第十二章 数 项 级 数
教学目的：（1）理解敛散性概念、级数收敛的性质，熟练求一些级数的和；（2）熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy 、D`Alembert 判别法及其极限形式，积分判别法判别正项级数的敛散性；（3）理解Leibniz 级数，熟练利用Leibniz 级数，Abel 、Dirichlet 判别法判别一般级数的敛散性。
教学重点：上、下极限及其性质，数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法。
教学难点：判别法的应用。
主要教学方法：充分利用教材，采用启发式的课堂教学与讨论相结合的形式组织教学，注意讲授课时与习题课课时的分配，精讲多练，保证必要的习题量。同时，充分利用多媒体辅助教学，注重物理知识背景、几何意义的介绍和数学方法的应用，提高教学效果。
§1 级数的收敛性
1． 级数概念
在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如
+++++n 2
1
21212132 从直观上可知，其和为1。 又如， +-++-+)1(1)1(1。 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0；
若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。
定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式
+++++n u u u u 321 （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项。 级数（1）简记为：∑∞
=1
n n
u
，或
∑n
u
。
2． 级数的收敛性
记 n n
k k
n u u u u
S +++==
∑= 211
称之为级数
∑∞
=1
n n
u
的第n 个部分和，简称部分和。
定义2 若数项级数
∑∞
=1
n n
u
的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞
→lim ），则称数项级
数
∑∞
=1
n n
u
收敛 ，称S 为数项级数
∑∞
=1
n n
u
的和，记作
=
S ∑∞
=1
n n
u
= +++++n u u u u 321。
若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞
=1
n n
u
发散。
例1
试讨论等比级数（几何级数）
∑∞
=--+++++=1
121
n n n aq aq aq a aq
，)0(≠a
的收敛性。
例2 讨论级数
++++?+?+?)
1(1431321211n n 的收敛性。
3． 收敛级数的性质
由于级数
∑∞
=1
n n
u
的敛散性是由它的部分和数列{}n S 来确定的，因而也可以认为数项级数
∑∞
=1
n n
u
是数列
{}n S 的另一表现形式。反之，对于任意的数列{}n a ，总可视其为数项级数
∑∞
=1
n n
u
+-++-+-+=-)()()(123121n n a a a a a a a
的部分和数列，此时数列{}n a 与级数 +-++-+-+-)()()(123121n n a a a a a a a 有 相同的敛散性，因此，有
定理1（级数收敛的Cauchy 准则）
注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个00>ε，对任何正整数N ，总存在正整数 00),(p N m >，有
0210000ε≥++++++p m m m u u u 。
推论 （必要条件） 若级数（1）收敛，则
0lim =∞
→n n u 。
注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3。 例3 讨论调和级数 +++++n
1
31211 的敛散性。 例4
应用级数收敛的柯西准则证明级数
∑21
n 收敛。
定理2 若级数
∑∞
=1n n
u
与
∑∞
=1n n
v
都有收敛，则对任意常数d c ,，级数
)(1
n n n
dv cu
+∑∞
=也收敛，且
)(1
n n n
dv cu
+∑∞
=∑∑∞
=∞
=+=1
1
n n n n v d u c 。
即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。
定理3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。
（即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）。
若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，设其和为S ，则级数 ++++21n n u u 也收敛，且其和为
n n S S R -=。并称为级数∑∞
=1
n n u 的第n 个余项（简称余项）
，它代表用n S 代替S 时所产生的误差。 定理4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。
注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。 如： +-++-+-)11()11()11( ++++=000 收敛，而级数
+-+-1111 是发散的。
作业：P5 1、2、5
§2 正 项 级 数
一 正项级数收敛性的一般判别原则
同号级数 正项级数
定理12-2-1 正项级数∑∞
=1
n n
u
收敛?部分和数列{}n S 有界。
证明：
定理12-2-2（比较原则） 设
∑∞
=1
n n
u
和
∑∞
=1
n n
v
均为正项级数，如果存在某个正数N ，使得对
N n >?都有
n n v u ≤， 则 （1）若级数
∑∞
=1n n
v
收敛，则级数
∑∞
=1n n
u
也收敛；
（2）若级数∑∞
=1
n n
u
发散，则级数
∑∞
=1
n n
v
也发散。
证明： 例1 考察
∑∞
=+-1
2
11
n n n 的收敛性。 推论（比较判别法的极限形式） 设
∑∞
=1
n n
u
和
∑∞
=1
n n
v
是两个正项级数，若
l v u n
n
n =∞→lim ，
则 （1） 当+∞< ∑∞ =1 n n u 、 ∑∞ =1 n n v 同时收敛或同时发散； （2）当0=l 且级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 也收敛； （3）当+∞=l 且 ∑∞ =1 n n v 发散时，级数 ∑∞ =1 n n u 也发散。 例2 讨论级数 ∑-n n 21 的收敛性。 例3 由级数 ∑n 1的发散性，可知级数∑n 1 sin 是发散的。 二 比式判别法和根式判别法 定理12-2-3 （达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设 ∑n u 为正项级数，且存在某个正整数0N 及常数 )1,0(∈q ： （1） 若对0N n >?，有 q u u n n ≤+1 ，则级数∑n u 收敛 ； （2） 若对0N n >?，有 11 ≥+n n u u ，则级数∑n u 发散。 (2) 证明： 推论（比式判别法的极限形式）设 ∑n u 为正项级数，且 q u u n n n =+∞→1 lim ， 则（1）当1 ∑n u 收敛； （2） 当1>q （可为∞+）时，级数∑n u 发散； （3） 当1=q 时，级数∑n u 可能收敛，也可能发散。如：∑n 1，∑21 n 。 例4讨论级数 +-+??-+??++????+??+)] 1(41[951)] 1(32[852951852515212n n 的收敛性。 例5 讨论级数 )0(1 >∑-x nx n 的收敛性。 定理12-2-4（柯西判别法，或称根式判别法） 设 ∑n u 为正项级数，且存在某个正整 数0N 及正常数l ， （1）若对0N n >?，有 1<≤l u n n ， 则级数∑n u 收敛； （2）若对0N n >?，有 1≥n n u ， 则级数∑n u 发散。 证明：由比较判别法即可得。 推论（根式判别法的极限形式）设 ∑n u 为正项级数，且 l u n n n =∞ →lim ， 则 （1）当1 ∑n u 收敛； （2）当1>l （可为∞+）时，级数∑n u 发散； （3）当1=q 时，级数 ∑n u 可能收敛，也可能发散。如：∑n 1，∑21 n 。 例6 讨论级数 ∑-+n n 2)1(2的敛散性。 说明：因 ?=+∞→q u u n n n 1 lim q u n n n =∞→lim 这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，也能用根式判别 法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效。但反之不能，如例6。 三 积分判别法 特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。 定理12-9 设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则正项级数 ∑)(n f 与反常积分? +∞ 1 )(dx x f 同时收敛或同时发 散。 证明：由假设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则对任何正数A ，)(x f 在[1，A]上可积，从而有 ? --≤≤n n n f dx x f n f 1 )1()()(， ,3,2=n 依次相加，得 ∑? ∑∑-====-≤≤1 1 1 2 2 )()1()()(m n m m n m n n f n f dx x f n f 若反常积分收敛，则对m ?，有 ? ?∑+∞ =+≤+≤=1 1 1 )()1()()1()(dx x f f dx x f f n f S m m n m 。 于是，知 级数 ∑)(n f 收敛。 反之，若级数 ∑)(n f 收敛，则对任意正整数)1(>m ，有 ∑∑? =≤=≤-=-S n f n f S dx x f m n m m )()()(11 11 。 又因)(x f 为[),1+∞上非负减函数，故对任何1>A ，有 S S dx x f n A <≤≤? 1 )(0, 1+≤≤n A n 。 故知，反常积分 ? +∞ 1 )(dx x f 收敛。 同理可证它们同时发散。 例7 讨论下列级数 （1） ∑∞ =11 n p n ，（2）∑∞ =2) (ln 1n p n n ， （3） ∑∞ =3) ln )(ln (ln 1 n p n n n 的敛散性。 作业：P16 1、（1）—（4），2、（1）—（3） §3 一般 项 级 数 一 交错级数 若级数的各项符号正负相间，即 ∑∞ =+-1 1 ) 1(n n n u ，),0(n u n ?> 称为交错级数。 定理12-3-1（莱布尼茨判别法） 若交错级数 ∑∞ =+-1 1 ) 1(n n n u 满足下述两个条件： （1） 数列{}n u 单调递减； （2）0lim =∞ →n n u 。 则级数∑∞ =+-1 1 ) 1(n n n u 收敛。且此时有11 1)1(u u n n n ≤-∑∞ =+。 证明 推论 若级数 ∑∞ =+-1 1 ) 1(n n n u 满足莱布尼茨判别法的条件，则其余项估计式为 11 1 ) 1(+∞ +=+≤-= ∑n n k k k n u u R 。 例：判别下列级数的收敛性：（1） 11) 1(1 1 +-∑∞=+n n n ；（2）)!12(1)1(1 1--∑∞ =+n n n ； （3）n n n n 10 ) 1(1 1 ∑∞ =+-。 二 绝对收敛级数及其性质 若级数 ∑n u 各项绝对值所组成的级数 ∑n u 收敛，则称原级数 ∑n u 绝对收敛。 定理12-3-2 绝对收敛的级数一定收敛。 证明：由绝对收敛的定义及级数收敛的柯西准则即可得。 说明：对于级数是否绝对收敛，可用正项级数的各判别法进行判别。 例1 对任何实数α，级数 ∑ ∞ =1 ! n n n α是绝对收敛的。 若级数 ∑n u 收敛，但级数 ∑n u 发散，则称级数 ∑n u 条件收敛。 如： 11) 1(1 1 +-∑∞ =+n n n 是条件收敛的；)!12(1)1(1 1--∑∞=+n n n 和n n n n 10)1(11∑∞ =+-是绝对收敛的。 全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。 绝对收敛的级数有以下性质： 1． 级数的重排 定理12-3-3 设级数 ∑n u 绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排后所得到的级数也绝对收敛，且其和也不 变。 注意：（1）由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。 （2）条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数。 如：设 A n n n =+-+-+-+-=-∑∞ =+ 8 1 71615141312111)1(1 1 ， 则 2 816141211)1(2111A n n n =+-+-=-∑∞=+ ， 而 n n n 1) 1(1 1 ∑∞ =+-23417151213111)1(211 1A n n n = +-++-+=-+∑∞ =+ ， 它正是第1个级数的重排。 2．级数的乘积 设有收敛级数 A u u u u n n =++++=∑ 21， （1） B v v v v n n =++++=∑ 21。 （2） 它们每一项所有可能的乘积为： 11v u 21v u 31v u … n v u 1 … 12v u 22v u 32v u … n v u 2 … 13v u 23v u 33v u … n v u 3 … （3） … … … … … … 1v u n 2v u n 3v u n … n n v u … … … … … … … 定理12-3-4（柯西定理） 若级数（1）、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积j i v u 按任意顺序排列所得 到的级数∑n w 也绝对收敛，且和等于AB 。 例2 等比级数 r -11= +++++n r r r 21， 1 )∑n r （按（15）的顺序排列。则得到 2)1(1r -= +++++++++++个 1222)()()(1n n n r r r r r r r = ++++++n r n r r )1(3212 . 注：（3）中所有乘积j i v u 可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序： +++++++++132333323212222111v u v u v u v u v u v u v u v u v u ； 或对角线顺序： ++++++132231122111v u v u v u v u v u v u 。 三 阿贝耳判别法和狄利克雷判别法 本段介绍两个判别一般项级数收敛性的方法，先引进一个公式： 引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换） 设i ε，i v ),,2,1(n i =为两组实数，若令 k k v v v +++= 21σ， ),,2,1(n k = 则有下列求和公式成立： n n n n n i n i i v σεσεεσεεσεεε+-++-+-=--=∑112321211 )()()( 。 证明：直接计算可得。 推论（阿贝尔引理） 若（1）n εεε,,,21 单调数组； （2）对任一正整数)1(n k k ≤≤有A v v v k k ≤+++= 21σ，记 }{m a x k k εε=，则有 A v n k k k εε 31 ≤∑=。 证明：由阿贝尔引理即可得。 定理12-3-5 （阿贝尔判别法）若}{n a 为单调有界数列，且级数∑n b 收敛，则级数 ∑++++= n n n n b a b a b a b a 2211 收敛。 证明：由阿贝尔引理及柯西准则即可得。 如：由此判别法可知，当级数 ∑n u 收敛时，级数 )0(>∑p n u p n ， ∑ +1 n u n 收敛。 定理12-3-6（狄利克雷判别法）若}{n a 为单调递减数列，且0lim =∞ →n n a ，又级数 ∑n b 的部分和数列有界， 则级数 ∑++++= n n n n b a b a b a b a 2211 收敛。 证明：同定理12-3-5。 例3 若数列}{n a 为单调递减，且0lim =∞ →n n a ，则级数 nx a n sin ∑， nx a n cos ∑ 对任何)2,0(π∈x 都收敛。 解：由狄利克雷判别法即得。 本章基本概念： 级数，正项级数，任意项级数，交错级数，绝对和条件收敛 本章思考题: 1、如何理解级数与数列敛散性之间的关系？ 2、各种判别法的应用条件和适用性是什么？ 3、怎样理解级数理论的思想和实践应用？P24 1、（1）—（4） §11-2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数：∑∞ =1n n u 0≥n u (1) 显然，部分和数列{}n s 单调增加：.21ΛΛ≤≤≤≤n s s s {}↑n s 1.收敛准则 定理1 正项级数∑∞ =1n n u 收敛?部分数列{}n s 有界. 例1判别正项级数∑ ∞ =1 2 2sin n n n π 的收敛性 解 n n n s 22sin 2 2sin 2 12 2π π +++= Λn 2121212+++<Λ 12 1121121<-??? ??-=n 有上界 级数收敛 2.比较审敛法 定理2 设∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v 都是正项级数，且.),2,1(Λ=≤n v u n n 若∑∞ =1 n n v 收敛, 则∑∞=1 n n u 收敛；反之，若∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散． 分析：σ=∑∞=1 n n v ，则∑∞ =1 n n u 的部分和 ,),2,1(2121ΛΛΛ=≤++≤+++=n v v v u u u s n n n σ 即{}n s 有界,由TH1知∑∞=1 n n u 收敛。反之，设∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 必发散.因为若 ∑∞ =1 n n v 收敛,由上面已证结论知∑∞ =1 n n u 也收敛，与假设矛盾. 推论 设∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v 都是正项级数,如果级数∑∞ =1 n n v 收敛，且存在自然数N ，使 当N n ≥时有)0(≥≤k kv u n n 成立,则级数∑∞=1 n n u 收敛；如果级数∑∞ =1 n n v 发散，且当N n ≥时有)0(≥≥k kv u n n 成立, 则级数∑∞ =1 n n u 发散. 分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数k ，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性. 例2 讨论p —级数 )2(1 1∑∞ =n p n 的收敛性，其中常数p >0． 解 设1≤p ，则 ,1 1n n p ≥但调和级数发散，故级数(2)发散． 设1>p ，当n x n ≤≤-1时，有,1 1p p x n ≤所以 ?? ? ???---=≤=----??11111)1(111111p p n n n n p p p n n p dx x dx n n ，Λ,3,2=n 考虑级数)3(,1)1(1111∑∞ =--?? ? ???--n p p n n 级数(3)的部分和 ??????+-++??????-+?????? -=-----11111)1(113121211p p p p p n n n s Λ=.)1(111-+-p n 因 .1=n s 故级数(3)收敛．由推论1知，级数(3)当p >1时收敛. 总之：p —级数(2)当≤p 1时发散，当p >1时收敛． 注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数，p —级数（调级数） 例3 判别下列级数的敛散性. 211(1).52 n n n n ∞ =+++∑ n n n n n u n 81 252 22=++> ∑∞ =11n n 发散, 原级数发散 1 11(2).sin 11n n n ∞ =++∑ 21n u n < ∑∞=121 n n 收敛, 原级数收敛 练习 ()∑∞ =-+13 1sin 212.n n n n ()n n n 3131sin 112≤≥-+ 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 班主任《晨会》教案 教学目的： 1、让学生通过学习，基本了解几种火灾的类型和应对措施、遇到火灾怎么办等的知识和方法。 2、加强自我保护意识，提高安全责任能力。 教学内容： 1、今天我们晨会的题目是《关爱生命，远离火灾》。 众所周知，火是人类最伟大的发现之一。它给人类带来了文明，但如果火失去了控制，那就会造成火灾，让人们付出沉重的代价。资料显示，每年全国有上万名学生非正常死亡，其中相当一部分死于火灾事故。2000年以来，全国学校共发生火灾3700余起，死亡44人，受伤79人，直接财产损失2200余万元。火灾已成为人类的顽敌。 2、所以说学习了解一些消防知识，对我们来说是非常重要的。 安全知识和技能一经获得，将终身受益。如果大家学好消防知识，掌握消防本领，一旦火灾、火患降临身边，就能够冷静处理，应付自如。例如：1994年在新疆克拉玛依市友谊馆的那场大火中，当场烧死在该馆观看和参加文艺演出的师生等323人，130人受伤。但其中一个只有10岁的小男孩看舞台上的幕布起火后，拉起比自己小4个月的表妹就往通道里跑，不加思索地钻进厕所，最后成功被救出。当别人追问他，当时你怎么想到要往厕所里跑时，他说，我看电视里的 消防知识竞赛，知道火灾发生时，厕所里没有易燃物，火无法蔓延，因此也就安全了。 3、那我们遇到火灾时该怎么办呢？（学生交流） 师明确：遇到火灾时；千万不要慌张。发生火灾，请及时拔打“119”火警电话，并要讲清火灾发生的地点、原因、楼层高低及人员数量，联系人姓名和电话并派人到路口迎接消防车，有条件的话，要说明火灾的类型。如果是初起火灾，选择适当方法扑灭。如果火势蔓延，无法控制，那就要选择逃生。选择最近的逃生出口，并且要弯腰，匍匐等用低姿势撤离，遇有浓烟烈火时，必须把自己的衣服淋湿，再用湿毛巾捂住口鼻撤离，视线不清时，可手摸墙壁慢慢撤离，总之要及时逃生，不能躲。（因为火灾当中大多数人是被烟熏死，而不是烧死的）。在楼上时要往下走，因为火是往上窜的，但楼层高时千万不要盲目跳楼，应尽量寻找有水的地方（如卫生间）等待救援。在等待时，手里拿手电或金属敲打发出声音。楼层低跳楼时要选择沙地、泥地或把棉被先扔在地上，拿着被、衣往下跳，这样可以减小冲击力，使脚先落地，也可用绳索自救，滑下去或沿着落水管、电缆线滑下去。只能在室内时可关死房门，用湿布堵封，开着窗，用水泼门。 如果人身上着火后应注意以下几点： 1、不能奔跑，就地打滚。 2、可迅速将着火的衣服脱下。 3、附近有河水池之类可跳入浅水中。 4、往身上浇水。 n 1 n 1 § 11-2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数： U n U n 0 ⑴ n 1 显然，部分和数列s n 单调增加：s 1 s 2 Sn . s n 1.收敛准则 定理1正项级数 U n 收敛部分数列S n 有界. n 1 n 例1判别正项级数 亠的收敛性 定理2设 U n 和 V n 都是正项级数，且U n V . (n n 1 n 1 则 U n 收敛；反之, n 1 若 U n 发散，则 V n 发散. n 1 n 1 分析: V n n 1 ，贝U U n 的部分和 n 1 S n U 1 U 2 U n V 1 V 2 V n (n 1,2, ), 即S n 有界，由TH1知 U n 收敛。反之，设 n 1 U n 发散，则 n 1 V n n 1 必发散.因为若 V n 收敛，由上面已证结论知 U n 也收敛，与假设矛盾 n 1 1 解「 sin 2 22 22 1 1 I 2n 1 1 2 2 Sin 2n 1 1 1 2n 2 22 2n 1有上界 级数收敛 1,2,).若 V n 收敛, n 1 2.比较审敛法 推论 设 U n 和 V n 都是正项级数，如果级数 V n 收敛，且存在自然数 N,使 n 1 n 1 kv n (k 0)成立，则级数 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当n N n 1 n 1 分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k ，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性. 注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数， p —级数(调级数) 例3判别下列级数的敛散性. 当n N 时有U n 时有 u n kv n (k 0)成立,则级数 U n 发散. n 1 例2讨论p —级数 ⑵的收敛性，其中常数p>0. 1，当n 则書 n 时, 1 丄，但调和级数发散，故级数(2)发散. n 有 1 n p I n 1 n p 2dx x (n n p 1 n 2,3, 考虑级数 (n 1) 级数(3)的部分和 s n 1 2卩 1 1 3p 1 1 =1 1 (n 1)p1 = (n 1)p 1 因S n 1 .故级数(3)收敛. 由推论 1知，级数⑶当p>1时收敛. 总之：p —级数(2)当 p 1时发散，当p>1时收敛. (1). n n 1 2 1 n 5n 2 U n n 1 2 2^2 n 5n 2n 8n 丄发散，原级数发散 n 1 n (2). 1 . 1 sin — n 〔 n 1 n 1 U n 原级数收敛 人教版一年级数学“数一数”教案 教学内容：第2——5页（数一数） 教学目标： 1、在非常和谐愉悦的氛围中，初步了解儿童认数、数数情况。 2、通过观察等探求活动，使学生初步建立数感，初步培养学生的观察能力和口头表达能力。 3、合学生体验与人合作、交流物快乐，初步培养学生的合作参与意识。 4、激发学生的学习兴趣及其对人对物的爱的情感，初步培养学生会听、会说、会补充的良好习惯。 教学重、难点： 初步建立数感，培养学生的观察能力和口头表达能力及合作与参与的意识。 教学准备：实物投影仪一台。 教学过程：a)创设情境，激发兴趣教师拿出一封一份礼物————金龟子的信，让学生随着美丽的画面和动听的音乐听信：亲爱的小朋友们，你们好，从今天开始，你们将成为一名真正的小学生了，在学校里，你们将会在老师的带领下，学到许许多多有用的知识，学会许多的本领，会面为一个对社会有着巨大贡献的人，你们高兴吗？数学书里都是一 些有趣的游戏和活动，充满了神奇，学好数学非常有用，它可以帮助你解决一些你生活中的困难，你们想学习数学吗？那么，从现在开始，你们的数学陈老师将会把你们带进数学的王国里，让你们学好数学，用好数学，到那时，你们一定会成为一名出色的小学生的，你们有信心吗？b)认真观察，小组讨论，了解数数情况用实物投影仪出示书中第2——3页的画面。1、这是什么地方？你认为它美丽吗？2、请你说一说：这幅图是什么意思？图上的物体分别有多少？（先小组讨论，互相说，教师深入到小组里了解情况，并且在个别组里探讨数数规律，然后再请小朋友说）3、评价：你认为你们组有什么优点，别的组呢？三、继续观察，小组交流，了解认数情况用实物投影仪出示北师大版一年级教材第2——3页的图画活动形式同第二个环节一样：观察——交流——汇报——评价，不苛求学生按怎样的模式说，让学生在相互启迪中自我感知怎样说好就怎样说，怎样说适合自己就怎样说。四、操作感知，及时强化1、数周围的实物（可带领学生走出教室，数一数学校里的事物各有多少）2、数字卡片 3、按方位数数 4、开放性练习 猜一猜，想一想、说一说，验一验手里最多能拿几根粉笔？盘子里最多能放几个苹果？笔筒里最多能放几支笔？学情预测及反思学情预测与反思 四（3）班晨会教案 学会微笑 ——做彬彬有礼的实小人 教育目的： 1．通过活动，使学生认识到微笑的作用很大。 2．通过微笑教育，使学生树立“我微笑，我成功”的信念，努力做一个彬彬有礼的实小人。 3．在日常生活中学会微笑面对自己，微笑待人，微笑面对困难、面对人生。 教育过程： 一．激发兴趣，出示话题 1．导语：今天，老师请来了4位朋友，同学们想不想认识他们呢？可是，这4位朋友不知道为什么原因，有的面无表情，有的在生气，有的还在哭呢！ 2．投影仪出示四张表情图，问：这四位朋友中，你们最喜欢哪位朋友呢？为什么？那我们根据这位朋友的表情，给他起个名字，好吗？ 3．板书：微笑 二．认识微笑，学会微笑 〈一〉照镜子 1．老师：同学们都说这位朋友在微笑，是他脸上什么特征使你看出他在微笑呢？（生自由说） 2．导语：那我们同学会不会微笑呢？老师要让每位小朋友欣赏自己的笑，相信微笑着的你会比板着脸的你更漂亮、更好看。 3．生逐一照镜，师一一评价 4．学微笑导语：怎样获得一个迷人的微笑呢？大家不妨按照以下3个步骤练习：第一步，对镜子摆好姿势，说“E——”，让嘴的两端朝后缩，微张双唇； 第二步，轻轻地浅笑，减弱“E——”的程度，这时可感觉到颧骨被提后上方；第三步，相同的动作反复几次，直到感觉自然为止。 〈二〉同学之间微笑 1．导语：同学们的微笑都很甜，微笑使你们看上去都很美，同学之间互相微笑， 还会使我们更加团结，更加友好，更加和睦。 2．板书：友好 3．同学之间互相微笑，师点评。 〈三〉对老师微笑 1．导语：我们不仅同学之间要微笑，对待老师，对待我们认识的人，我们也要献上我们最甜、最热情的微笑。 2．微笑着对老师说：“老师好”、“老师，我爱您” 3．板书：热情 师结：同学们的微笑让老师感受到你们的热情，老师因为你们的热情而更加喜欢你们！ 〈四〉学习西班牙民歌《微笑》 1．导语：微笑，在我们日常的生活中，非常的重要，有时，它还会帮助我们体会到很多不一样的情感。 2．朗读西班牙民歌《微笑》 微笑 一个微笑，花费很少，价值却很高； 给的人幸福， 收的人回报。 一个微笑，仅有几秒，就转瞬即逝； 留下的回忆， 终生美好。 没有人富， 富到对它不需要； 也没有人穷，穷到给不出一个微笑。 有了它，家庭充満温馨， 有了它，生意兴隆荣耀； 它使陌生者不再陌生， 它是朋友间交流的暗号。 它使劳累者疲劳顿消， 它为失意者重燃希望的火苗；对悲伤者它有如太阳， 比所礼品都更有效。 人人都需要微笑， 而没有人， 比一个忘记微笑的人， 高等数学教案1 第十一章 无穷级数 编写人:吴炯圻 I. 授课题目: 第一节 常数项级数的概念和性质 Ⅱ.教学目的与要求 1、了解常数项级数的概念及其产生的背景； 2、掌握收敛级数的基本性质； 3、会采用级数敛散的定义或收敛级数的基本性质判断较简单级数的敛散性； 4、了解柯西审敛原理。 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：级数收敛与发散的定义; 收敛级数的基本性质。 难点：无穷个数量求和与有限个量求和的差别。 关键: 1.会把级数的问题转化为部分和序列来处理; 2.熟悉数列的收敛与发散的判别. Ⅳ.讲授内容： 第一节 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念及其产生的背景 1．古代人如何求圆的面积? 我国古代数学家刘徽已经利用无穷级数的思想来计算圆的面积. 在半径为1的圆内作内接正六边形, 其面积记 为1a , 它是圆面积A 的一个近似值. 再以这正六边 形的每一边为底边分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形 (图1-1) , 算出这六个等腰三角形的面积之 和2a . 那么21a a (即内接正十二边形的面积)也是 图1-1 A 的一个近似值, 其近似程度比正六边形的好. 同样 地, 在这正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形, 算出这十二个等腰三角形的面积之和3a . 那么321a a a ++(即内接正二十四边形的面积)是A 的一个更好的近似值. 如此继续进行n 次, 当n 是较大的整数时，得到的正多边形的面积 n n a a a s +++=Λ21就很接近A 的值了. 2．常数项级数的概念 古代数学家刘徽时代，人们只懂求有限个量之和，没有极限的概念，仅能把求圆面积的步骤和准确性停留在有限的数n 上。 随着科学的进步，人们认识的提高，人们自然认为，当n 无限增大时，则 n n a a a s +++=Λ21的极限就是圆的面积A ，即 )(lim lim 21n n n n a a a s A Λ++==∞ →∞ →. (1.1) 这时，上式右边括号中的项数无限增多，出现了无穷个数量累加的式子。 一般地, 给定一个数列 ΛΛ,,,,,321n u u u u , 则由这数列构成的表达式 ΛΛ+++++n u u u u 321 (1.2) 叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为 ∑∞ =1 n n u , 即 ∑∞ =1 n n u ΛΛ+++++=n u u u u 321, 其中第n 项u n 叫做级数的一般项或通项. 上述级数的定义只是一个形式的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？ 联系上面计算圆的面积的例子，即（1.1）式，用有限项的和S n 的极限来定义无穷多个数量相加的“和”，我们自然要问，对一般的级数是否也可以这样做？ 这个思路是对的。 为此，我们把级数(1.2)的前n 项之和s n = u 1+u 2 +…+u n 称为级数(1.1)的部分和, n 依次取 1,2,L 时得数列 s 1, u 2 ,…, u n … 称为级数的部分和数列. 在上面求面积的例子中，部分和数列收敛（为什么？），并由此求得面积, 即求得无穷多个量之和12....n a a a A ++++=L 。 但是，能否由此推断, 所有级数的部分和数列收敛都收敛? (提问, 允许各种猜测.) 事实上, 正像一般的数列未必收敛一样，部分和数列也未必收敛。例如 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+……=1 1(1)n n -∞ =-∑. 其部分和数列是：1，0，1，0，…….,它显然不收敛。 小学晨会课的教案 1．引导学生进行正确健康的课间活动，劳逸结合，使学生课间真正得到休息。 2．进行安全教育，让学生初步认识课间活动的规则与秩序。 每人准备好一根80厘米左右的毛线或细绳。 一、提出问题 师：叮铃铃，下课铃声一响，有些同学就跑到教室外面去玩耍，跑啊，跳啊，玩得可真开心。有的在走廊里横冲直撞，有的在地上摸爬滚打，还有的在玩打架呢…… 提问：小朋友，你觉得这些同学课间这样活动好吗？（学生会说：不好） 那为什么不好呢？ 学生发言： 1、在走廊里横冲直撞是很危险的，不小心就会摔跤。 2、在地上滚来滚去很不卫生，会把衣服弄脏的。 3、玩打架最不好，我们不能打同学，要跟同学做好朋友。 二、问题交流 讨论：课间十分钟，我们该怎么安排比较合理呢？请小朋友开动小脑筋，好好想一想。（学生可能会说：下课后要先上厕所；喝点水；天气冷了，可以带绳子来练跳绳，带毽子来踢毽子……） 教师指出：下课后，我们要整理一下课桌，准备好下节课需要的学习用品；然后喝点水或者去上个厕所；最后再去玩耍。 提问：谁来说一说，你们下课后玩些什么，怎么玩的呢？（跳绳，捉迷藏、丢沙包、和同学比赛跑步、翻绳、炒黄豆……） 师：课间十分钟，小朋友的活动真丰富，那么，你认为哪些活动比较好？哪些活动不适合我们玩呢？（让学生评说） 三、解决问题 学生讨论：哪些活动适合课间玩。（跳绳、踢毽子、丢沙包……）提问：在我们班，你看到哪些小朋友下课活动能遵守纪律，也是安全的呢？他们是怎么活动的？(让学生自由发言) 师：我们班表现好的同学很多，其他同学都要向他们学习，课间活动要遵守纪律，注意安全。 今天，老师来教大家一种适合在室内玩的游戏，叫翻绳。请大家拿出准备好的细绳，跟着老师做。（老师示范，学生跟着学） 师：以后，遇到天气不好的时候，小朋友们就可以在教室里跟好朋友玩玩翻绳。还有好多好玩的游戏，我们利用以后的课来学习。好吗？ 四、小结 课间十分钟是休息的时间，我们要整理好课桌，准备好下节课需要的学习用品；然后喝点水或者去上个厕所；最后再去散散步，和小伙伴们玩玩小游戏。希望小朋友们在课间文明活动，让我们的课间变得健康而有益。 小学生日常行为规范训练晨会教案 跃小三（2）班 【活动主题】 以“文明礼貌，和谐校园”为主题组织晨会活动。 【活动目的】 1.加强养成教育，提高文明素质，养成文明习惯。 2.培养学生自我管理、自我完善的能力。 【活动准备】多媒体课件等 【活动过程】 一、班主任宣布晨会开始。 二、情境导入主题 1.观看程门立雪的视频 思考：故事告诉我们什么道理？ 2.给文明下定义： 文明指一种社会进步状态，是人类在认识世界和改造世界的过程中所逐步形成的思想观念以及不断进化的人类本性的具体体现。它与“野蛮”一词相对立。 三、展开主题 1、说说你都知道哪些文明礼仪？ （1）早晨进校遇见老师要主动打招呼，喊声“老师早，”“老师好”。 （2）向别人询问应主动讲“请问”。 （3）见到长辈的时候，我们应该主动说：“叔叔（阿姨），早上好（中午好等）”。 2、你能说说我们都是在哪些场合要讲究文明礼仪吗？ 学校、家里、街上…… 3、展示图片：（1）在巴黎圣母院，“请保持安静”这句话只写给中国人看（2）在美国珍珠港，“垃圾桶在此”这句话只写给中国人看 （3）在泰国皇宫，“请便后冲水” 这句话只写给中国人看 4、阅读故事：一位年轻人因为小小的一个不文明动作而失去了工作 5、过渡：在我们身边也同样存在这些不文明现象 展示校园不文明行为图片 （1）这样的脚印并不好看 （2）举手之劳，校园可以更美好 （3）水在滴，资源正流走 （4）这不是展示雕刻技艺的地方 （5）墙壁涂鸦，这不是艺术 （6）“文化长廊”需要呵护 （7）角落的那个柜子…… 思考：看了这些，你有什么感受？ 6、展示13条日常行为规范生齐读 7、“文明人”自测：你是一个文明的人吗？ 8、总结学生文明用语 晨会教案课间十分钟 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 晨会《课间十分钟》教案 晨会年级：1年级 晨会目标： 1、了解课间休息的具体内容：上厕所，饮水，进行简单的益智游戏，做好下节课的准备。 2、养成规则意识。（重难点） 晨会过程：环节一，交流乐园（2分钟） 师：同学们进入小学已经1个多月了，你们都有学会了哪些新本领？ 生：汉语拼音，数字。 师：那是不是只有课堂上专心听讲才能学到更多的知识嘞？ 生：是 师：是的，为了让同学们能够上课更有精神，我们安排有下课时间，我知道同学们都喜欢下课，那老师想问问同学们，我们安排课间时间的真正意图是什么嘞？ 生：（直到有同学能够回答出来）安排课间十分钟是想让大家放松一下精神，上上厕所，喝喝水，做做小游戏，能够精神饱满的上好下一节课。 师：同学们说的非常好，下面嘞，老师要给大家讲一个故事，想让同学们来评评理。 环节二，故事明理（5分钟） 故事（小明的课间十分钟）：叮铃铃叮铃铃.......下课铃响了，小明冲到了饮水机旁喝起了水，喝完水他就拉着小军追赶打闹，一会儿摸摸小兵的头，一会儿又拍拍小强。还给好多同学都起了难听的外号......就这样上课铃响了，但是小明这时候才想到要上厕所，于是又急急忙忙的向厕所跑去...... 师：听完了这个故事，同学们觉得小明这样的下课安排得好吗？ 生：…… 环节三，总结（5分钟） 师：同学们都说得非常好，那我们就来一起总结一下，哪些做法下课做是有益的，哪些是不好的。（齐说） 有益的：上厕所，喝水，准备书本，整理桌面，看看远方，做做有益小游戏。 不好的：大喊大叫，追赶打闹。 师：同学们，老师这里还有一段课间小儿歌，我们大家来一起念，让我们清楚的记得下课我们应该做什么。 下课铃声响，大家来放松， 书本准备好，桌面要整洁， 饮水上厕所，聊天做游戏， 大家休息好，一起来上课。 师：小朋友们，马上就要下课了，我希望大家都能够按照儿歌上的要求去做，度过一个又一个快乐有序的课间十分钟，看谁做得又对又好！ 晨会目标： 1、了解课间休息的具体内容：上厕所，饮水，进行简单的益智游戏，做好下节课的准备。 2、养成规则意识。（重难点） 晨会过程：环节一，交流乐园（2分钟） 师：同学们进入小学已经1个多月了，你们都有学会了哪些新本领 生：汉语拼音，数字。 师：那是不是只有课堂上专心听讲才能学到更多的知识嘞 生：是 师：是的，为了让同学们能够上课更有精神，我们安排有下课时间，我知道同学们都喜欢下课，那老师想问问同学们，我们安排课间时间的真正意图是什么嘞生：（直到有同学能够回答出来）安排课间十分钟是想让大家放松一下精神，上上厕所，喝喝水，做做小游戏，能够精神饱满的上好下一节课。 师：同学们说的非常好，下面嘞，老师要给大家讲一个故事，想让同学们来评评理。 环节二，故事明理（5分钟） 故事（小明的课间十分钟）：叮铃铃叮铃铃.......下课铃响了，小明冲到了饮水机旁喝起了水，喝完水他就拉着小军追赶打闹，一会儿摸摸小兵的头，一会儿又拍拍小强。还给好多同学都起了难听的外号......就这样上课铃响了，但是小明这时候才想到要上厕所，于是又急急忙忙的向厕所跑去...... 师：听完了这个故事，同学们觉得小明这样的下课安排得好吗 生：…… 环节三，总结（5分钟） 师：同学们都说得非常好，那我们就来一起总结一下，哪些做法下课做是有益的，哪些是不好的。（齐说） 有益的：上厕所，喝水，准备书本，整理桌面，看看远方，做做有益小游戏。不好的：大喊大叫，追赶打闹。 师：同学们，老师这里还有一段课间小儿歌，我们大家来一起念，让我们清楚的记得下课我们应该做什么。 下课铃声响，大家来放松， 书本准备好，桌面要整洁， 饮水上厕所，聊天做游戏， 大家休息好，一起来上课。 师：小朋友们，马上就要下课了，我希望大家都能够按照儿歌上的要求去做，度过一个又一个快乐有序的课间十分钟，看谁做得又对又好！ 一、家庭问候礼仪 教学目标： 1、知道讲文明礼仪是中华民族的优良传统。 2、学习问候礼仪，知道向父母、长辈问候致意，要按时间、场合、节庆不同，采用不同的问候。 教学过程： 一、认识“礼仪” 1、什么是“礼仪” 礼：古代：表示敬意；表示隆重；指礼物；社会准则、道德规范。 现代：礼貌、礼节、礼宾、礼仪 仪：指礼节、仪式；指法度、法则；指容貌、举止；指典范、表率； 指礼物；指仪器。 中国有史以来一直被称为“礼仪之邦”，无论在什么样的背景和环境下，只有一个文明的人才会是受人尊敬、受人喜欢的，希望这些礼仪规范会对大家的言行有所帮助。 二、问候礼仪 1、你知道有哪些问候礼仪？（学生交流） 2、教师介绍在家中的问候礼仪 （1）早起后问爸爸、妈妈早上好。 （2）睡觉前祝爸爸、妈妈晚安。 （3）父母下班回家：爸爸、妈妈回来啦。 （4）过生日：祝长辈生日快乐、身体健康。 （5）过新年：祝爸爸、妈妈新年愉快。 （6）当爸爸、妈妈外出时说：祝爸爸、妈妈一路平安、办事顺利。 （7）当爸爸、妈妈外出归来时说：爸爸、妈妈回来啦，辛苦了。 （8）自己告别家人时：您放心吧，我会照顾好自己。离家时间较长，写信或打电话问候家人。 二、尊师礼仪 教学目标： 1、知道讲文明礼仪是中华民族的优良传统。 2、学习学校问候礼仪，知道向老师问候致意，要按时间、场合不同，采用不同的问候。 教学过程： 一、谈话导入 1、礼仪包括家庭日常生活中、学校集体活动中、社会交往活动中自然形成的各种文明举止行为。今天我们就来学习在学校中文明礼仪。 2、尊师是我国传统的美德。老师像辛勤的园丁一样为学生“传道、授业、解惑”被称为“全人类灵魂工程师”，作为学生应对老师有一定的礼仪。 二、行为指导 1、讨论：我们班在尊师方面做得好吗？ 2 （1）无论是在校外走动还是校内，遇见老师应主动问好。 （2）进出校门或是在楼梯上遇见老师，不要与老师抢道，应该主动给老师让道让老师先行。 （3）看见老师手中拿着许多东西，要主动上前帮忙。 （4）向老师请教问题时要说“请问”；老师回答后，应说“谢谢”；然后再对老师说“再见”方可离开。 （5）老师在与人交谈或做事时，不可随意打断、干扰老师，应站立在一侧，等老师交谈完毕或者做完事情后再找老师。 （6）上课认真听讲，不做小动作，不惹老师生气。 （7）珍惜老师的工作及劳动成果，认真完成老师每次布置的各项任务。 （8）课堂上不与老师说开玩笑或是不雅的话，任何时候都不能直呼老师的姓名。 级数审敛法小结 不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的内容是从一些资料书中总结的一些小内容,希望大家能抽空看一下,谢谢. 首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数(其中,包含特殊的交错级数).对于不同的级数,他们有不同的审敛法. 第一节:正项级数 (当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方法和正项级数相同,只是需要我们在运用前,把他们所有的项全部变成正的就可以了) (注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦，若Un的极限不为0，级数发散。) A.定义法(注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出.): 首先,了解一个充要条件:∑∞ Un收敛?部分和数列{Sn}有界，针对 n =1 这个东西，用的地方不多后面会有介绍。 B.比较审敛法：（这里首先强调一下这里介绍的方法完全是针对 正项级数而言，不能滥用）。对于比较审敛法，也许不要按书上的用起来会更方便一点。简单一句话：我们的目的就是要 找要判断的级数的等价无穷小，或是证明这个级数是一个已知收敛级数的高阶无穷小也可。（当然这是证明级数收敛时用的，这里就要求我们要有能一眼猜出级数敛散性的能力，下面会教大家如何第一眼就可以看出绝大多数级数的敛散性） 例1：设k ，m 为正整数，.0,000 >>b a （这里主要是保证以下的 多项式恒为正）是推导出级数 ∑ ∞ =--++++++1 1 10110......n k k k m m m b n b n b a n a n a 收敛的充要条件。 解：设k k k m m m n b n b n b a n a n a u (1) 101 10+++++= --。取m k n n v -= 1，因为0 0lim b a v u n n n = ∞ →，所以 ∑∑∞ =∞ =1 1 ,n n n n v u 具有相同的敛散性，由Vn 收敛的充要条件是k-m>1， 所以所求级数的收敛的充要条件是k-m>1. （这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un 是有理分式的，我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数 ∑ ∞ =---+1 3 2 3 5 5 23) ()12()1(n n n n n n 是收敛的，这因为分子的最高次幂是13，分母 的是15,15-13=2>1 ,故收敛。（至于解题时，我们可以模仿本 题构造Vn 去做）2，这个例题的解法具有一般性。设0→n u ，我 们只需要找到Un 的一个同阶无穷小或是等价无穷小Vn ，如果Vn 的敛散性我们已经掌握，问题解决。 大家可以试着用等价无穷小的方法接一下以下几题： （1）);1tan( )3(,,)cos 1(),2(,,sin )1(13 2 2 2112-+??? ? ??-??? ??∑∑∑∞ =∞=∞ =n N n n a n n a n a n 第十二章 数 项 级 数 教学目的：（1）理解敛散性概念、级数收敛的性质，熟练求一些级数的和；（2）熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy 、D`Alembert 判别法及其极限形式，积分判别法判别正项级数的敛散性；（3）理解Leibniz 级数，熟练利用Leibniz 级数，Abel 、Dirichlet 判别法判别一般级数的敛散性。 教学重点：上、下极限及其性质，数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法。 教学难点：判别法的应用。 主要教学方法：充分利用教材，采用启发式的课堂教学与讨论相结合的形式组织教学，注意讲授课时与习题课课时的分配，精讲多练，保证必要的习题量。同时，充分利用多媒体辅助教学，注重物理知识背景、几何意义的介绍和数学方法的应用，提高教学效果。 §1 级数的收敛性 1． 级数概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1。 又如， +-++-+)1(1)1(1。 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。 定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项。 级数（1）简记为：∑∞ =1 n n u ，或 ∑n u 。 2． 级数的收敛性 同济第六高等数学教案 版无穷级数 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98- 第十一章无穷级数教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数； 5、 泰勒级数； 小学晨会课《自己的事情自己做》教案 五（3）班晨会教案 设计意图 1、结合班级实际情况，通过正反事例对比，使学生懂得从小就要做到自己 的事情自己做，做一个独立自主的人，长大才能成为有用之才。 2、知道作为一个一年级的小学生，哪些事情应该学着自己做了。 内容与步骤 一、谈话导入 每天早晨和傍晚，爸爸妈妈或者爷爷奶奶把你们送到校门口或者接回家，你们的小书包只要一出校门就由大人帮着提了。我不由得想起去年在中央电视台社会新闻栏目中看到一个小朋友，她跟你们一样大，也是上一年级，大家 想不想听听她的故事？ 二、讲故事 主要内容：独立自主，做自己的事，母亲病了还照顾母亲，做必要的家务事， 煎鸡蛋。 三、结合班级情况，正反对比，明理 1、同样是一年级的小朋友，我再给大家讲一讲发生在我们班中的事情，大 家听一听，比一比： ⑴一次上课间操，老师看到一个小朋友的鞋带送了，长长的一截带子被他踩得脏兮兮的，我让他停止做操系鞋带，他却为难地站在原地不动了。因为他 不会系，最后是缪老师帮他系上的。 ⑵又一次，我看见我们班的另一个小朋友从厕所那头跑来，红领巾搭在肩膀上马上要掉下来了，连忙拉住他，告诉他小心红领巾掉了，他一边系一边走，好长一会儿还是没有系上去，最后仍然是缪劳师帮他系好的。 ⑶昨天，我还听到徐老师跟我讲我班的一个小朋友早晨从被窝爬起来一直到 下楼吃早饭都是爸爸妈妈操办。 其实，这些事情在我们班不止一两件，这样的人也不止一两个，与刚才的那个小女孩相比我们实在是差远了，就象是小鸟终有一天要长大，要独自飞翔， 独自捉虫，独自搭窝，我们小朋友也要长大独立生活，可是连自己的事情都不会做还怎么谈照顾别人，长大了又怎么可能成为一个对他人对社会有用的 人？ 2、对于一年级的小朋友来说，哪些事应该学着自己做了呢？ ⑴出示小黑板，跟读词语， 穿衣洗脸洗手刷牙 扫地叠被子洗红领巾 削铅笔整理书包整理课桌 这些你都应该自己来做了。 ⑵讨论，前后4位小朋友说一说，哪些事情你已经做到了？比一比，谁会做 的事情多，推荐你们觉得最能干的小伙伴。 ⑶学生讨论 ⑷指2-3名学生说一说，你是怎么做的？ 四、总结 1、某某真不错，我们其他小朋友也要向他学习，从小就要（齐读课题：自 己的事情自己做） 做一个独立自主的人，长大才能成为有用之材。 2、让我们齐唱《亚克西，巴郎》 伴奏，唱歌 2、在这首儿歌中，巴郎就是这么一个能干的孩子，他博得了大家的夸奖： 亚克西，你真棒！ 教后反思 这一设计是我在深入学生生活后发现一年级的学生普遍存在的问题，由于家庭教育不当缺乏自主意识，更不知道哪些事应该自己学着做了，因此很有针对性，事例真实具体，有一开始所讲的《社会新闻》栏目中那位同龄小女孩形成鲜明对比，教育效果非常明显。自这堂晨会课以后，学生以能独立做事，会系红领巾，会整理书包，会穿衣洗脸为荣了，班里有了“自己的事情自己 做，集体的事情抢着做”的风气了 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 常数项级数的审敛法 §11-2常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数：?Skip Record If...??Skip Record If...? (1) 显然，部分和数列?Skip Record If...?单调增加：?Skip Record If...??Skip Record If...? 1.收敛准则 定理1正项级数?Skip Record If...?收敛?Skip Record If...?部分数列 ?Skip Record If...?有界. 例1判别正项级数?Skip Record If...?的收敛性 解?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...?有上界级数收敛 2.比较审敛法 定理2设?Skip Record If...?和?Skip Record If...?都是正项级数，且 ?Skip Record If...?若?Skip Record If...?收敛, 则?Skip Record If...?收敛；反之，若?Skip Record If...?发散，则?Skip Record If...?发散． 分析：?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?的部分和 ?Skip Record If...? 即?Skip Record If...?有界,由TH1知?Skip Record If...?收敛。反之，设 ?Skip Record If...?发散，则?Skip Record If...?必发散.因为若?Skip Record If...?收敛,由上面已证结论知?Skip Record If...?也收敛，与假设矛盾. 推论设?Skip Record If...?和?Skip Record If...?都是正项级数,如果级数?Skip Record If...?收敛，且存在自然数N，使当?Skip Record If...?时有?Skip 安全记心中 教学目的： 1．引导学生进行正确健康的课间活动，劳逸结合，使学生课间真正得到休息。 2．进行安全教育，让学生初步认识课间活动的规则与秩序。 课前准备： 每人准备好一根80厘米左右的毛线或细绳。 教学过程： （齐唱国歌） 一、提出问题 师：叮铃铃，下课铃声一响，有些同学就跑到教室外面去玩耍，跑啊，跳啊，玩得可真开心。有的在走廊里横冲直撞，有的在地上摸爬滚打，还有的在玩打架呢…… 提问：小朋友，你觉得这些同学课间这样活动好吗？（学生会说：不好） 那为什么不好呢？ 学生发言：1、在走廊里横冲直撞是很危险的，不小心就会摔跤。 2、在地上滚来滚去很不卫生，会把衣服弄脏的。 3、玩打架最不好，我们不能打同学，要跟同学做好朋友。 二、问题交流 讨论：课间十分钟，我们该怎么安排比较合理呢？请小朋友开动小脑筋，好好想一想。（学生可能会说：下课后要先上厕所；喝点水；天气冷了，可以带绳子来练跳绳，带毽子来踢毽子……） 教师指出：下课后，我们要整理一下课桌，准备好下节课需要的学习用品；然后喝点水或者去上个厕所；最后再去玩耍。 提问：谁来说一说，你们下课后玩些什么，怎么玩的呢？（跳绳，捉迷藏、丢沙包、和同学比赛跑步、翻绳、炒黄豆……） 师：课间十分钟，小朋友的活动真丰富，那么，你认为哪些活动比较好？哪些活动不适合我们玩呢？（让学生评说） 三、解决问题 学生讨论：哪些活动适合课间玩。（跳绳、踢毽子、丢沙包……）提问：在我们班，你看到哪些小朋友下课活动能遵守纪律，也是安全的呢？他们是怎么活动的？(让学生自由发言) 师：我们班表现好的同学很多，其他同学都要向他们学习，课间活动要遵守纪律，注意安全。 今天，老师来教大家一种适合在室内玩的游戏，叫翻绳。请大家拿出准备好的细绳，跟着老师做。（老师示范，学生跟着学）(整理)常数项级数的审敛法
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