高三数学重点难点函数的极限

函数的极限知识点总结一、函数极限的定义1. 函数的极限定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。

如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立，则称当x自变量趋于x0时，函数f(x)以A为极限（或者以A收敛），记作lim(x→x0)f(x)=A。

2. 函数极限概念解释：函数的极限就是描述了当自变量趋于某一特定的常数时，函数的值随之趋于的一个确定的常数。

3. 极限的图像解释：函数f(x)的极限lim(x→x0)f(x)=A，表示当x自变量在点x0的邻域内取值时，函数图像与直线y=A的距离可以任意小。

即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。

二、函数极限的性质1. 唯一性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值是唯一的。

即如果lim(x→x0)f(x)=A1，又有lim(x→x0)f(x)=A2，那么A1=A2。

2. 有界性：若函数f(x)在x0附近有极限，那么它在x0附近是有界的。

即存在一个正数M>0，使得当x自变量在点x0的邻域内取值时，总有|f(x)|<M。

3. 保序性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值保持不变。

即如果lim(x→x0)f(x)=A，且f(x)≤g(x)，那么lim(x→x0)g(x)也存在，并且lim(x→x0)g(x)≤A。

4. 逼近性：如果函数f(x)的极限存在，那么函数f(x)在x0附近与它的极限可以任意接近。

即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。

三、函数极限的运算规律1. 四则运算法则：设lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，且A，B存在，那么有lim(x→x0)[f(x)± g(x)]=A±B，lim(x→x0)[f(x)·g(x)]=A·B，lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B（B≠0）。

芯衣州星海市涌泉学校函数的极限教学目的：1、使学生掌握当0x x →时函数的极限；2、理解：A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是Ax f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0教学重点：掌握当0x x →时函数的极限教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念〞的理解。

教学过程：一、复习：〔1〕=∞→nn qlim ＿＿＿＿＿1<q ;〔2〕).(_______1lim *∞→∈=N k x kx 〔3〕?lim 22=→xx 二、新课就问题〔3〕展开讨论：函数2x y =当x 无限趋近于2时的变化趋势当x 从左侧趋近于2时〔-→2x〕当x 从右侧趋近于2时〔+→2x〕函数的极限有概念：当自变量x 无限趋近于0x 〔0x x ≠〕时，假设函数)(x f y =无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0。

特别地，C C x x =→0lim ；0lim x x x x =→三、例题求以下函数在X ＝0处的极限〔1〕121lim 220---→x x x x 〔2〕xx x 0lim→〔3〕=)(x f 0,10,00,22<+=>x x x x x四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。

五、练习及作业： 1、对于函数12+=x y 填写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x时函数12+=x y 的极限2、对于函数12-=x y 填写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12-=x y 的极限3*121lim 221---→x x x x 32302)31()1(lim x x x x x +-+-→)cos (sin 2lim 22x x x x --→π 2321lim4--+→x x x xa x a x -+→20lim 〔0>a 〕x x 1lim 0→。

归纳极限知识点总结高中一、极限的定义在介绍极限的相关知识之前，首先需要明确极限的定义。

在数学中，对于一个函数f(x)，当x的取值趋于某个数a时，如果函数f(x)的取值也趋于某个数L，那么我们就说函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

这个定义可以通过数学公式来表示，即对于任意的正实数ε，存在对应的正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立。

二、极限存在与不存在的判定1. 无穷极限存在的条件当x的取值趋于正无穷或负无穷时，如果函数的取值有限且有确定的值L，那么函数在无穷处的极限存在，即lim(x→+∞)f(x)=L或lim(x→-∞)f(x)=L。

2. 极限不存在的情况当x趋于某个数a时，如果函数f(x)的极限不存在，可能有以下几种情况：a) 函数f(x)在a的邻域内没有定义；b) 函数f(x)在a的邻域内存在无穷大的值；c) 函数f(x)在a的邻域内振荡或者是分段函数的情况。

三、极限的性质1. 唯一性如果函数f(x)在x趋于a时的极限存在，并且是唯一的，那么就可以说函数f(x)在x趋于a时的极限存在。

如果函数在x趋于a时的极限不存在或者不唯一，那么就可以说函数在x趋于a时的极限不存在。

2. 夹逼定理对于一个函数f(x)和g(x)，如果它们在x趋于a时的极限存在且等于相同的值L，并且在x趋于a时，有h(x)≤f(x)≤g(x)，那么函数h(x)在x趋于a时的极限也存在且等于L。

3. 有界性如果函数f(x)在x趋于a时的极限存在且为L，那么对于任意的小于L的正数ε，存在对应的正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)|<ε成立。

四、无穷小量与无穷大量1. 无穷小量在微积分中，对于一个函数f(x)，如果在x趋于某个数a时，极限为零，那么我们就说函数f(x)是x趋于a时的无穷小量。

通常情况下，我们记作lim(x→a)f(x)=0。

高三数学最难的三章知识点高三是学生们备战高考的关键年级，各个学科的学习都变得更加紧张而复杂。

在数学这门学科中，有三个章节被普遍认为是最难掌握的。

本文将深入研究和探讨这三个章节，帮助同学们更好地理解和应对这些难点。

第一章：向量与立体几何向量与立体几何是高中数学中的一大难点。

向量的概念和运算需要清晰的几何思维和逻辑推理能力。

学生往往在确定向量的方向、模长以及向量的加减法运算时容易犯错误。

为了克服这一难点，我们建议同学们多进行练习，尤其是做一些立体几何相关的应用题，在几何图形中真实体会向量的运用和含义。

第二章：函数与极限函数与极限是高三数学中另一大难题。

函数的概念和性质需要同学们具备较高的抽象思维和数学推导能力。

而极限则需要同学们熟练掌握极限的定义、性质以及相关的计算方法。

要克服这一难点，同学们需要进行大量的练习，熟练掌握函数与极限的基本概念和相关的计算方法。

此外，理解极限的思想和思维也是非常重要的，可以通过阅读数学相关的书籍和文献来提升自己。

第三章：微积分与导数微积分与导数是高三数学中的最后一个难点。

微积分的概念和计算方法需要同学们具备较强的逻辑推理和计算能力。

其中最重要的就是掌握导数的定义和性质，以及熟练掌握常见函数的导数。

对于这一难点，同学们可以通过大量的练习和思考来逐步提升自己的能力。

此外，建议同学们多利用互联网资源，寻找一些与微积分相关的视频教程和在线习题，加深对微积分的理解和应用。

总结：高三数学中最难的三个章节是向量与立体几何、函数与极限以及微积分与导数。

为了更好地掌握这些难点，同学们可以通过多做练习、查阅相关资料、提高抽象思维和逻辑推理能力来强化自己的数学知识和技能。

高三阶段是学生们最后冲刺的时刻，只有克服这些难题，才能更好地应对高考，取得理想的成绩。

祝愿同学们在学业上取得突破，取得好成绩！。

高中数学极限问题解题思路与例题一、引言高中数学中，极限问题是一个重要的考点，也是学生们普遍感到困惑的一个难点。

正确理解和掌握极限问题的解题思路对于学习数学和应对考试都具有重要意义。

本文将从基本概念、解题思路和例题分析三个方面，详细介绍高中数学极限问题的解题方法。

二、基本概念1. 极限的定义极限是数学中一个重要的概念，用于描述函数在某一点附近的趋势。

对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果函数值f(x)无限接近于一个常数L，那么我们就说函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、复合函数的极限等。

掌握这些性质对于解题非常有帮助。

三、解题思路1. 分析题目在解决极限问题时，首先要仔细分析题目，明确题目中给出的条件和要求。

特别要注意是否存在不确定形式，如0/0、∞/∞等。

2. 利用基本极限高中数学中，有一些基本的极限公式是非常重要的，如lim(x→0)(sinx/x)=1、lim(x→∞)(1+x)^1/x=e等。

在解题时，可以利用这些基本极限公式来简化计算。

3. 利用极限的性质极限具有一些重要的性质，如极限的四则运算法则、复合函数的极限等。

在解题时，可以灵活运用这些性质来简化计算。

4. 利用夹逼定理夹逼定理是解决极限问题的常用方法之一。

当我们无法直接计算出极限时，可以通过找到两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得它们的极限都等于我们要求的极限，从而利用夹逼定理求出极限的值。

四、例题分析1. 例题一求极限lim(x→0)(x^2+sinx)/x。

解析：首先，我们可以利用基本极限lim(x→0)(sinx/x)=1，将题目转化为lim(x→0)(x+sinx)/x。

然后，利用极限的四则运算法则，将分子和分母分别求极限，得到lim(x→0)x/x+lim(x→0)sinx/x=1+0=1。

2. 例题二求极限lim(x→∞)(2x^2+x)/(3x^2-4x)。

高三数学 函数的极限（2）一、教学目标：1．使学生能从变化趋势理解函数在-+→→→000x x x x x x 、、时的极限的概念；2．会求函数在某一点的极限或左、右极限，掌握函数在一点处的极限与左、右极限的关系；3．利用函数的极限培养学生的观察分析水平；4．通过对函数极限的学习，进一步渗透从量变到质变的辩证思维方法；二、教学重点：第二类函数极限的概念和左右极限与点极限之间的联系；教学难点：区分几种不同类型极限差别和准确理解极限的概念．三、教学用具：投影仪或多媒体四、教学过程：1．复习引入，提出问题回忆当-∞→+∞→∞→x x x 、、时的函数极限是如何定义的．我们可否用类似地思想和方法研究0x x →时的函数极限．2．考察函数，比较特征例1 考察函数2x y =，当x 无限趋近于2时，函数的变化趋势．从表格上看：教科书第81页的表说明，自变量2<x 趋近于2（-→2x ）和从右侧趋近于2（即+→2x ）时，y 都趋近于4． 从差式4-y 看：差式的值变得任意小（无限接近于0）．从任何一方面看，当x 无限趋近于2时，函数2x y =的极限是4．记作4lim 22=→x x ． 教师强调：2→x ，包括分别从左、右两侧趋近于2．例2 考察函数)1(112≠--=x x x y ，当1→x 时的变化趋势． 例3 考察函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=时）（当时）（当时）（当0 10 00 1)(x x x x x x f当-→0x 时，或+→0x 时函数的变化趋势．教师略作分析后，出示预先用多媒体技术或其他方式制作2的表格和图象，让学生用同样的思想和研究方法分析两侧函数的变化趋势．教师强调：例2虽然在1=x 处没有定义，但仍有极限．例3与上两例不同，x 从原点某一侧无限趋近于0，)(x f 也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，)(x f 趋近的值不同，这时)(x f 在0x 处无极限．3．整理材料，明确概念（1）请思考下面问题：当0x x →时，)(x f y =在0x x =处有定义，是不是一定有极限？)(x f y =在0x x =处无定义，是不是一定有极限？0x x →包括两层意思：x 从0x 的左侧趋近于0x ，即-→0x x ；x 从0x 的右侧趋近于0x ，即+→0x x ．是不是-→0x x 和+→0x x 时，)(x f 会趋近于同一个常数？)(lim 0x f x x →在什么时候存有？（2）教师归纳学生思考讨论的结果，得到：当自变量x 无限趋近于常数0x （但0x x ≠）时，假如)(x f 无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做)(x f 的极限，记作a x f x x =→)(lim 0．假如x 从0x x =的单侧无限趋近于0x 时，)(x f 无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做)(x f 单侧的极限．当-→0x x 时，)(x f 的极限1a 叫做左极限，记作1)(lim 0a x f x x =-→；当+→0x x 时，)(x f 的极限2a 叫右极限，记作2)(lim 0a x f x x =+→．只有21a a =时，a x f x x =→)(lim 0才存有．即a x f x f a x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 000． 显然，a x f x x =→)(lim 0是双侧极限． 4．课堂练习，举例应用（1）本课例1、例2中有左极限吗？有右极限吗？它们各是多少？为什么此两例中函数有极限？（2）口答教科书第82页例2，并归纳出C C x x =→0lim （C 为常数）； （3）口答教科书第83页练习中第2题；（4）口答教科书第85页练习中第1题；（5）讨论教科书第85页练习中第2题和习题2．4中第3题．并要求把结果板演，以锻炼使用数学符号的水平．要求学生归纳出0x x =处极限不存原情况，让学生分析．具有)()(lim a f x f ax =→这个特点的函数，从图象上看，曲线有何特征？反之，曲线具有这个特征的函数是否有)()(lim a f x f ax =→？为以后的学习埋下伏笔． 5．比较概念，归纳小结（1）a x f x x =→)(lim 0存有的充要条件是什么？哪些是单侧极限？哪些是双侧极限？ （2）我们已学过哪7种不同类型的极限？它们的共同之处是什么？用数学符号来表达各有什么不同？五、布置作业教科书习题2．4第2（5）、（6）、（7）、（8）题．。

高三函数最难学的知识点在高三数学学习中，函数是一个重要而复杂的概念。

学生们往往认为函数是数学中最难学的知识点之一。

在学习函数的过程中，有几个知识点经常使学生感到困惑。

本文将重点介绍高三函数学习中最难理解的三个知识点：极限、导数和积分。

一、极限极限是函数学习中最重要的概念之一。

在学习极限的过程中，学生们经常遇到以下问题：1. 理解极限的定义：学生们常常对极限的严格定义感到困惑。

极限的定义是：当一个函数的自变量趋于某个特定值时，函数的值是否趋于一个确定的数值。

这种思维方式与我们平常直观的理解不太相同，因此对学生来说很难理解。

2. 计算极限的方法：计算极限是学习函数的基础。

然而，对于一些复杂的函数，学生经常不知道该如何使用正确的方法计算。

例如，使用洛必达法则、泰勒公式等技巧进行计算。

二、导数导数是函数学习中的一个重要工具，它描述了函数在某一点的变化率。

学生们普遍认为导数是高三数学中最困难的知识点之一，因为：1. 理解导数的定义：导数的定义是函数在某一点的极限。

学生们要理解导数的定义，并将其应用于实际问题中进行计算，这对他们来说是一项具有挑战性的任务。

2. 导数的计算：对于一些复杂的函数，求导数的计算过程往往非常复杂，需要灵活运用求导法则和基本函数的性质。

这需要学生具备扎实的数学功底和较强的逻辑思维能力。

三、积分积分是函数学习中的另一个重要工具，它求解了函数在某一区间上的面积或曲线长度。

学生们通常认为积分是高三数学中最抽象和难以理解的知识点之一，原因如下：1. 理解积分的定义：积分的定义是函数的逆运算，是求出函数某一区间上的面积或曲线长度。

学生们需要理解这一定义，并掌握求解积分的方法，如不定积分、定积分等。

2. 积分计算的技巧：对于一些复杂的函数或曲线，积分的计算往往较为繁琐。

学生们需要掌握常见的积分计算技巧，如换元积分法、分部积分法等，才能解决问题。

尽管高三函数学习中存在这些难点，但通过认真学习和练习，同学们一定能够克服困难，掌握这些知识点。

高数函数的极限知识点一、极限的定义1. 数列极限数列 $\{a_n\}$ 极限为 $L$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|a_n - L| < \epsilon$ 成立。

2. 函数极限函数 $f(x)$ 当 $x \to c$ 时的极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - c| < \delta$ 时，不等式 $|f(x) - L| < \epsilon$ 成立。

二、极限的性质1. 唯一性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} f(x) = M$ 都成立，则 $L = M$。

2. 局部有界性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，则 $f(x)$ 在 $c$ 的某个邻域内有界。

3. 局部保号性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 且 $L > 0$，则存在 $c$ 的一个邻域，使得在这个邻域内 $f(x) > 0$。

三、极限的计算1. 极限的四则运算如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} g(x) = M$ 都存在，则：- $\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = L + M$- $\lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = L - M$- $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$- $\lim_{x \to c} [f(x) / g(x)] = L / M$，当 $M \neq 0$。

高中数学函数求极限技巧分享函数求极限是高中数学中的重要内容，也是许多学生感到困惑的地方。

在这篇文章中，我将分享一些函数求极限的技巧，帮助高中学生更好地理解和解决这类问题。

一、基本极限法则在解决函数求极限的问题时，我们可以利用一些基本的极限法则来简化计算过程。

这些基本法则包括：1. 极限的四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，当x趋向于某个数a时，我们有以下法则：- 极限的和差法则：lim(f(x) ± g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x))- 极限的乘法法则：lim(f(x) × g(x)) = lim(f(x)) × lim(g(x))- 极限的除法法则：lim(f(x) / g(x)) = lim(f(x)) / lim(g(x)) (其中lim(g(x)) ≠ 0)2. 极限的乘方法则：当x趋向于某个数a时，我们有以下法则：- 极限的幂运算法则：lim(f(x)^n) = [lim(f(x))]^n (n为常数)通过运用这些基本极限法则，我们可以将复杂的函数极限问题简化为更容易计算的形式。

二、无穷小量与无穷大量在函数求极限的过程中，我们需要了解无穷小量和无穷大量的概念。

1. 无穷小量：当x趋向于某个数a时，如果函数f(x)的极限为0，那么f(x)就是x趋于a时的无穷小量。

常见的无穷小量有x、sinx、cosx等。

2. 无穷大量：当x趋向于某个数a时，如果函数f(x)的极限为正无穷大或负无穷大，那么f(x)就是x趋于a时的无穷大量。

常见的无穷大量有1/x、e^x、lnx等。

了解无穷小量和无穷大量的性质，可以帮助我们更好地理解函数的极限性质。

三、常见的函数极限类型在高中数学中，有一些常见的函数极限类型，我们可以通过分析其特点来求解。

1. 无穷小量与无穷大量的乘积：当两个函数f(x)和g(x)的极限分别为无穷小量和无穷大量时，我们可以通过分析它们的乘积来求解极限。