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高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x y x x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，令u t -=1，则21t u -=2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
（数学类）试卷第一题：(15分)求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程.第二题：(20分)设n nC ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，12100010*******n n n a a a F a --⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (1)假设111212122212n n n n nn aa a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若AF FA =，证明： 121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++ ；(2)求n nC⨯的子空间{}()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.第三题：(15分)假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换. 如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.第四题：(10分)设{}()n f x 是定义在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足()nf x M '≤.（1）证明{}()n f x 在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上一致收敛；（2）设()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上处处可导, 为什么？第五题：(10分)设320sin d sin n nt a t t t π=⎰，证明11nn a ∞=∑发散.第六题：(15分)(,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f f x y x y ∂∂+=∂∂，计算积分221d d x y I x y +≤⎛⎫=⎰⎰第七题：(15分)假设函数()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内二阶可导，过点(0,(0))A f ，与点(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<. 证明：在 ()0,1内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=.（数学类）试卷一、（本题共10分）设(0,1)ε∈，0x a =，1sin 0,1,2).n n x a x n ε+=+= （证明lim n n x ξ→+∞=存在，且ξ为方程sin x x a ε-=的唯一根.二、（本题共15分）设01030002010000B ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 证明2X B =无解，这里X 为三阶未知复方阵.三、（本题共10分）设2D ⊂ 是凸区域，函数(,)f x y 是凸函数. 证明或否定：(,)f x y 在D 上连续.注：函数(,)f x y 为凸函数的定义是(0,1)α∀∈以及1122(,),(,)x y x y D ∈，成立12121122((1),(1))(,)(1)(,)f x x y y f x y f x y αααααα+-+-≤+-.四、（本题共10分） 设()f x 在0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，在1x =可导，(1)0,f =(1)f a '=. 证明：120lim ()d .n n n x f x x a →+∞=-⎰五、（本题共15分）已知二次曲面∑（非退化）过以下九点：(1,0,0),(1,1,2),(1,1,2),(3,0,0),(3,1,2),(3,2,4),(0,1,4),(3,1,2),(5,8).A B C D E F G H I ------问∑是哪一类曲面？六、（本题共20分） 设A 为n n ⨯实矩阵（未必对称），对任一n 维实向量T 1(,,),0n A ααααα=≥ （这里T α表示α的转置），且存在n 维实向量β使得T 0A ββ=. 同时对任意n 维实向量x 和y ，当T 0xAy ≠时有TT 0xAy yAx +≠. 证明：对任意n 维实向量v ，都有T0.vA β=七、(本题共10分) 设f 在区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，0 1.f ≤≤ 求证：对任何0ε>，存在只取值为0和1的分段（段数有限）常值函数()g x ，使得,0,1αβ⎡⎤⎡⎤∀⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()().f x g x dxβαε-<⎰八、(10分) 已知:(0,)(0,)ϕ+∞→+∞是一个严格单调下降的连续函数，满足0lim (),t t ϕ+→=+∞且10()d ()d ,t t t t a ϕϕ+∞+∞-==<+∞⎰⎰其中1ϕ-表示ϕ的反函数. 求证：32212001()d ()d .2t t t t a ϕϕ+∞+∞-⎡⎤⎡⎤+≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰（数学类）试卷一、（本题15分）已知四点(1,2,7),(4,3,3),(5,1,0).-试求过这四点的球面方程。
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
大学数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，则\( f(x) \)的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 32. 若\( \int_{0}^{1} x dx = \frac{1}{2} \)，则\( \int_{0}^{2} x dx \)的值是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 设\( A \)为3阶方阵，且\( \det(A) = 2 \)，则\( \det(2A) \)的值是：A. 2B. 4C. 8D. 164. 以下哪个选项不是\( \mathbb{R}^3 \)中的向量？A. \( \vec{a} = (1, 2, 3) \)B. \( \vec{b} = (1, 2, 3, 4) \)C. \( \vec{c} = (1, 2) \)D. \( \vec{d} = (1, 2, 3) \)5. 集合\( A = \{1, 2, 3\} \)，\( B = \{2, 3, 4\} \)，则\( A \cap B \)的元素个数是：A. 0B. 1C. 2D. 36. 圆的方程为\( x^2 + y^2 - 6x - 8y + 24 = 0 \)，圆心坐标是：A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数\( f(x) = \sin(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的最大值是______。
2. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \)的值为______。
3. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的行列式\( \det(A) \)的值是______。
第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=，dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(22-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
2001年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空1．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=-0,cos 0,)(212x x x a x x e x f x 在),(∞+-∞上连续，则=a .2．设函数)(x y y =由方程0)cos(=-+xy e y x 所确定，则==0x dy . 3．由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积=A . 4．设E 为闭区间]4,0[π上使被积函数有定义的所有点的集合，则=⎰dx x x Esin cos .5．设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ，其周长为l ，则⎰=++Lds y x xy )4(22 . 二．选择题.1．若0)(lim 0u x x x =→ϕ，且A u f u u =→)(lim 0，则（ ）（A ）)]([lim 0x f x x ϕ→存在； （B ）A x f x x =→)]([lim 0ϕ（B ）)]([lim 0x f x x ϕ→不存在 （C ）A 、B 、C 均不正确.2．设⎰=x dx x x f sin 02)sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，（ ） （A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小； （B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小3．设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =')0(，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在1=x 处（ ）（A ）不可导； （B ）可导，且1)(='a f ； （C ）可导，且b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(. 4．设)(x f 为连续函数，且)(x f 不恒为零，⎰=t s dx tx f t I 0)(，其中0,0>>t s ，则I 的值（ ）（A ）与s 和t 有关； （B ）与s 和t 及x 有关 （C ）与s 有关，与t 无关； （D ）与t 有关，与s 无关.5．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足02>∂∂∂yx u及02222=∂∂+∂∂yux u ，则（ ） （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（C ）),(y x u 的最大值点在区域的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域的内部，最大值点在区域D 的边界上.三．求极限)]21ln(2[cos lim2202x x x ex x x -+--→.四．计算⎰∞+--+02)1(dx e xe x x. 五．设函数),(y x u 的所有二阶偏导数都连续，2222yux u ∂∂=∂∂且x x x u =)2,(，21)2,(x x x u ='，求)2,(11x x u ''. 六．在具有已知周长p 2的三角形中，怎样的三角形面积最大？七．计算⎰⎰⎰⎰+=121214121y yxy yxy dx e dy dx e dy I .八．计算曲面积分⎰⎰∑+++++=dxdy ay z dzdx ax y dydz az x I )()()(232323，其中∑为上半球面222y x a z --=的上侧. 九．已知0>a ，01>x ，定义⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+31341n n n x a x x （ ,3,2,1=n ） 求证：n n x ∞→lim 存在，并求其值.十．证明不等式()2211ln 1x x x x +≥+++，),(∞+-∞∈x .十一. 设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且⎰=143)0()(4f dx x f ，求证：在开区间)1,0(内存在一点ξ，使得0)(='ξf .十二. 设函数)(x f 在区间),[∞+a 上具有二阶导数，且0)(M x f ≤，2)(0M x f ≤''<，（+∞≤≤x a ）. 证明202)(M M x f ≤'.2002年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空 1．=-+∞→xx x x 1sin 1312lim2 . 2．设摆线方程为⎩⎨⎧-=-=ty t t x cos 1sin ，则此曲线在3π=t 处的法线方程为 .3．=+⎰∞+e x x dx)ln 1(2 . 4．设22y xy x z +-=在点)1,1(-处沿方向)1,2(51=l 的方向导数=∂∂l z . 5．设∑为曲面222R y x =+介于R Z ≤≤0的部分，则=++⎰⎰∑222z y x dS. 二．选择题.1．曲线)2)(1(1arctan 212-++-=x x x x e y x 的渐近线有（ ）（A ）1条； （B ）2条； （C ）3条； （D ）4条. 2．若2)]([)(x f x f ='，则当2>n 时=)()(x f n （ ）（A ）1)]([!+n x f n ； （B ）1)]([+n x f n ； （C ）n x f 2)]([； （D ）n x f n 2)]([!. 3．已知函数)(x f 在),(∞+-∞内有定义，且0x 是函数)(x f 的极大值点，则（ ）（A ）0x 是)(x f 的驻点； （B ）在),(∞+-∞内恒有)()(0x f x f ≤； （C ）0x -是函数)(x f --的极小值点； （D ）0x -是函数)(x f -的极小值点.4．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,222222y x y x y x xy z ，则),(y x z z =在点)0,0(（ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但不可微；（C ）不连续且偏导数不存在； （D ）不连续但偏导数存在. 5．设⎰⎰⎰Ω++=dV e e e I z y x )(，其中1:222≤++Ωz y x ，0≥z ，则=I （ ）（A ）⎰⎰⎰ΩdV e z 3； （B ）⎰⎰⎰ΩdV e x 3；（C ）⎰⎰⎰Ω+dV e e z y )2(； （D ）⎰⎰⎰Ω+dV e e z x )2(.三．已知极限011lnarctan 2lim≠=-+-→C x x xx nx ，试确定常数n 和C 的值.四．已知函数)(x f 连续，⎰-=x dt x t f t x g 02)()(，求)(x g '.五．设方程04=++b ax x ，（1）当常数b a ,满足何种关系时，方程有唯一实根? （2）当常数b a ,满足何种关系时，方程无实根?六．过曲线2x y =（0≥x ）上某点A 作一切线，使之与曲线及x 轴所围成图形的面积为121，试求：（1）A 点的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）该图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.七．计算⎰+dx x 32)1(1. 八．设),,(z y x f u =，0),,(2=z y x ϕ，x y sin =，其中ϕ,f 具有连续的一阶偏导数，且0≠∂∂z ϕ，求dxdu. 九．求2222),(y y x x y x f ++=在{}1),(22=+=y x y x S 上的最大值与最小值.十．计算⎰⎰+=Ddxdy y x I )cos(，其中区域D 为：20,20ππ≤≤≤≤y x .十一. 证明：当10<<x 时，x e xx211-<+-. 十二. 设C 是取正向的圆周1)1()1(22=-+-y x ，)(x f 是正的连续函数，证明：⎰≥-Cdx x f ydy y xf π2)()(.2003年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一． 填空.1．设对一切实数x 和y ，恒有)()()(y f x f y x f +=+，且知1)2(=f ，则=)21(f .2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-+=⎰0 ,0,12)1ln()(2222sin 0x a x e e dt t x f x x x ，在0=x 处连续，则=a . 3．设2),,(yz e z y x f z =，其中),(y x z z =是由方程0=+++xyz z y x 所确定的隐函数，则=-')1,1,0(y f . 4．⎰∞+=+022)1(x dx. 5．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0243444222z y x z y x 在点)1,1,1(M 处的切线方程为 .二． 选择题.1．当0→x 时，下列无穷小量① x x sin 1tan 1+-+； ② 33121x x +-+；③ x x x sin )cos 3134(--； ④ 14--x x e从低阶到高阶的排列顺序为（ ）（A ）①②③④； （B ）③①②④； （B ）④③②①； （C ）④②①③.2．设⎩⎨⎧=≠=0 ,00,cot )(3x x x arc x x f ，在0=x 处存在最高阶导数的阶数为（ ）（A ）1阶； （B ）2阶； （C ）3阶； （D ）4阶 .3．函数)(x f y =在1=x 处有连续导函数，又21)(lim 1=-'→x x f x ，则1=x 是（ ）（A ）曲线)(x f y =拐点的横坐标； （B ）函数)(x f y =的极小值点； （C ）函数)(x f y =的极大值点； （D ）以上答案均不正确. 4．设函数g f ,在区间],[b a 上连续，且m x f x g <<)()(（m 为常数），则曲线)(x g y =，)(x f y =，a x =和b x =所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ）（A ）dx x g x f x g x f m ba ⎰---)]()()][()(2[π；（B ）dx x g x f x g x f m ba⎰-+-)]()()][()(2[π；（C ）dx x g x f x g x f m ba⎰-+-)]()()][()([π；（D ）dx x g x f x g x f m ba⎰---)]()()][()([π.5．设2222:a z y x S =++（0≥z ），1S 为S 在第一卦限中的部分，则有（ ） （A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS ； （B ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS ydS ；（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS zdS ； （D ）⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS ；三．a ，b ，c 为何值时，下式成立⎰=+-→x bx c tdt t ax x 2201sin 1lim四. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos )()(x a x xxx x f ϕ，其中)(x ϕ具有连续二阶导数，且1)0(=ϕ. (1) 确定a 的值，使)(x f 在点0=x 处可导，并求)(x f '； (2) 讨论)(x f '在点0=x 处的连续性.五．设正值函数)(x f 在),1[∞+上连续，求函数⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x dt t f t t x x x F 1)(]ln 2ln 2[)(的最小值点.六．设2)1arctan()(-='x x y ，且0)0(=y ，求⎰10)(dx x y .七．设变换⎪⎩⎪⎨⎧+=+=yx v ya x u 2把方程0212222=∂∂-∂∂-∂∂y z y z y x z 化为02=∂∂∂y u z ，试确定a . 八．设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分dy y x Q xydx L⎰+),(2与路径无关，并且对任意的t 恒有dy y x Q xydx dy y x Q xydx t t ⎰⎰+=+),1()0,0()1,()0,0(),(2),(2，求),(y x Q .九．设函数)(x f 具有二阶连续导函数，且0)0(=f ，0)0(='f ，0)0(>''f . 在曲线)(x f y =上任意取一点))(,(x f x （0≠x ）作曲线的切线，此切线在x 轴上的截距记作μ，求)()(lim 0x f f x x μμ→.十．设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且1)1(,0)0(==f f ，试证明：对于任意给定的正数a 和b ，在开区间)1,0(内存在不同的ξ和η，使得b a f bf a +='+')()(ηξ 十一. 设⎰----++-=1112)1(21)(dt e t x e x F t ，试证明在区间]1,1[-上)(x F 有且仅有两个实根.十二. 设函数),(y x f 在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零，证明：⎰⎰+'+'-=+→D y x dxdy y x f y f x f 22021lim )0,0(πε其中：D 为圆域1222≤+≤y x ε.2004年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空：1．设函数x x x f -+=11ln)(，则函数)1()2(xf x f +的定义域为： . 2．设要使函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0 ,)(cos )(21x a x x x f x 在区间),(∞+-∞上连续，则=a .3．设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π所确定，其中f 可导，且0)0(≠'f ，则==0t dx dy. 4．由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的全微分=dz .5．设)()(1y x y xy f xz ++=ϕ，其中f 、ϕ具有二阶连续导数，则=∂∂∂yx z2 . 二．选择题：1．已知311tan )(1lim20=--+→x x e x x f ，则=→)(lim 0x f x （ ） （A ）12； （B ）3； （C ）1； （D ）0； 2．设函数)(x f 在0x 的一个领域内有定义，则在0x 处存在连续函数)(x g 使)()()()(00x g x x x f x f -=-是)(x f 在0x 点处可导的（ ）（A ）充分而非必要条件； （B ）必要而非充分条件； （C ）充分必要条件； （C ）既非充分，也非必要条件.3．设⎩⎨⎧≤<-≤≤= 21,210 ,)(2x x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则=)(x F ( )（A ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤21,223110,323x x x x x ； （B ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤21,2210,323x x x x x ； （C ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤21,22310,3233x x x x x x ； （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤21,226710,323x x x x x 4．函数xy y x f =),(，在点)0,0(处),(y x f （ ）（A ）可微； （B ）偏导数存在，但不可微； （C ）连续，但偏导数不存在； （D ）不连续且偏导数不存在; 5．设)(x ϕ为区间]1,0[上正值连续函数，b a ,为任意常数，区域}1,0),({≤≤=y x y x D ，则⎰⎰++Ddxdy y x y b x a )()()()(ϕϕϕϕ＝（ ） （A ）a ； （B ）b ； （C ）b a +； （D ）)(21b a +.三．设函数)(x f 在0=x 的某领域内具有二阶导数，且310)(1lim e x x f x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→，求)0(f ，)0(f '，)0(f ''及xx x x f 10)(1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→. 四．计算⎰+-+dx x x xx )1(ln )1ln(. 五．求函数)1ln()(2x x x f +=在0=x 点处的100阶导数值.六．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上，以0>T 为周期的连续函数，且⎰=TA dx x f 0)(，求xdtt f x x ⎰+∞→0)(lim.七．在椭球面122222=++z y x 上求一点，是函数222),,(z y x z y x f ++=在该点沿方向j i l-=的方向导数最大.八．设正整数1>n ，证明方程01121212=-+++--x a x a x n n n 至少有两个根.九．设00>x ，112)1(2--++=n n n x x x （ 3,2,1=n ）. 证明n n x ∞→lim 存在，并求之.十．计算曲面积分⎰⎰∑-=xdxdy dydz xz I sin 2，其中∑是曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=012x z y （21≤≤z ）绕z 轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z 轴正向的夹角为锐角.十一. 设),(y x P 、),(y x Q 具有连续的导函数，且对以任意点),(00y x 为圆心，以任意正数r 为半径的上半圆θθsin ,cos :00r y y r x x L +=+=（πθ≤≤0），恒有0),(),(=+⎰Ldy y x Q dx y x P ，证明：0),(≡y x P ，0),(≡∂∂xy x Q . 十二. 设函数)(x f 在]1,0[上连续，且0)(10=⎰dx x f ，1)(10=⎰dx x xf ，试证： （1）]1,0[0∈∃x ，使得4)(0>x f ；（2）]1,0[1∈∃x ，使得4)(1=x f .2005年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空题： 1．=+++-+-∞→xx x x x x sin 114lim22 .2．曲线⎪⎩⎪⎨⎧==te y te x ttcos 2sin ，在点)1,0(处的法线方程为 . 3．设函数)(x f 为连续函数，且x dt t f x =⎰-103)(，则=)7(f .4．函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处，沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数为 .5．设2)(=⋅⨯c b a ，则=+⋅+⨯+)()]()[(a c c b b a. 二．选择题：1．设函数)(x f 与)(x g 在开区间),(b a 内可导，考虑如下的两个命题： （1）若)()(x g x f >，则)()(x g x f '>'； （2）若)()(x g x f '>'，则)()(x g x f >. 则（ ）（A ）两个命题均正确； （B ）两个命题均不正确；（C ）命题（1）正确，命题（2）不正确; （D ）命题（1）不正确，命题（2）正确.2．设函数)(x f 连续，)(x F 为)(x f 的原函数，则（ ） （A ）当)(x f 为奇函数时，)(x F 必为偶函数； （B ）当)(x f 为偶函数时，)(x F 必为奇函数； （C ）当)(x f 为周期函数时，)(x F 必为周期函数；（D ）当)(x f 为单调递增函数时，)(x F 必为单调递增函数；3．设平面π位于平面022:1=-+-z y x π与平面062:2=-+-z y x π之间，且将此两平面的距离分为3:1，则平面π的一个方程为（ ）（A ）02=+-z y x ； （B ）082=++-z y x （C ）082=-+-z y x ； （D ）032=-+-z y x 4．设),,(z y x f 为非零的连续函数，⎰⎰⎰≤++=2222),,()(t z y x dxdydz z y x f t F ，则当0→t 时（ ）（A ）)(t F 与t 为同阶无穷小； （B ）)(t F 与2t 为同阶无穷小； （C ）)(t F 与3t 为同阶无穷小； （D ）)(t F 是比3t 高阶的无穷小. 5．设函数)(x y y =满足等式042=+'-''y y y ，且0)(0<x y ，0)(0='x y ，则)(x y 在点0x 处（ ）（A ）取得极小值； （B ）取得极大值；（C ）在点0x 的一个领域内单调增加; （D ）在点0x 的一个领域内单调减少.三．求函数2sin )(2x e x f x -=的值域.四．设)(),(xyg y x xy f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂222,. 五．设二元函数),(y x u 在有界闭区域D 上可微，在D 的边界曲线上0),(=y x u ，并满足),(y x u yux u =∂∂+∂∂，求),(y x u 的表达式. 六．设二元函数),(y x f 具有一阶连续偏导数，且⎰=+),()0,0(22cos ),(t t t ydy x dx y x f ，求),(y x f .七．设曲线2ax y =（0,0≥>x a ）与21x y -=交于点A ，过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2ax y =围成一平面图形，试问：（1）当a 为何值时，该图形绕x 轴一周所得的旋转体体积最大？ （2）最大体积为多少？八．设S 为椭球面122222=++z y x 的上半部分，点S z y x P ∈),,(，π为S 在点P 处的切平面，),,,(z y x ρ为点)0,0,0(O 到平面π的距离，求dS z y x zS⎰⎰),,(ρ. 九．证明：⎰⎰+≤+2022021cos 1sin ππdx x x dx x x . 十．设正值函数)(x f 在区间],[b a 上连续，⎰=baA dx x f )(，证明：))(()(1)()(A a b a b dx x f dx e x f ba ba x f +--≥⎰⎰ 十一. 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上具有连续的二阶导数，证明：),(b a ∈∃ξ，使得)()()2(2)()(42ξf b f b a f a f a b ''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-- 十二. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数，1)(≤x f ，且4)]0([)]0([22='+f f ，证明：存在一点)2,2(-∈ξ，使得0)()(=''+ξξf f .2006年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空：1．若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->-=0 ,10 ,2arctan 1)(2sin x ae x x e x f x x是),(+∞-∞上的连续函数，则=a .2．函数x x y sin 2+=在区间],2[ππ上的最大值为 .3．⎰--=+22)(dx e x x x .4．由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧的单位法向量为 .5．设函数),(y x z z =由方程2=+----x y z xe x y z 所确定，则=dz . 二．选择题：1．设函数)(x f 可导，并且5)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x 处微分dy 是y ∆的（ ） （A ）等价无穷小；（B ）同阶但不等价无穷小； （C ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小.2．设函数)(x f 在点a x =处可导，则)(x f 在点a x =处不可导的充要条件是（ ）（A ）0)(=a f ，且0)(='a f ； （B ）0)(≠a f ，但0)(='a f ； （C ）0)(=a f ，且0)(≠'a f ； （D ）0)(≠a f ，且0)(≠'a f . 3．曲线12+-+=x x x y （ ）（A ）没有渐近线； （B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线;（C ）有一条铅直渐近线； （D ）有两条水平渐近线. 4．设),(y x f 与),(y x ϕ均为可微函数，且0),(≠'y x y ϕ. 已知),(00y x 是),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ ） （A ）若0),(00='y x f x ，则0),(00='y x f y ； （B ）若0),(00='y x f x ，则0),(00≠'y x f y ； （C ）若0),(00≠'y x f x ，则0),(00='y x f y ； （C ）若0),(00≠'y x f x ，则0),(00≠'y x f y . 5．设曲面}0,),({2222≥=++=∑z k z y x y x 的上侧，则下述曲面积分不为零的是（ ）（A ）⎰⎰∑dydz x 2； （B ）⎰⎰∑xdydz ； （C ）⎰⎰∑zdzdx ； （D ）⎰⎰∑ydxdy .三．设函数)(x f 具有连续的二阶导数，且0)(lim=→xx f x ，且4)0(=''f ，求xx x x f 10)(1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→. 四．设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t u du u e y t x ln 211221（1>t ）所确定，求922=x dx y d . 五．设n 为自然数，计算积分dx xxn I n ⎰+=20sin )12sin(π. 六．设)(x f 是除0=x 点外处处连续的奇函数，0=x 为其第一类跳跃间断点，证明⎰xdt t f 0)(是连续的偶函数，但在0=x 处不可导.七．设),(v u f 有一阶连续偏导数，))cos(,(22xy y x f z -=，θcos r x =，θsin r y =，证明：)sin(2sin 1cos xy vzy u z x z r r z ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂θθθ.八．设函数)(u f 连续，在点0=u 处可导，且0)0(=f ，3)0(-='f ，求：⎰⎰⎰≤++→++2222)(1lim 22240t z y x t dxdydz z y x f tπ 九．计算⎰+++-=L yx x xdyydx I ，其中L 为1=++y x x 正向一周.十．（1）证明：当x 充分小时，不等式422tan 0x x x ≤-≤成立.（2）设∑=+=nk n k n x 121tan ，求n n x ∞→lim .十一. 设常数12ln ->k ，证明：当0>x 且1≠x 时，0)1ln 2ln )(1(2>-+--x k x x x . 十二. 设匀质半球壳的半径为R ，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l 的均匀细棒，其密度为ρ. 若棒的近壳一端与球心的距离为a ，R a >, 求此半球壳对棒的引力.2001年天津市大学数学竞赛试题答案（理工类）一．填空：1. 22. dx -3. 12374. 385. 4二．选择：1. D2. A3. D4. C5. B三．解： )(!4!21cos 442x o x x x ++-==-22x e )()2(!21214222x o x x +-+-=)(821442x o x x ++- )(22)()2(212)21ln(2222x o x x x o x x x +--=+---=-由此得到：原式=2224424420)](222[)](821[)(!4!21lim x x o x x x x o x x x o x x x +--++--++-→ 241)(2)(121lim 44440=+-+-=→x o x x o x x 四．解：原式dx edx e e xe xd dx e xe x x x x x x ⎰⎰⎰⎰∞+∞+∞++∞∞++=+++-=+-=+=00000211111)11()1( 令t e x =，则dt tdx 1=，于是2ln 1)111()1(1)1(11102=+=+-=+=++∞∞+∞+∞+--⎰⎰⎰t tn l dt t t dt t t dx e xe x x 五．解：x x x u =)2,(两边对x 求导，得到：1)2,(2)2,(21='+'x x u x x u ，代入21)2,(x x x u ='求得：21)2,(22x x x u -='； 21)2,(x x x u ='两边对x 求导，得到：x x x u x x u 2)2,(2)2,(1211=''+''； 21)2,(22x x x u -='两边对x 求导，得到 x x x u x x u -=''+'')2,(2)2,(2221. 以上两式与2222yux u ∂∂=∂∂联立，又二阶导数连续，所以2112u u ''=''，故 x x x u 34)2,(11-=''. 六．解：设三角形的三边长分别为z y x ,,，由海伦公式知，三角形的面积S 的平方为))()((2z p y p x p p S ---=则本题即要求在条件p z y x 2=++之下S 达到的最大值，它等价于在相同的条件下2S 达到最大值. 设))()((),(2p y x y p x p p S y x f -+--==问题转化成),(y x f 在}2,0,0),({p y x p p y p x y x D <+<<<<<=上的最大值。
