常常会涉及特定的角度，例如30度、45度和60度。
这三个角度是中学生常考的内容。
针对这三者，以下将展示在某些特定情况下该如何计算它们的三角函数值。
首先，让我们从30度开始说起。
当某个角度为30度时，它的正弦值（sinθ）为1/2，其余的三角函数值同样可以以此为基础所得。
而余弦值（cos θ）则等于根号三的一半，正切值（tan θ）则等于根号三的一。
由此可见，若某个角度为30°，其三角函数值可通过上述数值表达出来。
接下来讨论45°的情况。
对于此角度，正弦值等于0.707，而余弦值和正切值则均等于根号二的一半。
所以当某个角度为45°时，它的三角函数值可以通过这一数值表得出。
同样，当某个角度为60°时，其正弦值将等于0.86，余弦值与正切值则各自等于根号三的一半和根号三，以此四舍五入可以求得60°角度对应其三角函数值。
从上述也可以看出，若需要计算三角函数值，常常可以把特定的角度转换为特定的数值，从而比较容易的得出其三角函数值。
当然，除了30°,45°,60°的三角函数值外，在相应把象限角计算出来的时候，也就可以计算出其对应的三角函数值了。
总之，基本的三角函数值计算是数学中的一项基础技能，不管是中学生还是大学生，都应该记住上文提到的三角函数值，这样才能更好地运用三角函数知识，深入认识三角形及相关几何概念，实现更多数学技能的提升。
第三课时 §1.2 30°，45°，60°角的三角函数值教学目标 知识与能力目标能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.会进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 过程与方法目标通过自主探索经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 情感与价值观要求通过数学活动，产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯，锻炼克服困难的意志，建立学好数学自信心. 教学重点探索30°、45°、60°角的三角函数值； 含30°、45°、60°角的三角函数值的计算；锐角三角函数值的大小比较. 教学难点进一步体会三角函数的意义. 教学过程创设问题情境，引入新课[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可.提示：在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，AD ＝BE ，BE 是已知的，设BE=a 米，则AD ＝a 米，如何求CD 呢?含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC ＝2CD ，根据勾股定理，(2CD)2＝CD 2+a 2.CD ＝33a.则树的高度即可求出. [师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=aCDAD CD ，则CD=atan30°，岂不简单.你能求出30°角的三个三角函数值吗?师生互动、学习新课 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.sin30°＝212=a a . cos30°＝2323=a a .tan30°=33313==a a 2、45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的? sin60°=2323=a a , cos60°=212=a a ,tan60°＝33=a a. 也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=23cos60°=sin(90°-60°)=sin30°=21.[师生共析]我们一同来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a ，则另一条直角边也为a ，斜边2a.由此可求得 sin45°=22212==a a , cos45°＝22212==a a , tan45°=1=a a [师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢? 2.例题讲解 [例1]计算：(1)sin30°+cos45°；(2)sin 260°+cos 260°-tan45°.分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin 260°表示(sin60°)2，cos 260°表示(cos60°)2.解：(1)sin30°+cos45°=2212221+=+,(2)sin 260°+cos 260°-tan45° =(23)2+(21)2-1=43 +41 -1＝0.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.解：根据题意(如图)可知，∠BOD=60°，OB=OA ＝OD=2.5 m ，∠AOD ＝21×60°＝30°，∴OC=OD ·cos30°=2.5×23≈2.165(m).∴AC ＝2.5-2.165≈0.34(m).所以，最高位置与最低位置的高度约为 0.34 m随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°；(2)cos60°+tan60°；(3)22sin45°+sin60°-2cos45°. 解：(1)原式＝23-1=223-； (2)原式=21+=23213+=(3)原式=22×22+23×22；=22231-+ 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?解：扶梯的长度为21730sin 7=︒=14(m)，所以扶梯的长度为14 m.归纳提炼本节课总结如下：(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值. sin30°＝21，sin45°＝22，sin60°＝23； cos30°＝23，cos45°＝ 22，cos60°＝21；tan30°=33，tan45°＝1，tan60°=3. (2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小. 课后作业习题1.3第1、2题 活动与探究(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E ，直射到乙楼D 点，D 点向下便接受不到光线，过D 作DB ⊥AE(甲楼).在Rt △BDE 中.BD=AC ＝24 m ，∠EDB ＝30°.可求出BE ，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE. [结果]在Kt △BDE 中，BE=DB ·tan30°＝24×33=83m. ∵DF ＝BE ，∴DF=83≈8×1.73＝13.84(m).甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m). 备课资料 参考练习1.(2003年北京石景山)计算：13230sin 1+-︒. 答案：3-32.(2003年北京崇文)汁算：(2+1)-1+2sin30°-8 答案：-23.(2003年广东梅州)计算：(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1. 答案：254. (2003 年广西)计算：sin60°+︒-60tan 11答案：-215.(2003年内蒙古赤峰)计算；2-3-(0032+π)0-cos60°-211-. 答案：-283+教学目标 (一)教学知识点1.经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算.3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.(二)能力训练要求1.借助计算器，解决含三角函数的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力.2.发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐.2.形成实事求是的严谨的学习态度.教学重点1.用计算器由已知三角函数值求锐角.2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.教学难点用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.教具方法探究——引导——发现.教学准备计算器多媒体演示教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]随着人民生活水平的提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建10 m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m长的斜道.(如图所示，用多媒体演示)这条斜道的倾斜角是多少[生]在Rt△ABC中，BC=10 m，AC＝40 m，sinA＝.可是我求不出∠A.[师]我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定.给定一个锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗 为什么[生]我们曾学习过两个直角三角形的判定定理——HL定理.在上图中，斜边AC和直角边BC是定值，根据HL定理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的，当然∠A 的大小也是唯一确定的.[师]这位同学能将前后知识联系起来很有条理地解释此问题，很不简单.我们知道了sinA=时，锐角A是唯一确定的.现在我要告诉大家的是要解决这个问题，我们可以借助于科学计算器来完成.这节课，我们就来学习如何用科学计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.Ⅱ.讲授新课1.用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.[师]已知三角函数求角度，要用到、键的第二功能、、”和键.键的第二功能“sin-1,cos-1,tan-1”和 键例如：已知sinA=0.9816，求锐角A，已知cosA＝0.8607，求锐角A；已知tanA：0.1890，求锐角A；已知tanA＝56.78，求锐角A.按键顺序如下表.(多媒体演示)sinA=0.9816tanA=0.1890tinA=0.56.78上表的显示结果是以“度”为单位的.再按键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.(教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤)[师]你能求出上图中∠A的大小吗[生]sinA=＝0.25.按键顺序为，显示结果为14.47751219°，再按键可显示14°28′39′.所以∠A=14°28′39′.[师]很好.我们以后在用计算器求角度时如果无特别说明，结果精确到1′即可.你还能完成下列已知三角函数值求角度的题吗 (多媒体演示)1.根据下列条件求锐角θ的大小：(1)tanθ＝2.9888；(2)sinθ=0.3957；(3)cosθ＝0.7850；(4)tanθ＝0.8972；(5)sinθ＝；(6)cosθ＝；(7)tanθ=22.3；(H)tanθ=；(9)sinθ＝0.6；(10)cosθ＝0.2.2.某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角.(请同学们完成后，在小组内讨论、交流.教师巡视，对有困难的学生予以及时指导) [生)1.解：(1)θ＝71°30′2′；(2)θ＝23°18′35′；(3)θ＝38°16′46′；(4)θ＝41°53′54′；(5)θ＝60°；(6)θ=30°；(7)θ=87°25′56′；(8)θ＝60°；(9)θ＝36°52′12′；(10)θ＝78°27′47′.2.解：设坡角为α，根据题意，sinα＝=0.04，α＝2°17′33′.所以这段公路的坡角为2°17′33′.2.运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.多媒体演示[例1]如图，工件上有-V形槽.测得它的上口宽加20 mm深19.2mm。
