中学生标准学术能力诊断性测试2020年3月测试(理科数学)

2020年高三数学中学生标准学术能力诊断性测试（1月）试题 理本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{－2，0，1，2}，则A ∩B ＝A.ΦB.{0，1}C.{0，1，2}D.{－2，0，1，2}2.若(2＋i)z ＝5，则z 的虚部为A.－1B.1C.－iD.i3.已知双曲线2221(0)2x y b b-=>的两条渐近线互相垂直，则b ＝ A.1 B.2 C.3 D.24.由两个圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.3πB.2π C.π D.2π 5.函数f(x)＝(x 2－2x)e x 的图象可能是6.已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a 的取值范围是 A.3,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B.4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.33⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D.4,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 7.已知a ，b 为实数，则0<b<a<1是log a b>log b a 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示。

则A.,E E D D ξηξη<<B.,E E D D ξηξη<>C.,E E D D ξηξη<=D.,E E D D ξηξη==9.在△ABC 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AB BC =u u u r u u u r A.1 B.22 C.3 D.6 10.在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝4，E 是边BC 上的点，EC ＝1，EF//CD ，将平面EFDC 绕EF 旋转90°后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是A.圆B.双曲线C.椭圆D.抛物线11.已知函数f(x)＝(lnx －1)(x －2)i－m(i ＝1，2)，e 是自然对数的底数，存在m ∈RA.当i ＝1时，f(x)零点个数可能有3个B.当i ＝1时，f(x)零点个数可能有4个C.当i ＝2时，f(x)零点个数可能有3个D.当i ＝2时，f(x)零点个数可能有4个12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n (2S n －a n )＝1，则下列结论中①数列{S n 2}是等差数列； ②2n a n < ③a n a n ＋1<1 A.仅有①②正确 B.仅有①③正确 C.仅有②③正确 D.①②③均正确二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，集合A＝{0，1，2}，则∁U A＝（）(A){﹣1，3} (B){﹣1，0} (C){0，3} (D){﹣1，0，3} 2．复数z＝（2+i）（1+i）的共轭复数为（）(A)3﹣3i(B)3+3i(C)1+3i(D)1﹣3i3．已知函数f（x）＝x3+a sin x，a∈R．若f（﹣1）＝2，则f（1）的值等于（）(A)2 (B)﹣2 (C)1+a(D)1﹣a4．如图，在正方体ABCD﹣A1B l C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E ＝EF＝FG＝GC1．则下列直线与平面A1BD平行的是（）(A)CE(B)CF(C)CG(D)CC15．已知实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)46．若非零实数a，b满足2a＝3b，则下列式子一定正确的是（）(A)b＞a(B)b＜a(C)|b|＜|a| (D)|b|＞|a|7．已知sin（），则sinα的值等于（）(A)(B)(C)(D)8．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)49．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（l，0）．若动点M满足，则的取值范围是（）(A)[0，2] (B)[0，2] (C)[﹣2，2] (D)[﹣2，2] 10．“幻方’’最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的﹣个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如表所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）(A)75 (B)65 (C)55 (D)4511．已知双曲线C1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝2px （p＞0）与双曲线C有相同的焦点．设P为抛物线与双曲线C的一个交点，cos∠PF1F2，则双曲线C的离心率为（）(A)或(B)或3 (C)2或(D)2或312．已知函数f（x），，＜．若函数f（x）的极大值点从小到大依次为a1，a2，…，a n，并记相应的极大值为b1，b2，…，b n，则（a i+b i）的值为（）(A)250+2449 (B)250 +2549 (C)249+2449 (D)249+2549二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．在（2+x）5的展开式中，x2的系数为．（用数字作答）14．已知公差大于零的等差数列{a n}中，a2，a6，a12依次成等比数列，则的值是．15．某学习小组有4名男生和3名女生．若从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为．16．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，且三棱柱的侧面积为3，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）已知△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a cos B b+(C)（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sin2B+sin2C+sin B sin C的值．18．(本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△P AD为正三角形，平面P AD上平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PEF；（Ⅱ）若∠BAD＝60°，求二面角B﹣PD﹣A的余弦值．19．(本小题满分12分）某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示．据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元，（Ⅰ）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求z精确到整数时的最小值x0；（Ⅱ）经调查，年龄在[60，70]之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概率）．该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元．某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（Ⅰ）中的x0），针对此疾病所支付的费用为X元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y元，试比较X和Y的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？20．(本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：l（a＞b＞0）的短轴长为2，直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M．当M与0连线的斜率为时，直线l的倾斜角为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若|AB|＝2，P是以AB为直径的圆上的任意一点，求证：|OP|．21．(本小题满分12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+3x﹣a，a∈Z．（Ⅰ）当a＝1时，判断x＝1是否是函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅱ）当x＞0时，不等式f（x）≤0恒成立，求整数a的最小值，22．(本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M（0，1）．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23．已知函数f（x）＝x2﹣a|x﹣1|﹣1，a∈R．（Ⅰ）当a＝4时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）∃x0∈[0，2]，f（x0）≥a|x0+1|，求实数a的取值范围．1．U＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，则∁U A═{﹣1，3}，答案(A)2．∵z＝（2+i）（1+i）＝1+3i，∴．答案(D)3．∵函数f（x）＝x3+a sin x，a∈R．f（﹣l）＝2，∴f（﹣1）＝（﹣1）3+a sin（﹣1）＝﹣1﹣a sin1＝2，∴1+a sin1＝﹣2，∴f（l）＝1+a sin1＝﹣2．答案(B)4．如图，连接AC，使AC交BD与点O，连接A1O，CF，在正方体ABCD﹣A1B l C1D1中，由于A1F AC，又OC AC，可得：A1F OC，即四边形A1OCF为平行四边形，可得：A1O∥CF，又A1O⊂平面ABD，CF⊄平面ABD，可得CF∥平面AB (D)答案(B)5．作出实数x，y满足表示的平面区域，如图所示：由z＝2x+y可得y＝﹣2x+z，则z表示直线y＝﹣2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线2x+y＝0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过B时，z最大由可得B（2，0），此时z＝4．答案(D)6．令2a＝3b＝t，则t＞0，t≠1，∴a＝log2t，b＝log3t，∴|a|﹣|b||lgt|•＞0，∴|a|＞|b|．答案(C)7．∵sin（），∴sinα＝﹣cos（α）＝﹣cos2（）＝﹣[1﹣2sin2（）]＝﹣[1﹣2×（）2]．答案(A)8．根据程序框图：执行循环前：a＝0，b＝0，n＝0，执行第一次循环时：，a＝1，b＝2，所以：92+82≤40不成立．继续进行循环，…，当a＝4，b＝8时，62+22＝40，所以：n＝1，由于a≥5不成立，执行下一次循环，当a＝5时，输出结果n＝2答案(B)9．设M（x，y），由动点M满足，得，化简得：x2+（y﹣2）2＝8，由圆的参数方程得：M（2cosθ，2sinθ），则2cosθ∈[﹣2，2]，答案(D)10．由1，2，3，4…24，25的和为325，又由“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”的定义可得：“5阶幻方”的幻和为65，答案(B)11．过P分别向x轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，不妨设PF1＝m，PF2＝n，则F1M＝PN＝PF2＝PF1cos∠PF1F2，∵P为双曲线上的点，则PF1﹣PF2＝2a，即m2a，故m＝7a，n＝5(A)又F1F2＝2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得，化简可得c2﹣5ac+6a2＝0，即e2﹣5e+6＝0，解得e＝2或e＝3．答案(D)12．∵f（x），，＜的极大值点从小到大依次为a1，a2，…，a n，相应的极大值为b1，b2，…，b n，∴a1＝2，a2＝4，…，即是以2为首项，以2为公差的等差数列，且共有50项，即n＝50，但是最后一项不是极大值，满足题意的共有49项，∴a n＝2n，∵b1＝f（2）＝1，b2＝f（4）＝2f（2）＝2…是以1为首项，以2为公比的等比数列，b n＝2n﹣1，则（a i+b i）a i b i＝2449+249．答案(C)13．二项展开式的通项为T r+1＝25﹣r C5r x r令r＝2得x2的系数为23C52＝80答案80．14．公差d大于零的等差数列{a n}中，a2，a6，a12依次成等比数列，可得a62＝a2a12，即为（a1+5d）2＝（a1+d）（a1+11d），化为a1＝7d，则．答案．15．某学习小组有4名男生和3名女生．从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，基本事件总数n21，选出的2名同学中恰好1名男生1名女生包含的基本事件个数m12，∴选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为p．答案．16．根据题意，如图，设AB＝BC＝AC＝a，AA1＝b，该三棱柱的外接球的半径为R，球心O在底面ABC上的射影为O′，O′为底面三角形△ABC的外心，则AO′a，OO′AA1，则R2，又由三棱柱的侧面积为3，则3ab＝3，变形可得ab，则R2221，即外接球半径的最小值为1，其表面积的最小值S＝4πR2＝4π；答案4π17．（I）由正弦定理得s in A cos B sin A+sin C，又sin C＝sin（A+B）．∴sin A cos B sin A+sin A cos B+cos A sin(B)即cos A sin B sin B＝0，∴cos A，∵0＜A＜π，∴A．（II）∵A，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2+bc，∵，∴sin2B+sin2C+sin B sin C＝（）2+（）2＝（）2＝sin2A．18．证明：（Ⅰ）连结AC，∵P A＝PD，且E是AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PE，又ABCD为菱形，且E，F为棱的中点，∴EF∥AC，BD⊥AC，∴BD⊥EF，又BD⊥PE，PE∩EF＝E，∴BD⊥平面PEF．解：（Ⅱ）∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，∴EB⊥AD，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AD＝1，则D（，，），B（0，，0），P（0，0，），（，，0），（，，），设平面PBD的法向量（x，y，z），则，∴，取x，得（，，），平面APD的法向量（0，1，0），∴cos＜，＞，由图得二面角B﹣PD﹣A的平面角是锐角，∴二面角B﹣PD﹣A的余弦值为．19．（Ⅰ）由（0.007+0.016+a+0.025+0.020）×10＝1，解得a＝0.032．保险公司每年收取的保费为：10000×（0.07x+0.16×2x+0.32×3x+0.25×4x+0.20×5x）＝10000×3.35x．∴要使公司不亏本，则10000×3.35x≥1000000，即3.35x≥100，解得x29.85，∴x0＝30．（Ⅱ）①若该老人购买了此项保险，则X的取值为150，2150．P（X＝150），P（Y＝2150）．∴E（X）147+43＝190元．②若该老人没有购买此项保险，则Y的取值为0，12000．∵P（Y＝0），P（Y＝12000），所以E（Y）240元，所以E（Y）＞E（X）．∴年龄为66的该老人购买此保险比较划算．20．（Ⅰ）解：由已知得，b＝1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，两式作差，得．由已知条件，知当时，，∴，即a．∴椭圆标准方程为；（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，|OP|＝1＜，不等式成立；当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx+m．联立，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．△＝16k2﹣8m2+8＞0．，．∴M（，），．由|AB|，化简得，．∴．令4k2+1＝t≥1，则|OM|2．当且仅当t时取“＝”．∴|OM|．∵|OP|≤|OM|+1，∴|OP|，当且仅当时取“＝”．综上，|OP|．21．（Ⅰ）当a＝1时，f′（x）＝lnx﹣4x+4，令F（x）＝f′（x）＝lnx﹣4x+4，则，∴当x＞时，F′（x）＜0，即f′（x）在（，+∞）内为减函数，且f′（1）＝0，∴当x∈（，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数，综上，x＝1是函数f（x）的极大值点．（Ⅱ）由题意得f（1）≤0，即a≥1，现证明当a＝1时，不等式f（x）≤0成立，即xlnx﹣2x2+3x﹣1≤0，即证lnx﹣2x+30，令g（x）＝lnx﹣2x+3，则g′（x），∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，∴g（x）的最大值为g（1）＝0，∴当x＞0时，不等式f（x）≤0成立，综上，整数a的最小值为1．22．（Ⅰ）由，得（x﹣2）2+y2＝4，由ρsin（θ），得ρsinθ+ρcosθ＝1，∴直线l的直角坐标方程为x+y＝1．（Ⅱ）设直线l的参数方程为（t为参数），代入（x﹣2）2+y2＝1得t2+31＝0，设A，B对应的参数为t1，t2，∴t1+t2＝﹣3＜0，t1t2＝1＞0，t1＜0，t2＜0，∴|MA|+|MB|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝323．（Ⅰ）当a＝4时，f（x）＝x2﹣4|x﹣1|﹣1，，＜，当x≥1时，f（x）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1≥﹣1，即此时f（x）≥﹣1，当x＜1时，f（x）＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9≥﹣9，即此时f（x）≥﹣9，综上f（x）≥﹣9，即函数f（x）的值域为[﹣9，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≥a|x+1|等价为x2﹣a|x﹣1|﹣1≥a|x+1|，即a（|x+1|+|x﹣1|）≤x2﹣1，即a在区间[0，2]内有解，当0≤x≤1时，a，当0≤x≤1时，0．此时a≤0，当1＜x≤2时，a（x），当1＜x≤2时，0＜（x），此时a，综上a，即实数a的取值范围是（﹣∞，]．。

中学生标准学术能力诊断性测试2023年3月测试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合{}2430A x x x =−+<，2112x B y y −−⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =A ．[)2,3B ．()1,3C ．[)2,+∞D ．()3,+∞2． 设z 是纯虚数，若31iz++是实数，则z 的虚部为A ．3−B ．1−C ．1D ．33． 已知函数()()()()cos 0,f x x x ωϕωϕωϕπ=+−+><，则“函数()f x 是偶函数”是“=3πϕ−”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 若圆()()22320x a y −+−=上有四个点到直线210x y −+=则实数a 的取值范围是A ．1317,,22⎛⎫⎛⎫−∞−+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1317,22⎛⎫− ⎪⎝⎭C ．37,,22⎛⎫⎛⎫−∞−+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．37,22⎛⎫−⎪⎝⎭ 5． 若111111777n n n nn n n C C C −−+++++++是9的倍数，则自然数n 为A ．4的倍数B ．3的倍数C ．奇数D ．偶数6． 现将0-9十个数字填入右方的金字塔中，要求每个数字都使用一次，第一行的数字中最大的数字为a ，第二行的数字中最大的数字为b ，第三行的数字中最大的数字为c ，第四行的数字中最大的数字为d ，则满足a b c d <<<的填法的概率为A ．110B ．15C ．215D ．257． 在矩形ABCD 中，已知24AB AD ==，E 是AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，连接1AC ．当二面角1A DE C −−的平面角的大小为60︒时，则三棱锥1A CDE −外接球的表面积为 A ．563πB ．18πC ．19πD ．533π8． 已知0a >且1a ≠，若集合{}22log a A x x x =<，1ln ln 2B x y x x ⎧⎫⎛⎫==+−⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，且A B ≠⊂， 则实数a 的取值范围是A ．14e 10,1,e 4⎛⎤⎛⎫ ⎥⎪⎝⎭⎝⎦B ．14e10,e ,4⎡⎫⎛⎫+∞⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭C ．12e 1,11,e 4⎛⎤⎛⎫ ⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦D ．12e1,1e ,4⎡⎫⎛⎫+∞⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9． 设0,0a b >>，满足321a b +=，下列说法正确的是A ．ab 的最大值为124B ．21a b+的最小值为 C ．22a b +的最小值为113D ．2294a b +的最小值为110．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12321a a a ++=，525S =，下列说法正确的是A ．23n a n =+B ．210n S n n =−+C ．{}n S 的最大值为5S D ． 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1099−11．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,ab c ，已知4,6b c ==，ABC ∆的面积S 满足()()228b c S a +=+，点O 为ABC∆的外心，满足AO AB AC λμ=+，则下列结论正确的是（第7题图）（第6题图）A ．=6SB ．10CB AO ⋅=C ．2213AO=D ．23λ=−12．已知()()1122,,,P x y Q x y 是椭圆229144x y +=上两个不同点，且满足121292x x y y +=−，则下列说法正确的是A ． 1122233233x y x y +−++−的最大值为6+B ． 1122233233x y x y+−++−的最小值为3C ． 11223535x y x y −++−+的最大值为D ． 11223535x y x y −++−+的最小值为10−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点M 为抛物线28y x =上的动点，点N 为圆()2245x y +−=上的动点，则点M 到y 轴的距离与点M 到点N 的距离之和最小值为．14．已知()f x 为R 上的偶函数，函数()()2=h x x f x 在[)0,+∞上单调递增，则不等式()()()()2211330x f x x f x −−−++>的解集为．15．用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有 个．16．若关于x 的不等式()e23xk x x −<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，则整数k 的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在数列{}n a 中，149a =，()()()2313912n n n n a n a ++⋅+=+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，证明：525443n nn S +<−⋅． 18．（12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c −=．（1）求角B ；（2）设ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，若BD =2，求ABC ∆的面积的最小值． 19．（12分）如图所示，在三棱锥A BCD −中，满足BC CD ==，点M 在CD 上，且5DM MC =，ABD ∆为边长为6的等边三角形，E 为BD 的中点，F 为AE 的三等分点，且2AF FE =．（1）求证：FM面ABC ；（2）若二面角A BD C −−的平面角的大小为23π，求直线EM 与面ABD 所成角的正弦值． 20．（12分）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%．（1）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++．21．（12分）已知双曲线C 以20x ±=为渐近线，其上焦点F 坐标为()0,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）不平行于坐标轴的直线l 过F 与双曲线C 交于,P Q 两点，PQ 的中垂线交y 轴于点T ，问TFPQ是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 22．（12分）设()()ex xf x x =∈R ．（1）求()f x 的单调性，并求()f x 在12x =处的切线方程；（2）若()()()e ln 1x f x k x ⋅≤⋅+在()1,x ∈+∞上恒成立，求k 的取值范围．（第19题图）中学生标准学术能力诊断性测试2023年3月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．132 14．(),1−∞− 15．10816．1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） （1）()()()23+1391=2n n n n a n a +⋅++()()()()12233221n nn a n a n n +++∴=++即()()()()122321321n nn a n a n n +++=⋅++ ····································································· 2分 又()()12312111a +=+，所以数列()()221n n a n ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为13，公比为13的等比数列 从而()()21321n nn a n +⎛⎫= ⎪⎝⎭+，则()()2123n nn a n +=+⋅ ·················································· 5分 （2）()()2111+123233n nn n n n n n a n n +++==⋅<+⋅+··························································· 6分 21233133 12+12333323131233331两式相减得：12111111229311+121+3333333131n n n n n n n T −++⎡⎤⎛⎫−⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+++−=−−111211152513636233n n n n n −++⎡⎤++⎛⎫=+−−=−⎢⎥ ⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦················································ 9分 从而525443n n n T +−⋅=，故525443nnn S +<−⋅ ····················································· 10分 18．（12分）（1）由已知及正弦定理得：2sin cos sin 2sin B A A C ⋅−=又在ABC ∆中，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ························· 2分 2sin cos sin 2sin cos 2cos sin B A A A B A B ∴−=+即2sin cos =sin A B A −又sin 0A ≠，1cos 2B ∴=− ········································································ 4分 又0B π<<，2=3B π∴，即角B 的大小为23π·············································· 5分 （2）13sin 24ABC S ac B ac ∆== ····································································· 6分 BD 是ABC ∠的角平分线，而ABC ABDBCD S S S ∆∆∆=+11sin 60sin 6022AB BD BD BC =⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒ 即()44ac BD a c =⋅⋅+，ac BD a c =+∴ ················································· 8分 2BD =，()2ac a c ∴=+2a c ac +≥，ac ∴≥，即16ac ≥ ···············································10分 4a c ==1sin 162S ac B =⋅≥= 1219．（12分）（1）在BE 上取一点N ，使得12BN NE =，连接FN ，NM 6BD =，116BN BD ∴==，2NE =，3ED =12AF FE =，12BN AF NE FE ∴== 则FNAB ··························································································· 2分FN ⊄面ABC ，AB ⊂面ABC ，FN∴面ABC15BN CM ND MD ==，NM BC ∴ ······························································· 4分NM ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC ，NM∴面ABCFNNM N =，∴面FNM面ABCFM ⊂面FNM ，FM∴面ABC ·························································· 5分 （2）AE BD ⊥，CE BD ⊥所以二面角A BD C −−的平面角为23AEC π∠= ············································ 6分 又AECE E =，BD ∴⊥面AECBD ⊂面ABD ，∴面ABD ⊥面AEC面ABD面=AEC AE ，过点C 作CH AE ⊥，则CH ⊥面ABD则sin3CH CE π=⋅=()2233332CE =−=，CH ∴==······························· 8分即C 到面ABD 的距离为256MD CD =，M ∴到面ABD 的距离为5624⨯= ······························ 9分322232EMEM+−=⇒=···············································11分∴EM与面ABD=·········································12分（其他方法酌情给分）20．（12分）（1）列联表如下：·····················2分()2230125490.4082 2.0721614219K⨯⨯−⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关 ············5分（2）由题意可知X的取值可能为0，1，2，3则()3539542CP XC===···········································································6分()21453910121C CP XC=== ············································································7分()5243912145C CP XC=== ············································································8分()34391321CP XC===················································································9分X()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ··············································· 12分 21．（12分）（1）因为双曲线C以20x =为渐近线设双曲线方程为()()22x x λ=，即2245x y λ−= ························· 1分()0,3F ，0λ∴< ，即：22154y x λλ−=−−954λλ∴−−=，9920λ∴−=，即20λ=− ····················································· 3分 所以双曲线C 的方程为：22145y x −= ··························································· 4分 （2）设直线:3l y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y()22225420534203y x kx x y kx ⎧−=⇒+−=⎨=+⎩ 化简得：()225430250k x kx −++=··························································· 6分 此方程的两根为12,x x ，则12212230542554k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩PQ ∴==()2220154k k +==− ·············································· 8分 PQ 中点M 坐标为221512,5454kk k −⎛⎫− ⎪−−⎝⎭······················································· 9分 22121155454k ⎛⎫02275422754则22227151535454k TF k k +=+=−− ···························································· 11分 ()22221515543420154k TF k PQ k k +−∴==+− ········································································ 12分 22．（12分）（1）令()()2e e 10e e x xxx x xf x −−'==> ··································································· 1分 1x ∴<，即函数()f x 的单调递增区间为(),1−∞，函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞·········································· 2分当12x =时，121122e f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴切点为12⎛ ⎝ 又12111222e ef ⎛⎫'==⎪⎝⎭，()f x ∴在12x =处的切线方程为：12y x y x ⎫=−⇒=⎪⎭················································· 4分 （2）()2e ln 1ex x k x ≤⋅+ ，ln 1ln 1ln 1e e e x x x x x k k x +++≤⋅=⋅ ()1,x ∈+∞，ln 1ln 10ex x ++∴>，ln 1e ln 1e x x xk x +∴≥+ ··············································· 6分 由（1）可知()=ex xf x 在()1,+∞上单调递减，下证：ln 1x x >+即证：ln 1x x −>在()1,x ∈+∞恒成立 令()ln g x x x =−，则()1110x g x x x−'=−=>1111 9 11()f x 在()1,x ∈+∞上单调递减()()ln 1f x f x ∴<+，即ln 1ln 1e ex x x x ++<，ln 1e 1ln 1e x x x x +∴<+ ································· 11分 1k ∴≥ ·································································································· 12分。

第1页 共4页 第2页 共4页中学生标准学术能力诊断性测试2022年3月测试理科数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合()()}{110A x x x =+−<，}{0B y y =>，则()B A=RA ．∅B ．[)0,1C ．(1,0)−D ．(]1,0−2． 已知双曲线12222=−bx ay 的一条渐近线过点(2,1)，则此双曲线的离心率为A ．3B ．23 C ．5 D ．253． 若复数z 满足()1i 2i 1z +=−（i 为虚数单位），则下列说法正确的是A ．z 的虚部为3i 2B．2z =C ．3z z +=D ．z 在复平面内对应的点在第二象限4． 设0,0>>b a ，则“49≤+b a ”是“94≤ab ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5． 已知函数()x f 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是A ．()2ln(1cos )f x x =+B ．()2ln(1cos )f x x x =⋅−C ．()2ln(1sin )f x x =+D ．()2ln(1sin )f x x x =⋅−6． 为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，可以将函数cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象A ．向左平移524π个单位B ．向右平移524π个单位C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位7． 已知61(0)ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中含2−x 的系数为60，则61ax x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为A ．160−B ．160C ．80D ．80− 8． 如图所示，已知四边形ABCD 是由一个等腰直角三角形ABC 和一个有一内角为30︒的直角三角形ACD 拼接而成，将ACD ∆绕AC 边旋转的过程中，下列结论中不可能成立的是 A ．AB CD ⊥B ．AD BC ⊥ C ．AB BD ⊥ D ．CD BC ⊥9． 已知随机变量ξ的分布列如下表所示，且满足()0=ξE ，则下列方差值中最大的是A ．()D ξB ．()D ξC ．(21)D ξ+D ．(32)D ξ−10．已知椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>的离心率为33，过左焦点F 作一条斜率为(0)k k >的直线，与椭圆交于B A ,两点，满足FB AF 2=，则实数k 的值为 A ．1B ．2C ．3D ．211．对任意的(]12,1,2x x∈，当12x x <时，1212ln 02x a x x x −+<恒成立，则实数a 的取值范围是A ．(2)+∞，B ．[)2,+∞C ．(4)+∞，D ．[)4,+∞12．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足()212n n na S n a *+=∈N ，则下列说法正确的是（第5题图）（第8题图）第3页 共4页 第4页 共4页A ．202120221a a ⋅<B ．202120221a a ⋅>C ．202222022−<aD ．202222022>a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在长方体1111D C B A ABCD −中，已知2=AB ，t BC =，若在线段AB 上存在点E ，使得ED EC ⊥1，则实数t 的取值范围是 ．14．平面向量,a b 满足：1,23a a b a b =+=−⋅，设向量,a b 的夹角为θ，则θsin 的最大值为 ． 15．已知实数b a ,满足ba b a44221+=++，则b a t 22+=的取值范围是 ．16．电影院一排有八个座位，甲、乙、丙、丁四位同学相约一起观影，他们要求坐在同一排，问恰有两个连续的空座位的情况有 种．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，若2=b ，且42cos c a C −=．（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求ABC ∆面积的取值范围．18．（12分）已知数列}{n a 满足11=a ，且123()n a a a a n n *⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∈N ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设()()()()11,22,1n nn na n n nb na n ⎧⋅−⋅+≥⎪=⋅⎨⎪=⎩，且数列}{nb 的前n 项和为n S ，若()23+−≥n S n λ恒 成立，求λ的取值范围．19．（12分）如图所示，在四棱锥ABCD P −中，平面⊥PAB 平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的菱形，120,1,ABC PB PB AB ∠=︒=⊥． （1）求证：平面⊥PBD 平面PAC ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小． 20．（12分）已知实数y x ,满足()222e e 2x y x y +−+=．（1）若0=x 时，试问上述关于y 的方程有几个实根？（2）证明：使方程()222e e 2x y x y +−+=有解的必要条件为：20x −≤≤． 21．（12分）如图所示，已知抛物线2:2E y px =，其焦点与准线的距离为6，过点()0,4M 作直线21,l l 与E 相交，其中1l 与E 交于B A ,两点，2l 与E 交于D C ,两点，直线AD 过E 的焦点F ，若AD ，BC 的斜率为1k ，2k ． （1）求抛物线E 的方程； （2）问21k k 是否为定值？如是，请求出此定值；如不是，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）[选修：坐标系与参数方程]以直角坐标系的原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知 直线l 的参数方程为cos (0)2sin 2x t αt y t απα=⎧≤<⎨=+⎩为参数，，曲线C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 2=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，当α变化时，求AB 的最小值． 23．（10分）[选修：不等式选讲]设函数()22+−=x x x f ．（1）若()3442>++−x x x f ，求x 的取值范围；（2）若2≤−a x ，求证：()()a af x f 46+≤−．（第21题图）（第19题图）中学生标准学术能力诊断性测试2022年3月测试理科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(]1,014．1313315．⎥⎦⎤ ⎝⎛+21031， 16．720三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）（1）解：由余弦定理可得：4244cos 22c a aca C −=−+=，……………….………………….……….…2分整理得ac c a −+=224，解得2124cos22=−+=acc a B，……………….……………….……….…4分()0,B ∈π，故3B π=……………….………………….…………….…………….…….……….…5分 （2）由（1）可知：sin 2b B==，所以有：C c A a sin 34,sin 34==故16162161sin sin sin sin sin sin 333322ac A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅=π−=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)288118π4cos sin 2cos 2sin 233222363A A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+=−+=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………….8分ABC ∆是锐角三角形，022032A C A ππ⎧<<⎪⎪⎨π⎪<=−<⎪⎩，可得：,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，………………………9分 52,666A πππ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭，所以1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤−∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故⎥⎦⎤ ⎝⎛∈4,38ac ……………….………………11分 故ABC ∆的面积1sin 234S ac π==，则3S ∈⎝⎦……………………………….…12分 18．（12分）（1）解：123()n a a a a n n *⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∈N当2≥n 时，有：11221−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−n a a a a n n ，……………………………………………………2分 两式作商，可得：当2≥n 时，1−=n n a n ，……………………………………………….………3分又由11=a ，得()⎪⎩⎪⎨⎧=≥−=1,12,1n n n na n ………………………………………………………….………4分（2）当2≥n 时，()()nnn n n n n n nb 212111+=⋅+⋅−⋅−=，当1=n 时，111221===a b ，所以对任意的n *∈N ，均有n n n b 21+=，………………………5分n n n S 21232221++⋅⋅⋅++=①，1322123222+++⋅⋅⋅++=n n n S ②，利用错位相减法:①－②：n-123n 11111421111111122222212n n n S n n ++⎡⎤⎛⎫−⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦=++++−=+−−=1212123++−−n nn ，求得nn n n S 212131+−−=−， ……………………………………………………8分由()23+−≥n S n λ得()nn n 223⋅++≥λ，……………………………………………………………9分令()()nn n n g 223⋅++=，则()()()()14132322n nn g n n n g n n ++++⋅=++⋅()()()224123n n n ++=<+，………………………………………………11分 因为()0>n g ，所以有：()()n g n g <+1，即随着n 增大，()n g 减小，()()max 213g n g λ≥==……………………………………………………….……………………12分19．（12分）（1）证明： 平面⊥PAB 平面ABCD ，面 PAB 面AB ABCD =，且AB PB ⊥，∴⊥PB 平面ABCD ，………………………………………………………………………………2分 ⊂AC 面ABCD ，∴PB AC ⊥，由菱形性质知BD AC ⊥， B BD PB = ，∴⊥AC 平面PBD ，…………………………………………………………………………………4分又⊂AC 平面PAC ，∴平面⊥PBD 平面PAC …………………………………………………5分 （2）如图，设CD 的中点为E ， 121==CD CE ，60BCE ∠=︒，2BC =，CE BE ⊥∴，AB BE ⊥∴， 平面⊥PAB 平面ABCD ，面 PAB 面AB ABCD =，且AB BE ⊥， ⊥∴BE 面PAB ，………………………………………………….…………………………………7分以点B 为原点，以直线BA 、BP 、BE 为x y z 、、轴，如图所示建立空间直角坐标系， 可得()0,0,0B ，()2,0,0A ，()0,1,0P，(1,C −，(1,D 设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =，而()()1,0,3,2,1,0AD AP =−=−，由0m AD m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得⎩⎨⎧=+−=+−0203y x z x ，取3=x ， 得()3,m =，……………………………………………………………………………….…9分设平面PBC 的一个法向量为(),,n a bc =，且()0,1,0BP =，(1,BC =−，由00n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得⎩⎨⎧=+−=030c a b ，取3=a ，得()3,0,1n =， …………………….……11分设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，则311cos cos ,23m n m n m nθ⋅+====+⋅，所以60θ=︒，故平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为60︒……………………………………….……………12分 注：其他解法酌情给分． 20．（12分）（1）解：将0=x 代入得：()221e 2y y −+=，不妨记()2221eyf y y y =−++，()'2222e y fy y =−+，……………………….………………2分易知()'fy 在R 上递增，且()'00f =，可得：当0y <时，()'0fy <；当0y >时，()'0f y >，即：()f y 在(),0−∞单调递减，()0,+∞单调递增；……………………………….………………4分 由于()()00f y f ≥=，故0=x 时关于y 的方程有唯一的根 …………………………….………5分（2）先证e 1xx ≥+，令()()e 1x g x x =−+，则()'e 1x gx =−，当0x <时，()'0gx <，()g x 单调递减；0x >时，()'0g x >，()g x 单调递增；()()00g x g ≥=，所以有e 1xx ≥+恒成立， ……………………….………………………………8分由()()()22e 2e 1e 10xxxyy y −−−+=−−≥，可得：()()2e 2e 1xxy y −≥−−………………10分 所以有：()()()2222222e e2e 1122e 21xyxxx yx y y x x x =+−+≥+−−++=+≥++，所以220x x +≤，即20x −≤≤……………………….……………………………………………12分21．（12分）（1）解：抛物线E ：px y 22=，焦点⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，准线：2p x −=，∴焦点与准线的距离为6=p ，则抛物线E 的方程为：x y 122=…….…………………………….3分 （2）设()1216,3t t A ，()2226,3t t B ，()3236,3t t C ，()4246,3t t D ，41242141123366t t tt t t k +=−−=，同理3222t t k +=，∴413232412122t t t t t t t t k k ++=++=① ….………………….……………………………………………………5分 ()211142:63AD l y t x t t t −=−+，….…………….………………………………………………………6分 将()0,3F 代入可得：141−=⋅t t ②….……………………………………….…………………………7分 ()21211326:t x t t t y l AB −+=−，将()0,4M 代入可得：3421−=⋅t t③同理：3443−=⋅t t ④，….………………………………….…………………………………………8分 由②③④可知：3434,34,11431214t t t t t t t =−=−=−=……………………………………………10分代入①：341134134341111111121=−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−=−+−=t t t t t t t t k k∴21k k 为定值，值为34………………………………….……………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）（1）解：由θθρsin 8cos 2=,得()θρθρsin 8cos 2=，所以曲线C 的直角坐标方程为y x 82= ……………………………………………………………3分 （2）将直线l 的参数方程代入y x 82=，得()()2sin 8cos 2+=αt αt ，化简得：016sin 8cos 22=−⋅−⋅t t αα，0>∆恒成立……………………………………………5分 设B A ,两点对应的参数分别为21,t t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=⋅=+ααα221221cos 16cos sin 8t t t t ，…………………………………………………………………………………7分所以()αααα22222122121cos 8cos 64cos sin 84=+⎪⎭⎫⎝⎛=−+=−=t t t t t t AB ………………………9分 当0=α时，AB 的最小值为8 ……………………………………………………………………10分 23．（10分）（1）解：函数()22+−=x x x f ，代入()3442>++−x x x f ，可得：363>+x ， ……………2分所以363>+x ，或363−<+x ，可知x 的取值范围是{}1,3−>−<x x x 或 …………………………………………………………4分（2）因为2≤−a x ，所以()()()2222f x f a x x a a −=−+−−+()22x a x a =−−−()()1x a x a =−+− …………………………………………………………6分1x a x a =−⋅+−21x a ≤+−()()221x a a =−+− …………………………………………8分()221x a a ≤−+−4221a ≤+−()4221a ≤++64a =+…………………………………10分。

中学生标准学术能力诊断性测试2024年3月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．16 14．−818515．45164516．a b +四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） （1）tan 2C ==−−C C 1tan 42tan 32 ········································································· 2分解得=C tan 3，故=C 10cos ·································································· 4分 （2）222a b c ab C ab ab +=+=+≥52cos 16210·············································· 6分解得≤+ab 980 ·················································································· 8分 由（1）知=Csin故=≤∆S ab C ABC 2sin 1······························································· 10分故∆ABC ．18．（12分）（1）对于≥n 2时，++=+=++a n a n a n n n n 4128241)()( ······································ 2分 =+⨯=a a 2,41611，+=⨯=⨯−a n a n n n n n 432,324 ··································································· 3分 经验算，a 1符合上述结果，故=⨯−a n n n324 ················································· 4分 （2）设=+=+⨯−⨯b n a n n n n nnn33643，则−=+−⨯+⨯−S n n n n nn2164311816)()( ························································· 6分设=⨯T n n n43，438312343T n =⨯+⨯+⨯++⨯n n 123，23413438312343T n =⨯+⨯+⨯++⨯+n n ····················································· 7分作差得到123124343434343n n T n =−⨯−⨯−⨯−−⨯+⨯+n ······························ 8分故−=+⨯=−⨯+−⨯−++T n n n n n n 1323213361311)()( ·········································· 10分 (n nn n S T=+−−+⨯−n21611816)()故=++⨯−−⨯−+S n n n n n n 22556213183312)( ················································ 12分 19．（12分）（1）圆C 1的方程可变形为−+=x y 2422)( ···························································· 2分 故C 1的圆心坐标为2,0)(，半径为2······························································· 4分 （2）设M x y M M ,)(，因为点M 是AB 的中点，∴⊥C M AB 1，∴⋅=−k k C M AB 11 ························································································ 6分故−−⋅=−x x y yM M M M 211 ················································································ 8分由此可得−++=x x y M M M 32022··································································· 10分 故轨迹方程为⎝⎭ ⎪−+=⎛⎫x y M M 243122，轨迹是以圆心为⎝⎭ ⎪⎛⎫2,03，半径为21的圆 ······· 12分 20．（12分）（1）解：+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=x y 10100.005100.0110100.019100.02100.0271，故+=x y 0.019························································································· 1分 ⨯−⨯=y x 200102001022，故−=y x 0.011 ························································································· 2分 解得==x y 0.004,0.015 ············································································ 3分 （2）①学院毕业生年薪在30,80)[区间的人数比例为：++++0.020.0270.0150.010.005)(⨯=1077%，故同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为30万元········································ 5分 ②对于单个毕业生，其年薪高于50万的概率=++⨯=P 0.0050.010.015100.3)(， 故随机变量⎝⎭⎪⎛⎫ξB 10~4,3， 故==−=ξP 010.30.24014)()( ·································································· 6分 ==⨯−⨯=ξP C 110.30.30.4116413)()( ························································ 7分 ==⨯−⨯=ξP C 210.30.30.26464222)()( ······················································ 8分 ==⨯−⨯=ξP C 310.30.30.0756433)()( ······················································· 9分===ξP 40.30.00814)( ········································································· 10分ξ的分布列为：ξ的数学期望=⨯=ξE 0.34 1.2)( ······························································· 12分21．（12分） （1）()()f x '==−++−−−−+x a x ax a x ax a x xx x e e 2424e e 2222)()()( ······················· 2分当=a 1时，'=−+−f x x x xe2522)(，'=−f 02)( ············································ 4分 又()01f =，故曲线=y f x )(在f 0,0)()(处的切线方程为=−+y x 21 ············ 5分（2）()f x '===−++−−+−x a x a x a x x xe e 0242222)()()(，解得知==x x a 22,12··················································································· 7分 若a f x >4,)(在⎝⎭⎪−∞+∞⎛⎫a 2,2,,)(递减，⎝⎭ ⎪⎛⎫a 22,递增 ······································· 8分 极大值⎝⎭⎪=⎛⎫f a aa e 2>02··············································································· 9分 若a =4，函数单调递减，无极大值 ····························································· 10分 若a f x <4,)(在⎝⎭ ⎪−∞+∞⎛⎫a 2,,2,)(递减，⎝⎭⎪⎛⎫a 2,2递增 ····································· 11分 极大值=−f a e2>082)( ············································································ 12分 综上，f x )(的极大值恒为正数． 22．（12分）（1）椭圆+=E y x 4:122的左，右焦点分别为F F ,12))(，设⊥A m n AF AF ,,12)(，故(AF AF m nm n ⋅=−−−−−=3,3,012)() ··············· 1分即+=m n 322 ··························································································· 2分又+=n m 4122，解得==m n 33························································· 3分∴A 点坐标为⎝⎭⎛33, ············································································ 4分（2）设P 点坐标为p ,0)(，则可得Q 点坐标为p 2( ································· 5分(,02223OP OQ p p p p ⋅==−+=−−+⎝⎭ ⎛222() ················· 7分当=p 2时，OP OQ ⋅取最大值，最大值为3 ················································ 8分（3）A 点坐标为⎝⎭，B 点坐标为⎝⎭⎛，点O 到线段AB 的距离=h 1 ····································································· 9分若=S S 212，则点M 到线段AB 的距离应为=h 2故M 点的纵坐标为6或2，代入椭圆方程，解得M 点的横坐标为±3或±1 ······························································· 11分故M 点的坐标为：⎝⎭ ⎛或⎝⎭±⎛ ·············································· 12分。