高中数学 第二章 推理与证明 2_3 数学归纳法高效测评 新人教A版选修2-2

习题课 数学归纳法明目标、知重点1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n 有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点：在第二步递推归纳时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．题型一 用数学归纳法证明不等式思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时的结论．例 1 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1都成立． 证明 由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1成立． (1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时不等式成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2 >k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1)＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时， 不等式也成立． 由(1)、(2)可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1对任意的n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．跟踪训练1 用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k2<1－1k，则当n＝k＋1时，1 22＋132＋142＋…＋1k2＋1(k＋1)2<1－1k＋1(k＋1)2＝1－(k＋1)2－kk(k＋1)2＝1－k2＋k＋1k(k＋1)2<1－k(k＋1)k(k＋1)2＝1－1k＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．题型二利用数学归纳法证明整除问题例2 求证：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.证明(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．反思与感悟证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．跟踪训练2 证明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．证明(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．由(1)，(2)可知原命题成立．题型三利用数学归纳法证明几何问题思考用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？答用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．例3 平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝n(n－1)2.证明(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．(2)假设n＝k(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝12k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝12k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)＝12(k＋1)(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练3 有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．证明(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分；那么当n＝k＋1时，依题意，第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．呈重点、现规律]1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是( )A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4答案 D解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A．2 B．3C．5 D．6答案 C解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.3．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，证明不等式f(2n)>n2时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是( )A．2k－1项B．2k＋1项C．2k项D．以上都不对答案 C解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋12＋…＋12k，而f(2k＋1)＝1＋12＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．4．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1124(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( )A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1和12(k＋1)C．增加了B中的两项，但又减少了一项1 k＋1D．增加了A中的一项，但又减少了一项1 k＋1答案 C解析当n＝k时，不等式左边为1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，当n＝k＋1时，不等式左边为1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，故选C.5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案 A解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k3即可．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝n2a n(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想S n的表达式为________________．答案S n＝2n n＋1解析S1＝1，S2＝43，S3＝32＝64，S4＝85，猜想S n＝2nn＋1.7．已知正数数列{a n}(n∈N*)中，前n项和为S n，且2S n＝a n＋1an，用数学归纳法证明：a n＝n－n－1.证明(1)当n＝1时，a1＝S1＝12(a1＋1a1)，∴a21＝1(a n>0)，∴a1＝1，又1－0＝1，∴n＝1时，结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即a k＝k－k－1. 当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(a k＋1ak)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(k－k－1＋1k－k－1)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－k.∴a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0，解得a k＋1＝k＋1－k(a n>0)，∴n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N*都有a n＝n－n－1.二、能力提升8．对于不等式n2＋n≤n＋1 (n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n＝k (n∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案 D解析从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．9．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________________________．答案122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3解析观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3.10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．求证：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n>56(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k>56.则当n＝k＋1时，1 (k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13(k＋1)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(3×13k＋3－1k＋1)＝56，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)． 则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立． 三、探究与拓展13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m 2n ＋1， 当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立． 下面用数学归纳法证明： 证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时，不等式，12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立， 当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2， 只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤ 322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．1 2·34·56·…·2n－12n≤322n＋1恒成立．所以，对任意n∈N*，不等式。

2.3数学归纳法在学校，行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示：一些与正整数n有关的问题．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示数学归纳法中两个步骤的作用及关系步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，则无法判断n＝k(k＞n0)时命题是否成立；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．需要注意：步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n ＝k ＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出当n ＝k ＋1时命题也成立，而不能直接将n ＝k ＋1代入归纳假设，此时n ＝k ＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．2(其中n ∈N *)．(1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)2，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．用数学归纳法证明等式的方法用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n ＝k ＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论．用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2 2n －1 2n ＋1 ＝n n ＋1 2 2n ＋1. 证明：(1)当n ＝1时121×3＝1×22×3成立． (2)假设当n ＝k 时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k 2 2k －1 2k ＋1 ＝k k ＋1 2 2k ＋1， 则121×3＋223×5＋…＋k 2 2k －1 2k ＋1 ＋ k ＋1 22k ＋1 2k ＋3＝k k ＋1 2 2k ＋1 ＋ k ＋1 2 2k ＋1 2k ＋3 ＝ k ＋1 k ＋2 2 2k ＋3 ， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知对于任意的n ∈N *等式都成立.。

学习资料课时素养评价十九数学归纳法(15分钟30分）1。

对于不等式〈n+1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时，〈1+1，不等式成立。

（2）假设当n=k（k∈N*）时,不等式成立,即〈k+1，则当n=k+1时,=<==（k+1）+1,所以当n=k+1时，不等式成立.则上述证法（)A。

过程全部正确B.n=1验得不正确C。

归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确【解析】选D.从n=k到n=k+1的推理过程中未用到(2)中假设,所以不正确。

2.某个与正整数有关的命题：如果当n=k（k∈N*)时命题成立，则可以推出当n=k+1时该命题也成立.现已知n=5时命题不成立,那么可以推得（)A.当n=4时命题不成立B。

当n=6时命题不成立C。

当n=4时命题成立D。

当n=6时命题成立【解析】选A。

因为当n=k（k∈N＊）时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立，所以假设当n=4时命题成立，那么n=5时命题也成立,这与已知矛盾,所以当n=4时命题不成立。

3。

用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立"时，第一步证明中的起始值n0应取( )A.2 B。

3 C。

5 D.6【解析】选C。

令n0分别取2，3，5，6，依次验证即得.4.已知f(n）=1+++…+(n∈N＊），用数学归纳法证明f（2n)>时,f(2k+1）-f（2k)=________。

【解析】因为假设n=k时，f（2k）=1+++…+，当n=k+1时,f（2k+1)=1+++…+++…+,所以f(2k+1)—f(2k)=1+++…+++…+—=++…+.答案:++…+5。

在数列{a n｝，{b n}中，a1=2,b1=4，且a n，b n,a n+1成等差数列，b n，a n+1,b n+1成等比数列（n∈N ＊)。

求a2，a3，a4及b2，b3，b4,由此猜测｛a n}，{b n｝的通项公式，并证明你的结论.【解析】由已知得2b n=a n+a n+1,=b n b n+1,a1=2,b1=4，由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25。

高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法讲义新人教A 版选修221．数学归纳法的内容如下：一个□01与正整数有关的命题，如果(1)□02当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1或n 0＝2等)时结论正确，(2)□03假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，能够证明当n ＝k ＋1时结论也正确，那么可以断定□04这个命题对n ∈N *且n ≥n 0的所有正整数都成立． 2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是□05递推的基础，第二步的作用是□06递推的依据． 3．数学归纳法实质上是□07演绎推理法的一种，它是一种□08严格的证明方法，它只能□09证明结论，不能发现结论，并且只能证明□10与正整数相关的命题． 4．常把归纳法和数学归纳法结合起来，形成□11归纳—猜想—证明的思想方法，既可以□12发现结论，又能□13给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的思想方法． 5．用数学归纳法证明命题时，两步□14缺一不可，并且在第二步的推理证明中必须用□15归纳假设，否则不是数学归纳法．对数学归纳法本质的理解数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然，知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．(1)有n 个骨牌排成如图所示的一排，现推倒第一张骨牌，会有什么现象？(2)要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度) (3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果？(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下)(4)如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？(5)能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和思考，可以得到的结论是：①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下)第一张骨牌被推倒――→利用②第二张骨牌被推倒――→利用②第三张骨牌被推倒――→利用②…运用类比的方法，我们不难将推倒骨牌的原理进行迁移、升华，进而得到数学归纳法证明的步骤：(1)当n ＝1时，结论成立；(2)假设当n ＝k 时结论成立，证明n ＝k ＋1时结论也必定成立． 当n ＝1时结论成立――→利用2当n ＝2时结论成立――→利用2当n ＝3时结论成立――→利用2…1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f (n )共有________项，f (2)＝________.(2)定义一种运算“*”，对于正整数n ，满足以下运算性质：①1] . (3)设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)，则S k ＋1＝________(用含S k 的代数式表示)． 答案 (1)n 2－n ＋1 12＋13＋14 (2)2×3n －1(3)S k ＋12k ＋1－12k ＋2探究1 用数学归纳法证明等式问题 例1 已知n ∈N *，用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12). [证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边．故当n ＝k ＋1时，命题也成立．综上可知，命题对一切非零自然数都成立． 拓展提升用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项．【跟踪训练1】 用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n∈N *)．证明 ①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边．∴当n ＝2时，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k，那么，当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k·k k ＋2k ＋12＝k ＋22k ＋1＝k ＋1＋12k ＋1，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①②可知，等式对任意n ≥2，n ∈N *都成立． 探究2 用数学归纳法证明不等式问题 例2 证明不等式1＋12＋13＋ (1)<2n (n ∈N *)． [证明] ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2. 左边<右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k<2k . 则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1<k 2＋k ＋12＋1k ＋1＝2k ＋1k ＋1＝2k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立． 拓展提升用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k )>g (k )，求证f (k ＋1)>g (k ＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当n ＝k ＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．【跟踪训练2】 用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，1＋12≤1＋121≤12＋1∴32≤1＋12≤32，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ≥1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k>1＋k 2＋12k ＋2k ＋12k ＋2k ＋…＋12k ＋2k＝1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12.又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k≤12＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝12＋k ＋2k·12k ＝12＋(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时，命题成立．由①和②可知，命题对所有n ∈N *都成立． 探究3 用数学归纳法证明整除性问题 例3 用数学归纳法证明42n ＋1＋3n ＋2能被13整除，其中n ∈N *. [证明] 证法一：①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时， 42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3(42k ＋1＋3k ＋2)，因为42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，所以42k ＋1·13＋3(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除．所以当n ＝k ＋1时命题也成立， 由①②知，当n ∈N *时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．证法二：①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，即42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时，[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－(42k ＋1＋3k ＋2) ＝(42k ＋1·42＋3k ＋2·3)－(42k ＋1＋3k ＋2)＝42k ＋1·13＋2(42k ＋1＋3k ＋2)．因为42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，所以[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除，所以42(k ＋1)＋1＋3k ＋3能被13整除．所以当n＝k＋1时命题也成立．由①②知，当n∈N*时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．拓展提升在推证n＝k＋1时，为了凑出归纳假设，采用了“增减项”技巧，所以证明整除性问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．【跟踪训练3】用数学归纳法证明：62n－1＋1能被7整除，其中n∈N*.证明①当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．②假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由①②知命题成立．1.数列中的归纳—猜想—证明，是对学生观察、分析、归纳论证能力的综合考查，是近几年理科高考的热点之一．解此类问题，需要从特殊入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律.2.数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”.3.在用数学归纳法证明问题的过程中，还要注意从k→k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误.1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证( )A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4答案 C解析由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．2．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即 k 2＋k <k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立． 则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理过程中未用到(2)中假设，所以不正确，故选D. 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋13(n ∈N *)时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________．答案 (k ＋1)2＋k 2解析 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12， 所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. 4．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析 当n ＝k (k ∈N *)时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k －1)(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)， 则左边应增乘的式子是2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)，故答案为2(2k ＋1)．5．用数学归纳法证明：13＋23＋…＋n 3＝14n 2(n ＋1)2(n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，左边＝13＝1， 右边＝14×12×(1＋1)2＝1，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，。

1 高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法预习导航 新人教A
版选修2-2
1．数学归纳法
证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：
第一步，归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立．
第二步，归纳递推：假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
思考1在数学归纳法的第一步：归纳奠基中n 0的值一定为1吗？
提示：数学归纳法的第一步中n 的初始值应根据命题的具体情况而确定，不一定是n 0＝1，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°，其初始值n 0＝3.
2．数学归纳法的框图表示
思考2用数学归纳法证明n ＝k ＋1命题成立时，是否必须用到归纳假设“n ＝k 时，命题成立”？为什么？
提示：必须用到．因为只有这样才能体现“n ＝k ＋1时命题成立”的原因是“n ＝k 时命题成立”，体现传递性．。

江苏省苏州市高中数学第二章推理与证明2.3 数学归纳法教学设计新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省苏州市高中数学第二章推理与证明2.3 数学归纳法教学设计新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省苏州市高中数学第二章推理与证明2.3 数学归纳法教学设计新人教A版选修2-2的全部内容。

数学归纳法【教材分析】1、教学内容:数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2—2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

2、地位作用:在已经学习了不完全归纳法的基础上,介绍了数学归纳法,它是一种用于关于正整数命题的直接证法。

教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

（2）会证明简单的与正整数有关的命题。

2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程,体会类比的数学思想.3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学,使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点,激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。

【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n(n取无限多个值）有关的数学命题.【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。

高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法课堂探究新人教A版选修2-2探究一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式的三个关键点(1)验证是基础．数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0(n0≥1，n∈N*)，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．(2)递推是关键．数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．(3)利用假设是核心．在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．【典型例题1】用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．思路分析：第一步先验证等式成立的第一个值n0；第二步在n＝k时等式成立的基础上，等式左边加上n＝k＋1时新增的项，整理出等式右边的项．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×12－2×1＋1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1.则n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1)＝2k2＋2k＋1＝2(k＋1)2－2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，等式成立，由(1)(2)知，等式对任意n∈N*都成立．探究二 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明不等式的四个关键点：1．验证第1个n 的取值时，要注意n 0不一定为1，若条件为n ＞k ，则n 0＝k ＋1. 2．证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”．3．应用归纳假设后，若证明方法不明确，可采用分析法证明n ＝k ＋1时也成立，这样既易于找到证明的突破口，又完整表达了证明过程．4．证明n ＝k ＋1成立时，应加强目标意识，即明确要证明的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放的过大”或“缩的过小”．【典型例题2】用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1n＞n (其中n ∈N *，n ＞1)．思路分析：按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由n ＝k 证n ＝k ＋1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论．证明：①当n ＝2时，左边＝1＋12，右边＝2，⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－2＝1－22＞0，所以左边＞右边，即不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k ＞k ，则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1k ＋1. (方法1)由于⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1－k ＋1＝k 2＋k ＋1－(k ＋1)k ＋1＝k 2＋k －kk ＋1＝k k ＋1(k 2＋k ＋k )＞0，所以k ＋1k ＋1＞k ＋1，即1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1. (方法2)由于k ＋1k ＋1＝k 2＋k ＋1k ＋1＞k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1＝k ＋1，所以1＋12＋13＋…＋1k＋1k ＋1＞k ＋1.即当n ＝k ＋1时原不等式也成立， 由①②知原不等式成立． 探究三 归纳—猜想—证明数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．因此归纳—猜想—证明能更好地体现数学归纳法递推的本质，在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点：①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；【典型例题3】数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n (n ≥2)，求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明．③如果猜想出来的结论与正整数n 有关，一般用数学归纳法证明．思路分析：本题考查数列中的归纳——猜想——证明问题，先由前n 项猜测a n ，再用数学归纳法证明．解：∵a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a nn －a n(n ≥2)，∴a 3＝a 22－a 2＝142－14＝17，a 4＝2a 33－a 3＝2×173－17＝110.猜想：a n ＝13n －2(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明猜想正确． (1)当n ＝1,2时易知猜想正确．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时猜想正确， 即a k ＝13k －2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(k －1)a kk －a k ＝(k －1)·13k －2k －13k －2＝k －13k －23k 2－2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1 ＝k －1(3k ＋1)(k －1)＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2，即当n ＝k ＋1时猜想也正确．由(1)(2)可知，猜想对任意n ∈N *都正确． 探究四 易错辨析易错点：没有利用归纳假设而导致出错【典型例题4】用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝12n (3n －1)．错解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，需证1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12(k ＋1)(3k ＋2)(*)．由于等式左边是一个以1为首项，公差为3，项数为k ＋1的等差数列的前n 项和，其和为12(k ＋1)(1＋3k ＋1)＝12(k ＋1)(3k ＋2)，所以(*)式成立，即n ＝k ＋1时等式成立． 根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．错因分析：判断用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步假设是否被应用，如果没有用到假设，那就是不正确的．错解在证明当n ＝k ＋1等式成立时，没有用到假设“当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立”，故不符合数学归纳法证题的要求．正解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12k (3k －1)＋(3k ＋1)＝12(3k2＋5k ＋2)＝12(k ＋1)(3k ＋2)＝12(k ＋1)[3(k ＋1)－1]，即当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．。

2016-2017学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法高效测评 新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分) 1．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( )A ．1＋aB ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4解析： 将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3，故选C.答案： C2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)，从n ＝k 推导到n ＝k ＋1时，左边需要增乘的代数式为( )A ．2(2k ＋1)B ．2k ＋1C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1解析： 当n ＝k 时，等式左端为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，等式左端为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(2k ＋2)， ∴从n ＝k 推导到n ＝k ＋1时，左边需增乘的式子为2(2k ＋1)． 答案： A3．若命题A (n )(n ∈N *)n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立．则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确解析： 由题意知n ＝n 0时命题成立能推出n ＝n 0＋1时命题成立，由n ＝n 0＋1时命题成立，又推出n ＝n 0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n 0的正整数命题都成立，而对小于n 0的正整数命题是否成立不确定．答案： C4．k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)为(k ≥3，k ∈N *)( ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋kD ．f (k )＋k －2解析： 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面， 则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面． 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n >n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是________．解析： ∵210＝1 024>103,29＝512<93， ∴填10. 答案： 106．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________．解析： 本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．答案： 未用归纳假设三、解答题(每小题10分，共20分)7．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N ＋)．证明： (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)和(2)，知等式对所有n ∈N ＋都成立．8．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．证明： (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＜12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立． 尖子生题库☆☆☆(10分)是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n＝n (n ＋1)(n ＋2)都成立，并证明你的结论．解析： 将n ＝1,2,3分别代入等式得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6a 1＋2a 2＝24a 1＋2a 2＋3a 3＝60解得a 1＝6，a 2＝9，a 3＝12，设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝3，从而a n ＝3n ＋3. 故存在一个等差数列a n ＝3n ＋3， 使得当n ＝1,2,3时，等式成立． 下面用数学归纳法证明结论成立． ①当n ＝1时，结论显然成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，等式成立，即a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋ka k ＝k (k ＋1)(k ＋2)． 那么当n ＝k ＋1时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋ka k ＋(k ＋1)a k ＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋3] ＝(k ＋1)(k 2＋2k ＋3k ＋6) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2] 所以当n ＝k ＋1时结论也成立．由①②知存在一个等差数列a n＝3n＋3，使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝n(n＋1)(n＋2)都成立．欢迎您的下载，资料仅供参考！。

2.3 数学归纳法[目标] 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．[重点] 数学归纳法及其应用．[难点] 对数学归纳法原理的理解．知识点数学归纳法[填一填]1．数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．2．用框图表示数学归纳法的步骤[答一答]1．在数学归纳法的第一步归纳奠基中，第一个值n0是否一定为1?提示：不一定，n0还可以取其他值，如证明“2n>n2”中，n0＝5，而证明“凸n边形内角和为(n－2)·180°”中，n0＝3.2．所有与正整数有关的命题都可以用数学归纳法证明吗？提示：数学归纳法是证明与正整数有关的命题的有力工具，但并不是所有与正整数n有关的命题都能用数学归纳法证明，一般当从n＝k过渡到n＝k＋1时，问题中存在可利用的递推关系时才能应用．3．用数学归纳法证明问题时，归纳假设是否一定要用上？提示：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程，必须把归纳假设“n ＝k ”作为条件来导出“n ＝k ＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次．类型一 用数学归纳法证明等式【例1】 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 22n －12n ＋1＝n n ＋122n ＋1. 【证明】 (1)当n ＝1时121×3＝1×22×3成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k 22k －12k ＋1＝k k ＋122k ＋1，则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 22k －12k ＋1＋k ＋122k ＋12k ＋3＝k k ＋122k ＋1＋k ＋122k ＋12k ＋3＝k ＋1k ＋222k ＋3，即当n ＝k ＋1时等式也成立．总之，由(1)(2)可得对于任意的n ∈N *等式都成立．应用数学归纳法时应注意的问题：1第一步的验证，对于有些问题验证的并不是n ＝1，有时需验证n ＝2，n ＝3，甚至需要验证n ＝10，如证明：对足够大的正整数n ，有2n>n 3，就需要验证n ＝10时不等式成立.2n ＝k ＋1时式子的项数，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错.因此对n ＝k 与n ＝k ＋1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.3“假设n ＝kk ≥1时命题成立，利用这一假设证明n ＝k ＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设，否则这样的证明就不再是数学归纳法了.另外在推导过程中要把步骤写完整，注意证明过程中的严谨性、规范性.(1)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( B ) A ．1 B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：左边应为1＋a ＋a 2.故选B. (2)设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)，则S k ＋1为( B ) A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1C ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1类型二 用数学归纳法证明不等式【例2】 已知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，用数学归纳法证明对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． 【证明】 由已知条件可得b n ＝2n (n ∈N ＋)， ∴所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n>n ＋1.(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边>右边，∴不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立． 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋1>k ＋1·2k ＋32k ＋1＝2k ＋32k ＋1 .要证当n ＝k ＋1时，不等式成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋1k ＋2，由基本不等式，得2k ＋32＝k ＋1＋k ＋22≥k ＋1k ＋2成立，∴2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，原不等式均成立．运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明，如本例就是利用了比较法.用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝2时， 左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，∵14<12，∴不等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k， 则当n ＝k ＋1时，即122＋132＋142＋…＋1k 2＋1k ＋12<1－1k＋1k ＋12＝1－k ＋12－k k k ＋12＝1－k 2＋k ＋1k k ＋12<1－k k ＋1k k ＋12＝1－1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．综合(1)(2)得，对任意n ≥2的正整数，不等式均成立． 类型三 用数学归纳法证明整除问题【例3】 用数学归纳法证明(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．【思路分析】 按照数学归纳法证明步骤：(1)先证n ＝1时命题成立；(2)假设n ＝k 时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立．【证明】 (1)当n ＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即(3k ＋1)·7k－1能被9整除，那么当n ＝k ＋1时， [3(k ＋1)＋1]·7k ＋1－1＝[(3k ＋1)＋3]·7·7k－1 ＝7·(3k ＋1)·7k－1＋21×7k＝[(3k ＋1)·7k－1]＋6(3k ＋1)·7k＋21×7k＝[(3k ＋1)·7k－1]＋18k ·7k＋27×7k＝[(3k ＋1)·7k－1]＋(18k ＋27)·7k. 由假设知(3k ＋1)·7k－1能被9整除，又因为(18k ＋27)·7k能被9整除，所以[(3k ＋1)·7k－1]＋(18k ＋27)·7k能被9整除， 即n ＝k ＋1时命题成立．综上由(1)(2)知，对所有正整数n ，命题成立．当n ＝1时，原式等于27被9整除，因此要研究3k ＋1·7k －1与3k ＋4·7k ＋1－1之间的关系，以便利用归纳假设3k ＋1·7k－1能被9整除来推证3k ＋4·7k ＋1－1也能被9整除.利用数学归纳法证明：x 2n －y 2n(n ∈N *)能被x ＋y 整除．证明：(1)当n ＝1时，x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )，能被x ＋y 整除，所以命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即x 2k－y 2k能被x ＋y 整除， 那么，当n ＝k ＋1时，x 2k ＋2－y 2k ＋2＝x 2·x 2k －y 2·y 2k －x 2·y 2k ＋x 2·y 2k＝x 2(x 2k－y 2k)＋y 2k(x 2－y 2)，因为x 2k－y 2k与x 2－y 2都能被x ＋y 整除，所以x 2k ＋2－y2k ＋2能被x ＋y 整除，即当n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任意n ∈N *都成立．数学归纳法证明问题从n ＝k 到n ＝k ＋1时弄错增加项【例4】 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12(n ∈N *)．【错解】 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，显然左边>右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12.那么当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1>k ＋12＋12k ＋1>k ＋12＋12＝k ＋1＋12，即n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②得1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12(n ∈N *)成立．【错因分析】 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的不止一项，应是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k项，并且k ＋12＋12k ＋1>k ＋12＋12也是错误的．【正解】 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，所以左边>右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12，那么当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k＝k ＋12＋2k2k ＋2k ＝k ＋12＋12＝k ＋1＋12.所以n ＝k ＋1时，不等式成立，由①②可知，n ∈N *时1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12.用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1124(n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12>1124，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k >1124， 即当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1. 因为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝2k ＋1＋2k ＋1－22k ＋12k ＋12k ＋1＝12k ＋12k ＋1>0，所以1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124， 所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对于任意正整数n ，不等式成立．1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋2n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( C )A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋42．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数等于( C )A ．1B ．1或2C ．1,2,3D ．1,2,3,4解析：逐个代入验证． 3．已知S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n －12n ＋1，则S 1＝13，S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49，猜想S n ＝n 2n ＋1. 解析：分别将1,2,3,4代入观察猜想S n ＝n2n ＋1.4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，且n >1)，第二步证明从“k 到k ＋1”，左端增加的项数是2k.解析：当n ＝k 时左端为1＋12＋13＋…＋12k －1，当n ＝k ＋1时左端为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，故增加的项数为2k项．5．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2 ＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 证明：①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边，∴n ＝2时等式成立．②假设n ＝k (k ≥2，n ∈N *)时等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k， 那么n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k ·k k ＋2k ＋12＝k ＋22k ＋1＝k ＋1＋12k ＋1， 即n ＝k ＋1时等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立．。