2001年天津市大学数学竞赛试题（理工类）
一．
填空
1．函数⎪⎩⎪
⎨⎧≥+<=-0,cos 0,)(21
2x x x a x x e x f x 在),(∞+-∞上连续，则=a .
2．设函数)(x y y =由方程0)cos(=-+xy e y x 所确定，则==0x dy . 3．由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积=A . 4．设E 为闭区间]4,0[π上使被积函数有定义的所有点的集合，则
=⎰
dx x x E
sin cos .
5．设L 是顺时针方向的椭圆14
22
=+y x ，其周长为l ，则⎰
=++L
ds y x xy )4(2
2 . 二．选择题.
1．若0)(lim 0
u x x x =→ϕ，且A u f u u =→)(lim 0
，则（ ）
（A ）)]([lim 0
x f x x ϕ→存在； （B ）A x f x x =→)]([lim 0
ϕ
（B ）)]([lim 0
x f x x ϕ→不存在 （C ）A 、B 、C 均不正确.
2．设⎰
=x dx x x f sin 0
2)sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，
（ ） （A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小； （B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷
小；
（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小
3．设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =')0(，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在1=x 处（ ）
（A ）不可导； （B ）可导，且1)(='a f ； （C ）可导，且b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(. 4．设)(x f 为连续函数，且)(x f 不恒为零，⎰=t s dx tx f t I 0
)(，其中0,0>>t s ，则
I 的值（ ）
（A ）与s 和t 有关； （B ）与s 和t 及x 有关 （C ）与s 有关，与t 无关； （D ）与t 有关，与s 无关.
5．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足
02>∂∂∂y
x u
及02222=∂∂+∂∂y
u
x u ，则（ ） （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；
（C ）),(y x u 的最大值点在区域的内部，最小值点在区域D 的边界上；
（D ）),(y x u 的最小值点在区域的内部，最大值点在区域D 的边界上.
三．求极限)]21ln(2[cos lim
22
02x x x e
x x x -+--
→.
四．计算⎰∞+--+02)1(dx e xe x x
. 五．设函数),(y x u 的所有二阶偏导数都连续，2222y
u
x u ∂∂=∂∂且x x x u =)2,(，
21
)2,(x x x u ='，求)2,(11x x u ''. 六．在具有已知周长p 2的三角形中，怎样的三角形面积最大？
七．计算⎰⎰
⎰⎰+=12
1214
12
1y y
x
y y
x
y dx e dy dx e dy I .
八．计算曲面积分⎰⎰∑
+++++=dxdy ay z dzdx ax y dydz az x I )()()(232323，其中∑为
上半球面222y x a z --=的上侧. 九．已知0>a ，01>x ，定义
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
+31341n n n x a x x （ ,3,2,1=n ） 求证：n n x ∞
→lim 存在，并求其值.
十．证明不等式()
2211ln 1x x x x +≥+++，),(∞+-∞∈x .
十一. 设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且
⎰=1
43)0()(4f dx x f ，求证：在开区间)1,0(内存在一点ξ，使得0)(='ξf .
十二. 设函数)(x f 在区间),[∞+a 上具有二阶导数，且0)(M x f ≤，2)(0M x f ≤''<，
（+∞≤≤x a ）. 证明202)(M M x f ≤'.
2002年天津市大学数学竞赛试题（理工类）
一．
填空 1．=-+∞→x
x x x 1
sin 1312lim
2 . 2．设摆线方程为⎩⎨⎧-=-=t
y t t x cos 1sin ，则此曲线在3π
=t 处的法线方程为 .
3．=+⎰∞+e x x dx
)
ln 1(2 . 4．设2
2y xy x z +-=在点)1,1(-处沿方向)1,2(5
1=
l 的方向导数=∂∂l z . 5．设∑为曲面222R y x =+介于R Z ≤≤0的部分，则
=++⎰⎰∑
222z y x dS
. 二．选择题.
1．曲线)
2)(1(1
arctan 21
2
-++-=x x x x e y x 的渐近线有（ ）
（A ）1条； （B ）2条； （C ）3条； （D ）4条. 2．若2)]([)(x f x f ='，则当2>n 时=)()(x f n （ ）
（A ）1)]([!+n x f n ； （B ）1)]([+n x f n ； （C ）n x f 2)]([； （D ）n x f n 2)]([!. 3．已知函数)(x f 在),(∞+-∞内有定义，且0x 是函数)(x f 的极大值点，则（ ）
（A ）0x 是)(x f 的驻点； （B ）在),(∞+-∞内恒有)()(0x f x f ≤； （C ）0x -是函数)(x f --的极小值点； （D ）0x -是函数)(x f -的极小值点.
