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2019-2020年高三数学 第78课时 函数的极限和连续性教案教学目标： 了解函数极限的概念；掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；了解函数连续的意义；理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质（一） 主要知识及主要方法：函数极限的定义:当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作：，或者当时， ；当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是.记作或者当当时，如果且，那么就说当趋向于无穷大时，函数的极限是，记作：或者当时， .常数函数: ()，有.存在，表示和都存在，且两者相等所以中的既有，又有的意义，而数列极限中的仅有的意义.趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作.特别地，；.000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==. 其中表示当从左侧趋近于时的左极限，表示当从右侧趋近于时的右极限.对于函数极限有如下的运算法则：如果，,那么,, .当是常数，是正整数时:,这些法则对于的情况仍然适用.函数在一点连续的定义: 如果函数在点处有定义，存在，且，那么函数在点处连续.函数在内连续的定义：如果函数在某一开区间内每一点处连续，就说函数在开区间内连续，或是开区间内的连续函数.函数在上连续的定义：如果在开区间内连续，在左端点处有，在右端点处有就说函数在闭区间上连续,或是闭区间上的连续函数.最大值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≥，那么在点处有最大值.最小值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≤，那么在点处有最小值.最大值最小值定理如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上有最大值和最小值.极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；指数型(和型），通过变形使得各式有极限；根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；根的存在定理：若①函数在上连续，②，则方程至少有一根在区间内；若①函数在上连续且单调，②，则方程有且只有一根在区间内.（二）典例分析：问题1．求下列函数的极限：；；；2cos lim cos sin 22x x x x π→-； ；();（广东） （陕西）问题2．若，求、的值.设，若，求常数、的值.（重庆）设正数满足，则问题3．讨论下列函数在给定点处的连续性.，点；，点；试讨论函数20()13,02x f x x x >=⎨⎪+⎪⎩≤，点问题4．已知()()()0()101x a x f x x x b x +⎧=-<<⎨⎪=-⎪⎩≥ ，在区间上连续，求（届高三四川眉山市一诊）已知函数()()1()3log 1a b a x f x x x b x ⎧-<⎪=-⎨⎪+⎩≥在上连续且单调递增，则实数问题5．已知函数，当时，求的最大值和最小值；解方程；求出该函数的值域.问题6．证明：方程至少有一个小于的正根.（三）课后作业：已知，求的值.若（、为常数），则 ；已知（），那么给一个定义，使在处连续，则应是（济南一模）设是一个一元三次函数且，，则设函数在处连续，且，则（四）走向高考：（江西）若，则（湖北）若，则常数的值为（天津）设，，，则（四川）（江西）等于等于等于不存在（天津）设等差数列的公差是，前项的和为，则（全国Ⅱ）已知数列的通项，其前项和为，则（湖南）下列四个命题中，不正确．．．的是若函数在处连续，则函数的不连续点是和若函数，满足，则（安徽）如图，抛物线与轴的正半轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，…，，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，…，，从而得到个直角三角形212121n n n Q PP Q P P ---△，，△．当时，这些三角形 的面积之和的极限为（江西）已知函数21(0)()2(1)xc cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤在区间内连续， 且．求实数和的值；解不等式．y xO（广东）设函数，其中常数为整数.当为何值时，≥；定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得.试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根.2019-2020年高三数学第80课时导数的应用教案教学目标：理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.（一）主要知识及主要方法：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:求;确定在内符号;若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数①为增函数（为减函数）.②在区间上是增函数≥在上恒成立；在区间上为减函数≤在上恒成立.极大值：一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作极大值，是极大值点.极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有就说是函数的一个极小值，记作极小值，是极小值点.极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs大值或极小值可以不止一个.（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>.（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.当在点连续时，判别是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.求可导函数的极值的步骤:确定函数的定义区间，求导数求方程的根用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值． 说明：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值p求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.（二）典例分析：问题1．（届云南平远一中五模）函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--3,38]34,21[1,23 已知，的反函数为，则（大连一模）设均是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是问题2．如果函数在区间上单调递增，并且方程的根都在区间内，则的取值范围为（届高三浙江上虞市调研）已知，那么在区间上单调递增在上单调递增在上单调递增在上单调递增函数，（Ⅰ）求的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于的方程有个不同实根，求实数的取值范围.（Ⅲ）已知当时，≥恒成立，求实数的取值范围.问题3．（天津）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．问题4．（湖北）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）用表示，并求的最大值；（Ⅱ）求证：≥（）．问题5．利用导数求和：21123n n S x x nx -=+++⋅⋅⋅+（, ）.12323n n n n n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅+（）.（三）课后作业：已知函数，则方程在区间上的根有个 个 个 个（郑州一中等四校联考）若函数在上可导且满足不等式恒成立，且常数满足，则下列不等式一定成立的是求满足条件的的范围：使为上增函数，则的范围是使为上增函数，则的范围是使为上增函数，则的范围是证明方程在上至多有一实根.（届高三陕师大附中八模）如果是二次函数, 且的图象开口向上, 顶点坐标为, 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（届厦门双十中学高三月考）如图，是函数的大致图像，则等于（天津）函数的定义域是开区间, 导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点个个个个（届高三哈尔滨第三中学第一次月考）Array函数的图象如图所示，且，则有已知：，证明不等式：设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间（届高三福建质检）已知函数在处取得极值．求实数的值；若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；证明：对任意的正整数，不等式都成立．（四）走向高考：（陕西）是定义在上的非负可导函数，且满足≤．对任意正数，若，则必有≤≤≤≤(江苏)已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有≥，则的最小值为（全国）函数在下面哪个区间内是增函数（重庆）曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则（全国）已知是正整数且，求证：（重庆）已知函数44()ln (0)f x ax x bx c x =+->在处取得极值，其中为常数．（Ⅰ）试确定的值；（Ⅱ）讨论函数的单调区间；（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．（海南）设函数（Ⅰ）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（Ⅱ）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．（全国Ⅰ）设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．（全国Ⅱ文）若函数()3211()1132f x x ax a x =-+-+在区间内为减函数，在区间内为增函数，试求实数的取值范围.。
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性【本讲主要内容】数列、函数的极限及函数的连续性数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性【知识掌握】【知识点精析】 （一）数列极限 1. 概念考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势：.,101,,101,101,10132 n ① .,1,,43,32,21 n n ② .,)1(,,31,21,1 nn ③（1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a.（2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ．（3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”．定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列 n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n 无限地接近于0），那么就说数列 n a 以a 为极限，或者说a 是数列 n a 的极限。
表示为a a lin n n2. 数列极限的表示方法：① a a n nlim ②当 n 时，a a n .3. 几个常用极限：①C C nlim （C 为常数）②),(01lim是常数k N k n kn③对于任意实常数， 当1|| a 时，0limnn a当1 a 时，若a ＝1，则1limn n a ；若1 a ，则nn n n a )1(lim lim不存在当1 a 时，nn alim 不存在（二）函数极限研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限 考察函数f(x)＝1，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势 （1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x的值无限趋近于0．就是说 函数y ＝x 1上的极限为0，记作01lim xx（2）当 x 时，类似地可得函数xy 1的值无限趋近于0，就是说，当 x 时，函数xy 1的极限为0，记作01lim x x（3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝x1无限趋近于0，这说明01lim x x (或01lim x x )函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：几种特殊函数的极限：（1）常数函数f(x)＝C (C 为常数,x ∈R),有C x f x)(lim（2）函数xx f 1)(（x ≠0）,有01lim x x .2. x →x 0时，函数)(x f 的极限例1. 考察函数y ＝x 2，当χ无限趋近于2时，函数的变化趋势．①从表一上看：自变量x<2趋近于2(x 2)时，y 4． 从表二上看：自变量x>2趋近于2(x 2)时，y 4．②从图象上看：图象见教科书第79页，自变量x 从左侧趋近于2(即x 2)和从右侧趋近于2(即x 2)时，y 都趋近于4．③从差式|y －4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)．从任何一方面看，当x 无限趋近于2时，函数y ＝x 2的极限是4．记作： 2lim x x 2＝4注意：x 2，包括分别从左、右两侧趋近于2．例2. 考察函数112 x x y (x ≠1),当x 1时的变化趋势.分析：此例虽然在x ＝1处没有定义，但仍有极限．即：2)1(lim 11lim121 x x x x x 定义：一般地，当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a ．记作a x f x x )(lim 0或当0x x 时，a x f )(.注：当0x x 时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否有定义无关，因为0x x 并不要求0x x ．（当然，)(x f 在0x 处是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关．故函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x 存在的既不充分又不必要条件．）如1111)(x x x x x P 在1 x 处无定义，但)(lim 1x P x 存在，因为在1 x 处左右极限均等于零．3. 函数)(x f 的左、右极限例3 考察函数f(x)＝x x 01).0(),0(),0(时当时当时当 x x x 当x 0 时，或x 0 时函数的变化趋势．分析： 此例与上两例不同，x 从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x 0处无极限．定义：如果x 从x ＝x 0的单侧无限趋近于x 0时，f(x)无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做f(x)单侧的极限．当x x0时，f(x)的极限a 1叫做左极限，记作1x x a )x (f lim 0；当x x0时，f(x)的极限a 2叫右极限，记作2x x a )x (f lim 0．只有a 1＝a 2时，a x f x x )(lim 0才存在。
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高三数学第二章数列的极限知识点总结
极限，是指无限趋近于一个固定的数值。
以下是数学网为大家整理的高三数学第二章数列的极限知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，数学网一直陪伴您。
1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限;
2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在;
3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线);
4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在.
下面我们重点讲一下数列极限的典型方法.
重要题型及点拨
1.求数列极限
求数列极限可以归纳为以下三种形式.
★抽象数列求极限
这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证.
★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法：
a.利用单调有界必收敛准则求数列极限.
首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性;其次,通过递推关系中取极限，解方程, 从而得到数列的极限值.
b.利用函数极限求数列极限。
第2章 极限 小结与复习(2)教学目的：1.进一步巩固求极限的基本方法，数学归纳法.2.利用函数极限存在，解题.3.利用函数的连续性，解一些题目教学重点：求解数列或函数的极限.教学难点：极限的求解.数学归纳法的应用.授课类型：新授课课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念.并且与我们下一章要学习的导数有密切的关系.学习极限概念要注意体会对象的变化规律，数列或函数有极限，意味着它们在变化中无限趋近于一个常数，所以我们要以运动的眼光来看待事物，要把握运动状态中的不变量.本节课，先本看一个用数学归纳法来证明的一个例子，虽然极限是本章的主要内容，但数学归纳法这种方法也要掌握，特别是一些与n 有关的题目，用数学归纳法证明会很方便，接着再来看一些关于极限的一些题目，进一步巩固一下求极限的一些方法.教学过程：一、讲解范例：例1 已知数列,)13)(23(1,,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n Λ… (1)计算S 1，S 2，S 3，S 4. (2)猜想S n 的表达式，并证明.(3)∞→n lim S n . 解：(1)S 1=41411=⨯. S 2=722817741411=+=⨯+⨯ S 3=10370120107172=+=⨯+ S 4=13413013913101103=+=⨯+. (2 )解：通项是以3n －2，3n +1两数乘积为分母的，而我们看到，在表示上面四个结果的分数中，分子可用项数n 表示，分母可用3n +1表示，于是可猜想.S n =13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n Λ证明方法一:用数学归纳法证明如下：1° 当n =1时，S 1=113141411+⨯==⨯等式成立. 2° 假设当n =k 时等式成立.即 S k =13+k k . 当n =k +1时.)43)(13(143)43)(13(1)43()43)(13(113)43)(13(1)43)(13(1)13)(23(141121++++=++++=++++=+++=++++-++⨯=+k k k k k k k k k k k k k k S k k k k S k k Λ 1)1(31431)43)(13()1)(13(+++=++=++++=k k k k k k k k ∴当n =k +1时，等式也成立.∴S n =13+n n (n ∈N *) 证明方法二：)131231(31)13)(23(1+--=+-n n n n ∴)13)(23(11071741411+-++⨯+⨯+⨯=n n S n Λ 1313331)1311(31)131231101717141411(31)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+=+⋅=+-=+--++-+-+-=+--++-+-+-=n n n n n n n n n ΛΛ ∴S n =13+n n(3)解: 31131lim 13lim lim =+=+=∞→∞→∞→nn n S n n n n 例2 已知下列极限，求a 与b . (1)0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x (2)0)1(lim 2=--+-∞→b ax x x x (3)11lim 2=-++∞→x b a x x 分析：此题属于已知x 趋向于x 0(或无穷大)时，函数的极限存在且等于某个常数，求函数关系式的类型.上边三个小题都不能简单地将x =x 0直接代入函数的解析式中，因为(1)(2)中的x 不趋于确定的常数，(3)虽然趋于1，但将x =1代入函数关系式中，分母为零.因此，解决此类问题的关键，是先要确定用哪种方法求极限，再将函数的解析式进行适当的变形，然后根据所给的条件进行分析，进而确定a ，b 的值.解：(1)1)1()()1(lim )11(lim 22+-++--=--++∞→∞→x b x b a x a b ax x x x x x x b b a x a x 111)()1(lim +-++--=∞→1° 如果1－a ≠0， ∵01lim ,01lim =-=∞→∞→xb x x x ∴x x b b a x a x 111)()1(lim +-++--∞→不存在.2° 如果 1－a =0， ∵010)(111)()1(lim +++-=+-++--∞→b a x x b b a x a x =－(a +b )=0 即a +b =0∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-11001b a b a a解：(2))1(lim 2b ax x x x --+-∞→01111)21()1(lim 1)1()21()1(lim 1)(1lim 11)(1(lim 2222222222222=+++--++--=+++--++--=+++-+-+-=+++-+++---+-=∞→∞→∞→∞→xba x x xb ab x a bax x x b x ab x a bax x x b ax x x bax x x bax x x b ax x x x x x x要使极限存在1－a 2=0. ∴01)21(1111)21()1(lim 222=++-=+++--++--∞→aab xb a x x xb ab x a x 即1+2ab =0，a +1≠0. ∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+=+=-21101021012b aa ab a解：(3)))(1())((lim 1lim 2121b a x x b a x b a x x ba x x x -+--+++=-++→→))(1)(1(lim ))(1(lim 21221b a x x x ba xb a x x b a x x x -+-+-+=-+--+=→→当x →1时))(1)(1(2b a x x x b a x -+-+-+极限存在，则分子、分母必有公因式x －1.∴a －b 2=－1∴原式=1)1(21))(1(1lim 1=-+=-++→b a b a x x x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-4116151)1(2112b a b a b a 说明：第一题是分子分母同除以x 的较低的幂，第二题是分子有理化，和第一题的方法相结合，第三题是因式分解法和分子有理化法相结合.我们以前求极限的一种方法是分子、分母同除x 的最高次幂，但像第一题，因为分子的次数低于分母的次数，如果分子除以x 2，则分子极限为0，不符合，所以通分后，应除以分子分母中x 的较低次幂.并且x 的次数比分子x 的最高次幂大的项的系数应该等于0，这样极限才存在.例3 f (x )=⎩⎨⎧>+≤-232 3222x a x x x 求a ，使2lim →x f (x )存在. 解：要使2lim →x f (x )存在，则-→2lim x f (x )与+→2lim x f (x )要存在且相等. -→2lim x f (x )= -→2lim x (2x 2－3)=2·22－3=5. +→2lim x f (x )= +→2lim x (3x 2+a )=3·22+a =12+a . ∴5=12+a .∴a =－7例4设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+=>+)0( )11()0()0( 12x x xb x a x x ，在x =0处连续，求a ，b 的值. 分析：要使f (x )在x =0处连续，就要使f (x )在x =0处的左、右极限存在，并且相等，等于f (x )在x =0处的值a .解：-→0lim x f (x )=xb x -→0lim ·(x +1－1) 211lim )11()11(lim )11()11)(11(lim 000b x b x x x b x x x x b x x x =++=++-+=++++-+=---→→→ +→0lim x f (x )=+→0lim x (2x +1)=2·0+1=1 ∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==2112b a a a b 说明：这类连续的题目，也关键是求在一点处的左、右极限存在并都等于在这点的函数值，与函数在这点的极限存在的方法是相同的二、课堂练习：1． ])21()31[(lim 320+-+→xx x x 解：])21()31[(lim 320+-+→xx x x 2320(13)(12)lim x x x x →+-+=22320169(16128)lim x x x x x x x→++-+++= 2320038lim lim(38)3x x x x x x →→--==--=- 2.36221)1(lim +++∞→n n n n 解：36221)1(lim +++∞→n n n n22n =2n =n =202 4.1++== 3.xx m nx sin sin lim 0→ (m ，n 为自然数) 解：m m n n nx m mm n n nx m n x x x x x x x x x x x x x x )sin (sin lim sin sin lim sin sin lim 000-→→→=⋅⋅=m n x m x m n x n n x x x x x x x -→→-→→==0000lim )sin (lim lim sin lim 当n －m ＞0时，即n ＞mm n x x -→0lim =0 当n －m =0时，即n =m m n x x -→0lim =1 当n －m ＜0时，即n ＜m n m x x-→)1(lim 0不存在. ∴当n ＞m 时，x x m n x sin sin lim 0→=0；当n =m 时，xx m nx sin sin lim 0→=1；当n ＜m 时，xx m nx sin sin lim 0→不存在. 4.xmx nx 11lim 0-+→ (m ，n ∈N *，n 正奇数) 解：方法一：xmx nx 11lim 0-+→12n n x --→=n x →=x →= 11)1()1(lim 210+++++++=--→n n n n n x mx mx mx m Λnm m n =+++=43421Λ个111 因为这里的m ，n 是确定数，不是无限数，所以在分母上，可以用函数极限的四则运算法则. 方法二：设n mx +1=y ，则x =m1 (y n －1) 当x →0时，y →1. ∴)1(11lim 11lim 10--=-+→→n y nx y my x mx 121(1)lim (1)(1)n n y m y y y y --→-=-+++L 121lim 1n n y my y --→=+++L 111n m m n==+++L 14243个5.数列{a n }满足∞→n lim ［(2n －1)a n ］=2.求∞→n lim (na n ) 解：∞→n lim (na n )= ∞→n lim ［(2n －1)a n ·12-n n ］=∞→n lim ［(2n －1)a n ］·∞→n lim 12-n n =2·1212121lim =⋅=-∞→n n .6.求下列极限：)4cot(2tan lim4ππ-→x x x解：原式=)4cos(2cos )4sin(2sin lim 4πππ--→x x x x x 4sin 2sin()4lim cos[2()]cos()424x x x x x πππππ→-=-+-. 4sin 2sin()4limsin 2()cos()44x x x x x ππππ→⋅-=--⋅-24sin 2lim 2cos ()4x x x ππ→=--11212==--⋅ 三、小结 ：这节课还是主要学习求极限的方法，知道了极限求函数的解析式，或者知道了函数在点或区间上的连续性，求函数的解析式等 四、课后作业：五、板书设计（略） 六、课后记：。
高三数学函数极限的运算法则2第一篇：高三数学函数极限的运算法则2函数极限的运算法则（4月30日）教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用教学过程：一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如lim1=0,limx=xo.若求极限的函数比x→∞xx→xo较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二、新课讲授也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C是常数，n是正整数时，lim[Cf(x)]=Climf(x)x→xox→xox→xolim[f(x)]n=[limf(x)]n x→xo这些法则对于x→∞的情况仍然适用.三典例剖析例1 求lim(x+3x)x→222x3-x2+1例2 求lim x→1x+1x2-16例3 求limx→4x-4x2-16分析：当x→4时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数y=x-4在定义域x≠4内，可以将分子、分母约去公因式x-4后变成x+4，由此即可求出函数的极限.3x2-x+3例4 求lim 2x→∞x+1分析：当x→∞时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以x，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
总结：limC=C,limx=xo(k∈N),x→xox→xokk*limC=C,limx→∞=0(k∈N*)kx→∞x2x2+x-4例5 求lim3x→∞3x-x2+1分析：同例4一样，不能直接用法则求极限.如果分子、分母都除以x，就可以运用法则计算了。
四课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）（1）lim(2x-3)；（2）lim(2x-3x+1)x→2x→22x2+1（3）lim[(2x-1)(x+3)]；（4）lim2x→4x→13x+4x-1x2-1x2-5x+6（5）lim（6）lim 2x→3x→-1x+1x-92x2+x-22y2-y（7）lim3（8）lim3x→∞3x-3x2+1y→∞y-5五小结有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；函数的运算法则成立的前提条件是函数f(x),g(x)Λ的极限存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点.3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.六作业（求下列极限）2xx2+5（1）lim(2x+3x+4)（2）lim2（3）lim2x→-1x→1x+x+1x→2x-3x2-3x+1x2-33x3+x2+1)（5）4（4）lim(（6）lim5 242x→0x→0x→3x-4x+x+1x+3x-2xx-2x+1x3+3x2+2x（7）lim2（8）lim2（9）limx→2x-4x→-1x-1x→-2x2-x-611(x+m)2-m2x2+1（10）lim（11）lim(2-+2)（12）lim2x→∞x→0x→∞2x+2x-1xxxx3+x2x3+123x2-11x+6)（15）lim2（13）lim4（14）lim(32x→∞x+3x+1（16）lim3x2-11x+6x→∞2x2-5x-3x→23x-217）limx-x2-6x3x→02x-5x2-3x3x→12x-5x-3x-x2-6x318）limx→∞2x-5x2-3x3（（第二篇：习题课2—函数极限2009《数学分析I》第2次习题课教案第二次习题课（函数极限、无穷小比较）一、内容提要1.函数极限定义，验证limx+1=2.x→32.极限性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式）.e3x-e-2x3.极限四则运算.求lim.x→0x4.收敛准则（迫敛准则、柯西收敛准则、归结原则）.5.无穷小与无穷大（无穷小比较、等价无穷小替换定理、渐近线的求法）.6.重要极限与常用等价无穷小.二、客观题1.当x→0时，下列四个无穷小中，（）是比其它三个更高阶的无穷小.为什么？2（A）x2；(B)1-cosx；(C)-x-1；(D)tanx-sinx2.已知limsinx(cosx-b)=5，则a=(),b=().x→0ex-a23.当x→0 时，x-sinx 是 x 的（）.(A)低阶无穷小；(B)高阶无穷小；(C)等价无穷小；(D)同阶无穷小但非等价无穷小.4.设f(x)=lim3nx,则它的连续区间是（）.n→∞1-nx25.当x→0时下列变量中与x是等价无穷小量的有[].(A)sinx；(B)ln(1+x)；(C)x2 ；(D)2x2-x.+x2-17.设f(x)=，则x=0是f(x)的间断点，其类型是__________ __．x三、解答题1利用重要极限求下列函数极限1xn+1ann!⎛x+7⎫（1）lim （二重），（2）设xn=，求极限lim，（3）求极限lim(cosx)x2，⎪nn→∞x→∞x+1x→0nxn⎝⎭cosx-1xx-1解：lim(cosxx=lim(1+(cosx-1))x→0x→011cosx-1⋅cosx-1x=ex→0lim=e -122.利用等价无穷小的性质求下列极限：《数学分析I》第2次习题课教案sinax+x2ln(1-3x)+xsinx-1（1）lim；（2）lim，b≠0；（3）lim.x2x→0x→0x→0sinxtanbxe-13.利用连续函数求下列极限：ex-1ln(1+ax)2(1)lim；(2)lim(提示：令t=ex-1)；（3）lim1+3tanxx→0x→0x→0xx()cot2x.4.利用函数极限的归结原则求数列极限2⎛12⎫（1）limnsin，（2）lim 1++2⎪.x→∞n→∞n⎝nn⎭n⎧sinax⎪5.设f(x)=⎨x⎪⎩x+[x]x<0x≥0，应怎样选取数a，才能f(x)使处处连续？x3+1(-ax-b)=1，求常数a,和b。
6.已知lim（极限分析）x→∞x2+1四、证明题1.若f(x)为周期函数，且limf(x)=0，试证明f(x)≡0,x∈(-∞,+∞).x→∞2.利用函数极限的归结原则证明limcosx不存在.x→∞3.设f(x)~g(x)(x→x0),证明：f(x)-g(x)=o(f(x)).4.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)=A，证明：f(x)≡A，x→+∞x∈(0,+∞).f(x)=limf(x)=f(1)，证明：5．设函数f在(0,+∞)上满足方程f(x2)=f(x)，且lim+x→0x→+∞f(x)≡f(1)，x∈(0,+∞).第三篇：函数极限《数学分析》教案第三章函数极限xbl第三章函数极限教学目的：1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；3.掌握两个重要极限和，并能熟练运用；4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。
教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。
教学时数：16学时§ 1 函数极限概念（3学时）教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生逐步建立起函数极限的ε-δ定义的清晰概念。
会应用函数极限的ε-δ定义证明函数的有关命题，并能运用ε-δ语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的ε-δ定义及其应用。
一、复习：数列极限的概念、性质等二、讲授新课：（一）时函数的极限：《数学分析》教案第三章函数极限xbl例4 验证例5 验证例6 验证证由 =为使需有需有为使于是, 倘限制 , 就有例7 验证例8 验证(类似有（三）单侧极限:1．定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域《数学分析》教案第三章函数极限xbl我们引进了六种极限:.以下以极限，为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):Th 4 若使，证设和都有 =(现证对都存在, 且存在点的空心邻域)，有註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有5.6.以迫敛性:”为“ 举例说明.”, 未必四则运算性质:(只证“+”和“ ”)（二）利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：《数学分析》教案第三章函数极限xbl例8例9例10 已知求和补充题:已知求和（）§ 3 函数极限存在的条件（4学时）教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。
教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。
教学重点：海涅定理及柯西准则。
教学难点：海涅定理及柯西准则运用。
教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。
本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限为例.一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：Th 1 设函数在,对任何在点且的某空心邻域内有定义.则极限都存在且相等.(证)存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.7 《数学分析》教案第三章函数极限xbl教学难点：两个重要极限的证明及运用。
教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。
一．（证）（同理有）例1例2.例3例4例5 证明极限不存在.二.证对有例6特别当等.例7例8《数学分析》教案第三章函数极限xbl三．等价无穷小：Th 2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3(等价无穷小替换法则)几组常用等价无穷小:（见[2]）例3 时, 无穷小与是否等价? 例4四.无穷大量:1.定义:2.性质:性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大习题课（2学时）一、理论概述：《数学分析》教案第三章函数极限xbl例7.求.注意时, 且.先求由Heine归并原则即求得所求极限.例8 求是否存在.和.并说明极限解;可见极限不存在.--32第四篇：函数极限习题1.按定义证明下列极限:(1)limx→+∞6x+5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x→2xx2-5=1;(4)lim-(3)lim2x→+∞x-1x→2(5)limcos x = cos x0 x→x04-x2=0;2.根据定义2叙述limf(x)≠ A.x→x03.设limf(x)= A.,证明limf(x0+h)= A.x→x0h→04.证明:若limf(x)= A,则lim| f(x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? x→x0x→x05.证明定理3.16.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限:(1)f(x)=xx;(2)f(x)= [x]⎧2x;x>0.⎪(3)f(x)=⎨0;x=0.⎪1+x2,x<0.⎩7.设 limf(x)= A,证明limf(x→+∞x→x01)= A x8.证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).x→x0习题1．求下列极限：x2-1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;πx→02x2-x-1x→22 x2-1(x-1)+(1-3x);lim(3)lim;(4)x→12x2-x-1x→0x2+2x3xn-1(5)limm(n,m 为正整数)；（6）limx→1xx→4-1（7）limx→0+2x-3x-270；a2+x-a(3x+6)(8x-5).（a>0）;(8)limx→+∞x5x-1902．利用敛性求极限：(1)limx→-∞x-cosxxsinx;(2)lim2x→0xx-43．设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明：x→x0（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;x→x0（2）lim[f(x)g(x)]=AB;x→x0（3）limx→x0f(x)A=(当B≠0时)g(x)B4．设a0xm+a1xm-1+Λ+am-1x+amf(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn-1b0x+b1x+Λ+bn-1x+bn试求 limf(x)x→+∞5．设f(x)>0, limf(x)=A.证明x→x0x→x0limf(x)=A，其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0x→07.设limf(x)=A, limg(x)=B.x→x0x→x0(1)若在某∪(x0)内有f(x)< g(x)，问是否必有A < B ? 为什么？（2）证明：若A>B,则在某∪(x0)内有f(x)> g(x).8.求下列极限（其中n皆为正整数）：(1)lim -x→0xlim;(2);nn+x→0x1+xx1+xx+x2+Λ+xn-n(3)lim;(4)limx→0x→0x-1+x-1x(5)limx→∞[x](提示：参照例1)xx→0x→0x→09．（1）证明：若limf(x3)存在，则limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，试问是否成立limf(x)=limf(x2)?x→0x→0x→0习题1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.n→+∞n→+∞2.设f 为定义在[a,+∞)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在n→+∞[a,+∞)上有上(下)界.3.(1)叙述极限limf(x)的柯西准则;n→-∞(2)根据柯西准则叙述limf(x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.n→-∞n→-∞4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}⊂∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都n→∞n→∞存在,则所有这极限都相等.提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=0x∈u-(x0)0x∈un(x0)inff(x)6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.x→x07.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0x→+∞8.证明定理3.9习题1.求下列极限sin2xsinx3(1)lim;(2)limx→0x→0sinx2x(3)limx→cosxx-πtanx-sinxarctanxlim(5)lim;(6);3x→0x→0xxsin2x-sin2a1(7)limxsin;(8)lim;x→+∞x→axx-a;(4)limx→0tanx;x-cosx2(9)lim;(10)limx→0x→01-cosxx+1-1sin4x2.求下列极限12-x(1)lim(1-);(2)lim(1+ax)x(a为给定实数);n→∞x→0xx(3)lim(1+tanx)x→0cotx;(4)lim⎛1+x⎫⎪;x→01-x⎝⎭(5)lim（x→+∞3x+22x-1α);(6)lim(1+)βx(α,β为给定实数)n→+∞3x-1x3.证明:lim⎨lim⎢cosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限:(1)limnsinn→∞⎡x→0n→∞⎩⎣⎧x2xx⎤⎫Λcos=1 2n⎥⎬22⎦⎭πn;(2)习题1．证明下列各式(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx=O(x)(x→0);+(3)+x-1=o(1)(x→0);(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 为正整数)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2．应用定理3.12求下列极限：+x2-1x(1)lim(2)lim x→01-cosxx→∞x-cosxx3．证明定理3.134．求下列函数所表示曲线的渐近线：13x3+4(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2xx-2x5．试确定a的值，使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量：(1)sin2x－2sinx;(2)－(1－x);1+x(3)+tanx--sinx;(4)x2-4x36．试确定a的值，使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量：(1)x2+x5;(2)x+x2(2+sinx);(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7．证明：若S为无上界数集，则存在一递增数列{xn}⊂s，使得xn→+∞(n→∞)8．证明：若f为x→r时的无穷大量，而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg为x→r时的无穷大量。
