一次函数、二次函数、函数的零点

一次函数、二次函数、指数函数、对数函数一、一次函数函数(0)y ax b a =+≠叫做一次函数，当a>0时，该函数是增函数，当a<0时，该函数是减函数。

由于函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、小值一定在端点取得。

故若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈时恒为正（负），则在p 、q 处的函数值满足:f(p)、f(q)恒为正（负）；若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈上与x 轴有交点，则在p 、q 出的函数值满足f(p)、f(q)一正一负。

二、二次函数1、 一元二次函数的定义:形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数叫做一元二次函数。

2、二次函数的三种表示形式：（1） 一般式：2(0)y ax bx c a =++≠ （2） 顶点式: 2()y a x k h =++ （3） 零点式: 12()()y a x x x x h =+++ 3、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的性质（1） 定义域为R ，当a>0时，值域为 244(,)a c ba-+∞； 当a<0是，值域为 244(,)a c ba--∞ （2） 图像为抛物线，其对称轴方程为2b a -，顶点为：2424(,)b ac ba a --；（3） 当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下； （4） 当a>0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，当a<0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数（5） 当 时，该函数是偶函数，当 时，该函数是非奇非偶函数。

4、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[p,q]（p<q ）上的最值问题（以a>0为例）（1）若2b a q ≤-, 则该函数的最大值为 最小值为 （2）若22p q b a q +≤- ， 则该函数的最大值为 最小值为（3）若22p q b a p +≤-，则该函数的最大值为 最小值为（4）若2b a p - ， 则该函数的最大值为 最小值为 解决这种问题不能死记，应利用数形结合的方法来记忆，也就是抓住“三点一轴”（三点是指区间的端点和区间的中点，一轴是指对称轴。

二次函数与一次函数的比较知识点总结在数学中，函数是一种数学关系，用来描述输入和输出之间的关系。

二次函数和一次函数是常见的函数类型，它们在数学和实际问题中都具有重要的应用。

本文将对二次函数和一次函数的比较进行知识点总结。

一、函数的定义函数是一个映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

一般表示为 f(x)，其中 x 表示自变量，f(x) 表示因变量。

二、一次函数一次函数，也叫线性函数，是一个多项式函数，其最高次数是一。

一次函数的一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，k 表示斜率，b 表示y轴截距。

三、二次函数二次函数，也叫平方函数，是一个多项式函数，其最高次数是二。

二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且 a不等于零。

四、图像特征1. 一次函数的图像是一条直线，而二次函数的图像是一个抛物线。

一次函数的斜率决定了直线的趋势，二次函数的二次项决定了抛物线的开口方向。

2. 二次函数的抛物线可能开口向上或向下，具体由二次项的系数 a 的正负决定。

当 a 大于零时，抛物线开口向上；当 a 小于零时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。

对称轴的方程为 x = -b / (2a)，对称轴上的点称为抛物线的顶点。

五、零点和交点1. 一次函数的零点是使得函数值等于零的 x 值，即方程 kx + b = 0 的解 x = -b / k。

一次函数只有一个零点。

2. 二次函数的零点是使得函数值等于零的 x 值，即方程 ax^2 + bx +c = 0 的解。

二次函数可能有两个、一个或零个零点。

六、增减性1. 一次函数的增减性由斜率 k 决定。

当 k 大于零时，函数增加；当k 小于零时，函数减少。

一次函数是直线，具有恒定的增减性。

2. 二次函数的增减性由二次项系数 a 的正负决定。

当 a 大于零时，函数开口向上，增加至顶点后减少；当 a 小于零时，函数开口向下，减少至顶点后增加。

九年级数学函数知识点归纳数学函数是九年级数学学习的一个重要内容，它是研究数与数的对应关系的一种数学工具。

掌握函数的基本概念和特性对于理解和解决数学问题具有重要意义。

下面将对九年级数学函数的知识点进行归纳，帮助学生更好地理解和掌握相关概念。

一、函数的定义和符号表示函数是一种特殊的对应关系。

给定一个集合A和B，如果对集合A中的每个元素a，都有唯一地对应集合B中的一个元素b，则称此对应关系为函数，记作f：A→B。

在函数表示中，常用的符号包括：1. f(x)表示函数；其中f为函数名，x表示自变量；2. x表示自变量，它的取值范围是定义域；3. f(x)表示函数值，即自变量x经过函数f计算得到的值；4. 定义域表示自变量的所有可能取值；5. 值域表示函数值的所有可能取值。

二、一次函数一次函数也称线性函数，它的通式为f(x) = kx + b。

其中k和b 为常数，k表示斜率，b表示截距。

关于一次函数，需要掌握以下几个知识点：1. 斜率k的含义和计算方法：斜率表示函数曲线的倾斜程度，可以通过任意两点之间的纵向差值与横向差值的比值来表示。

2. 截距b的含义和计算方法：截距表示函数曲线与y轴的交点的纵坐标值。

三、二次函数二次函数是九年级数学中较为复杂的一类函数，它的通式为f(x) = ax² + bx + c。

其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

了解二次函数需要了解以下几个知识点：1. 抛物线的开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。

若a > 0，则抛物线开口向上；若a < 0，则抛物线开口向下。

2. 零点和解析式：二次函数与x轴交点的横坐标叫做零点。

解析式则是二次函数的解析表达形式，通常使用因式分解、配方法、求根公式等方法进行求解。

3. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标给出了抛物线的最高或最低点的坐标。

四、指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a为常数，且a > 0且a ≠ 1。

二次函数和一次函数的关系函数是数学中的一个重要概念，描述了数值之间的关系。

二次函数和一次函数是常见的函数类型，它们之间存在着一定的关系。

本文将探讨二次函数和一次函数的关系，以及它们在数学和实际生活中的应用。

一、二次函数的定义和特点二次函数是指函数的表达式中含有二次项的函数，一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

二次函数的图像呈现出抛物线的形状，开口方向由a的正负决定，开口向上时a>0，开口向下时a<0。

特点：1. 二次函数的对称轴垂直于y轴，表达式为x = -b/2a。

2. 二次函数的顶点即抛物线的最值点，当a>0时为最小值，当a<0时为最大值。

3. 二次函数的零点即方程f(x) = 0的解，可以通过求根公式或配方法求得。

二、一次函数的定义和特点一次函数是指函数的表达式中只含有一次项，形式为f(x) = kx + d，其中k 和 d为常数，k表示直线的斜率，d表示直线的截距。

特点：1. 一次函数的图像为一条直线。

2. 直线的斜率k表示了直线的倾斜程度，斜率大于0表示向上倾斜，斜率小于0表示向下倾斜，斜率为0时表示水平直线。

3. 直线的截距d表示了直线与y轴的交点，也就是当x=0时的函数值。

三、二次函数和一次函数的关系在二次函数和一次函数之间存在着紧密的关系。

实际上，当二次函数的a=0时，二次函数退化为一次函数。

具体而言，当a=0且b≠0，二次函数f(x) = bx + c退化为一次函数；当a=0，b=0，c≠0时，f(x) = c成为常数函数；当a=b=0时，f(x)为零函数。

另外，二次函数和一次函数在实际应用中也有联系。

例如，在物理学中，抛物线运动的轨迹可以用二次函数来描述；而直线运动可以用一次函数来描述。

在经济学中，成本和收益等关系也可以通过二次函数和一次函数来进行建模和分析。

四、二次函数和一次函数在实际生活中的应用举例1. 投射运动：当我们抛出一个物体时，物体的轨迹是一个抛物线，可以用二次函数来描述。

方法技巧专题15方程的解与函数的零点问题方程的解与函数的零点问题是数学中的一个重要概念和技巧。

解方程是数学中的基础操作，它是指找出能够满足给定条件的未知数的值。

而函数的零点则是指函数取零值的横坐标值。

本文将介绍一些常用的方法和技巧来解决方程的解与函数的零点问题。

一、一次方程与一次函数的零点问题一次方程是指形如ax + b = 0的方程，其中a、b为实数，且a≠0。

解一次方程的方法是将未知量移到一边，常数移到另一边，然后用系数除以未知量的系数，求出未知量的值。

例如求解方程2x + 3 = 0，可以将3移到等号右边，得到2x = -3，再除以2，得到x = -3/2，即方程的解为x = -3/2、而一次函数的零点则是指函数图像与x轴的交点，即函数取零值的横坐标值。

求一次函数的零点与解一次方程类似，将函数值设为0，将未知量移到一边，常数移到另一边，然后用系数除以未知量的系数，求出未知量的值。

二、二次方程与二次函数的零点问题二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a≠0。

解二次方程的方法有配方法、因式分解法和求根公式法。

配方法是指通过变形将二次方程转化为一次方程的求解过程。

例如，对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，可以通过将方程左边的二次项与右边的系数进行相互配对，然后将一次项系数的两倍加在方程左边和右边的常数项上，得到(x + 1)^2 - 1 = 0，然后再通过移项和因式分解的方法，得到(x + 2)(x + 1) = 0，进而求出方程的解为x = -2和x = -1、而二次函数的零点则是指函数图像与x轴的交点，即函数取零值的横坐标值。

求二次函数的零点与解二次方程类似，将函数值设为0，将未知量移到一边，常数移到另一边，然后通过配方法、因式分解法或求根公式法，求出未知量的值。

三、高次方程与高次函数的零点问题高次方程是指次数大于2的方程，如三次方程x^3+2x^2-x+1=0。

数学中的函数零点与方程求解技巧在数学中，函数零点以及方程的求解是重要的概念和技巧。

它们在代数、几何和应用数学中都扮演着关键的角色。

本文将探讨函数零点和方程求解的相关概念以及解题技巧。

一、函数零点函数零点指的是函数取零值的点，即函数的输入使函数的输出等于零。

函数零点也叫做函数的根，表示为f(x) = 0。

要找到函数的零点，我们需要使用一些特定的方法和技巧。

1. 解析法解析法是找到函数零点的一种常用方法。

对于一些特殊的函数，我们可以通过运用代数技巧来求解零点。

例如，对于一次函数f(x) = ax + b，其零点可以通过令ax + b = 0来求解，解得x = -b/a。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用求根公式来求解零点，即x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

2. 图像法图像法是另一个找到函数零点的常用方法。

我们可以绘制函数的图像，在坐标系中观察函数与x轴的交点，那些交点就是函数的零点。

这种方法在直观上帮助我们理解函数的性质，并且可以在一定程度上验证我们通过解析法得到的结果。

二、方程的求解技巧方程的求解是数学中的重要课题之一，也是解决实际问题的关键。

不同类型的方程有不同的求解技巧，下面我们将介绍一些常见的方程求解技巧。

1. 一元一次方程的求解一元一次方程指的是只有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。

例如，2x + 3 = 5就是一个一元一次方程。

解这种方程的常用方法是移项和消项。

我们可以通过移动所有含有未知数的项到一边，并消除方程中的常数项，最终得到未知数的值。

2. 一元二次方程的求解一元二次方程是一个最高次数为二的方程，一般形式为ax^2 + bx +c = 0。

解一元二次方程的常用方法是使用求根公式或配方法。

我们可以使用求根公式来直接求解方程的根。

如果使用配方法，我们要将方程变形为完全平方的形式，然后求解方程。

3. 线性方程组的求解线性方程组是多个含有多个未知数的方程组成的系统。

函数与方程中的根与零点的概念与计算根据数学的定义，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。

方程则是描述了两个表达式之间相等的关系。

在函数和方程的应用中，我们经常会遇到根与零点的概念。

本文将详细介绍根与零点的含义以及它们在函数与方程中的计算方法。

一、根与零点的概念1. 根的定义在函数中，根是指使得函数的值等于零的输入值。

简而言之，根是函数的解，它使得函数的取值为零。

2. 零点的定义在方程中，零点是指使得方程两边相等的解。

换句话说，零点是使得方程取值为零的横坐标值。

在函数与方程中，根与零点可以说是同义词，它们描述了使得函数值或方程两边等式成立的输入值。

二、根与零点的计算方法1. 函数中的根与零点计算对于函数而言，计算根或零点的方法取决于函数的形式。

下面以一次函数和二次函数为例，介绍它们的计算方法。

（1）一次函数的根与零点计算一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是已知常数。

要计算一次函数的根，令 f(x) = 0，然后解方程 ax + b = 0，可以得到 x 的值。

这个 x 就是一次函数的根或零点。

（2）二次函数的根与零点计算二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是已知常数。

要计算二次函数的根，可以使用求根公式或配方法。

- 求根公式：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，根的计算公式为 x= (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

将方程 f(x) = 0 代入公式中，可以得到二次函数的根。

- 配方法：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。

然后再通过提取平方根的方式得到根。

2. 方程中的根与零点计算方程中的根与零点计算依然是解方程。

根据方程的形式，选择适当的方法进行计算。

例如，对于线性方程 ax + b = 0，可以直接通过移项和除以系数 a 得到根。

初中所有函数知识点归纳函数是数学中的一种基本概念，也是初中数学中非常重要的内容。

在初中阶段，学生主要学习了一次函数、二次函数和分段函数等几种常见类型的函数，下面对这些内容进行归纳。

一、一次函数：1. 函数的定义：一次函数是指函数表达式为 y = kx + b 的函数，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。

2.函数图像：一次函数的图像是一条直线，通过其中两个点就能确定这条直线。

3.函数性质：一次函数是一个线性函数，特点是斜率恒定，即直线的倾斜度保持一致。

4.斜率：斜率是一次函数的重要特征，用来描述函数图像的倾斜程度。

二、二次函数：1. 函数的定义：二次函数是指函数表达式为 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b 和 c 是常数，且a ≠ 0。

2.函数图像：二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负确定。

3.函数性质：二次函数的最高次项是二次的，代表抛物线的弯曲程度。

4.零点和顶点：二次函数的零点即方程的根，顶点是抛物线的顶点，二次函数的顶点坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。

三、分段函数：1.函数的定义：分段函数是指在不同的区间采用不同的函数表达式来定义的函数。

2.函数图像：分段函数的图像是由不同的线段或抛物线拼接而成。

3.区间和定义域：分段函数的定义域是所有给定函数的定义域的并集，区间是定义域的数据范围。

四、函数的运算：1.函数的加减法：两个函数的加减法运算规则是将对应的x值代入函数表达式后进行运算得到对应的y值，即(f+g)(x)=f(x)±g(x)。

2.函数的乘法：两个函数的乘法运算是将对应的x值代入函数表达式后进行运算得到对应的y值，即(f*g)(x)=f(x)*g(x)。

3.函数的除法：两个函数的除法运算是将对应的x值代入函数表达式后进行运算得到对应的y值，即(f/g)(x)=f(x)/g(x)。

五、函数的应用：1.函数的问题解决：函数在数学中有很多实际应用，如利用函数关系解决实际问题，通过函数图像分析问题等。

二次函数性质总结二次函数是高中数学中经常遇到的一个函数类型，它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a不等于0。

二次函数的性质有很多，下面就逐一进行总结：一、基本性质：1. 对称性：二次函数在抛物线的顶点处有对称轴，对称轴是图像的一条垂直线。

如果二次函数是y=ax^2+bx+c，则对称轴的方程为x=-b/2a。

2. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即使f(x)=0的解。

对于y=ax^2+bx+c，可以用求根公式x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a来求解。

3. 导函数：二次函数的导函数是一次函数，即f'(x)=2ax+b。

导数可以用来研究函数的变化趋势、极值等性质。

二、图像特征：1. 开口方向：当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，称为正向抛物线；当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，称为负向抛物线。

2. 顶点坐标：对于y=a(x-h)^2+k形式的二次函数，顶点坐标为(h,k)，其中h为对称轴的横坐标，k为对称轴的纵坐标。

3. 最值：当二次函数开口向上时，最小值为顶点值；当二次函数开口向下时，最大值为顶点值。

4. 平移变换：二次函数的图像可以通过平移变换来进行位置调整，平移的方式有水平、垂直两个方向，可以通过更改常数c、h、k来实现。

三、根性质：1. 根的个数：二次函数的根的个数不会超过2个。

当判别式D=b^2-4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式D=0时，方程有两个相等的实数根；当判别式D小于0时，方程没有实数根。

2. 根的关系：如果一个二次函数有两个根x1和x2，则有以下性质：根的和x1+x2=-b/a，根的积x1x2=c/a。

3. 根的位置：根的位置与二次函数的开口方向有关。

当二次函数开口向上时，如果根存在，则根的值在顶点的两侧；当二次函数开口向下时，根的值在顶点的外侧。

四、函数变化：1. 单调性：二次函数的单调性与二次项系数a的正负有关。

二次函数和一次函数的应用解法二次函数和一次函数在数学中有着广泛的应用，可以解决许多实际问题。

本文将分别介绍二次函数和一次函数的基本概念，并通过示例说明它们的应用解法。

一、二次函数的应用解法二次函数是一个一元二次方程，其表达式形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

二次函数在现实世界中的应用广泛，例如物体运动的抛物线轨迹、距离和时间的关系等。

1. 求解二次函数的顶点二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，可以用来确定函数的最值、对称轴等信息。

要求解二次函数的顶点坐标，可以使用以下公式：x = -b / (2a)y = f(x) = ax^2 + bx + c例子：考虑函数f(x) = 2x^2 + 4x + 1，我们可以通过求解顶点坐标来分析该函数的性质。

首先，根据公式计算出x = -4 / (2*2) = -1，将该值代入函数得到y =2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -1。

因此，函数f(x)的顶点坐标为(-1, -1)。

2. 求解二次函数的零点二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，也就是函数取0的值的解。

可以使用因式分解或配方法来求解二次函数的零点。

例子：考虑函数f(x) = x^2 - 5x + 6，我们可以通过求解零点来找到函数的根。

首先，将函数进行因式分解得到f(x) = (x-2)(x-3)。

由此可知函数的零点为x=2和x=3。

二、一次函数的应用解法一次函数是一个一次方程，其表达式形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。

一次函数在现实世界中的应用非常普遍，例如直线运动的速度、收入与支出的关系等。

1. 求解一次函数的斜率一次函数的斜率描述了函数在平面上的倾斜程度。

可以使用以下公式来求解一次函数的斜率：斜率k = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1)其中，(x1, f(x1))和(x2, f(x2))为函数上两个不同点的坐标。

二次函数和一次函数的计算二次函数和一次函数是高中数学中常见的两种函数类型。

它们在数学建模、物理学、经济学等领域都有着重要应用。

本文将介绍二次函数和一次函数的计算方法，从图像、特征、性质等方面进行详细讨论。

一、二次函数的计算二次函数是一种形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，a≠0。

为了计算二次函数，我们可以通过以下几个步骤进行：1. 确定a、b、c的值：二次函数的系数a、b、c决定了函数的性质。

a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，当b=0时，二次函数在y轴上对称；c表示二次函数与y轴的交点。

2. 求顶点坐标：二次函数的顶点是函数图像的最高或最低点，其坐标可以通过公式x=-b/2a得到。

将x值代入二次函数中，即可求得顶点的y坐标。

3. 求零点：二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，即函数值等于零的点。

根据二次函数的定义，我们可以通过解一元二次方程来求得零点。

即ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式或配方法进行求解。

4. 绘制函数图像：根据确定的a、b、c的值，我们可以利用顶点坐标、零点以及对称性等信息来绘制二次函数的图像。

可以选择适当的x 值，计算得到对应的y值，然后描点连线，得到二次函数的图像。

二、一次函数的计算一次函数是一种形如y=kx+b的函数，其中k、b为常数。

计算一次函数需要以下步骤：1. 确定k、b的值：k表示一次函数的斜率，决定了直线的倾斜程度；b为截距，表示直线与y轴的交点。

2. 求与x轴交点：一次函数与x轴的交点即为函数的零点。

当y=0时，我们可以通过解一元一次方程来求得与x轴的交点，解得x的值即为一次函数的零点。

3. 求与y轴交点：一次函数与y轴的交点即为函数的截距。

当x=0时，我们可以直接计算出一次函数与y轴的交点的坐标。

4. 绘制函数图像：根据确定的k、b的值，我们可以利用与x轴交点、与y轴交点等信息来绘制一次函数的图像。

高中数学公式大全函数与方程的根与零点的计算公式高中数学公式大全：函数与方程的根与零点的计算公式一、函数的根与零点的定义在高中数学中，我们学习了函数的概念。

函数是数学中的基本概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。

函数的根与零点指的是函数取零的数值。

具体来说，当函数的取值为0时，我们称对应的自变量为函数的根或零点。

函数的根或零点在数学中具有重要意义，它们可以用于解方程、求函数的性质、构造函数图像等。

下面将介绍一些常用的函数与方程的根与零点的计算公式。

二、一次函数的根与零点的计算一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数，且a不等于0。

一次函数的根与零点可以通过求解方程ax+b=0来得到。

根据一次方程ax+b=0的解法，我们可以得到一次函数的根与零点的计算公式如下：根/零点 = -b/a三、二次函数的根与零点的计算二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b和c为常数，且a不等于0。

二次函数的根与零点可以通过求解方程ax²+bx+c=0来得到。

根据二次方程ax²+bx+c=0的解法，我们可以得到二次函数的根与零点的计算公式如下：根/零点 = (-b ±√(b²-4ac))/(2a)其中，±表示取正负两个值。

四、三次及以上次数函数的根与零点的计算对于三次及以上次数的函数，由于其通式比较复杂，我们通常使用计算工具或数值近似方法来求解根与零点。

常见的数值近似方法包括二分法、牛顿迭代法、割线法等。

这些方法可以较为准确地计算函数的零点，但需要借助计算机软件或计算器来实现。

五、其他常见函数的根与零点的计算除了一次函数和二次函数之外，我们还常见到其他类型的函数，如指数函数、对数函数、三角函数等。

不同类型的函数具有不同的计算根与零点的方法。

对于指数函数y=a^x和对数函数y=logₐx，我们可以通过观察底数a 的取值范围和指数x的取值范围来判断函数的根与零点。

一、基础知识复习：（一）一次函数：1、函数叫做一次函数（也叫线性函数），k叫做，b叫做2、一次函数的图像和性质（二）二次函数：1、函数叫做二次函数，定义域为2、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：（2）顶点式：（3）两根式：3、研究二次函数的基本方法——配方法、数形结合（图像）4、二次函数的图像和性质（三）函数零点：1、零点：如果函数()y f x=在实数α处的值，即，则叫做这个函数的零点2、函数的零点就是函数图像，也就是方程()0f x=的，求函数()f x的零点即求3、根的存在性定理：函数()y f x=在一个区间[a,b]上的图像连续不断，若()()0f a f b<，则在区间[a,b]上，存在一点，使说明：①该定理只能判断变号零点的存在，不能确定零点的个数，也无法判断不变号零点的情况②若函数()f x在区间[a,b]内单调，且()()0f a f b<，则函数在[a,b]内4、二分法求函数的零点（变号零点）：二分法的基本步骤：第一步：确定定义域的一个子区间[,]a b,验证: ，给定精确度第二步：取区间(,)a b的中点x0= ，计算判断：（1）如果，则x0就是函数的零点，计算终止；（2）如果，令b=，则零点位于区间中，（3）如果，令a=，则零点位于区间中，第三步：判断是否达到精确度，即区间端点的近似值按照给定精确度相同时，得到近似零点，计算终止，否则重复第二步。

（四）指数运算1、根式的性质：___(1,)n n N+=>∈且⎧=⎨⎩____,当n为奇数时____,当n为偶数时2、0a= （）na-= （）mna= = (0,,,ma m n Nn+>∈且为既约分数）（分数指数幂与根式互化）3、有理指数幂的运算性质：设0,0,,a bαβ>>为有理数⑴a aαβ= ⑵()aαβ= ⑶()abα=注意：指数运算最重要的是“同底运算”（五）指数函数1、定义：一般地，形如的函数叫做指数函数。

二次函数与一次函数的比较二次函数和一次函数是高中数学中常见的两类函数，二次函数是一元二次方程的图像，而一次函数则是一元一次方程的图像。

本文将通过比较二次函数和一次函数在形式、性质和应用等方面的差异，帮助读者更好地理解这两类函数并应用于实际问题中。

一、形式比较1. 二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

a称为二次项的系数，b称为一次项的系数，c称为常数项。

2. 一次函数的一般形式为：f(x) = kx + m，其中k和m都是常数，且k ≠ 0。

k称为斜率，表示函数直线的倾斜程度；m称为截距，表示函数直线与y轴交点的纵坐标。

二、性质比较1. 增减性：二次函数的增减性由二次项的系数a决定。

若a > 0，则函数图像开口向上，呈现开口向上的抛物线形状，函数值随x的增大而增大；若a < 0，则函数图像开口向下，呈现开口向下的抛物线形状，函数值随x的增大而减小。

一次函数的斜率k决定了其增减性。

若k > 0，则函数图像从左到右递增，函数值随x的增大而增大；若k < 0，则函数图像从左到右递减，函数值随x的增大而减小。

2. 平移性：二次函数和一次函数均可通过平移改变其位置。

二次函数的平移可通过调整顶点坐标来实现，平移后保持抛物线的形状不变；一次函数的平移可通过调整截距来实现，同时保持直线斜率不变。

3. 零点：二次函数和一次函数的零点分别对应方程 f(x) = 0的解。

二次函数可以有0、1或2个不同的零点，而一次函数只有一个零点。

4. 最值：二次函数具有极值，最值的位置由顶点坐标决定。

若a > 0，则抛物线的顶点是最小值点；若a < 0，则抛物线的顶点是最大值点。

而一次函数没有最值，因为其图像为一条直线。

三、应用比较1. 二次函数的应用：二次函数广泛应用于抛物线的研究、物理和工程问题中。

例如，抛物线的运动轨迹、物体的抛射高度、天桥的设计等均可以建模为二次函数来计算和分析。

函数的零点知识点总结一、函数的定义与性质1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）的规则或方法。

形式上，函数可以表示为f: X → Y，其中 X 是自变量的集合，Y 是因变量的集合，f 是一个特定的规则或方法。

1.2 函数的性质（1）定义域和值域：对于函数f: X → Y，定义域是指所有可能的自变量的取值集合，而值域是指所有可能的因变量的取值集合。

（2）单调性：函数在其定义域上的单调性描述了函数的增减规律。

一个函数可能是增函数、减函数或者不变函数。

（3）奇偶性：对于函数 f(x)，如果 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

（4）周期性：如果存在一个正数 T，使得对于任意的 x，有 f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性，T 称为该函数的周期。

（5）连续性：如果一个函数在某个区间上具有连续性，即在该区间内任意两点 x 和 y 之间都存在一点 z，使得 f(z) 介于 f(x) 和 f(y) 之间，那么该函数在这个区间上是连续的。

（6）可导性：如果一个函数在某一点处具有导数，那么称该函数在该点可导。

二、零点的概念与方法2.1 零点的定义函数的零点是指使得函数取值为零的自变量。

形式上，如果 f(a) = 0，那么 a 就是函数 f 的一个零点。

2.2 求解零点的方法对于一般的函数，其零点通常需要通过特定的方法来求解，以下是一些常用的方法：（1）代数法：对于一些简单的函数，可以通过代数运算将函数转化成方程，然后直接求解方程来得到零点。

（2）图像法：通过绘制函数的图像，可以直观地看出函数的零点。

（3）数值法：对于复杂的函数，可以通过数值计算的方法来逼近函数的零点，如二分法、牛顿迭代法等。

（4）分析法：对于一些特殊函数，可以通过数学分析的方法来得到函数的解析解。

三、常见函数的零点3.1 一次函数的零点一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是实数且a ≠ 0。

函数零点的求法一、零点概念零点，也称为根，是指一个函数上的点，使得函数输出值等于零。

求一个函数的零点，实际上就是求解方程 $f(x)=0$ 的解。

二、常见求解方法1.解析法对于一些简单的函数，可以通过解析法求出它的零点。

例如一次函数$f(x)=ax+b$，它在 $x=\\frac{-b}{a} $ 时取零，即为它的一个根。

再比如二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，可以使用求根公式得出其根的公式：$$x_{1,2}=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$这里注意，二次函数有两个根，当 $b^2-4ac>0$ 时，有两个不相等的实数根；当 $b^2-4ac=0$ 时，有两个相等的实数根；当 $b^2-4ac<0$ 时，无实数根。

2.插值法插值法是一种常见的数值计算方法，可以用于近似求解函数的零点。

常见的插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法等。

这里以拉格朗日插值法为例。

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有 $n+1$ 个节点，即$x_0,x_1,\\cdots,x_n$，且在这些节点上的函数值记为$f(x_0),f(x_1),\\cdots,f(x_n)$，则拉格朗日插值多项式可以表示为：$$L(x)=\\sum_{i=0}^{n}f(x_i)\\prod_{j\eq i} \\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$设 $L(x)=0$，则可得到 $n$ 次代数方程，其中每个方程都只包含一个未知数 $x$。

解这个代数方程组即可求出多项式的根，即函数的零点。

3.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的求解非线性方程的迭代方法，也可用于求解函数的零点。

对于函数 $f(x)$，若其在 $x_0$ 处可导且 $f'(x_0)\eq 0$，则可通过以下公式迭代求解 $f(x)=0$ 的根：$$x_{n+1}=x_n-\\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$不断迭代，直至求解精度达到要求或迭代次数达到预设值。

一次函数与二次函数的图像与性质一次函数和二次函数是数学中常见的函数类型。

它们在图像和性质上有着明显的区别。

本文将分别对一次函数和二次函数的图像及性质进行介绍。

一、一次函数的图像与性质一次函数又称为线性函数，它的表达式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a ≠ 0。

一次函数的图像是一条直线，具有以下性质：1. 斜率：一次函数的斜率代表了直线的倾斜程度。

斜率为正值时，直线向右上方倾斜；斜率为负值时，直线向右下方倾斜；斜率为零时，直线为水平线。

2. 截距：一次函数的截距代表了直线与y轴的交点。

当x=0时，直线与y轴的交点为截距b。

3. 线性关系：一次函数的图像是一条直线，表示了两个变量之间的线性关系。

直线方程中的斜率a表示了自变量x单位增加时因变量y的增加量。

二、二次函数的图像与性质二次函数的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像是一条抛物线，具有以下性质：1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是函数的根。

零点也是方程y=0的解。

3. 极值点：二次函数的极值点是指函数图像的最高点或最低点。

当抛物线开口向上时，极值点是最低点；开口向下时，极值点是最高点。

4. 对称轴：二次函数的对称轴是指抛物线的中心线，对称轴的方程为x=-b/(2a)。

对称轴把抛物线分为两个对称的部分。

5. 最值：二次函数的最值是指函数图像的最低点或最高点的纵坐标值。

总结：一次函数和二次函数在图像与性质上具有明显的区别。

一次函数的图像是一条直线，具有斜率和截距，表示了线性关系。

而二次函数的图像是一条抛物线，具有开口方向、零点、极值点、对称轴和最值等性质。

了解和掌握一次函数和二次函数的图像与性质，对于数学问题的解决和实际应用具有重要意义。