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复数的基本概念与运算复数是数学中一个重要的概念，常用于表示具有实部和虚部的数。
本文将介绍复数的基本概念与运算，并通过几个例子来说明其使用方法和性质。
1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数。
一般形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
在复平面上，可以将复数表示为复平面上的一个点，实部a对应横坐标，虚部b对应纵坐标。
2. 复数的加法复数的加法满足交换律和结合律。
对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，其和z=z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i。
实际上，复数的加法即是实部和虚部的分别相加。
3. 复数的减法复数的减法也满足交换律和结合律。
对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，其差z=z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i。
复数的减法实际上就是实部和虚部的分别相减。
4. 复数的乘法复数的乘法满足交换律和结合律。
对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，其积z=z1*z2=(a1*a2-b1*b2)+(a1*b2+a2*b1)i。
复数的乘法即是实部和虚部的线性组合。
5. 复数的除法复数的除法可以通过分子分母同时乘以共轭复数的方式进行。
对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，其商z=z1/z2=(a1*a2+b1*b2)/(a2^2+b2^2)+((a2*b1-a1*b2)/(a2^2+b2^2))i。
注意分母不能为0。
6. 复数的共轭复数的共轭即是保持实部不变而虚部取负数的操作。
对于一个复数z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi。
复数和其共轭的乘积等于复数的模的平方。
7. 复数的模复数的模表示复数到原点的距离，也可以看成是复数在复平面上的长度。
对于一个复数z=a+bi，其模|z|等于√(a^2+b^2)。
8. 复数的幂运算复数的幂运算与实数的幂运算类似，可以通过指数的乘法法则进行计算。
对于一个复数z=a+bi和正整数n，其幂运算z^n等于以z为边长的正n角形所对应的复数。
复数的基本概念与运算例题和知识点总结一、复数的基本概念复数是指形如＄a ＋ bi$ 的数，其中＄a$ 和＄b$ 都是实数，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
在复数＄a ＋ bi$ 中，＄a$ 被称为实部，记作＄Re(z)＄；＄b$ 被称为虚部，记作＄Im(z)＄。
当＄b ＝ 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就变成了实数＄a$；当＄a ＝0$ 且＄b ＼neq 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就被称为纯虚数。
复数的模长定义为：对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，其模长为＄｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。
复数的辐角定义为：以＄x$ 轴正半轴为始边，向量＄＼overrightarrow{OZ}＄（其中＄O$ 为原点，＄Z$ 为复数＄z ＝ a ＋bi$ 对应的点）为终边的角＄＼theta$ 叫做复数＄z$ 的辐角。
二、复数的运算（一）复数的加法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的和为：＄z_1 ＋z_2 ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i$ 。
例如：＄z_1 ＝ 2 ＋ 3i$，＄z_2 ＝ 1 2i$，则＄z_1 ＋ z_2 ＝（2 ＋1) ＋（3 2)i ＝ 3 ＋ i$ 。
复数加法满足交换律和结合律，即＄z_1 ＋ z_2 ＝ z_2 ＋ z_1$，＄（z_1 ＋ z_2) ＋ z_3 ＝ z_1 ＋（z_2 ＋ z_3)＄。
（二）复数的减法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的差为：＄z_1 z_2 ＝（a c) ＋（b d)i$ 。
例如：＄z_1 ＝ 5 ＋ 4i$，＄z_2 ＝ 2 i$，则＄z_1 z_2 ＝（5 2) ＋（4 ＋ 1)i ＝ 3 ＋ 5i$ 。
（三）复数的乘法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的乘积为：＼＼begin{align}z_1z_2&＝（a ＋ bi)（c ＋ di)＼＼＆＝ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2\＼＆＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 3 ＋ 2i$，＄z_2 ＝ 1 ＋ 4i$，则＼＼begin{align}z_1z_2&＝（3 ＋ 2i)（1 ＋ 4i)＼＼＆＝3 ＋ 12i ＋ 2i ＋ 8i^2\＼＆＝3 ＋ 14i 8\＼＆＝－5 ＋ 14i＼end{align}＼（四）复数的除法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$（＄c ＋ di ＼neq 0$），则它们的商为：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＼＼＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 6 ＋ 8i$，＄z_2 ＝ 2 ＋ 2i$，则＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{6 ＋ 8i}｛2 ＋ 2i}＼＼＆＝＼frac{（6 ＋ 8i)（2 2i)｝｛（2 ＋ 2i)（2 2i)｝＼＼＆＝＼frac{12 12i ＋ 16i 16i^2}｛4 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{28 ＋ 4i}｛8}＼＼＆＝＼frac{7}｛2} ＋＼frac{1}｛2}i＼end{align}＼三、复数运算的例题例 1：计算＄（2 ＋ 3i) ＋（4 5i)＄解：原式＄＝（2 ＋ 4) ＋（3 5)i ＝ 6 2i$例 2：计算＄（3 2i) （1 ＋ 4i)＄解：原式＄＝（3 1) ＋（－2 4)i ＝ 2 6i$例 3：计算＄（1 ＋ 2i)（3 4i)＄解：＼＼begin{align}＆（1 ＋ 2i)（3 4i)＼＼＝＆3 4i ＋ 6i 8i^2\＼＝＆3 ＋ 2i ＋ 8\＼＝＆11 ＋ 2i＼end{align}＼例 4：计算＄＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＄解：＼＼begin{align}＆＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＼＼＝＆＼frac{（2 ＋ 3i)（1 ＋ i)｝｛（1 i)（1 ＋ i)｝＼＼＝＆＼frac{2 ＋ 2i ＋ 3i ＋ 3i^2}｛1 i^2}＼＼＝＆＼frac{－1 ＋ 5i}｛2}＼＼＝＆＼frac{1}｛2} ＋＼frac{5}｛2}i＼end{align}＼四、复数在几何中的应用复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应＄x$ 轴坐标，虚部对应＄y$ 轴坐标。
复数是什么
复数的概念：
形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：
复数通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：
（1）复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi（a、b∈R）可用点Z （a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
（2）复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合
是一一对应关系，即
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，
复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几
何表示方法。
第十五章 数系的扩充与复数的引入-—H复数代数形式的四则运算第1讲复数的的概念 ★知识梳理★ 1. 复数的定义：形如a+b i （a ，b忘R ）的数叫复数，a 叫复数的实部，b叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示2.复数的代数形式：复数通常用字母z 表示，即z= a+bi （a,b 迂R ），把复数表示成a + bi 的形式，叫做复数的代数形式 3 .复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数a+ b i （a,b匚R ），当且仅当b=时,复数a+bi （a ，b<^R ）是实数a ；当b =0时，复数z = a +3叫做虚数；当a-O 且b^O 时, z=bi 叫做纯虚数；当且仅当 a=b=O 时，z 就是实数0”已止实数 是实数H 上M 实数0上史负实数■■空^非纯虚数的虚数4 •复数集与其它数集之间的关系：N冋Z Q 冋R C5. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数知识网络复数的概念」复数的几何意义T 复数加减运算的几何意复数a+ bi相等•这就是说，如果a , b, c , d ^R ，那么a+ bi =c +di = a=c ,b=d6. 复数的模：设oz =a +bi ，则向量oz 的长度叫做复数a+bi 的模(或绝对值)，记作(2)Z1 +Z2| = |Z2 +Z1 ；7 .共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数★重难点突破★ 1.重点：理解并掌握复数的有关概念 (复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复 数相等).2. 难点：复数的有关概念的应用3. 重难点：. (1)复数与实数的区别. 问题1: (1)若 ,则Z-0⑵若乙，Z2 匚C,且Z1— Z 2 >■ 0，则 Z ^ > Z2(3)若 a >b，贝y a 州〉b+ i(2) 认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(3) 把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的 前提条件.2 2 正解：(1)错，反例设zR 则Z=「=-1<0⑵错，反例设乙=2+「，，满足Z1，但不能比较大小.(3)错，寫alb ，二a ，b亡R ，故a + i , b + i 都是虚数，不能比较大小(2)正确理解复数的相关概念a + biZ = a +bi (1)/~2 , . 2=V a +bZ l Z 2l Z 2| •判断下列命题是否正确点拨: 确的(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而 (1)是正.2Z l Z 2问题2:两个共扼复数的差是( )★执占考 r 八、、 八、、 V考点一：复数的概念 题型1.考查基本概念 ［例1］(广东省四校联合体第一次联考 ) 下面四个命题 (1) 0比斗大(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 (3) x +yi R+i 的充要条件为x = y 二1(4)如果让实数a 与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是(［解题思路］:抓住基本概念，以概念为辨析的依据。
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
复数的概念及复数的几何意义复数是数学中一种特殊的数形式，由实数和虚数组成。
在复数形式中，虚数单位i满足i²=-1、一个典型的复数可以表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
复数的几何意义可以通过使用复平面来解释。
复平面是由实数轴和虚数轴组成的平面，将复数表示为平面上的点。
实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
根据这个表示法可以将复数表示为平面上的点。
实部和虚部可以是任意实数，因此复数在平面上可以表示为平面上的任意点。
平面上的坐标点(a,b)对应于复数a+bi。
平面上的原点(0,0)对应于复数0，纵坐标为0的点(0,b)对应于纯虚数bi，而横坐标为0的点(a,0)对应于纯实数a。
复数的运算可以通过在复平面上进行向量运算来实现。
两个复数的加法就是将两个向量叠加在一起，而减法就是将一个向量从另一个向量中减去。
乘法可以通过将复数旋转和缩放来实现。
复数的模可以用勾股定理推导得出：对于复数a+bi，它的模等于√(a²+b²)，表示为，a+bi。
模是复数的长度或距离原点的距离。
两个复数的模的乘积等于它们的乘积的模，即，a+bi， * ，c+di， = ，(a+bi)(c+di)。
复数的共轭是将虚部取负得到的，即a-bi是复数a+bi的共轭。
共轭复数在复平面上呈镜像关系，共轭对称于实轴。
复数的实部是自身的共轭，虚部取负是自身的共轭。
通过使用复数，可以解决许多实数范围内无法解决的问题。
例如，求根公式中的虚数单位i是由复数域推导而来。
复数也广泛应用于工程学、物理学和信号处理等领域。
实际上，电路和信号可以使用复数进行建模和分析。
总之，复数是数学中重要的概念之一，它由实数和虚数组成，并可以通过复平面表示。
复数的几何意义在于将复数表示为平面上的点，实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
复数可以进行向量运算，包括加法、减法、乘法和取共轭。
复数的模是其到原点的距离，模的乘积等于乘积的模。
复数的共轭是虚部取负得到的。
复数的定义是什么复数有哪些性质复数的定义是指一个词语表示或引用两个或两个以上的人、事物或概念的语法形式。
在英语中，复数通常是通过在名词后面添加“-s”或“-es”来表示，例如cat（猫）变成cats（猫们）。
复数有以下几个性质：1. 数量表示：复数用来表示多于一个的事物。
当我们需要描述一组人或物体时，复数形式的名词很有用。
例如，当我们提到多个苹果时，我们可以说“apples”。
2. 代词使用：当我们在句子中使用复数名词时，我们需要使用复数代词来取代它们。
例如，当我们提到一群学生时，我们可以用“they”来替代称呼他们，而不是使用单数代词“he”或“she”。
3. 谓语一致：如果一个句子的主语是复数名词，则谓语动词也必须用复数形式。
这意味着动词的形式要与名词的数量相匹配。
例如，当主语是“cats”时，动词应该是复数形式的“are”，而不是单数形式的“is”。
4. 描述性的词语：用于描述复数名词的形容词和限定词也要用复数形式。
这是为了保持名词和修饰词之间的一致性。
例如，在描述一群高大的人时，我们会说“tall people”，而不是“tall person”。
5. 复数形式的变化：复数名词的形式变化有时涉及到除了“-s”或“-es”之外的其他形式变化规则。
例如，当名词以“-y”结尾时，通常将“-y”变成“-ies”。
例如，baby（宝宝）变成babies（宝宝们）。
6. 不可数名词的例外：一些名词在英语中没有复数形式，它们被称为不可数名词，因为它们表示的是无法分割或计量的事物。
例如，水（water）和爱（love）是不可数名词，它们不需要使用复数形式。
复数在英语语法中起着重要的作用，它们使我们能够清楚地表达多个事物。
通过正确理解复数的定义和性质，我们可以更好地运用英语表达自己的意思。
复数是由实数和虚数部分组成的数。
实数部分和虚数部分可以写成一对有序实数(x, y)，其中x是实数部分，y是虚数部分。
复数常用形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的基本概念：1.实数部分和虚数部分：复数可以表示为实数部分和虚数部分的和。
实数部分表示复数在实轴上的位置，虚数部分表示复数在虚轴上的位置。
2.纯虚数和实数：如果一个复数的实数部分为0，则该复数为纯虚数。
纯虚数可以表示为bi，其中b为非零实数。
3.共轭复数：如果一个复数的实数部分保持不变而虚数部分的符号取相反数，得到的复数称为原复数的共轭复数。
共轭复数可以表示为a-bi。
复数的运算：1.加法：两个复数相加可以将它们的实数部分相加，虚数部分相加。
例如(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
2.减法：两个复数相减可以将它们的实数部分相减，虚数部分相减。
例如(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
3.乘法：两个复数相乘可以使用分配律和i^2=-1。
例如(a+bi)(c+di) =(ac-bd) + (ad+bc)i。
4.除法：两个复数相除可以使用乘法的逆运算。
具体步骤是将除数的共轭复数乘以被除数，并将结果除以除数的模的平方。
例如(a+bi) / (c+di) = [(a+bi) * (c-di)] / (c^2+d^2) = [(ac+bd) + (bc-ad)i] /(c^2+d^2)。
复数运算的性质：1.加法和乘法满足交换律和结合律。
2.乘法满足分配律。
3.共轭复数的和等于两个复数的和的共轭。
4.除数和商的共轭等于被除数的共轭。
复数的应用：1.在物理学中，复数用于描述波的振幅和相位，如电磁波传播。
2.在工程学中，复数用于描述电路中的交流信号，如频率和相位差。
3.在数学分析中，复数用于解析几何和向量运算。
4.在计算机科学中，复数用于图像处理和信号处理。
总结起来，复数的基本概念包括实数部分和虚数部分，复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
一、考点、热点回顾1. 复数的有关概念 （1）复数① 定义：形如 a ＋ bi （ a ， b ∈ R ）的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i 2＝－ 1. ② 表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z ＝ a ＋bi （ a ，b ∈ R ），这一表示形式叫做复数的代数形式 .a 叫做复 数 z 的实部， b 叫做复数 z 的虚部 .注意：复数 m ＋ni 的实部、虚部不一定是 m 、 n ，只有当 m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部 . （ 2）复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集 . ②表示：通常用大写字母 C 表示 .2. 复数的分类实数（ b ＝0）2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3. 复数相等的充要条件设 a 、 b 、 c 、 d 都是实数，则 a ＋bi ＝c ＋di? a ＝c 且 b ＝d ，a ＋bi ＝0?a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）的形式，即分离实部和虚 部.2）只有当 a ＝c 且 b ＝d 的时候才有 a ＋bi ＝c ＋di ，a ＝ c 和 b ＝d 有一个不成立时，就有 a ＋bi ≠c ＋ di.3）由 a ＋ bi ＝ 0，a ，b ∈R ，可得 a ＝0 且 b ＝ 0. 4.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 .实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 .6.复数的模复数 z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）对应的向量为 O →Z ，则O →Z 的模叫做复数 z 的模，记作 |z|，且 |z|＝ a 2＋b 2. 注意：复数 a ＋bi （a ， b ∈R ）的模 |a ＋ bi|＝ a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以 比较大小 .考点一、复数的概念 例 1、下列命题：①若 a ∈ R ，则（ a ＋1）i 是纯虚数； ②若 a ，b ∈R ，且 a>b ，则 a ＋i>b ＋ i ；复数1）复数 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）虚数（ b ≠0）纯虚数 a ＝ 0 非纯虚数5.复数的两种几何意义 （ 1）复数 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）一一对应←一―一对―应→复平面内的点Z （a ，b ） 一一对应←―平面向量 O →Z.典型例题③若（ x2－ 4）＋（ x2＋3x＋ 2）i 是纯虚数，则实数 x＝±2；④实数集是复数集的真子集 .其中正确的是（ ） A. ① B.② C.③ D.④【解析】 对于复数 a ＋bi （a ，b ∈R ），当 a ＝0且 b ≠0 时，为纯虚数 .对于① ，若 a ＝－ 1，则（ a ＋1）i 不 是纯虚数，即 ①错误.两个虚数不能比较大小，则 ②错误.对于 ③，若 x ＝－2，则 x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时 （x 2－4）＋（ x 2＋3x ＋2）i ＝0，不是纯虚数，则 ③错误 .显然，④正确 .故选 D.【 答案】 D 变式训练 1、 1.对于复数 a ＋ bi （ a ，b ∈R ），下列说法正确的是（ A. 若 a ＝0，则 a ＋bi 为纯虚数B. 若 a ＋（ b －1）i ＝3－2i ，则 a ＝ 3，b ＝－ 2C. 若 b ＝0，则 a ＋bi 为实数D. i 的平方等于 1 解析： 选 C.对于 A ，当 a ＝0 时， a ＋bi 也可能为实数； 对于 B ，若 a ＋（ b － 1） i ＝ 3－ 2i ， 对于 D ，i 的平方为－ 1.故选 C.2. 若 4－3a －a 2i ＝a 2＋4ai ，则实数 A.1 C.－4 4 － 3a ＝ a 2，解析： 选 C.易知 2 解得－a 2＝4a ， 考点二、复数的分类例 2、已知 m ∈R ，复数 z ＝m （m ＋2）m －1（1）z 为实数？（ 2）z 为虚数？（ 3） z 为纯虚数？则 a ＝3，b ＝－ 1；a 的值为（ ） B.1 或－ 4D.0 或－ 4 a ＝－ 4. （m 2＋2m －3）i ，当 m 为何值时，解】 2） 要使1）要使 z 为实数， m 需满足 m 2＋2m －3＝0，且 m （ m ＋ 2）有意义，即 m －1≠0，解得 m ＝－3. m －1 z 为虚数， m 需满足 m 2＋ 2m － 3≠ 0，且m （ m ＋ 2）有意义，即 m －1≠ 0，解得 m ≠1 且m ≠－3. m －13） 要使z 为纯虚数， m 需满足m （ m ＋ 2）变式训练 2、 当实数 m 为何值时，复数 纯虚数；（ 2）实数 . ＝0，且 m 2＋2m －3≠0，解得 m ＝0 或－ 2. m －1lg （ m 2－ 2m － 7）＋（ m 2＋ 5m ＋ 6） i 是解：（1）复数 lg （ m 2－ 2m － 7）＋ m 2＋5m ＋6）i 是纯虚数，则lg 2（m2－2m －7）＝0，m 2＋ 5m ＋6≠0，解得 m ＝ 4.m2－2m －7>0 ，2）复数 lg （ m 2－ 2m － 7）＋（ m 2＋ 5m ＋ 6） i 是实数，则 m 2＋5m ＋6＝0，解得 m ＝－ 2 或 m ＝－ 3.考点三、复数相等 例 3、（ 1） 3） 若（ x ＋y ）＋ yi ＝（ x ＋1）i ，求实数 x ，y 的值；已知 a 2＋（m ＋2i ）a ＋2＋mi ＝0（m ∈R ）成立，求实数 a 的值； 若关于 x 的方程 3x 2－ a 2x － 1＝（ 10－ x － 2x 2）求实数 a 的值 . x ＋y ＝0， 解】 （ 1）由复数相等的充要条件，得解得 y ＝x ＋1， 1 x ＝－ 2， 2）因为 a ，m ∈ R ，所以由 a 2＋ am ＋2＋（ 2a ＋m ）i ＝ 0，可得 1y ＝12. a 2＋ am ＋2＝0， 2a ＋ m ＝0，解得a m ＝＝－22，2或 a ＝－ 2， m ＝ 2 2， 所以 a ＝ ± 2.（ 3）设方程的实根为 x ＝ m ，则原方程可变为 3m 2－a 2m －1＝（ 10－m －2m 2） i ，2a3m 2－m － 1＝0， 712 解得 a ＝ 11 或－ 71. 25 10－ m － 2m 2＝ 0，考点五、复数与复平面内的向量例 5、（1）已知 M （1，3），N （4，－1），P （0，2），Q （－4，0），O 为复平面的原点，试写出 O →M ，O →N ，O →P ， O →Q 所表示的复数；（ 2）已知复数 1，－ 1＋2i ，－ 3i ，6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；（ 3）在复平面内的长方形 ABCD 的四个顶点中，点 A ，B ，C 对应的复数分别是 2＋3i ，3＋2i ，－ 2－3i ，求 点 D 对应的复数 .【 解】 （ 1）O →M 表示的复数为 1＋ 3i ； O →N 表示的复数为 4－i ； O →P 表示的复数为 2i ； O →Q 表示的复数为－ 4.（2）复数 1 对应的向量为 O →A ，其中 A （1，0）；复数－ 1＋2i 对应的向量为 O →B ，其中 B （－ 1，2）； 复数－ 3i 对应的向量为 O →C ，其中 C （0，－ 3）；复数 6－7i 对应的向量为 O →D ，其中 D （6，－7）. 如图所示 .所以 变式训练所以所以3、已知 A ＝｛1，2，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i ｝，B ＝｛－1，3｝，A ∩B ＝｛3｝ ，求实数 a 的值. 由题意知， a 2－ 3a － 1＋ a 2－ 3a － 1＝ 3 ， a 2－ 5a － 6＝ 0 ， a ＝－ 1.a 2－5a －6）i ＝3（a ∈R ）， a ＝ 4或 a ＝－ 1， 即 考点四、复数与复平面内的点例 4、已知复数 z ＝（ a 2－ 1）＋ 的值（或取值范围） .（ 1）在实轴上； （ 2）在第三象限 .【 解】 （ 1 ）若对应的点在实轴上，则有12a －1＝ 0，解得 a ＝ 2.（ 2）若 z 对应的点在第三象限，则有 a 2 －1<0 ， 1解得－ 1<a<1.故 a 的取值范围是 － 1， 2a － 1<0. 2变式训练 4、求实数 a 取什么值时，复平面内表示复数（ 1）位于第二象限；（ 2）位于直线 y ＝ x 上 .解： 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 a 2－ 3a ＋ 2） .（ 1）由点 Z 位于第二象限，得 a 2＋a －2<0，2 解得－ 2<a<1. a 2－3a ＋2>0，故满足条件的实数 a 的取值范围为（－ 2，1）.2a －1）i ，其中 a ∈R.当复数 z 在复平面内对应的点 Z 满足下列条件时，求 a 1 2.z ＝a 2＋a －2＋（ a 2－3a ＋2）i z ＝a 2＋a －2＋（ a 2－3a ＋ 2）i 的点就是点 Z （ a 2＋a －2，解析： 3－ 3i 对应向量为（ 3，－ 3），与 x 轴正半轴夹角为 30°，顺时针旋转 60°后所得向量终点在 y 轴 负半轴上，且模为 2 3.故所得向量对应的复数是－ 2 3i.答案： － 2 3i 考点六、复数的模例 6、（ 1）设（ 1＋i ）x ＝1＋yi ，其中 x ，y 是实数，则 |x ＋ yi|＝（ ）A.1B. 2C. 3D.2（ 2）已知复数 z 满足 z ＋|z|＝2＋8i ，求复数 z.【 解】 （1）选 B.因为 x ＋ xi ＝ 1＋ yi ，所以 x ＝ y ＝1， 所以 |x ＋yi|＝|1＋i|＝ 12＋12＝ 2.（ 2）法一： 设 z ＝a ＋bi （ a ，b ∈R ），则 |z|＝ a 2＋ b 2 ， 代入原方程得 a ＋ bi ＋ a 2＋b 2＝2＋ 8i ， a ＋ a 2＋ b 2＝ 2， 根据复数相等的充要条件，得 ＋ 解得b ＝8， 所以 z ＝－ 15＋ 8i. 法二： 由原方程得 z ＝2－|z|＋8i （* ）. 因为|z|∈R ，所以 2－|z|为 z 的实部， 故 |z|＝ （ 2－|z|）2＋82， 即|z|2＝4－4|z|＋|z|2＋64，得 |z|＝17. 将|z|＝17代入（ *）式得 z ＝－ 15＋8i. 变式训练 6、已知复数 z ＝ 3＋ ai （ a ∈ R ），且 |z|<4，求实数 解：法一： 因为 z ＝3＋ ai （a ∈ R ），所以 | 由已知得 32＋ a 2<4 2，所以 a 2<7，所以 a ∈ 法二：由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以 4为半径的圆内（不包括边界） ，由 z ＝3＋ ai 知z 对应的点在直线 x ＝ 3 上，所以线段 AB （除去端点）为动点 Z （3，由图可知－ 7<a< 7.三、课后练习1.若(x+y)i=x-1(x,y ∈R),则 2x+y 的值为 ( )A. B.2 C.0 D.1 解析 :由复数相等的充要条件知 ,x+y ＝０，ｘ－１＝０ 故 x+y=0. 故 2x+y =2 0=1. 答案 :D则A →D ＝（x －2，y －3），B →C ＝（－ 5，－5）. → → x － 2＝－ 5， 由题知， A →D ＝B →C ，所以 即 x ＝－ 3，故点 D 对应的复数为－ 3－ 2i.变式训练 5 、在复平面内，把复数 3－ 3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3 ，所得向量对应的复a ＝－15， b ＝ a 的取值范围 . ＝ 32 ＋a 2，－ 7，2.已知集合 M={1,2,(m 2-3m-1)+(m 2-5m-6)i},N={-1,3}, 且 M∩ N={3}, 则实数 m的值为 ( )A.4B.-1C.-1 或 4D.-1 或 6 解析 :由于 M∩N={3} ,故 3∈M, 必有 m2-3m-1+(m 2-5m-6)i=3, 所以得 m=-1.答案 :B3. _______________________________________________________________ 给出下列复数 :①-2i,②3+,③8i2,④isin π⑤,4+i;其中表示实数的有 (填上序号 ) __________ .解析 :②为实数 ;③8i2=-8 为实数 ;④i · sin π =0为·实i=数0 ,其余为虚数 .答案 :②③④4.下列复数模大于 3,且对应的点位于第三象限的为 ( )A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i 解析 :A 中 |z|=<3;B 中对应点 (2,-3) 在第四象限 ;C 中对应点 (3,2)在第一象限 ;D 中对应点 (-3,-2) 在第三象限,|z|=>3.答案 :D5.已知复数 z满足 |z|2-2|z|-3=0,则复数 z对应点的轨迹为 ( ) A.一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆解析 :∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0, ∴|z|=3,表示一个圆 ,故选 A.答案 :A6. _______________________________________________________ 已知在△ABC 中 ,对应的复数分别为 -1+2i,-2-3i, 则对应的复数为______________________________ .解析 : 因为对应的复数分别为 -1+2i,-2-3i,所以 =(-1,2),=(-2,-3). 又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5), 所以对应的复数为 -1-5i.答案 :-1-5i7.在复平面内 ,若复数 z=(m2-m-2)+(m 2-3m+2)i 的对应点 ,(1) 在虚轴上 ,求复数 z;(2)在实轴负半轴上 ,求复数 z. 答案 :(1) 若复数 z 的对应点在虚轴上 ,则 m2-m-2=0, 所以 m=-1或 m=2. 此时 z=6i 或 z=0.(2)若复数 z 的对应点在实轴负半轴上 ,则 m2-3m+2=0，m2-m-2<0,∴m=1能力提升8. _____________________________________________________ 若复数 z=cos θ +(-msin -θcosθ )i为虚数 ,则实数 m 的取值范围是________________________ .解析 :∵z 为虚数 ,∴ m-sin θ-cosθ≠ 0,即 m ≠ sin θ+cos θ.∵ sin θ +cos ∈θ[ - 2 , 2 ], ∴ m ∈ (-∞,- 2 )∪( 2 ,+ ∞). 答案 :(-∞,- 2 )∪( 2 ,+ ∞)9. _____________________________________________________ 若复数 (a 2-a-2)+(|a-1|-1)i(a ∈ R)不是纯虚数 ,则 a 的取值范围是 ________________________解析 :若复数为纯虚数 ,则有 a 2-a-2=0,|a-1|-1≠0 即 a=-1. 故复数不是纯虚数时 a ≠-1. 答案 :{a|a ≠-1} 10. _______________________________________________________ 已知向量与实轴正向夹角为 135°,向量对应复数 z 的模为 1,则 z= _________________________________ .解析 :依题意知 Z 点在第二象限且在直线 y=-x 上 , 设 z=-a+ai(a>0).1∵ |z|=1,∴ a 2= .而 a>0,2∴ a=22 答案 :z= i2211. ___________________________________ 已知复数 z 满足 z+|z|=2+8i, 则复数 z= . 解析 :设 z=a+bi(a,b ∈R), 则 |z|= a 2b2 ,代入方程得 ,a+bi+ a 2b 2= 2+8i,∴解得 a=-15∴ z=-15+8i. 答案 :-15+8i12. 已知 M= {1,(m 2-2m)+(m 2+m-2)i}, P={ -1,1,4i}, 若 M ∪ P=P ,求实数 m 的值. 解析 :M ∪P=P,∴M?P,即 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=-1 或 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=4i. 由 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=-1, 得解得 m=1;由 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=4i,解得 m=2. 综上可知 m=1 或 m=2. 答案 :m=1 或 m=213. 已知复数 z=2+cos θ +(1+sin θ∈)iR( ), θ试确定复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线 解析 : 设复数 z=2+cos θ +(1+sin θ对)i 应的点为 Z(x,y), 则 x=2+cos θ ,y=1+sin θ 即 cos θ =-x2,sin θ =-1y 所以 (x-2)2+(y-1) 2=1.∴z22所以复数 z 在复平面内对应点的轨迹是以 (2,1)为圆心 ,1 为半径的圆答案 :复数 z在复平面内对应点的轨迹是以 (2,1)为圆心 ,1为半径的圆14．已知复数 z＝ m(m－ 1)＋ (m2＋ 2m－3)i( m∈ R )．(1)若 z 是实数，求 m 的值；(2)若 z是纯虚数，求 m 的值；(3)若在复平面 C 内， z所对应的点在第四象限，求答案 : (1)∵z 为实数，∴m2＋2m－3＝0，解得 m＝－(2)∵z 为纯虚数，m m－ 1 ＝0 ， m2＋ 2m－ 3≠0.m 的取值范围．解得 m＝ 0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，m m－ 1 >0 ，∴ 2解得－ 3<m<0. m2＋ 2m－ 3<0.。
复数的有关概念1. 复数的定义复数是数学中的一个重要概念，用于表示实数以外的数。
复数由实部和虚部组成，可以用 a + bi 的形式表示，其中 a 和 b 均为实数，i 表示虚数单位，满足 i^2 = -1。
在复数中，a 表示实部，b 表示虚部。
2. 复数的运算与实数类似，复数也可以进行加、减、乘、除运算。
下面分别介绍这些运算的具体定义：2.1 加法和减法复数的加法和减法可以通过实部和虚部的分别相加或相减来完成。
例如，对于复数 a + bi 和 c + di，它们的加法和减法分别为： - 加法：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i - 减法：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2.2 乘法复数的乘法可以通过实部和虚部的运算来完成。
例如，对于复数 a + bi 和 c + di，它们的乘法为：(a + bi) * (c + di) = (a * c - b * d) + (a * d + b * c)i2.3 除法复数的除法可以通过乘以共轭复数并除以模的平方来完成。
例如，对于复数 a + bi 和 c + di，它们的除法为：(a + bi) / (c + di) = [(a * c + b * d) / (c^2 + d^2)] + [(b * c - a * d) / (c^2 + d^2)] * i3. 复数的性质复数具有一些特殊的性质，下面列举其中几个重要的性质：3.1 共轭复数对于复数 a + bi，它的共轭复数为 a - bi。
共轭复数的实部相同，虚部相反。
例如，对于复数 3 + 4i，它的共轭复数为 3 - 4i。
3.2 模复数的模可以表示为复数到原点的距离，记作 |a + bi|。
模的计算公式为：|a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)3.3 幂运算复数的幂运算可以根据指数法则来进行计算。
4．1复数的概念i=-;1.虚数单位i:它的平方等于-1，即212. i与－1的关系:i就是方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i!3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14.复数的定义：形如z=(,)+∈的数叫复数，a叫复数a bi ab R的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d7. 复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.应用举例：1.请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？2.复数－2i +3.14的实部和虚部是什么？3.实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？4.已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.5.已知(3x+2y)+(5x－y)i=17－2i,其中x，y∈R，求x与y.6.已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝，则实数m的值为( )A.－1B.－1或4C.6D.6或－17.用复平面坐标表示下列各复数：（1）2+5i （2）－3+2i（3）2－4i （4）－3－i（5）5 （6）－3i8.求复数z=－5－12i 在复平面内对应的点到原点的距离9.实数m 为何实数时，复平面内表示复数2()()i 14z m m =+－－ 的点位于直线310x y -+=。
复数的基本概念与运算复数是数学中的一种扩展概念，可以表示为实部与虚部之和的形式。
在复数的定义中，虚部使用虚数单位i来表示，i满足i²=-1。
本文将介绍复数的基本概念、表示形式以及常见的复数运算。
一、复数的定义与表示形式复数由实部与虚部组成，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。
实部与虚部都是实数。
例如，2+3i就是一个复数。
其中实部是2，虚部是3。
二、复数的基本运算1. 复数的加法复数的加法按照实部与虚部分别相加的规则进行。
即，对于复数a+bi和c+di，它们的和是(a+c)+(b+d)i。
例如，(2+3i) + (4+5i) = (2+4) + (3+5)i = 6 + 8i。
2. 复数的减法复数的减法按照实部与虚部分别相减的规则进行。
即，对于复数a+bi和c+di，它们的差是(a-c)+(b-d)i。
例如，(2+3i) - (4+5i) = (2-4) + (3-5)i = -2 - 2i。
3. 复数的乘法复数的乘法使用分配律，按照实部与虚部相乘后相加的规则进行。
即，对于复数a+bi和c+di，它们的乘积是(ac-bd) + (ad+bc)i。
例如，(2+3i) × (4+5i) = (2×4-3×5) + (2×5+3×4)i = (-7+22i)。
4. 复数的除法复数的除法需要借助复数的共轭进行计算。
复数a+bi的共轭复数是a-bi，共轭复数记作a-bi。
复数的除法公式如下：(a+bi) / (c+di) = [(a+bi) × (c-di)] / [(c+di) × (c-di)] = [(ac+bd) + (bc-ad)i] / (c²+d²)。
例如，(2+3i) / (4+5i) = [(2+3i) × (4-5i)] / [(4+5i) × (4-5i)] = (-7/41) + (22/41)i。
复数的基本概念和运算法则一、基本概念复数在数学中是一个重要的概念，由实数与虚数构成。
通常表示为a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位。
复数有很多重要的性质和运算法则，下面将详细介绍。
二、复数的表示形式1. 笛卡尔形式：复数a+bi可用笛卡尔坐标系表示，a为实部，b为虚部，代表平面上的一个点。
2. 柯西-黎曼形式：复数a+bi也可以用柯西-黎曼方程表示，其中a 和b满足一组方程，即a=Re(z)、b=Im(z)，Re(z)为z的实部，Im(z)为z 的虚部。
三、复数的共轭1. 定义：复数a+bi的共轭复数记作a-bi。
即实部相同，虚部变号。
2. 性质：共轭具有以下性质：- 两个复数的和的共轭等于它们各自的共轭的和：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i- 两个复数的差的共轭等于它们各自的共轭的差：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i- 两个复数的积的共轭等于它们各自的共轭的积：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i- 除数与商的共轭相等：(a/b)* = a*/b*, 其中a*和b*分别代表a和b的共轭复数。
四、复数的运算法则1. 加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
3. 乘法：两个复数相乘，使用分配律展开，然后根据i的定义i^2=-1进行化简。
例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 除法：两个复数相除，先将除数与分子的共轭相乘，然后将结果除以除数的模的平方。
例如：(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
五、复数的模与幅角1. 模：复数a+bi的模等于其与原点(0,0)的距离，定义为|a+bi|=sqrt(a^2+b^2)。
复数的概念与性质一、引言在英语语法中，复数（plural）是指一个名词表示多个或多种物体、人或事物的形式。
相对于单数（singular），复数在英语中是一种常见的语法形式。
本文将详细介绍复数的概念和性质。
二、复数的定义与构成复数是指表示两个或更多个物体、人或事物的名词形式。
在英语中，一般来说，复数形式可以通过在单数名词末尾添加-s、-es、-ies等来构成。
但也有一些特殊的复数形式，需要逐个学习和记忆。
1. 一般的复数构成规则大部分的英语名词在单数情况下，只需在词尾加上-s即可构成复数。
例如：book（书）→books（书籍）。
对于以s、x、ch、sh结尾的名词，需要在词尾加-es构成复数。
例如：bus（公共汽车）→buses（公共汽车）。
以辅音字母+y结尾的名词，在构成复数时需将y改为i，并加上-es。
例如：baby（婴儿）→babies（婴儿们）。
2. 特殊名词的复数形式有些名词的复数形式无规律可循，需要单独记忆。
例如：man（男人）→men（男人们）；woman（女人）→women（女人们）；child（孩子）→chi ldren（孩子们）。
三、复数的性质复数不仅仅是名词的一个语法形式，还具有一些特殊的性质和用法。
下面将介绍复数的性质。
1. 表示多个物体或人复数形式可以表示多于一个的物体、人或事物。
例如：There are three books on the table.（桌子上有三本书。
）这个例句中，复数形式的books表示有三本书，而不是一本。
2. 与动词的一致性当名词为复数形式时，与之相关的动词通常也要使用复数形式。
例如：The boys play football.（男孩们在踢足球。
）这里，复数形式的boys与动词play形成一致。
需要注意的是，有些名词形式在单数和复数形式时动词形式不变，例如：The sheep graze on the grass.（绵羊在草地上吃草。
）3. 可以有限定词和代词的修饰复数名词可以和限定词（例如a、an、the、some等）和代词（例如they、these等）一起使用。
数系的扩充和复数的概念[学习目标] 1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.知识点一复数的引入在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋b i(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋b i(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋b i|a，b∈R}，称i为虚数单位.思考(1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25. (2)虚数单位i有哪些性质？答案(1)在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5).在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋5)(x－5).在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋5)(x－5)＝(x＋5i)(x－5i)(x＋5)(x－5).(2)虚数单位i有如下几个性质：①i的平方等于－1，即i2＝－1；②实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立；③i 的乘方：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *). 知识点二 复数的概念、分类1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈R ，i 叫做虚数单位.a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.(2)复数的表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C 表示.2.复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：思考 (1)两个复数一定能比较大小吗？(2)复数a ＋b i 的实部是a ，虚部是b 吗？答案 (1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小.(2)不一定，对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，实部才是a ，虚部才是b . 知识点三 复数相等复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .即它们的实部与虚部分别对应相等.思考 (1)若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).z ＝0，则a ＋b 的值为多少？(2)若复数z 1，z 2为z 1＝3＋a i(a ∈R )，z 2＝b ＋i(b ∈R )，且z 1＝z 2，则a ＋b 的值为多少？答案 (1)0；(2)4.题型一 复数的概念例1 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.反思与感悟 复数a ＋b i(a ，b ∈R )中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部.跟踪训练1 下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0.A.0B.1C.2D.3答案 A解析 ①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，所以③是假命题.故选A.题型二 复数的分类例2 设z ＝12log (m －1)＋ilog 2(5－m )(m ∈R ).(1)若z 是虚数，求m 的取值范围；(2)若z 是纯虚数，求m 的值.解 (1)因为z 是虚数，故其虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1＞0，5－m ＞0，5－m ≠1，解得1＜m ＜5，且m ≠4. (2)因为z 是纯虚数，故其实部12log (m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝1，5－m ＞0，5－m ≠1，解得m ＝2.反思与感悟 将复数化成代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，根据复数的分类：当b ＝0时，z 为实数；当b ≠0时，z 为虚数；特别地，当b ≠0，a ＝0时，z 为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题. 跟踪训练2 实数k 为何值时，复数z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.解 由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i.(1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎨⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4. (4)当⎩⎨⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.题型三 两个复数相等例3 (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值.(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值. 解 (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎨⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝－1.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.跟踪训练3 已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i ＞0，求实数x 的值.解 ∵z ＞0，∴z ∈R ，∴x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.∵z ＞0，∴3x －1－x ＞0，且x 2－4x ＋3＝0. 对于不等式3x －1－x ＞0，x ＝1满足，x ＝3不满足，故x ＝1.1.若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A.{－1}B.{1}C.{1，－1}D.∅答案 C解析 因为i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，所以A ＝{i ，－1，－i,1}，又B ＝{1，－1}，故A ∩B ＝{1，－1}.2.已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C.±2，5 D.±2，1答案 C解析 令⎩⎨⎧ a 2＝2，－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.3.下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( )A.±1B.±iC.±2iD.±2i答案 C4.已知M ＝{2，m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i}，N ＝{－1,2,4i}，若M ∪N ＝N ，则实数m 的值为 .答案 1或2解析 ∵M ∪N ＝N ，∴M ⊆N ，∴m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i ＝－1或m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由复数相等的充要条件，得 ⎩⎨⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0或⎩⎨⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝1或m ＝2.故实数m 的值是1或2.5.设i 为虚数单位，若关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，则m ＝ .答案 1解析 关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，可得n 2－(2＋i)n ＋1＋m i ＝0.所以⎩⎨⎧ n 2－2n ＋1＝0，m －n ＝0.所以m ＝n ＝1.1.复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是解决问题的基础，明确其实部、虚部.2.根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化.一、选择题1.设复数z满足i z＝1，其中i为虚数单位，则z等于()A.－iB.iC.－1D.1答案 A解析∵i2＝－1，∴－i2＝i·(－i)＝1，∴z＝－i.2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－b i为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件答案 B解析若复数a－b i为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－b i是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－b i为纯虚数”的必要不充分条件.3.以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是()A.2－2iB.－5＋5iC.2＋iD.5＋5i答案 A解析设所求新复数z＝a＋b i(a，b∈R)，由题意知：复数－5＋2i的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A.4.若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A.12B.2C.0D.1答案 D解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎨⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1.5.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为() A.1 B.0C.－1D.－1或1答案 B解析 由题意知⎩⎨⎧ m (m ＋1)＝0，m 2－1≠0，∴m ＝0.6.若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A.2k π－π4(k ∈Z )B.2k π＋π4(k ∈Z )C.2k π±π4(k ∈Z )D.k 2π＋π4(k ∈Z )答案 B解析 由题意，得⎩⎨⎧ sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝k π＋π4θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z .二、填空题7.若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是 . 答案 1解析 因为实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，所以x ＋x i ＋y －y i ＝2，可得⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0，所以x ＝y ＝1，所以xy ＝1. 8.若复数m －3＋(m 2－9)i ≥0，则实数m 的值为 . 答案 3解析 依题意知⎩⎨⎧ m －3≥0，m 2－9＝0，解得⎩⎨⎧ m ≥3，m ＝－3或3，即m ＝3.9.已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，若z 1＞z 2，则a 的取值集合为 .答案 {0}解析 由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，解得a ＝0，故a 的取值集合为{0}.10.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为 .。
