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k>1 0<k<1
３.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数;
K<0
幂函数图象在第一象限的分布情况：
1
0 1
思考：如何借 助幂函数在第 一象限的图像 做出完整的函 数图像？
0
四、例题研究
1、求下列幂函数的定义域,并画出其草图：
（1）y=x （3）y=x
奇函数
（-∞，0）和； （0，+∞）↘
y x 1
三、幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式 中α 的不同而各异. 思考:通过以上特例，你能归纳出幂函数的一般性质 吗？ １.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1);
２.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数;
2 5
3 4
（ 2 ） y =x
1 3
（4）y=x-2
2、已知幂函数 y f ( x )的图象过点 ( 2, 2 ), 试求出这个函数的解析 式.
3、如果函数 f ( x) (m m 1) x
2
m 2 2 m 3
是幂函数，
且在区间（ 0 ， +∞ ）内是减函数，求满足条件
形的边长 a S
1 2
y x
1 2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均
速度 V t 1 km / s
y x 1
以上问题中的函数有什么共同特征？
(1)
(2) (3) (4) (5)
y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1
（1）均是以自变量为底 的幂； （2）指数为常数； （3）自变量前的系数为1;
问题引入
我们先看几个具体问题:
yx (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她
需要支付p= w 元
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 y S xa
2 2
33 y x a (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方
（1）若(a+1)-2>(3-2a)-2，求实数a 的取值范围。 2-2m-3 m （2）已知幂函数y=x （m∈N) 的图像与x轴、y轴都没有公共点， 且关于y轴对称，求m的值。
小结
1、幂函数的定义 及图象特征? 2、幂函数的性质
记住第一象限函数图像
α>0,在(0,+∞)上为增函数;
α<0,在(0,+∞)上为减函数
判断下列函数哪几个是幂函数？
1 2 2 （1）y 3 ; (2) y 2 ; (3) y 2 x ; (4) y x 1; x 1 0 (5) y 1; (6) y ; (7) y x x
x
答案（2）（6） （7）
二、几个常见幂函数的图象和性质 在同一坐标系内画出幂函数
上述问题中涉及的函数，都是形如 y x 的函数。
新课讲解.
一般地，函数 y x 叫做幂函数 是常数. （power function），其中x是自变量，
几点说明： 1)
一.幂函数的定义
yx
中 x 前面系数是1,并且后面也没有常数项；
2)要确定一个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数 确定下来; 3)幂函数和指数函数的异同：两者都具有幂的形式，但 指数函数的自变量位于指数上，幂函数的自变量是底数.
2 3 1 2
y x, y x , y x , y x , y x
1
的图象
观察所作图象，讨论函数性质，将你发 现的结论写在P78的表格内。
y x3
y x2
yx
yx
1 2
y x 1
几个幂函数的性质:
yx
y x2
定义域
yx
y x3
值域 R
yx
1 2
的实数m的集合。
4、证明幂函数f ( x) x在[0,)上是增函数.
5、如图，幂函数 y x (i 1,2,3,4,5) 在第 一象限对应的图像分别是C1, C2 , C3 , C4 , C5 ，则 i 大 小如何排列?
i
5 4 1 2 3
课堂练习：
图象过定点(1,1)
3、思想与方法
数形结合
y x 1
单调性 公共点 增函数 (0,0),(1,1)
（-∞，0）↘； （0，+∞）↗
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
R R R
yx
2 3
y0
R
(0,0),(1,1)来自yxyx增函数 (0,0),(1,1)
(0,0),(1,1) (1,1)
1 2
x0 x0
y 0 非奇非偶 增函数 y0
