【新教材】新人教A版 高中数学必修一 幂函数 课件(37张)

在下列四个图形中，y＝x－12的图象大致是( ) 解析：选 D.函数 y＝x－21的定义域为(0，＋∞)，是减函数．
若 y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则 m＋n＝________．
解析：因为 y＝mxα＋(2n－4)是幂函数， 所以 m＝1，2n－4＝0，即 m＝1，n＝2，所以 m＋n＝3. 答案：3
已知幂函数 y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于 y 轴对 称，且在 x∈(0，＋∞)上为减函数，求满足不等式(a＋1) －m3＜ (3a－2) －m3的实数 a 的取值范围．
解：若幂函数 y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于 y 轴对称，则为偶函 数，即 m 为奇数，又在 x∈(0，＋∞)上为减函数，因而 3m－9 ＜0，即 m＜3.又 m∈N*，从而 m＝1.故不等式(a＋1) －m3＜(3a －2) －m3可化为(a＋1) －31＜(3a－2) －13. 函数 y＝x－31的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(－∞，0)与(0， ＋∞)上均为减函数，因而 a＋1＞3a－2＞0，或 0＞a＋1＞3a－2， 或 a＋1＜0＜3a－2，解得 a 的取值范围为a|a＜－1或23＜a＜32.
B．1
1 C.2
D．0
解析：选 A.因为 f(x)＝ax2a＋1－b＋1 是幂函数，所以 a＝1，－b
＋1＝0，
即 a＝1，b＝1，所以 a＋b＝2.
幂函数的图象及应用
已知幂函数 f(x)＝xα的图象过点 P2，14，试画出 f(x)的 图象并指出该函数的定义域与单调区间．
【解】 因为 f(x)＝xα 的图象过点 P2，14， 所以 f(2)＝14，即 2α＝14， 得 α＝－2，即 f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞， 0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．

收益预测
幂函数可以用于预测收益，例如产品的销售量与价格的关系。
05
总结与回顾
本章重点回顾
1 2 3
幂函数的定义
了解幂函数的定义以及形式，明确幂函数的定 义域和值域。
幂函数的性质
熟悉幂函数的单调性、奇偶性、周期性等性质 ，并能够根据这些性质进行简单的计算和推理 。
幂函数的应用
掌握幂函数在生活中的应用，如利用幂函数解 决实际问题、利用幂函数进行优化等。
总结词
理解幂函数的复合运算是提高数学运算能力的重要途径
详细描述
复合运算是指将多个函数或表达式结合起来，形成更复杂的函数或表达式。 在幂函数的学习中，我们需要通过理解幂函数的复合运算，掌握其运算规律 和技巧，提高我们的数学运算能力。
幂函数的指数运算
总结词
掌握幂函数的指数运算是学习高中数学的重要内容
详细描述
指数运算是一种特殊的运算方式，在幂函数的学习中占据着重要的地位。通过学 习和掌握幂函数的指数运算，我们可以更好地理解和应用幂函数，为后续学习对 数函数等其他数学内容打下坚实的基础。
04
幂函数的实际应用
利用幂函数解决实际问题
求解实际问题
幂函数可以用于求解实际问题，例如物理学中的光的强度、 电流、电压等，以及生物学中的细胞分裂等。
2023
高中数学必修一幂函数ppt 课件
目录
• 引言 • 幂函数概述 • 幂函数的运算性质 • 幂函数的实际应用 • 总结与回顾
01
引言
课程背景介绍
幂函数作为基本初等函数之一，是学习高等数学和其他数学 分支的基础。
在日常生活中，幂函数的应用也非常广泛，如计算增长率、 人口增长等。
课程目标与内容
03

第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)
第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)
第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)
பைடு நூலகம்
第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)
第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)
第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)
第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)

＝(x1－x2)＋2(xx21－x2x1)＝(x1－x2)(1－x12x2) ＝(x1－x2)x1xx12x－2 2.
∵00<<xx12<≤
2， 2，
∴0<x1x2<2，
返回导航 上页 下页
/人A数学/ 必修 第一册
返回导航 上页 下页
∴x1x2－2<0，x1－x2<0，x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)x1xx12x－2 2>0， 即 f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0， 2 ]上单调递减．
/人A数学/ 必修 第一册
返回导航 上页 下页
作幂函数图象的步骤
第一步：画第一象限的部分．幂函数在第一象限内的图象以下列三个函
数图象为代表：
当
α<0
时，以
y＝x-1
的图象为代表；当
0<α<1
时，以
1
y＝x2的图象为代表；
当 α>1 时，以 y＝x2 的图象为代表．
/人A数学/ 必修 第一册
返回导航 上页 下页
/人A数学/ 必修 第一册
返回导航 上页 下页
(1)[解] ①因为幂函数 y＝x0.5 在(0，＋∞)上是单调递增的，
又25>13，所以(25)0.5>(13)0.5. ②因为幂函数 y＝x-1 在(－∞，0)上是单调递减的，
又－23<－35，所以(－23)-1>(－35)-1. ③因为 y＝x13在(0，＋∞)上是单调递增的，所以(32)13>131＝1， 又 y＝x41在(0，＋∞)上是单调递增的，所以(13)41<141＝1，所以(32)13>(13)14.

∴(-3)3>(-π)3.
探究点四
幂函数性质的综合应用
【例4】 已知幂函数f(x)=
- 2 -2+3(-2<m<2,m∈Z)满足:
①f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②对∀x∈R,都有f(-x)-f(x)=0.
求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式,并求出x∈[1,4]时,f(x)的值域.
(2)函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,试确定m的
值.
解 根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;
当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.
比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比
较大小.
变式训练3 比较下列各组数的大小:
(1)
2 0.5
3 0.5
与
;
3
4
解 ∵y=x
0.5
3
在定义域上为增函数,又
4
>
2
2 0.5
3 0.5
,∴
<
.
3
3
4
(2)(-3)3与(-π)3.
解 ∵y=x3在定义域R上为增函数,又-3>-π,
值域
奇偶性
R
奇函数
在R上单
单调性
调递增
公共点 (1,1)
[0,+∞)
偶函数
奇函数
y=
既不是奇函数,
也不是偶函数
在[0,+∞)
上单调递增, 在R上单 在[0,+∞)上单

又 ln π>1>22－1212＝ 22>31， 所以 f(ln π)>f((22－1212))>f13，则 b>c>a.
考点一 幂函数的图象和性质
1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限 为六个区域，即 x＝1，y＝1，y＝x 所分区域．根据 α<0，0<α<1， α＝1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函 数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是 解题的关键．
(2)当α>0 时，幂函数 y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.( √ )
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( × )
(3)确定二次函数解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b2.( ×
(2)常见的五种幂函数的图象
i幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一 定不会出现在第四象限； ii幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的 图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
考点三 二次函数的图象及应用 补充例题 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)＝f(2－x)，若函数 y＝
m
|x2－2x－3|与 y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 xi＝

α


∴f(2)=,∴2 =,解得 α=-2,
∴f(x)=x-2.
f(x)的图象如图所示.
f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递
增区间为(-∞,0).
反思感悟
1.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四
象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第


(2)y= 的图象位于第一象限,因为函数为增函数,所以函数图




象是上升的,函数 y= -1 的图象可看作由 y= 的图象向下平


移 1 个单位长度得到(如选项 A 中的图象所示),将 y= -1 的图
象关于 x 轴对称后即为选项 B 中的图象.
答案:(1)B (2)B
探究二 幂函数的性质及其应用




对称,且在区间(0,+∞)内单调递减,求满足(2a-1) <(3-a) 的实
数 a 的取值范围.
解:∵函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴3m-9<0,解得 m<3.
又 m∈N*,∴m=1,2.
又函数图象关于 y 轴对称,∴3m-9 为偶数,故 m=1,Leabharlann -


-
-
∴有(2a-1) <(3-a) .∵y= 在区间(-∞,0),(0,+∞)内均单调递减,
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)1.13,1.23;
(2)4.8-3,4.9-3;
(3) -
-

, -
-

.
解:(1)设f(x)=x3,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,

y x 1
[0，+∞） ，0 （0，+） [0，+∞） ，0 （0，+）
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
非奇非偶 函数
奇函数
R上 单调性
公共点
在（－∞,0]
上
R上
在(0, +∞） 上
（1，1）
在(0，+∞) 在( －∞,0)，
上
(0, +∞）上
幂函数性质：
1)定点：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点 （1，1）； 当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
(2)当α∈{－1，1，1,3}时，幂函数 y＝xα的图象不可能经过第_二__、__四__象限． 2
题型三
角度1 比较幂的大小 探究问题]
1．幂函数 y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？ 提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂
2)单调性：当α ＞0时，在区间[0，+∞)上是增函数 当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数.
3)奇偶性： 当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数
题型一
1．已知幂函数 f(x)的图象过点(2,2 2)，则 f(4)的值为( )
A．4
B．8
C．2 2
[D解．析1] 设 f(x)＝xα，∴2 2＝
⑤ x3 ⑥
1
yx 2
中，是幂函数的是（①⑤⑥）
.
(2) 已知幂函数 y＝f (x)的图象过点(3， 3)，则 f (9)＝ 3 .

[教材提炼]
预习教材，思考问题
函数 f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝1x，以前叫什么函数，它们有什么共同特征？
知识梳理 (1)一般地，函数__y_＝__x_α__叫做幂函数(power function)，其中 x 是自变量， α 是常数． (2)幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数； ②底数是自变量，自变量的系数为 1； ③幂 xα 的系数为 1； ④只有 1 项．
若函数 f(x)＝(2m＋3)xm2－3 是幂函数，则 m 的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：幂函数是形如 f(x)＝xα 的函数，所以 2m＋3＝1，∴m＝－1.
答案：A
探究二 幂函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的图象
[例 2] 幂函数 y＝x2，y＝x－1，y＝ 内的图象依次是图中的曲线( ) A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3
由题意得(a＋
.
∵y＝ 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减， ∴a＋1＞3－2a＞0 或 0＞a＋1＞3－2a 或 a＋1＜0＜3－2a， 解得23＜a＜32或 a＜－1.
利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与 幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式求参数范围，注意分类讨论思想的应用．
[解析] y＝ ＝3 x2≥0，故只有 D 中的图象适合． [答案] D
3．如果一个函数 f(x)在其定义域内对任意 x，y 都满足 fx＋2 y≤12[f(x)＋f(y)]，则称这 个函数为下凸函数．下列函数：

>1.1，且y＝ 在[0，＋∞)上单调递增，
10
9
1
2
1
2
1
2
1
−2
> 1.1 ，即1.2 > 0.9
> 1.1.
多维探究
把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：
(1)
2 0.5
1 0.5
与
5
3
(2)
2 −1
−
与
3
3 −1
−
5
幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增， 幂函数y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，
思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝


x3，y＝x－1，y＝ )图象与性质的关系．
3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要根据，要
学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题.
通过本节课，
你学会了什么？
在1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离x轴简记为指大图高.
②根据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数
1
2
在第一象限内的图象类似于y＝x－1或y＝ 或y＝x3来判断.
跟踪训练
2. (1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系
中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( B )
幂函数
本
节
目
标
1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．
1
2
2．结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x－1的
图象，了解它们的变化情况．
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．
课前预习
➢ 预习课本P89～91，思考并完成以下问题