2.5简单的幂函数课件ppt北师大必修1

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忘掉(wàng diào)失败，不过要牢记失败中的 教训。
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具有(jùyǒu)的特点
1．对于定义域中的任意的 x ，都有 f (x) f (x)
2．定义域关于原点对称
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偶函数
一般地，图像(tú xiànɡ)关于y轴对称的函数叫作偶函数. 具有(jùyǒu)的特
1点．对于定义域中的任意的 x ，都有 f (x) f (x)
2．定义域关于原点对称
（3）y xn
(4) y (x 2)5
仅(3)是幂函数
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试一试
画出幂函数y=x3的图像,并讨论(tǎolùn)其图像特征 （单调性、对称性等）.
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x … -2 -1 -1/2 0 1/2 1 2 …
y … -8 -1 -1/8 0 1/8 1 8
…
y
特征
(tèzhē
上是( )
A.增加(zēngjiā)的
B.减少的
C.先增加(zēngjiā)后减少的 D.先减少后增加 (zēngjiā)的 4.设 f (x) 为定义在 R 上的偶函数,且 f (x) 在
[0,+ )上是增加的,则 f (2), f (3), f (4) 由小 到大的排列顺序为 f(-2)<f(3)<f(-4)
所以 g(-x)=g(x)
于是g(x)是偶函数.
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补全下面四个函数(hánshù)的图像
y=-x3
y y=x-1
y
y y=x2+1 y
ox
1 o xo xo x
y=-x4
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感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
11
x2 6x 9 3
(2)g(x) 3x3 4x 2 3x 2
(3)h(x) x 3 1 1 x 3
(4)u(x) ( x )2
6
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ，试判断
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
8
拓展性训练题
4.已知y=f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数， 且在（-1，1）上是单调递减的，则不等
式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集是（ ）C
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1,√2)
9
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
简单的幂函数
1
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x,
指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.

×
1
2.函数y= x的3 图像是(
)B
解 内析的：图函 像恒数过y=定x13点是(幂1,函1),数排,除幂A函,D数. 在当第x>一1时象,限x> ，1 故幂函数y= 的图像在直线y=x的下方,排除C. x3
1
x3
3.已知函数 y=f(x)是B ）
底数是自变量,只是指数不同.
1.了解简单幂函数的概念,会利用定义证明简单函数 的奇偶性.（重点） 2.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法. (难点） 3.培养学生从特殊归纳出一般的意识.
探究点1.幂函数的定义：
如果一个函数，底数是自变量 x ,指数是常 量 ,即 y x ，这样的函数称为幂函数.
补全下面四个函数的图像
y=-x3
y y=x-1
y
y=x2+1
y
y
ox
1
o xo xo x
y=-x4
1.判断题 （1）函数f(x)=x2,x[-1,1)为偶函数.( ) ×
（2）函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(-,0] 上是增加的,则f(x)在[0,+ )上也是增加的.( ) √ （3）函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在 (-,0]上是减少的,则f(x)在[0,+ )上也是减少的.( )
y
0
x
(1)奇函数
y
y 0x
-3
(2)偶函数
1
-1 O x
(3)非奇非偶函数
思考：
已知奇函数 f (x) x3 , 则 f (2) = -8 , f (2) = 已知偶函数 f (x) x2 , 则 f (2) = 4 , f (2) =
8. 4.
例1 判断f(x)=-2x5和g(x)=x4+2的奇偶性. 解: 因为在R上f(x)=-2x5， f(-x)=-2(-x)5=2x5，所以 f(-x)=-f(x)， 于是f(x)是奇函数. 而g(x)=x4+2,g(-x)=(-x)4+2=x4+2， 所以g(-x)=g(x). 于是g(x)是偶函数.

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【解析】 (1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个 函数中，只有 y＝x13＝x－3 和 y＝3 x5＝x53符合幂函数的定义，是幂函数， 其余四个都不是幂函数．
(2)根据幂函数定义得 m2－m－1＝1， 解得 m＝2 或 m＝－1， 当 m＝2 时，f(x)＝x3 在(0，＋∞)上是增函数， 当 m＝－1 时，f(x)＝x－3 在(0，＋∞)上是减函数，不合要求． 故 f(x)＝x3. 【答案】 (1)B
【解析】 当 α＝1,3 时，函数 y＝xα 的定义域为 R，且为奇函数； 当 α＝－1 时，y＝1x的定义域是{x|x∈R 且 x≠0}；当 α＝12时，y＝x12＝
x的定义域是{x|x≥0}． 【答案】 1,3
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课堂探究
类型一 幂函数
[例 1] (1)下列函数：①y＝x4；②y＝31x；③y＝3x－1；④y＝x6＋1；
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跟踪训练 2 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ x； (2)f(x)＝x3； (3)f(x)＝|x|; (4)f(x)＝|x＋12－|－x22.
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【解析】 (1)因为 f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称， 故 f(x)＝ x为非奇非偶函数． (2)因为 f(x)＝x3 的定义域为 R，关于原点对称且 f(－x)＝(－x)3＝ －x3＝－f(x)， 所以 f(x)＝x3 为奇函数． (3)因为 f(x)＝|x|的定义域为 R， 关于原点对称且 f(－x)＝|－x|＝f(x)． 所以 f(x)＝|x|为偶函数．
【解析】 当 x<0 时，－x>0， 所以 f(－x)＝x2＋2x. 又因为 f(x)是奇函数， 所以 f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. 所以 f(x)＝x2－2xx≥0， －x2－2xx<0 【答案】 f(x)＝x2－2xx≥0， －x2－2xx<0

R
R
R
[0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，
y≠0}
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
奇偶性
奇
偶 x∈[0，＋∞)
奇
非奇Biblioteka 非偶奇 x∈(0，＋∞)单调性
增
时，增 x∈(－∞，0] 时，减
增
增
时，减 x∈(－∞，0) 时，减
定点
(1,1)
(0,0)
(1,1) (0,0)
(1,1)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
自学导引 1．幂函数的概念 如果一个函数，底数是自变量 x，指数是常数 α，即 y＝xα ， 这样的函数称为幂函数．如 y＝x－1，y＝x，y＝x2，y＝x5，y＝x
－4
，y＝
等都是幂函数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
2．函数奇偶性的概念 一般地，图像关于 原点 对称的函数叫作奇函数．奇函数 f(x) 对定义域中的任意 x 都有 f(－x)＝ －f(x) ．图像关于y轴 对称的 函数叫作偶函数．偶函数 f(x)对定义域中的任意 x 都有 f(－x)＝ f(x) ．当函数 f(x)是 奇函数或偶函数 时，称函数 f(x) 具有奇偶性．
§5 简单的幂函数
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
【课标要求】 1．了解幂函数的定义，会画简单幂函数的图像． 2．了解几个常见的幂函数的性质． 3． 理解函数奇偶性及其几何意义， 掌握判断函数奇偶性的方法． 【核心扫描】 1． 函数的奇偶性及其几何意义， 从五个具体的幂函数中认识幂 函数的概念和性质．(重点) 2．判断函数的奇偶性的方法与书写过程格式．(难点) 3．解题时易忽视函数的定义域．(疑点)

这样的函数称为_幂_函__数_.
特点:①底数是自变量 x ②指数是常量 ③ x 的
系数是1。
练习：1.下列函数中，是幂函数的有_③___④__⑤
① y = 2x2 ② y = x2 +x
③ y = x－4 ⑤y = x3
1 ④ y = x2
画出函数 f (x) = x3的图象 问题1 f (x) = x3的
第二步：法一、求出f (－x) ，若f(－)= x－ f(x)则该 函数是奇函数；若 f(－)x=f(x)，则该函数是偶函
数；否则函数是非奇非偶函数。 法二、对于容易画图象的函数也可利用
图象进行判断。
： 想一想 已知函数f(x)是偶函数，在（-，0]上
的图象如图，你能试作出[0，）内的图象吗？
y
0
图象关于原点 对称。
x … -2 -1 0 1 2 …
f ( x) … -8 -1 0
18…
定义1：像这样 图象关于原点
y •
对称的函数叫 做奇函数。
•o• •
？探索 f (－x) 与f (x) 的关系
f(－ x )= (－ x)3= － xx3= － f(x)
• 定义2：如果对于函数f ( x) 的定义域内任意一个x，
练习
判断下列函数的奇偶性； (1) f (x)＝x＋x3＋x5； (2) f (x)＝x2＋1； (3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝0.
既是奇函数又是偶函数的函数是函 数值为0的常值函数. 前提是定义域关于 原点对称.
学习并没有结束，希望继续努力
x
： 想一想 已知函数f(x)是奇函数，在（-，0]上
的图象如图，你能试作出 [0，）内的图象。

D．y＝2x2
• [答案] C
• [解析] A、B、D都是幂函数经过变化得到的函数，
C中，y＝x－1是幂函数.
• 幂函数的图像与性质
讨论下列函数的定义域、值域，并作出函数图像．
1
(1)y＝x4； (2)y＝x4 ； (3)y＝x－3.
• [思路分析] 把分数指数幂化为根式，并使根式有 意义．
• [规范解答] (1)函数的定义域为R，值域为[0，＋ ∞)．
如图，图中曲线是幂函数 y＝xα 在第一象限的大致图像．已 知 α 取－2，－12，12，2 四个值，则相应于曲线 C1，C2，C3， C4 的 α 的值依次为( )
A．－2，－21，21，2 B．2，21，－12，－2 C．－12，－2,2，12 D．2，12，－2，－21
• [答案] B
[解析] 解法 1：在第一象限内，在直线 x＝1 的右侧，y ＝xα 的图像由上到下，指数 α 由大变小，故选 B.
• 所有的幂函数在_(_0，__＋_∞_)___上有定义，并且图像都过 (点1,1_) _____，如果α >0，则幂函数的图(0,像0) 还过_____， 并在区间[0，＋∞)上________；如果α <0，则幂函 数在区间[0递，增 ＋∞)上________，在第一象限内，当
x从递右减 边趋向于原点时，图像_____________；当x趋
与向 y轴无于限＋接近∞时，图像______________与．x轴无限接近
1.下列所给函数中，是幂函数的是( )
A．y＝－x3
B．y＝3x
1
C．y＝x2
D．y＝x2－1
[答案] C [解析] 幂函数的形式为 y＝xα，只有 C 符合．
• 2．幂函数y＝xα (α ∈R)的图像一定不经过( )

【解析】 (1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个 1 3 5 5 －3 函数中， 只有 y＝ 3＝x 和 y＝ x ＝x 符合幂函数的定义， 是幂函数， x 3 其余四个都不是幂函数． (2)根据幂函数定义得 m2－m－1＝1， 解得 m＝2 或 m＝－1， 当 m＝2 时，f(x)＝x3 在(0，＋∞)上是增函数， 当 m＝－1 时，f(x)＝x－3 在(0，＋∞)上是减函数，不合要求． 故 f(x)＝x3. 【答案】 (1)B
4．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(
)
【解析】 选项 A 中的图像不关于原点对称， 也不关于 y 轴对称， 故排除；选项 C，D 中函数的定义域不关于原点对称，也排除．选项 B 中的函数图像关于 y 轴对称，是偶函数，故选 B. 【答案】 B
5．设
1 α∈－1，1，2，3，则使函数
2.5
简单的幂函数
【课标要求】 1.了解指数是整数的简单幂函数的概念，会利用定义证明简单函 数的奇偶性. 2.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法．
自主学习 |新知预习| 1．幂函数的定义 如果一个函数，底数是自变量 x，指数是常量 α，即 y＝xα，这样 的函数称为幂函数．
2．奇、偶函数的定义 对于函数 y＝f(x)，x∈A
跟踪训练 1 (1)给出下列函数： 1 3 5 4 2 ①y＝ 3；②y＝3x－2；③y＝x ＋x ；④y＝ x ； x ⑤y＝(x－1)2；⑥y＝0.3x.其中是幂函数的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2 m2＋m－3 (2)函数 f(x)＝(m －m－1)x 是幂函数，且当 x∈(0，＋∞)时， f(x)是增函数，求 f(x)的解析式．
|自我尝试| 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数都是幂函数．( × ) (2)幂函数的图像恒过点(0,0)和(1,1)．( × ) (3)幂函数的图像都不过第二、四象限．( × ) (4)对于定义在 R 上的函数 f(x)，若 f(－1)＝－f(1)，则函数 f(x)一 定是奇函数．( × ) (5)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(－x)＋f(x)＝0.( √ )

D．2，12，－2，－12
[解析] 解法 1：在第一象限内，在直线 x＝1 的右侧，y ＝xα 的图像由上到下，指数 α 由大变小，故选 B.
解法 2：赋值法．令 x＝4，则 4－2＝116，4－12 ＝12，412 ＝2,42 ＝16，易知选 B.
第二十五页，共48页。
函数(hánshù)奇偶性的判定
2．若分段函数(hánshù)是奇函数(hánshù)或偶函数 (hánshù)，常用含绝对值符号的函数(hánshù)表达式来表示．
第三十七页，共48页。
x2＋2 x>0
判断函数 f(x)＝0
第八页，共48页。
3．幂函数性质与图像 所有的幂函数在___(_0_，_＋__∞上) 有定义，并且图像都过点 ___(1_,_1_) __，如果(rúguǒ)α>0，则幂函数的图像还(过0,_0_) ______，并 在区间[0，＋∞递)上增_(d_ì_z_ē_n_g_) _；如果(rúguǒ)α<0，则幂函数在区间 [0，＋∞)递上减________，在第一象限内，当x从右边趋向于原点 时，与图y像轴_无__限_接__近________；当x趋向于＋∞时，图与x像轴无限(wúxiàn)接近 _____________．
[规律(guīlǜ)总结] 1.画幂函数的图像时，可先画出其在第 一象限内的图像，再由定义域、单调性、奇偶性得出在其他象限 内的图像．
2．幂函数图像的特征： (1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到 下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα 的图像由上到下，指数α由小变大． (2)当α>0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象 限内，当0<α≤1时，曲线上凸；当α≥1时，曲线下凸；当α<0时， 幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．

C.先增加(zēngjiā)后减少的 D.先减少后增加(zēngjiā)的
3.已知函数 y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是减少的，则它
在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的
B.减少的
C.先增后减
D.先减后增
第二十二页，共25页。
4.填空(tiánkòng) (1)函数y=2x是 奇 函数.(填奇或偶)
底数是自变量x,只是指数(zhǐshù)不同.
第六页，共25页。
幂函数的定义
如(d果ìng一yì个)：函数，底数是自变量 x ,指数是常 量 ,即 y x ，这样的函数称为幂函数.
第七页，共25页。
判断下列函数(hánshù)是否为幂函数(hánshù).
（1） y axm (2) y x x2
（3）y xn
(4) y (x 2)5
仅(3)是幂函数
第八页，共25页。
画出幂函数y=x3的图像(tú xiànɡ),并讨论其图像(tú xiànɡ)特征 （单调性、对称性等）.
第九页，共25页。
解：先列出x、y的对应值表，再用描点法画出图像
x … -2 -1 -1/2 0 1/2 1 2 …
第十五页，共25页。
画出下列(xiàliè)函数的图像,判断其奇偶性.
(1)y 3 x
(3)y x2 3
(2)y x2, x (3,3] (4)y 2(x 1)2 1
第十六页，共25页。
y
0
x
y
3
-3 0
3x
(1)奇函数
y 0x
-3
(3)偶函数
(2)偶函数
y
1
-10 x
(4)非奇(fēi qí)非偶函

(3)幂函数 y＝xα 中的 α 为任意实数． (4)在定义中没有规定幂函数的定义域，但不意味着定义 域不用研究，只是因为指数 α 的取值不一样，幂函数的定义 域也不一样，如 y＝x12，定义域为[0，＋∞)，y＝x－1，定义域 为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
二、幂函数的图像 几个常见幂函数的图像
幂函数的图像与性质
[例 2] 讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性，并作出 函数图像．
1
(1)y＝x4； (2)y＝x4 ； (3)y＝x－3. [分析] 把分数指数幂化为根式，并使根式有意义．
[解析] (1)函数的定义域为 R，值域为[0，＋∞)． 设 y＝f(x)，因为函数的定义域关于坐标原点对称，且 f(－ x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，所以函数 y＝x4 是偶函数，因此函数图 像关于 y 轴对称，如图(1)所示． (2)函数的定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞)． 因为函数的定义域关于坐标原点不对称，所以函数 y＝x14 既不是奇函数也不是偶函数．其图像如图(2)所示．
2．对于第(4)小题，要防止下面的错误：“m2＋2m＝1， 得 m＝－1± 2，因为当 m＝－1± 2时，m2＋m－1 不是有理 数．所以 f(x)不可能为幂函数”，尽管中学阶段研究的幂函数 为有理指数幂，但定义中的幂指数为任意实数，所以，它是 幂函数．
已知 f(x)＝(m2＋m)xm2－2m－1，当 m 取什么值时， (1)f(x)是正比例函数； (2)f(x)是反比例函数； (3)f(x)是幂函数，且在第一象限内它的图像是上升曲线？ [分析] 根据幂函数的定义求出 m 的值，再利用单调性验 证 m 的值．
如图，图中曲线是幂函数 y＝xα在第一象限的大致图像．已 知 α 取－2，－12，12，2 四个值，则相应于曲线 C1，C2，C3， C4 的 α 的值依次为( )