历年天津大学生数学竞赛试题

2021年天津大学生数学竞赛（免费）2021年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。

请将最终结果填在相应的横线上面。

）1．lim4x?x?1?x?1x?sinx22x???? 1 。

t??x?esin2t2．曲线?，在点(0,1)处的法线方程为 2x＋y－1=0 。

t??y?ecost3．设f(x)为连续函数，且?x?130f(t)dt?x，则f(7)?112 。

4．函数u?lnx??y?z22 。

?在点A(1,0,1)处，沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为 125．设(a×b)・c = 2，则[(a+b)×(b+c)]・(c+a)= 4 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。

每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。

选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。

）1．设函数f(x)与g(x)在开区间(a,b)内可导，考虑如下的两个命题，⑴ 若f(x)?g(x)，则f?(x)?g?(x)；⑵ 若f?(x)?g?(x)，则f(x)?g(x)。

则（ B ）（A）两个命题均正确；（B）两个命题均不正确；（C）命题⑴正确，命题⑵不正确；（D）命题⑴不正确，命题⑵正确。

2．设函数f(x)连续，F(x)是f(x)的原函数，则（ A ） (A) 当f(x)为奇函数时，F(x)必为偶函数； (B) 当f(x)为偶函数时，F(x)必为奇函数； (C) 当f(x)为周期函数时，F(x)必为周期函数；(D) 当f(x)为单调递增函数时，F(x)必为单调递增函数。

3．设平面?位于平面?1：x?2y?z?2?0与平面?2：x?2y?z?6?0之间，且将此两平面的距离分为1:3，则平面?的一个方程为（ D ）（A）x?2y?z?0；（B）x?2y?z?8?0；１（C）x?2y?z?8?0；（D）x?2y?z?3?0。

4．设f(x,y,z)为非零的连续函数，F(t)?2???2f(x,y,z)dxdydz，则当t→0时（ C ）22x?y?z?t（A）F(t)与t为同阶无穷小；（B）F(t)与t为同阶无穷小；（C）F(t)与t为同阶无穷小；（D）F(t)是比t高阶的无穷小。

2012年天津市大学数学竞赛试题（经管类）一、填空题（共15分，每空3分）1．设1e 12sin )(1)(3--+=x x x f x f ，则极限=→)(lim 0x f n ． （ 6 ）2．设函数)(x f 连续切不等于0，又⎰+=C x x x xf arcsin d )(，则=⎰)(d x f x． （ C x +--232)1(31 ）3．半径为R 的无盖半球形容器中装满了水，然后慢慢地使其倾斜3π，则流出的水量=V ． （3833R π ） 4．设函数)(x f 可微，且1)0(0)0(='=f f ，，又设平面区域222t y x D ≤+：，则=+⎰⎰+→σd )(1lim 223Dt y x f t ． （32π ） 5．设函数)(x f 在点0=x 处二阶可导，且2cos 1)(lim0=-→xx f x ，则='')0(f ．（ 2 ） 二、单项选择题（共15分，每空3分）1．设函数)(x f 有连续导数，3)0(1)0(='=f f ，，则极限=→xx x f 21)]([lim （ ）．(D)（A ）1 （B ）e （C ）3/2e（D ）2/3e2．设函数)(x f 在点0=x 的一个邻域内有定义，且满足2)(x x f ≤，则有（ ）．(B) （A ）)(x f 在点0=x 处不一定可导 （B ）)(x f 在点0=x 处可导，且0)0(='f （C ）)(x f 在点0=x 处可导，且0)0(≠'f （D ）)(x f 在点0=x 处取得极小值 3．设连续函数)(x f y =在区间]23[--，和]32[，上的图形分别是直径为1的上半圆周和下半圆周，在区间]02[，-和]20[，上的图形分别是直径为2的下半圆周和上半圆周（如图所示），如果⎰=xt t f x G 0d )()(，那么函数)(x G 非负的范围是（ ）． (A) （A ）整个]33[，- （B ）仅为]20[]23[，， -- （C ）仅为]30[，（D ）仅为]30[]23[，， -- 4．设函数)(x f 在区间]10[，上连续，且0)(>x f ．记⎰=101d )(x x f I ，⎰=202d )(sin πx x f I ，⎰=403d )(tan πx x f I ，则（ ）． (B)（A ）321I I I >> （B ）312I I I >> （C ）132I I I >> （D ）123I I I >>5．设函数)(x f 在区间]10[，上有连续的二阶导数，3)1(1)0(='-=f f 、，并且满足⎰=101d )(x x xf ，则=)1(f （ ）． （B ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3三、设211)21(-+=n n a a （ ，，，321=n ），θcos 0=a （πθ<<0），求极限)1(4lim n nn a -∞→． （本题7分） （22θ，其中nn a 2cosθ= ）四、设函数)(x f y =由方程03223323=++-y xy x 确定，且)(x f 可导，试求)(x f 的极值． （本题7分） （极大值2)2(-=f ，无极小值）五、求不定积分⎰-+21d x x x ． （本题7分）（C x x x +-++21ln 21arctan 21）六、设)(x F 是)(x f 的一个原函数，且x x f x F F 2cos )()(1)0(==，，求积分x x f d )(10⎰．（本题7分） （ )12(2-，其中x x x F cos sin )(+= ）七、求积分x x x n n d ln 10⎰，其中n 为正整数． （本题7分）（ 1)1(!)1(++-n n n n ，其中x x x n n x x x n n nn d ln 1d ln 11010-⎰⎰+-= ）八、设曲线C 与曲线：1C 22x y =和曲线：2C 2x y =的位置如图，)(y x P ，是曲线1C 上任一点，过点P 垂直于x 轴的直线与曲线C 和2C 围成图形记为A ，过点P 垂直于y 轴的直线与曲线C 和1C 围成图形记为B ．若A 和B 分别绕y 轴旋转而得到的旋转体的体积相等，求曲线C 的方程． （本题7分） （ 24x y = ） 九、设函数)(x f 满足1)1(=f ，并且对于1≥x 有)(1)(22x f x x f +='，证明)(lim x f x +∞→存在，且41)(lim π+≤+∞→x f x ． （本题7分）（ 提示：证明)(x f 单调增加有上界，用到⎰'=-x x x f f x f 1d )()1()( ）十、设函数)(x f 在区间]0[a ，上可导，且0)0(=f ，)(x f '单调增加，证明不等式⎰⎰>aax x f a x x xf 00d )(32d )(． （本题7分） （ 提示：构造函数=)(t F ⎰⎰-tt x x f t x x xf 00d )(32d )(，用单调性 ）十一、一个半径为r （1<r ）的小球嵌入一个半径为1的大球中，二球的交线恰好是一个半径为r 的圆周（如图），问当r 为何值时，位于小球内、大球为的那部分立体体积达到最大？． （本题7分）（ 52=r ，其中⎰---=11232d )1(32r y y r V ππ ）十二、设Ω是以原点和三点)110()111()010(，，、，，、，，为顶点的四面体． （1）将三重积分⎰⎰⎰Ω++z y x z y xd d de 222表示为“先z 次y 后x ”的三次积分；（2）试证明310)d e (61d d d e 2222⎰⎰⎰⎰=Ω++x z y x x z y x ． （本题7分） （⎰⎰⎰⎰⎰⎰++Ω++=11d e d d d d d e 222222xyxz y xz y xz y x z y x ，提示：后者的证明将区域101010*≤≤≤≤≤≤Ωz y x ，，：分成6个四面体，由对换性得⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω++Ω++=*222222d d de 61d d d e z y x z y x z y x z y x）2012年天津一中高考语文第一次模拟试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间150分钟。

2008年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工）一、填空（本题15分，每空3分。

请将结果填在相应的横线上面。

）1、设0)0(,0)0(='>f f ，则nn f n f ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→)0(1lim ＝ 1 。

2、设函数)(x y 由方程11)sin(=--xy xy 所确定，则曲线)(x y y =上对应于0=x 点处的切线方程为12-=x y 。

3、=-++⎰-112211cos 2dx xx x x π-4 。

4、函数222z y x u ++=在点)1,1,1(M 处，沿曲面222y x z +=在该点的外法线外方向l 的方向导数)1,1,1(l u∂∂＝31 。

5、设函数),(y x f 在区域D ：1422≤+y x 上具有连续的二阶偏导数，C 为顺时针椭圆1422=+y x ，则='+'+-⎰Cy x dy y x f dx y x f y ),()],(3[π-6 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。

每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。

选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分）1、设当0→x 时，())1ln(1122x x +⋅--是比)1ln(n x +高阶的无穷小，而)1ln(n x +是比x cos ln 高阶的无穷小，则n 等于 （ B ）（A ）4； （B ）3； （C ）2； （D ）1。

2、设{}n u 是单调增的正数列，,2,1,11323212=-++-+-=++n u u u u u u u u u v p n n n p p n 则数列{}n v （ A ）（A ）当1>p 时收敛； （B ）当01>≥p 时收敛； （C ）对任意0>p 均收敛； （D ）对任意0>p 均发散。

3、设1)()()(lim31=--→a x a f x f ax ，则函数)(x f 在点a 处必 （ D ）（A ）取极大值； （B ）取极小值； （C ）可导； （D ）不可导。

2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。

请将最终结果填在相应的横杠上面。

）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=，，；，0cos 01e )(22x x x a x xx f x 在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。

2. 设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e=-+xy yx 所确定，则==0d x y x d - 。

3. 由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =1237。

4. 设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则⎰=Ex x x d sin cos 38 。

5．设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ，其周长为l ，则()=++⎰L s y x xy d 422 4l 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。

每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。

选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。

）1. 若0)(lim 0u x x x =→ϕ且A u f =→)(lim 0u u ，则（ D ）（A ） )]([lim 0x f x x ϕ→存在； （B ） A x f x x =→)]([lim 0ϕ（C ） )]([lim 0x f x x ϕ→不存在； （D ） A 、B 、C 均不正确。

2. 设⎰=xx x x f sin 02d )sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，（ A ）（A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小； （B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小。

3. 设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =)0('，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在x = 1处（ D ）（A ）不可导； （B ）可导，且a f =')1(； （C ）可导，且b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(。

2007年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。

请将最终结果填在相应的横线上面。

） 1. 设函数()()⎰⋅=xt at x f sin 02d sin ，()43x x x g +=，且当x →0时，()x f 与()x g 为等价无穷小，则a = 。

2. 设函数xx y 2=在0x x =点处取得极小值，则=0x 。

3.()=+⎰+∞121d x x x。

4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+022401223:L 22222z y--z y x z--y x 在点（1，1，2）处的切线方程为 。

5.=+⎰⎰1132d 1d x y yxy x 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。

每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。

选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。

）1. 设函数()x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）()()[]⎰⋅-+xt t f t f t 0d ； （B ）()()[]⎰⋅--xt t f t f t 0d ；（C ）()⎰x t tf 02d ； （D ）()[]⎰xt t f 02d 。

2. 设函数()x f 具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ） （A ）若()x f 只有一个零点，则()x f '必至少有两个零点； （B ）若()x f '至少有一个零点，则()x f 必至少有两个零点； （C ）若()x f 没有零点，则()x f '至少有一个零点； （D ）若()x f '没有零点，则()x f 至多有一个零点。

3. 设函数()x f 在区间()+∞,0内具有二阶导数，满足()00=f ，()0<''x f ，又b a <<0，则当b x a <<时恒有（ ）（A ）()()a xf x af >； （B ）()()b xf x bf >； （C ）()()b bf x xf >； （D ）()()a af x xf >。

2011年 天津市大学数学竞赛试题参考解答 (理工类)一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x xf x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭2e .2. 设223()2x f x ax b x +=++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.- 3. 1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ e ln .x x C +4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,Df x y xy f x y x y =+⎰⎰其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成,则(,)f x y =1.12xy +5. 椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为20x y z -++= 和20.x y z -+= 二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A) 2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则(A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增少, (C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D) ()f x 在0x 处取得极大值. 答: ( C) 3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a()d af x x '表示(A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积, (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积. 答: (D)4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令 1()d ,aS f x x =⎰2()(),S f b b a =-31[()()](),2S f a f b b a =+- 则(A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S << 答: (C )5. 设 曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在 0x ≥的部分, 则曲面积分 (A) d d 0,x y z ∑=⎰⎰ (B) 1d d 2d d .z x y z x y ∑∑=⎰⎰⎰⎰x(C) 122d d 2d d ,y y z y y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D) 122d d 2d d ,x y z x y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 答: (B)三. (6分) 设函数 ()2002[(1)()d ]d 0sin 00xt t u u t,x ,f x x,x .ϕ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰⎰ 其中函数ϕ处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.解 222[(1)()d ]d (1)()d lim ()limlim2x x x x t x t u u tx u uf x x xϕϕ→→→--==⎰⎰⎰220()d ()d limlim22x x x x x u uu ux x ϕϕ→→=-⎰⎰202()0lim0(0)2x x x f ϕ→⋅=-== 因此, ()f x 在0x =处连续.200300[(1)()d ]d ()(0)lim lim xx x t t u u t f x f x x ϕ→→--=⎰⎰ 220(1)()d lim 3x x x u u x ϕ→-=⎰ 22002200()d ()d 11lim lim33x x x x x u u u u x x ϕϕ→→=-⎰⎰ 1(0)3ϕ=- 因此, ()f x 在0x =处可导, 且 1(0)(0).3f ϕ'=-四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程2e 1y xy --=确定, 求复合函数(())y y x t =的导数d d .t y t=解 方程cos 0t x x +=两边对t 求导 d d cos sin 0.d d x x x t x t t -⋅+=当 t=0时, x=0, 故00d cos 1.d sin 1t t x x xt t x ====--= 方程2e 1y xy --= 两边对x 求导 2d d e 0.d d y y yy x x x-⋅--⋅= 当 0x =时,2,y = 故0220d 2.de x y y x yy xx==-==-=因此,00d d d .d d d 2t x t y yxt xt ====⋅=-五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()lim0x f x x→=，记10()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ的导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处的连续性.解 由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 10(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰当 0x ≠时, 1100011()()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''====⎰⎰⎰从而有 (),0()0,0.f x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩因为()lim ()lim0(0),x x f x x xϕϕ→→=== 所以, ()x ϕ在0x =处连续. 当 0x ≠时, 2()()(),xf x f x x xϕ'-'=在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有 200()(0)()()1(0)limlimlim (0)22x x x x f x f x f xx x ϕϕϕ→→→'-'''==== 所以,2()(),0()1(0),0.2xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩而200000()()()()lim ()limlim lim lim2x x x x x f x f x f x f x x x x xx ϕ→→→→→''''=-=- 001()1()(0)1lim lim (0)(0),222x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''====故 ()x ϕ'在0x =处连续. 六. (7分) 设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足: 22,(0)0.y x y y '=+=(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞的单调性和曲线()y y x =的凹凸性.(Ⅱ) 求极限 30()lim.x y x x →解 (Ⅰ) 当0x >时, 有220,y x y '=+>故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增加. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增加. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸.(或当0x >时, 可得222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. ) (Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则22322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x →→→'+==[]22011111lim (0).33333x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有连续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证211300()d ][()]d .f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰证 令 2300()()d [()]d ,x xF x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 则 ()F x 在 [0,1]连续, 且对 (0,1)x ∈,30()2()()d [()]x F x f x f t t f x '=-⎰20()2()d ().xf x f t t f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20()2()d (),x g x f t t f x =-⎰则()g x 在[0,1]上连续, 且()2()[1()]0,(0,1),g x f x f x x ''=-≥∈故有()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈ 因此()0,(0,1),F x x '≥∈于是()F x 在[0,1]上单调增加, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得211300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 所证结论成立.八. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''> 直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处的切线, 其中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为().V a 试问a 为何值时()V a 取得最小值. 解 切线a L 的方程为 ()()(),y f a f a x a '-=- 即 ()()().y f a x af a f a ''=-+ 于是10()2[()()()()]d V a x f x f a x af a f a x π''=-+-⎰10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰a可见, ()V a 在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令 1()2[()()]()(32)0323a V a f a f a f a a ππ'''''''=-+=-=, 由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一的驻点2.3a =并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此, ()V a 在23a =处取得最小值. 九. (7分) 计算(sin )d (cos 1)d ,Ly y x x y y -+-⎰其中L 为从点(0,0)O 沿圆周222xy x +=在第一象限部分到点(1,1)A 的路径.解 令 sin ,cos 1,P y y Q x y =-=- 则cos (cos 1) 1.Q Py y x y∂∂-=--=∂∂ 取点(1,0).B 作有向直线段,OB 其方程为 0(y x =从0变到1).作有向直线段,BA 其方程为 1(x y =从0变到1). 由曲线L 、有向直线段AB 和BO 形成的闭曲线记为0L (沿顺时针方向), 0L 所围成的区域记为D , 则(sin )d (cos 1)d Ly y x x y y -+-⎰()((sin )d (cos 1)d )AB BOL y y x x y y =---+-⎰⎰⎰d (sin )d (cos 1)d DBAy y x x y y σ=-+-+-⎰⎰⎰(sin )d (cos 1)d OBy y x x y y +-+-⎰11(cos 1)d 04y y π=-+-+⎰ 1sin1 1.4π=-+- 十. (8分) 设（1）有向闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA ：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和有向直线段 AO 构成， 其中()0,0,0O ， ()2,0,2A ππ；（2）闭曲线Γ将其所在的圆锥面z =∑是其中的有界部分.（Ⅰ）如果()x z F -=,1, 表示一力场，求F沿Γ所做的功W ；（Ⅱ）如果()x z F -=,1,表示流体的流速，求流体通过∑流向上侧的流量. (单位从略）解（Ⅰ）作有向直线段,AO 其方程为 ⎩⎨⎧==x z y 0(x 从 2π变到0).所求F沿Γ所做的功为d d d W z x y x z Γ=+-⎰()(d d d )OAAOz x y x z =++-⎰⎰()20cos sin sin cos cos d πθθθθθθθθθθ=-++-⎡⎤⎣⎦⎰()02d x x x π+-⎰220(cos sin )d 0πθθθθθ=-+⎰24π=.（Ⅱ）Γ所在的圆锥面方程为z =∑上任一点处向上的一个法向量为(,,1)x yn z z=--=∑在xOy面上的投影区域为D, 在极坐标系下表示为:0,02.rθθπ≤≤≤≤故所求流体通过∑流向上侧的流量为d d d d d d()()d dx yz y z z x x x y z z z x x y∑∑⎡⎤Φ=+-=⋅-+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰d dx x x y∑⎛⎫=---⎪⎪⎝⎭⎰⎰()200d2cos sin dr r rπθθθθ=-+⎰⎰2232cos sin d32πθθθθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⎰26π-=.注: (Ⅰ)的另一解法应用Stokes公式，可得W2d d2d dyz x z x y∑∑==-⎰⎰⎰⎰2d x y∑=⎰⎰222000sin2d d sin drr rrπθπθθθθθ=-⋅=-⎰⎰⎰24π=.十一. (8分) 设函数(,)u u x y=在心形线:1cosL rθ=+所围闭区域D上具有二阶连续偏导数, n是在曲线L上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向),un∂∂是(,)u x y沿L的外法向的方向导数, L取逆时针方向.(Ⅰ) 证明: d d d .L Lu u us x yn y x∂∂∂=-+∂∂∂⎰⎰(Ⅱ) 若222221,u ux y yx y∂∂+=-+∂∂求dLusn∂∂⎰的值.(Ⅰ) 证由方向导数的定义d(cos sin)d.L Lu u us sn x yαα∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰其中, α是n相对于x轴正向的转角.设1α是L的切向量τ相对于x轴正向的转角, 则1,2παα=+或1.2παα=-故11d(sin cos)d.L Lu u us sn x yαα∂∂∂=-∂∂∂⎰⎰d d.Lu ux yy x∂∂=-+∂∂⎰(Ⅱ) 解应用格林公式22222d ()d d(1)d dD DLu uus x y x y y x yn x y∂∂∂=+=-+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰由对称性x1cos 00d 1d d 2d d D L us x y x r rn πθ+∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰203(1cos )d .2πθθπ=+=⎰十二.(8分) 设圆222x y y +=含于椭圆22221x y a b +=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).(Ⅰ) 求 a 与b 满足的等式; (Ⅱ) 求a 与b 的值, 使椭圆的面积最小.解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即2002001b x xa y y -=--. 注意到00,x ≠ 因此, 点00(,)x y 应满足2200222200022001(1)2(2)1(3)1x y a b x y y b a y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩由(1)和(2)式, 得222200220.b a y y a b--+=(4)由 (3) 式得 2022.b y b a =- 代入(4) 式2242222222220.()b a b b a b b a b a-⋅-+=-- 化简得 2222,b a b a=- 或 22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下的最小值.构造函数2242(,,)().L a b ab a b a b λλ=+-- 令2322242(24)0(6)(22)0(7)0(8)a b L b ab a L a a b b L a b a b λλλ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=--=⎩(6) ·a − (7)·b , 并注意到 0λ≠, 可得 242b a =. 代入 (8) 式得644220a a a --=, 故a = 从而2b ==由此问题的实际可知, 符合条件的椭圆面积的最小值存在,因此当22a b ==时, 此椭圆的面积最小.。

天津市大学数学竞赛历年试题及答案（1）(人文学科及医学等类)一、填空：（请将最终结果填在相应的横线上面。

）1．.22322302220sin sin cos ()()lim 1,lim lim ()()34sin sin limlimcos 34cos sin 2sin cos lim6122sin 2cos lim lim 16126243x x x xxx x x a x xf x f xg x g x xxa x xxxa x a x xx xa x a x a x xx 2．2ln 1x0y2ln 22，得令xxx y 3．=.udue dxex u ux 2,12131令22222212212121222222222eeee e e e e e eee due ue udeu uu u4．,24,2222222x f xx f dxy d x x f dxdy 5．切线方程为. 1．3 2. -1/ln2 3.2e24. 5．06yx3)1(33y3y 1,3-1,x ,3,63312即切线方程：时，即得令而，切线的斜率为xx y y x xy x二、选择题：（每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。

选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。

）1．设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是( A ).(A)；(B)；(C)；(D).2. D3. B4. B5. C解：令)()()()()()()(,)()()(0u d u f u f u dt t f t f t x F dt t f t f t x F x x x )()()()()(0x F dtt f t f t duu f u f u xx 2．设函数)(x f 具有一阶导数，下述结论正确的是( D )。

(A)若)(x f 只有一个零点，则)('x f 必至少有两个零点；反例：y=2x(B) 若)('x f 至少有一个零点，则)(x f 必至少有两个零点；反例：y=x2(C) 若)(x f 没有零点，则)('x f 至少有一个零点；反例：y=2+sinx(D) 若)('x f 没有零点，则)(x f 至多有一个零点。

2016年天津市大学生数学竞赛试题一、填空题（本题15分，每题3分）1.()()._______2ln 164cos ___222sin sin lim22=--→xxx xx x x 2.设函数),(y x u u =关于y x ,的偏导数连续，并且满足u y x u sin +=，则.______0____sin =∂∂-∂∂xu u y u 3.)(x f 在区间],[b a 上连续，在点a 可导，且)(,1)(x g a f ='+在],[b a 上正值连续，如果()),,()(,d )()(d )()(x a x t t g x f t t g t f xaxa∈=⎰⎰ξξ则._____21_____)(lim =--+→a x a x ax ξ4.._______21sin ___d )cos(d 121==⎰⎰x x y I y 5.,d sin )(0t t tx f x⎰-=π则._______2______d )(0=⎰πx x f 二、选择题（本题15分，每题3分）1.函数)(x f 在0x 点的邻域内有定义，且2||)()(lim 31000=--→x x x f x f x x ，则)(x f 在0x 点__A ____(A)连续，不可导(B)连续，可导(C)不连续，不可导(D)不取极值2.设函数)(x f 在区间],0[π上连续，满足0d cos )(d sin )(0==⎰⎰x x x f x x x f ππ，则)(x f 在),0(π内的零点个数为______C _______(A)可能没有(B)可能仅有一个（C ）至少两个(D)以上选项都不对3.考虑下列论断：（1）若]1,0[上非负连续函数)(x f 满足,0d )(1=⎰x x f 则函数)(x f 在]1,0[上恒为0；（2）函数)(x f 在),[+∞a 上满足0)(>x f ，且A x f x =+∞→)(lim 存在，则0>A ；（3）{}n a 为一数列，且子列{}{}{}23133,++n n n a a a 和都收敛于2，则{}n a 一定收敛；（4）定积分x x f bad )(⎰，则)(x f 在],[b a 上一定有界。

2006 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。

请将最终结果填在相应的横线上面。

）1 1 x2x 0，是(,) 上的连续函数,则a = 01．若f (x)e x cos x。

ae2 x1x02．函数f x x x在区间，上的最大值为23。

() 2 sin[]23 22 。

3．（| x | x)e| x|dx = 2 6e24．设区域D( x, y) | x2y21, y0 , 则12 dxdy ln 2 .D1x2y25．设函数z z(x,y) 由方程 z y x xe z y x 2 所确定，则dz 1 (x1)e z y x dx dy 。

1xe z y x二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。

每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。

选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。

）1．设函数f ( x)可导 ,并且 f ( x0 )5, 则当 x 0 时,该函数在点 x0处微分 dy是 y 的（A）（ A ）等价无穷小；（ B）同阶但不等价的无穷小；（ C）高阶无穷小；（ D）低阶无穷小。

2．设函数f (x)在点 x = a 处可导 ,则 |f(x)| 在点 x = a 处不可导的充要条件是（C）（ A ）f ( a)0, 且 f ' (a)0 ；（B ）f (a)0, 但 f ' (a)0 ；（ C）f ( a)0, 且 f ' (a)0 ；（D ）f ( a)0, 且 f ' (a)0 。

3．曲线y x x 2x 1 （B）(A)没有渐近线 ;(B)有一条水平渐近线和一条斜渐近线;(C)有一条铅直渐近线 ;(D)有二条水平渐近线。

4．曲线y x( x1) 3 ( x2) 与x轴所围成的平面图形的面积为（ D ）2323（ A ）x x x dx ；（B）－1) (x( x 1)( x2)dx；0011) 3 ( x21)3 (x2)dx ;（C）－x( x2)dx +x( x01.1 323（ D ）x xxdx+。

2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每小题3分。

请将最终结果填在相应的横线上面。

） 1. 设nx n +++++++= 21131211，则=∞→n n x lim _______ 。

2.已知()x f 的一个原函数为x xsin ，则()='⎰ππx x f x 2d _______ 。

3.=⎰+∞e2ln d xx x_______。

4. 设a ，b 为非零向量，且满足（a + 3b ）⊥（7a – 5b ），（a – 4b ）⊥（7a – 2b ），则a 与b 的夹角为_______ 。

5.根据美国1996年发布的《美国能源报告》原油消耗量()t C 1的估计公式为（单位：十亿桶/年）：()15159060781000137021≤≤-++-=t ,.t .t .t C ，式中t 的原点取为2000年1月。

如果实测模型为：()15158761207000137022≤≤-++-=t ,.t .t .t C ，则自1995年至2015年共节省原油 _______ 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。

每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。

选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。

）1. 设函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=.x ,x x ,x ,xxx f 0g 0cos 1其中()x g 是有界函数，则()x f 在0=x 点处（ ）。

（A ）极限不存在； （B ）极限存在，但不连续；（C ）连续但不可导； （D ）可导。

2. 设曲线的极坐标方程为ϑcos 1+=r ，则在其上对应于32πϑ=点处的切线的直角坐标方程为（ ）。

（A ）01=+x ； （B ）01=+y ； （C ）0=+y x ； （D ）0=-y x 。

3. 设函数()x f 连续，则()=-⎰x t t x f t x 0223d d d （ ）。

津 2010.05.考试时间：150分钟二、选择题：（本题15分，每小题3分。

每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。

选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。

）1．设函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=.x,xx,x,xxxfgcos1其中()x g是有界函数，则()x f在0=x点处（）。

（A）极限不存在；（B）极限存在，但不连续；（C）连续但不可导；（D）可导。

2．设函数()x f连续，则()=-⎰x ttxftx0223ddd（）。

（A）()()⎰+223dxxfxuufx；（B）()03fx；（C）()23xfx；（D）()⎰20dxuufx。

3．下列命题：⑴设aunn=∞→lim，bvnn=∞→lim，且ba>，则必有),2,1n(=>nnvu。

⑵设),2,1n(=>nnvu，且aunn=∞→lim，bvnn=∞→lim，则必有ba>。

⑶设),2,1n(=≤≤nnnvxu，且()0lim=-∞→nnnvu，则nnx∞→lim必存在。

正确的个数为（）。

（A）0个；（B）1个；（C）2个；（D）3个。

4．设周期函数()x f可导，周期为3，()11=f且()()1211lim1-=--→xxffx，则曲线()x fy=在点()()44,f处的切线方程为（）。

（A）3=--yx；（B）052=--yx；（C）22=--yx；（D）092=-+yx。

5．设函数()()x f-xf=，若在区间()+∞,0内()0<'xf，()0>''xf，则()x f在区间()0,∞-内（）。

（A）()0>'xf，()0<''xf；（B）()0>'xf，()0>''xf；()0<'xf()0>''xf()0<'xf()0<''xf三、计算⎥⎦⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。

11 1 n⎨2021 年天津市大学数学竞赛试题解答及评分标准 （理工类）一. 填空题（本题 15 分，每小题 3 分）:e bx - e ax(1). a ≠ b , 则lim= x →0 sin bx - sin ax1.e bx - e axe ⋂ x解: 利用 Cauchy 中值定理, 得到limx →0 sin bx - sin ax = lim x →0 cos ⋂ x= 1 .(2). 设函数 f ( x ) 在[0,1] 上连续, 并设⎰f ( x )dx = 2 , 则⎰0dx ⎰xf ( x ) f ( y )dy = 解:2 .11111y1xI = ⎰0 dx ⎰x f ( x ) f ( y )dy = ⎰0 f ( x )dx ⎰x f ( y )dy = ⎰0 f ( y )dy ⎰0 f ( x )dx = ⎰0 f ( x )dx ⎰0 f ( y )dyI = 1 {⎰1 f (x )dx ⎰1 f ( y )dy + ⎰1 f (x )dx ⎰ x f ( y )dy }= 1 ⎰1f (x )dx ⎰1 f ( y )dy = 2 .2 0 x 0 0 2 0 0 α +3 x(3). f ( x ) 在区间(-∞, +∞) 上连续, 且对任意给定的实数α , 有 g ( x ) = ⎰xf (t )dt 为常值函数, 则函数 f ( x ) 的表达式为f (x ) ≡ 0.解: 0 = g '( x ) = 3 f (α + 3x ) - f ( x ) , 代入 x = 0 , 得到3 f (α ) = f (0) , 以及α = 0 ,得到 f (0) = 0 和 f (α ) = 0 .(4). 曲线 y = f ( x ) =21 + x2 n, 记其在点 (1,1) 处的切线与 x 轴交点为 ( x n ,0) , 则 lim x = n →∞1.' = -4nx 2 n -1 ' = - - = - - 解 : f ( x ) , (1 + x 2 n )2f (1) n , 因此在点(1,1) 处的切线方程为 y 1 1n (x 1) , 与 x 轴交点为( x n ,0) 满足 x n - 1 = , 因此lim x n = 1.⎧ 2 - 2 cos x ,n x ≠ 0, n →∞1 (5). f ( x ) = ⎪ x 2⎪⎩1,x = 0, 则 f ''(0) = - . 6解: 显然 f ( x ) 是连续函数, 则在 x ≠ 0 时,{ 22 ⎧⎪ ⎛ x 2 x 4 ⎫⎫⎪ x 2f ( x ) = (1 - cos x ) = ⎨1 - 1 - + + o ( x 5) ⎪⎬ = 1 - + o ( x 3 )x 2 x 2 ⎪⎩ ⎝2! 4! ⎭⎪⎭ 12 利用函数的连续性以及导数的极限和可导的关系等性质,得到 f ''(0) = - 1.6二. 选择题（本题 15 分，每小题 3 分）: 1. 函数 f ( x ) 在 x 点的邻域内有定义, 且limf (x + 2h ) - f (x 0 + h )= 2 , 则 f ( x ) 在 x 点h →0h( )(A) 不连续. (B) 性和可导性.f '( x 0 ) = 2 . (C) 连续, 不可导, (D) 条件不足, 无法确定连续答. (D).因为条件不能保证函数在 x 0 点连续, 因此可导性也无从谈起, 因此答案为 D.2. 设函数 f ( x ) 在区间(0,+∞) 上有连续的导数, 且满足 lim f ( x ) + x →+∞f '( x )} = 1 , 则 ()(A) lim x →+∞f '( x ) = 0 . (B) lim x →+∞f '( x ) 不能判断. (C) lim x →+∞f ( x ) 不能判断. (D) 以上都不正确.答: (A)利用L’Hospital 法则得到 lim x →+∞f ( x ) =lim x →+∞e xf ( x ) =e xlim x →+∞e x (f ( x ) + f '( x ))ex= 1, 因此得到A 是正确的.3. 考虑关于数列的描述:(1) 对于数列{a n }, 如果{a 2 n }和{a 2 n -1} 都是收敛的, 则该数列一定是收敛的; (2) 数列{a n }, 如果数列{a n +1 - a n }收敛于0 , 则数列{a n }是收敛的; (3) {a n }的极限为0 和数列{ a n } 的极限为0 是等价的;(4) 数列{a n }收敛, 数列{b n }有界, 则数列{a n b n } 是收敛的. 其中正确的结论个数为( )(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. 答: (A)(3)是正确的, 其它论述是不正确的, 因此答案是 A. 4. 已知函数 f ( x , y ) = e y( x 2+ y - 2x ) , 则它在点(1,0) 处取( )(A) 极小值-1 . (B) 极大值-1 . (C) 不取极值. (D) 取极大值1 . 答: (A).xy y 2 y yy 2xxx ⎰⎰ f ( x , y ) = e y ( x 2 + y - 2x ) , f x ( x , y ) = e (2x - 2) , f y ( x , y ) = e ( x + y - 2x + 1) , 得到驻点为(1,0) , 此时函数值为-1 , 进一步 f xx ( x , y ) = 2e , f xy ( x , y ) = e (2x - 2) ,f yy ( x , y ) = e ( x + y - 2x + 2) , 代入驻点的值, 得到 f (1,0) = 2 , f yy (1,0) = 1 , 因此函数取极小值-1 .f xy (1,0) = 0 ,5. 设函数 f ( x ) = 12 + e x21 + e x+ tan x, 则 x = 0 是函数 f ( x ) 的 ( )(A) 无穷间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 可去间断点. (D) 以上都不正确. 答: (C)函数 f ( x ) 在 x = 0 的左右极限存在且相等, 因此是可去间断点.三.（本题 6 分）设函数 z =f ( x , y ) , ∂2 f ∂x 2= 6x , ∂f (0, y ) = y , ∂xf (0, y ) = 1 + y 2, 求函数 f ( x , y ) .解: 由 ∂2 f ∂x 2 = 6x , 得到 ∂f ∂x = 3x 2 + g ( y ) , ∂f ( x , y ) = 3x 2 + y , …………..3 分∂x因此 f ( x , y ) = x 3 + xy + h ( y ) , 带入条件, 得到h ( y ) = 1 + y 2,f ( x , y ) = x 3 + xy + y 2 + 1.………….6 分四. （本题 6 分）证明2017 1 ⎧⎪ ⎛ x ⎫2017⎫⎪ 1 1 1 ⎰0x ⎨1- 1- 2017⎪ ⎬dx =1+ + +…+ 2017.解: 令1 -= t , 则有2017⎛⎪ ⎝ ⎭ ⎪⎭2 3 2017 1 ⎪⎧ ⎛ x ⎫2017 ⎪⎫ 11- t 2017 ⎰0 x ⎨1- 1- 2017⎪ ⎬dx = ⎰0 1- t dt…..3 分⎛⎪ ⎝ ⎭ ⎪⎭= 1 2 2016 1 1 1⎰0(1+ t + t +…+ t )dt =1+ 2 + 3 +…+ 2017. ……..6 分五.（本题 6 分）设 f ( x ) 为[a ,b ] 上取正值的连续函数, D 为 a ≤ x ≤ b , a ≤ y ≤ b . 证明f ( x )dxdy ≥ (b - a )2 .Df ( y )⎰⎰ ⎰⎰ ⎰⎰ 2 t tt 4⎰3 ⎰bbbbbb b b b b bb b b bb bba aa a tf ( x ) f ( y ) 1 ⎧ f ( x )f ( y ) ⎫ 证明: I = ⎰⎰ dxdy = f ( y ) dxdy = ⎨ f (x ) 2 dxdy + f ( y ) dxdy ⎬ f (x ) ……….4 分D D ⎩ D D ⎭1 2≥⎰⎰2dxdy = (b - a ) .D………….6 分六.（本题 6 分）函数 f ( x ) 在(-∞, +∞) 上连续, 在 x = 0 处可导, 且 f (0) = 0 , f '(0) = 8 , 求极限解:limt →0+1e sin 4t - 1 ⎰0dx ⎰xf ( x y )dy . lim1dx f ( x y )dy = lim 1ty1 dyf ( x y )dx limtydyf ( xy )dx …3 分t →0+ esin t- 1⎰xt →0+s in 4 t ⎰0⎰t →0+ t4 ⎰0⎰1 t1t 22tf (t 2 )limt →0+4tf ( xt )dx = limt →0+4t4 ⎰0f (u )du = limt →0+16t 3…5 分= f (t 2 ) = 1 ' =lim t →0+8t 2 f (0) 1. 8……..6 分七. （本题 7 分）函数 f 在[a ,b ] 上有连续的二阶导数, 且 f (a ) = f (b ) = 0 ,M = max x ∈[a ,b ]f ''( x ) . 求证:⎰a f ( x )dx ≤M(b - a )3 .12证明: I =⎰ f ( x )dx = ⎰ f ( x )d ( x - a ) = ( x - a ) f ( x ) b- ⎰ f '( x )( x - a )dx ………..2 分= ⎰ f '( x )(x - a )d (b - x ) = ( x - a )(b - x ) f '( x ) b - ⎰ f ''( x )(b - x )( x - a )dx - ⎰ f '( x )(b - x )dx aaaa………..4 分= -⎰a f ''( x )(b - x )(x - a )dx - ⎰a f '(x )(b - x )dx = -⎰a f ''(x )(b - x )(x - a )dx - ⎰a (b - x )df (x )= -⎰ f ''( x )(b - x )(x - a )dx - (b - x ) f (x ) b- ⎰ f (x )dx = -⎰ f ''(x )(b - x )(x - a )dx - ⎰ f (x )dxaaaaa………..6 分I = ⎰ f ( x )dx = -1⎰ f ''( x )(b - x )( x - a )dx ,a2 a⎰ f ( x )dx ≤ 1⎰bM ( x - a )(b - x )dx = M (b - a )3 ⎰1t (1 - t )dt = M (b - a )3. ………..7 分 a 2 a2 012 = =2ν 0 D 八.（本题 7 分）设函数 f ( x , y ) 在 D : x 2 + y 2 ≤ 1 上有连续的偏导数, 且在边界x f + y ∂f x 2 + y 2 = 1上满足 f ( x , y ) = 0. 求极限 lim∂x y dxdy , 其中 D 为σ 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1 .解: 设 x = θ cos 0 , y = θ sin 0 , 则σ →0+⎰⎰D σx 2 + y 2σ∂f = ∂f ∂x + ∂f ∂y = cos 0 ∂f+ sin 0 ∂f , θ ∂f= x ∂f + y ∂f , ………..3 分∂θ ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂x ∂y ∂θ ∂x ∂yx ∂f + y ∂f θ ∂f ⎰⎰∂x ∂ydxdy =2νd1∂θθd θ =2νd1∂f d θ………..5 分x 2 + y 2σ⎰⎰σθ 2⎰⎰σ∂θ= ⎰[ f (co s 0 ,s in 0 ) - f (σ co s 0 ,σ s in 0 )]d 0 = ⎰2ν- f (σ cos 0 ,σ sin 0 )d 0………..6 分 = -2ν f (σ cos 0* ,σ sin 0* ) → -2ν f (0,0) .………..7 分九.（本题 8 分）函数 f ( x , y ) 在区间[0, 3 / 2]上连续, 在(0,3 / 2)内可导, 且在该区间上满足 f '( x ) ≤| f ( x ) | 以及 f (0) = 0 , 求证: f ( x ) ≡ 0 .解: 设函数 f ( x ) 在区间[0, 3 / 4]上的最大值为 A =| f ( x 0 )| ,……….2 分不妨设 x > 0 , 则 A =| f ( x ) - f (0) |=| f '(⋂ )x |≤| f (⋂ )x |≤ Ax ≤ 3A , 因此 A = 0 , 即0 0 0 0 04函数在[0, 3 / 4]上恒为0 .………..5 分 同样的方式得到[3 / 4,3 / 2]上函数也恒为0 .………..8 分十.(本题 8 分) 计算曲线积分xy 2 dx - yx 2dyI = °⎰C( x 2 + y 2 )2其中C 为正向曲线 2x 2 + 3y 2 = 1.解: 设 P = xy 2( x 2 + y 2 )2, Q = - yx 2 ( x 2 + y 2 )2 , 则∂Q =-2xy+4 yx 3=4 yx - 2xy - 2x y =2xy ( x - y )0 03 3 3 2 2,∂x ( x2 +y2 )2( x2 +y2 )3( x2 +y2 )3( x2 +y2 )3t 33 3 2ν2ν 22 2 2 ⎩⎪ ⎪ ∂P =2xy ( x 2 - y 2 ) ∂Q = ∂P∂y (x 2 + y 2 )3, 因此∂x ∂y……..4 分取l 为 x = σ cos 0 , y = σ sin 0 的正向曲线, 其中σ > 0 充分小, 利用 Green 公式得到xy 2 dx - yx 2dy xy 2dx - yx 2dy122I = °⎰C ( x 2 + y 2 )2 = °⎰l ( x 2 + y 2 )2 = σ 4 °⎰l xy dx - yx dy .....6 分 = 1 σ 4 (- c os 0 sin 2 0 sin 0 - sin 0 cos 2 0 cos 0 )d 0 = - sin 0 cos 0 d 0 = 0 . ....8 分σ 4 ⎰0⎰⎧⎪e ( x + y + z )2, 十一.（本题 8 分）设函数 f ( x , y , z ) = ⎨ ⎪⎩0, ∑ 为曲面 x + y + z = t , 求 I = ⎰⎰ f ( x , y , z )dS .∑x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x 2 + y 2 + z 2> 1.解: 原点到∑ 的距离d =, 因此在d > 1, 即| t |> 时, ∑ 与 x 2 + y 2 + z 2= 1 不相交,因此函数 f 在曲面上取值为0 , 此时所求积分为0.………2 分当| t |≤ 时, ∑ 与 x 2+ y 2+ z 2≤ 1相交, 此时函数在曲面上取值为 f ( x , y , z ) = e t.I = ⎰⎰ f ( x , y , z )dS = e t2⎰⎰3dS ,……….4 分∑D xy此处 D xy 为∑ 在 x + y + z ≤ 1部分在 xoy 坐标面的投影区域.⎧ x + y + z = t , 由 ⎨x 2 + y 2 + z 2= 1 消去 z 得到⎛y - t ⎫23 ⎛ t ⎫2t 2 2 x + + y - 22 3 = 1 - ,3 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛y - t ⎫2⎛ t ⎫2x + 2 ⎪ y - 3 ⎪ ν ⎛ t 2 ⎫ D xy 为:⎝ ⎭ + ⎝ ⎭ ≤ 1 , 因此 D xy 的面积 A = 1 - ⎪ .…….7 分1 ⎛ t2 ⎫ 2 ⎛ t 2 ⎫3 ⎝ 3 ⎭2 1 -3 ⎪3 1 - 3 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭这样I = 3e t2A = ν e t 2⎛ 1 - ⎝ t 2 ⎫ ⎪ .⎭3⎩ 3 n⎧ t 2 ⎛ t 2 ⎫总之, ⎪ν e I = ⎨⎪0,1 - ⎪, ⎝ ⎭ t ≤ 3,2…….8 分十二.（本题 8 分）设a 1 > 0 , a n +1 =1 + a 2, n = 1, 2,3,… . 讨论数列{a n }的收敛性.证明: 显然数列0 < a n < 2, n = 2,3, 4,… . 且若a n > 1 则 a n +1 < 1, 若 a n < 1 则 a n +1 > 1.….……..2 分设函数 f ( x ) = 21 + x2 , x > 0 , 则 f '( x ) = -4x (1 + x 2 )2< 0, x > 0 , a n +1 = f (a n ) . 显然对函数F ( x ) = f ( f ( x )) , 有 F '( x ) = f '( f ( x )) f '( x ) > 0 , 即函数 F ( x ) 在 x > 0 上为严格单增的函数, 且a n + 2 = F (a n ) , 这样得到{a 2 n }和{a 2n +1}都为单调有界的数列.…………..4 分记 a 2 n → a (n → ∞) , a 2 n +1 → b (n → ∞) , 则由a = 2 1 +b 2, b = 2 1 + a 2 , 推出 (a - b )(1 - ab ) = 0 . 如果 ab = 1 , 有 2 = a + ab 2 = a + b , 这样 a ,b 为方程 x 2- 2x + 1 = 0 的根, 因此 a = b = 1 . 总之, 我们一定有 a = b , 并且a 3 + a - 2 = 0 , 显然利用单调性, x 3 + x - 2 = 0 有唯一的实根 x = 1 , 这样一定有a =b = 1 , 即数列{a n }的奇数项和偶数项子列收敛于相同的极限1 , 从而原数列收敛于1 .……………8 分t > 3.。

2019年天津市大学生数学竞赛校内选拔考试试卷一、选择题（共20分，每小题4分）1、设20tan (1cos )lim 2ln(12)d(1)x x a x b x c x e →-+-=-+-，其中220a c +≠，则必有（ ）（A ）4d b = (B) 4d b =- (C) 4a c = (D) 4a c =-2、0x →时，20(1)d x t e t t --⎰与n x 是同阶无穷小，则n =（ ）(A) 6 (B)5 (C)4 (D)3 3、在区间(,)-∞+∞内，方程1142cos 0x x x +-=（ ）(A) 无实根 (B)有且仅有一个实根(C)有且仅有两个实根 (D)有无穷多实根4、设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上（ ） (A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤(C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤5、曲线1ln(1)x y e x=++的渐近线条数为（ ） (A)3 (B)2 (C)1 (D)0二、计算、解答、证明题6、(6分) 已知函数2122()lim1n n n x ax bx f x x -→∞++=+，确定常数,a b ，使1lim ()x f x →-和1lim ()x f x →都存在.7、(6分)求极限lim n 8、(7分)求极限10lim d .1nn x x x→∞+⎰ 9、(7分) 已知定义在(,)-∞+∞上的函数()f x 在0x =处可导，且(0) 2.f '= 若对任意的,(,)x y ∈-∞+∞，都有()()()2f x y f x f y xy +=++，试求函数()f x 的表达式.10、(7分)计算不定积分21d .12cos x x +⎰11、(7分)计算定积分40ln(sin 2)d .I x x =⎰12、(10分)某建筑工程打地基时，需要汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力做功。