新教材高中数学第三章函数3.2.1函数的零点二次函数的零点及其与对应方程课堂检测素养达标新人教B版必

1－a2 1＋ a <x<
a1－a2}．
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②当 Δ＝0，即 a＝1 时，不等式的解集为∅.
③当 Δ<0，即 a>1 时，不等式的解集为∅.
(3)当 a<0 时，
①当 Δ>0，即－1<a<0 时，不等式的解集为{x|x<1＋ a1－a2或
1－ x>
a1－a2}．
②当 Δ＝0，即 a＝－1 时，不等式可化为(x＋1)2>0，
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①Δ>0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不同的解 x1，x2，设 x1<x2，则不等式(1)的解集为 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ，不等式
(2)的解集为 (x1，x2) ．
②Δ＝0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相同的解，设 x1＝x2， 此时不等式(1)的解集为 {x|x≠x1} ，不等式(2)的解集为
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3．若不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集为x|－12<x<2，则实数 a ＝ －2 ，实数 b＝ 3 .
解析：由题意可知－12，2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两个根且 a<0.
由根与系数的关系得－－1212＋×22＝＝－2a，ba， 解得 a＝－2，b＝3.
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先判断判别式的符号，求根，然后根据不等号的方向及首项 系数的符号写出解集，这是解一元二次不等式的基本方法，应当 熟练掌握.
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[变式训练 1] 求下列不等式的解集．
(1)2x2＋7x＋4>0; (2)－x2＋8x－3>0；
(3)2x2＋13x＋21<0; (4)－4x2＋18x－841≥0.

1．函数 f(x)＝xx＋ 2－21，，xx＜＞00，的零点为________． 解析：当 x＜0 时，x＋2＝0，则 x＝－2. 当 x＞0 时，x2－1＝0，则 x＝1，x＝－1(舍)． 所以函数 f(x)的零点为－2 和 1. 答案：－2 和 1
2．若 2 是函数 f(x)＝x2－m 的一个零点，则 m＝________． 解析：因为 2 是 f(x)＝x2－m 的一个零点，所以 4－m＝0，m＝ 4. 答案：4
(3)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有两个正根的条件为
Δ ≥0，
Δ ≥0，


x1＋x2＝－ba＞0， 有 两 个 负 根 的 条 件 为 x1＋x2＝－ba＜0， 有
x1·x2＝ac＞0；
x1·x2＝ac＞0；
一个正根一个负根的条件为 x1·x2＝ac＜0.
a＋b 的值为( )
A．14
B．－10
C．10
D．－14
(2)已知一元二次不等式 x2＋px＋q＜0 的解集为x－12＜x＜13， 求不等式 qx2＋px＋1＞0 的解集．
【解】 (1)选 D.由已知得，ax2＋bx＋2＝0 的解为－12，13，且 a＜0.所以－ 2a＝ba＝ －－1212×＋1313，，解得ab＝＝－－122，，所以 a＋b＝－14. (2)因为 x2＋px＋q＜0 的解集为x－12＜x＜13，所以 x1＝－12与 x2＝13是方程 x2＋px＋q＝0 两个实数根，
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数 f(x) ＝ax2＋bx＋c(a≠0)： (1)当 Δ＝b2－4ac__＞__0__时，方程 ax2＋bx＋c＝0 的解集中有两 个元素 x1，x2，且 x1，x2 是 f(x)的两个零点，f(x)的图像与 x 轴 有_两__个___公共点___(_x_1，__0_)___，___(_x_2_，__0_) __；

4．关于 x 的一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集是全体实数的
条件是( )
A．aΔ>>00，
B．aΔ><00，
C．aΔ<>00，
D．aΔ<<00，
D [由于不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为全体实数，所以与之相
对应的二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像恒在 x 轴下方，则有a<0， ] Δ<0.
()
(3)一次不等式的解集不可能为∅，也不可能为 R.
()
(4)对于二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 Δ＝0 时，此函数有
两个零点，对应的方程有两个相等的实数根．
()
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.函数 y＝1＋1x的零点是( )
A．(－1,0)
B．x＝－1
C．x＝1
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 函数的零点及求法 【例 1】 求函数 f(x)＝x3－7x＋6 的零点．
[解] 令 f(x)＝0，即 x3－7x＋6＝0， ∴(x3－x)－(6x－6)＝0， ∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)·(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋ 3)＝0，解得 x1＝1，x2＝2，x3＝－3， ∴函数 f(x)＝x3－7x＋6 的零点是 1,2，－3.
f(x)
＋
－＋
－
由此可以画出此函数的示意图如图．
由图可知，f(x)≥0 的解集为(－∞，－2]∪[1,2]，f(x)＜0 的解集 为(－2,1)∪(2，＋∞)．
4．解不等式：－x2x＋2＋2xx－＋36＜0. [解] 将原不等式化为xx＋ ＋32xx－ －13＞0， 即(x＋3)(x＋2)(x－1)(x－3)＞0， 各因式所对应的根分别为－3，－2,1,3，在数轴上标根并画出示 意图，如图所示． 故原不等式的解集为{x|x＜－3 或－2＜x＜1 或 x＞3}．

所示，结合图象可以看出，若 f(x)＝k 有两个不
同的实根，即函数 y＝f(x)的图象与直线 y＝k 有
两个不同的交点，k 的取值范围为(0，1)．
(2)若方程
log1(a－2x)＝2＋x 2
有解，则122＋x＝a－2x
有解，
即1412x＋2x＝a 有解，因为1412x＋2x≥1，当且仅当 x＝－1 时取 等号，故 a 的最小值为 1.
函数的零点与方程的解
要点 1 函数的零点 (1)对于函数 y＝f(x)(x∈R)，把使___f(_x_)＝__0___的实数 x 叫做函 数 y＝f(x)的零点． (2)函数的零点是确定的值，零点的函数值一定是__0___． 要点 2 方程、函数、图象之间的关系 方程 f(x)＝0 有实根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函 数 y＝f(x)有零点．
思考题 1 指出下列函数的零点．
(1)f(x)＝4x－3； (3)f(x)＝x4－1;
(2)f(x)＝1＋1x； (4)f(x)＝(lgx)2－lgx.
【解析】 函数零点就是相应方程的实数根，可用求根公式 或分解因式求解．
(1)由 4x－3＝0，得 x＝34，零点是34. (2)由 1＋1x＝0，得 x＝－1，零点是－1. (3)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， 令 f(x)＝0，得 x＝±1，∴该函数的零点为 1 和－1. (4)由(lgx)2－lgx＝0，得 lgx＝0 或 lgx＝1，∴x＝1 或 x＝10.∴ 零点是 1 和 10.
思考题 3 你能用几种方法，确定下列函数零点个数： (1)f(x)＝x2－5x＋3； (2)f(x)＝log1x＋2x－3.
2
【解析】 (1)①判别式法．Δ＝25－4×3>0，f(x)＝0 有两个 不同的根．②图象法(略)．

【类题·通】 解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零. (2)计算对应方程的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明 方程没有实根. (4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集.
【习练·破】 已知集合M={x|x2-3x-28≤0}，N={x|x2-x-6>0}，则 M∩N为 ( ) A.{x|-4≤x<-2或3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2或3≤x<7} C.{x|x≤-2或x>3} D.{x|x<-2或x≥3}
函数y= f(x)的图像
f(x)>0的解集
{x|x<x1 或x>x2}
b
{x|x≠- 2a }
R
f(x)<0的解集
{x|x1< x<x2}
⌀
⌀
【思考】 二次函数f(x)=ax2+bx+c中，二次项系数a<0时，怎样 求不等式f(x)>0或f(x)<0的解集？ 提示：对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可 以先把二次项系数化成正数，再求解；也可以画出二 次项系数为负数时的函数图像，再求解.
当x∈________________________时，f(x)=0； 当x∈________________________时，f(x)>0； 当x∈________________________时，f(x)<0.
【解析】根据图像知f(x)=0的解集是{-5，-4，2}. f(x)>0的解集是(-∞，-5)∪(-5，-4)∪(2，+∞)， f(x)<0的解集是(-4，2). 答案：{-5，-4，2} (-∞，-5)∪(-5，-4)∪(2，+∞) (-4，2)

3．2 函数与方程、不等式之间的关系
(一)教材梳理填空 (1)一般地，如果函数 y＝f(x)在实数 α 处的函数值等于_零___，
即 f(α)＝_0__，则称 α 为函数 y＝f(x)的零点．
(2)一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)： ①当 Δ＝b2－4ac_>_0_时，方程 ax2＋bx＋c＝0 的解集中有两 个元素 x1，x2，且 x1，x2 是 f(x)的两个零点，f(x)的图像与 x 轴有 两个 公共点 (x1,0)，(x2,0) ； ②当 Δ＝b2－4ac ＝0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 的解集中只 有一个元素 x0，且 x0 是 f(x)唯一的零点，f(x)的图像与 x 轴 有 一个 公共点； ③当 Δ＝b2－4ac <0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 没有实数根， 此时 f(x)无零点，f(x)的图像与 x 轴 没有 公共点．

.

2．[变条件]若将本例的条件“关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c>0 的 解集为{x|2<x<3}”变为“关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c≥0 的
解解集：是法一x：－由13≤axx≤2＋2bx＋”c．≥求0 不的等解式集为cx2x＋－bx13＋≤ax<≤0 2的 解知集a．＜0.
故所求不等式的解集为x－3＜x＜12 .
法二：由已知得 a＜0 且－13＋2＝－ba，－13×2＝ac知 c＞0， 设方程 cx2＋bx＋a＝0 的两根分别为 x1，x2， 则 x1＋x2＝－bc，x1·x2＝ac，
其中ac＝－131×2＝－32，－bc＝－acba＝－ －1313＋ ×22 ＝－52， ∴x1＝－113＝－3，x2＝12.

解:(方法一)设方程x2+x+a=0的两个根分别为x1,x2,则由题意可知
= 1-4 > 0,
1 2 = < 0,
解得a<0,所以实数a的取值范围是(-∞,0).
(方法二)令f(x)=x2+x+a,依题意知,函数f(x)有两个零点,且一个零点大于0,
一个零点小于0,
= 1-4 > 0,
所以函数f(x)的大致图象如图所示:
> 0,
(0) = -1 > 0,
则实数 a 应满足 = 4( + 1)2 -4(-1) > 0,
+1

> 0,
解得a>1,所以当a>0时,例3中的方程有两个大于零的不等实数根,此时a的
取值范围为a>1.
解决此类问题可设出方程对应的函数,根据函数的零点所在的区间分析区
下面对a进行分类讨论:
当a<0时,原方程无实数解;
当a=1时,原方程实数解的个数为3;
当0<a<1时,原方程实数解的个数为4;
当a>1或a=0时,原方程实数解的个数为2.
判断函数零点个数的三种方法
(1)利用方程的根转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)利用函数的图象.画出y=f(x)的图象,判断它与x轴交点的个数,从而判断
.
4.若函数f(x)=ax-b(b≠0)的零点是3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点
是
.
解析:∵3是f(x)=ax-b的零点,
∴3a-b=0,即b=3a.
∴g(x)=bx2+3ax=3ax2+3ax=3ax(x+1),

能力形成·合作探究 类型一 函数的零点(直观想象)
1．函数 f(x)＝xx＋ 2＋12，x－x≤30，，x>0 所有零点的集合为(
)
A．{1}
B．{－1}
C．{－1，1}
D．{－1，0，1}
【解析】选 C.由 f(x)＝xx2＋＋12，x－x≤30，，x>0， 令 f(x)＝0，当 x≤0 时，则 x＋1＝0，解得 x＝－1， 当 x>0 时，则 x2＋2x－3＝0，解得 x＝－3(舍去)或 x＝1， 综上，函数所有零点的集合为{－1，1}．
【解析】设函数 f(x)＝2x2＋5x－3， 令 f(x)＝0，得 2x2＋5x－3＝0， 即：(2x－1)(x＋3)＝0，从而 x1＝－3，x2＝12 ， 所以－3，12 是函数的零点， 所以函数 f(x)的图像如图①，与 x 轴相交于(－3，0)， 12，0 ，又因为函数 f(x)图像开口向上，
2．观察函数 y＝f(x)的图像，填空：
当 x∈________________________时，f(x)＝0； 当 x∈________________________时，f(x)>0； 当 x∈________________________时，f(x)<0.
【解析】根据图像知 f(x)＝0 的解集是：－13，－14，1，2 . f(x)>0 的解集是：－∞，－31 ∪－14，1 ∪(2，＋∞)， f(x)<0 的解集是：－13，－14 ∪(1，2). 答案：－31，－14，1，2 －∞，－13 ∪－14，1 ∪(2，＋∞) －31，－14 ∪(1，2)
【基础小测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)二次函数f(x)＝x2＋2x＋1－a2(a≠0)不一定存在零点．(

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零
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两个
＞0 (x1，0)
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