第七节方向导数与梯度

第七节 方向导数与梯度要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。

重点：方向导数与梯度的计算。

难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。

作业：习题8－7（60P ）2,4,6,8,10一．方向导数问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任意方向或某个方向的变化率．例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题．1．方向导数定义设函数),(y x f z =在点(,)P x y 的某一邻域内有定义，自P 点引有向直线L ，x 轴正向与直线L 夹角为ϕ，在L 上任取一点'(,)P x x y y +∆+∆，若'P 沿着L 趋近于P 时，即当0)()(22→∆+∆=y x ρ时，极限ρρ),(),(limy x f y y x x f -∆+∆+→ 存在则称此极限值为函数在点P 沿着L 方向的方向导数．记作ρρ),(),(lim 0y x f y y x x f L f -∆+∆+=∂∂→． 说明（1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角0>ϕ，顺时针方向旋转生成的角是负角0<ϕ；2．方向导数的计算定理 若函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，那么函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任一方向L 的方向导数都存在，且有计算公式ϕϕsin cos y f x f L f ∂∂+∂∂=∂∂{},cos ,sin ,f f f f e x y x y ϕϕ⎧⎫⎧⎫∂∂∂∂=⋅=⋅⎨⎬⎨⎬∂∂∂∂⎩⎭⎩⎭． 其中ϕ为x 轴到方向L 的转角，e 是与L 同方向的单位向量．证明：因为函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，所以有()f ff x y o x yρ∂∂∆=∆+∆+∂∂， 上式两边同除以ρ，得()()cos sin ff x f y o f f o x y x y ρρϕϕρρρρρ∆∂∆∂∆∂∂=++=++∂∂∂∂，则0lim cos sin f f f f L x yρϕϕρ→∂∆∂∂==+∂∂∂ 例1．求函数yxe z 2=在点(1,0)P 处沿从点(1,0)P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数．解 这里方向L 即向量{}1,1PQ =-的方向，因此x 轴到L 方向的转角4πϕ=,又因为y e x z 2=∂∂，y xe y z 22=∂∂，所以在点)0,1(处，1=∂∂xz，2=∂∂y z ，于是方向导数为22)4sin(2)4cos(1-=-+-⋅=∂∂ππL z ． 另一方法．例2. 设由原点到点),(y x 的向径为r ，x 轴到r的转角为θ，x 轴到射线L 的转角为ϕ，求Lr ∂∂，其中22y x r r +== )0(≠r ． 解 因为θcos 22==+=∂∂r x y x x xr ，θsin 22==+=∂∂ryy x y yr 所以)cos(sin sin cos cos ϕθϕθϕθ-=+=∂∂Lr， 讨论：当θϕ=时，1=∂∂L r,即沿着向径本身方向的方向导数为1,当2πθϕ±=时，0=∂∂Lr,即沿着与向径垂直的方向导数为零．3．三元函数的方向导数三元函数),,(z y x f u =在空间一点(,,)P x y z 沿方向L (设方向L 的方向角为γβα,,)的方向导数，同样定义为ρρ),,(),,(lim 0z y x f z z y y x x f L f -∆+∆+∆+=∂∂→．其中222)()()(z y x ∆+∆+∆=ρ，γρβραρcos ,cos ,cos =∆=∆=∆z y x ．若函数),,(z y x f 在点(,,)P x y z 可微分，则在该点方向导数计算公式为cos cos cos {,,}{cos ,cos ,cos }f f f f f f fL x y z x y zαβγαβγ∂∂∂∂∂∂∂=++=⋅∂∂∂∂∂∂∂ {,,}f f fe x y z∂∂∂=⋅∂∂∂． 其中{cos ,cos ,cos }e αβγ=是与L 同方向的单位向量．例3．求函数u xyz =在点(5,1,2)P 处沿从点(5,1,2)P 到点(9,4,14)Q 的方向的方向导数．解 因为u yz x ∂=∂，,u u xz xy y z ∂∂==∂∂，所以2,10,5PPPu uu xyz∂∂∂===∂∂∂，而且{95,41,142}{4,3,12}PQ =---=，2||413PQ ==，于是 4312cos ,cos ,cos 131313αβγ===，从而431298cos cos cos 210513131313f f f f L x y z αβγ∂∂∂∂=++=⨯+⨯+⨯=∂∂∂∂． 二．梯度1．梯度定义设函数),(y x f z =在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点(,)P x y D∈都可确定出一个向量j yf i x f∂∂+∂∂，这个向量称为函数),(y x f z =在点(,)P x y D ∈的梯度，记作⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂=∂∂+∂∂=x f x f j y f i x f y x gradf ,),( ． 2．梯度与方向导数关系设cos sin e i j ϕϕ=+是与L 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式得{}cos sin ,cos ,sin f f ff f L x y x y ϕϕϕϕ⎧⎫∂∂∂∂∂=+=⋅⎨⎬∂∂∂∂∂⎩⎭(,)(,)cos(^)gradf x y e gradf x y e gradf e =⋅=⋅),(y x gradf prj L =． 可见，方向导数Lf∂∂就是梯度在方向L 上的投影． 当L 方向与梯度方向一致时，有1)^cos(=e gradf，从而方向导数(,)f gradf x y L∂=∂有最大值，所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说，梯度的方向是函数),(y x f 在这点增长最快的方向．结论：函数在某点的梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，即(,)max()f gradf x y L∂=∂ 3．梯度的计算梯度的模为 22)()(),(xfx f y x gradf ∂∂+∂∂=， 梯度方向为 当0≠∂∂xf时，x 轴到梯度转角的正切xf y f∂∂∂∂=θtan ． 4．梯度的几何意义曲面),(y x f z =被平面c z =所截得曲线L 的方程为⎩⎨⎧==c z y x f z ),(这条曲线L 在xoy 面上的投影是一条平面曲线*L ，它在xoy 平面上的直角坐标方程为c y x f =),(对于曲线*L 上一切点，对应的函数值都是c ，所以称曲线*L 为函数),(y x f z =的等高线， 等高线*L 上任一点(,)P x y 处法线斜率为11tan ()y x x yf dy f f dx f θ-=-==-，梯度j yf i x f ∂∂+∂∂为等高线上点P 处的法向量．梯度与等高线关系：函数),(y x f z =在点),(y x p 的梯度的方向与过点p 的等高线c y x f =),(在该点的法线方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向．5．三元函数的梯度k zf j y f i x f z y x gradf∂∂+∂∂+∂∂=),,(等高线对应等量面．例3．求221y x grad+．解 因为221),(yx y x f +=，所以22)(2y x x x f +-=∂∂，22)(2y x yy f +-=∂∂， 于是j y x yi y x x y x grad 22222222)(2)(21+-+-=+．例4．设222),,(z y x z y x f ++=，求)2,1,1(-gradf ．解 因为k z j y i x z y x gradf222),,(++=，所以k j i gradf422)2,1,1(+-=-．6.数量场与向量场如果对于空间区域G 内的任一点M ，都有一个确定的数量)(M f ，则称在这空间区域G 内确定了一个数量场，一个数量场可由一个数量函数)(M f 来确定，如果与点M 相对应的是一个向量()F M ，则称在空间区域内确定了一个向量场，一个向量场可用一个向量函数()F M 来确定．思考题1．2．方向导数与梯度有何区别？又有何联系？（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

第七节 方向导数与梯度分布图示★ 引例 ★ 数量场与向量场的概念 ★ 方向导数的概念 ★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 梯度的概念★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 梯度的运算性质及应用（例9） ★ 例10 ★ 等高线及其画法 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题9—7 ★ 返回内容要点一、场的概念： 数量场 向量场 稳定场 不稳定场二、方向导数.),(),(lim 0ρρy x f y y x x f l f -∆+∆+=∂∂→ 定理1 如果函数),(y x f z =在点),(y x P 是可微分的，则函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在，且,sin cos ϕϕyf x f l f ∂∂+∂∂=∂∂ （7.1） 其中ϕ为x 轴正向到方向l 的转角（图8-7-2）.三、梯度的概念：.),(j yf i x f y x gradf∂∂+∂∂=}sin ,{cos ,sin cos ϕϕϕϕ⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂y f x f y fx f l f ,cos |),(|),(θy x gradf e y x gradf =⋅= 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.梯度运算满足以下运算法则：设v u ,可微，βα,为常数，则（1） grad αβα=+)(v u grad β+u grad v ; （2） grad u v u =⋅)( grad v v + grad u ; （3） grad )()(u f u f '= grad u . 四、等高线的概念例题选讲方向导数例1（E01）求函数y xe z 2=在点)0,1(P 处沿从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数.解 这里方向l即为→PQ },1,1{-=故x 轴到方向l 的转角.4πϕ-=)0,1(xz ∂∂)0,1(2ye =,1=)0,1(yz ∂∂)0,1(22yxe =,2=所求方向导数l z ∂∂⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 24cos ππ.22-=例2 求函数22),(y xy x y x f +-=在点)1,1(沿与x 轴方向夹角为α的方向射线l的方向导数. 并问在怎样的方向上此方向导数有(1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零? 解 由方向导数的计算公式知)1,1(lf ∂∂ααsin )1,1(cos )1,1(y x f f +=ααsin )2(cos )2()1,1()1,1(x y y x -+-=ααsin cos +=,4sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πα故(1) 当4πα=时，方向导数达到最大值;2(2) 当45πα=时，方向导数达到最小值;2- (3) 当43πα=和47πα=时，方向导数等于0.例3（E02）求函数)ln(22z y x u ++=在点A (1,0,1)处沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数.解 这里l 为}1,2,2{-=的方向,向量的方向余弦为,32cos =α,32cos -=β,31cos =γ又x u ∂∂,122z y x ++=y u ∂∂,12222zy y z y x +⋅++=z u∂∂,12222zy z z y x +⋅++=所以Axu ∂∂,21=Ayu ∂∂,0=Azu ∂∂.21=于是 Alu ∂∂21313203221⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=.21=例4 求zx yz xy z y x f ++=),,(在点)2,1,1(沿方向l 的方向导数, 其中l的方向角分别为60℃, 45℃, 60℃.解 与l同向的单位向量l e }60cos ,45cos ,60{cos ︒︒︒=.21,22,21⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=因为函数可微分,且)2,1,1(x f )2,1,1()(z y +=,3= )2,1,1(y f )2,1,1()(z x +=,3=)2,1,1(z f )2,1,1()(x y +=.2=故)2,1,1(lf∂∂212223213⋅+⋅+⋅=).235(21+=例5（E03）设n是曲面632222=++z y x 在)1,1,1(P 处的指向外侧的法向量，求函数2122)86(1y x zu +=在此处方向n 的方向导数.解 令,632),,(222-++=z y x z y x F pxF p x 4=,4=pyF py6=,6=pzF p z 2=,2=故 n},,{z y x F F F =},2,6,4{=||n 222264++=,142=方向余弦为αcos ,142=βcos ,143=γcos .141=px u ∂∂pyx z x 22866+=;146=pyu ∂∂pyx z y 22868+=;148=pzu ∂∂pz y x 22286+=.14-=所以pnu ∂∂pz u y u x u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=γβαcos cos cos .711=例6（E04）(1) 求.122yx grad +(2) 设222),,(z y x z y x f ++=, 求)2,1,1(-gradf .解 (1)这里.1),(22y x y x f +=因为 x f∂∂,)(2222y x x +-=y f ∂∂,)(2222y x y +-= 所以 221y x g r a d +.)(2)(2222222j y x y i y x x +-+-=(2)gradf },,{z y x f f f =},2,2,2{z y x =于是 )2,1,1(-g r a d f }.4,2,2{-=例7 求函数y x z y x u 2332222-+++=在点)2,1,1(处的梯度, 并问在哪些点处梯度为零?解 由梯度计算公式得),,(z y x gradu k z u j y u i x u∂∂+∂∂+∂∂=,6)24()32(k z j y i x +-++= 故)2,1,1(gradu .1225k j i ++=在⎪⎭⎫⎝⎛-0,21,230P 处梯度为.0例8（E05）求函数xyz z xy u -+=32在点)1,1,1(0P 处沿哪个方向的方向导数最大？最大值是多少.解 由x u ∂∂,2yz y -=y u ∂∂,2xz xy -=z u∂∂,32xy z -=得 ,00=∂∂P xu,10=∂∂P yu .20=∂∂P zu从而)(0P gradu },2,1,0{=)(0P u grad 410++=.5= 于是u 在点0P 处沿方向}2,1,0{的方向导数最大,最大值是.5例9（E07） 设)(r f 为可微函数,.|,|k z j y i x r r r++==求),(r gradf解 由上述公式(3)知grad )()(r f r f '= grad .)(⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂'=k z r j y r i x r r f r因为,,,rz z r r y y r r x x r =∂∂=∂∂=∂∂所以grad .)(||)()()(0r x f r r x f k r z j r y i rx r f r f'='=⎪⎭⎫⎝⎛++'=注:利用场得概念，我们可以说向量函数grad )(M f 确定了一个向量场－梯度场，它是由数量场)(M f 产生的. 通常称函数)(M f 为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场. 必须注意，任意一个向量场不一定势势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场.例10（E06）试求数量场rm所产生的梯度场, 其中常数,0>m 222z y x r ++=为原点O 与点),,(z y x M 间的距离.解⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂r m x x r r m ∂∂-=2,3r mx -= 同理⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂r m y ,3r my -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂r m z .3rmz-= 从而 r mg r a d .2⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=k r z j r y i rx r m如果用r e表示与同方向的单位向量,则r e k r z j r y i r x ++= .2r e rmr m grad -=上式右端在力学上可解析为,位于原点O 而质量为m 的质点对位于点M 而质量为 1 的质点的引力.该引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距离平方成反比,该引力的方向由点M 指向原点.课堂练习1. 函数22),(y x y x f z +==在)0,0(点处的偏导数是否存在? 方向导数是否存在?2. 求函数xz yz xy u ++=在点)3,2,1(P 处沿P 点的向径方向的方向导数.。

第七节 方向导数与梯度 ㈠本课的基本要求理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法 ㈡本课的重点、难点方向导数和梯度的概念为重点、其计算方法为难点 ㈢教学内容 一．方向导数偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率。

但许多物理现象告诉我们，考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的。

例如，热空气是向冷的地方流动，气象学中就是确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率。

因此我们有必要来讨论函数沿任一指定方向的变化率问题。

设l 是xoy 平面上以),(000y x P 为始点的一条射线，)cos ,(cos βα=l e 是与l 同方向的单位向量。

射线l 的参数方程为)0(,cos ,cos 00≥+=+=t t y y t x x βα。

设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域)(0P U 内有定义，)cos ,cos (00βαt y t x P ++为l 上另一点，且)(0P U P ∈。

如果函数增量),()cos ,cos (0000y x f t y t x f -++βα与P 到0P 的距离t PP =0的比值ty x f t y t x f ),()cos ,cos (0000-++βα，当P 沿着l 趋于0P （即+→0t ）时的极限存在，则称此极限为函数),(y x f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记作),(00y x lf ∂∂，即lim0),(00+→=∂∂t y x lf ty x f t y t x f ),()cos ,cos (0000-++βα。

⑴注意 在方向导数中，由于ρ总是正的，因此是单向导数，即方向导数是函数沿射线方向的变化率。

而在偏导数中，x ∆与y ∆的值则可正可负，因此，如果函数),(y x f z =在点P 沿着x 轴正向}0,1{=i ，y 轴正向}1,0{=j 的方向导数存在，其值就是y x f f ,；如果函数),(y x f z =在点P 沿着x 轴负向}0,1{-=-i ，y 轴负向}1,0{-=-j 的方向导数存在，其值就是y x f f --,。