2.1 合情推理与演绎推理(一)

合情推理与演绎推理一、归纳推理 例1．（1）观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？变式1.设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?(2)猜想:圆内两两相交的n (n ≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .2.由107＞85,119＞108,2513＞219,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则m a m b ++与a b 之间的大小关系为 .3.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2，猜想出椭圆2222b y a x +=1的面积S =πab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 .二、类比推理（一）数列中的类比例1.在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式 成立.强化练习1.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

合情推理与演绎推理测试题 (选修1 -2 )试卷总分值150 ,其中第一卷总分值100分 ,第二卷总分值50分 ,考试时间120分钟第一卷 (共100分 )一.选择题：本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的；请将答案直接填入以下表格内. )题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1.如果数列{}n a 是等差数列 ,那么 A.1845a a a a +<+B. 1845a a a a +=+C.1845a a a a +>+D.1845a a a a =2.下面使用类比推理正确的选项是 A. "假设33a b ⋅=⋅,那么a b =〞类推出 "假设00a b ⋅=⋅,那么a b =〞 B. "假设()a b c ac bc +=+〞类推出 "()a b c ac bc ⋅=⋅〞C. "假设()a b c ac bc +=+〞 类推出 "a b a bc c c+=+ (c ≠0 )〞 D. "n n a a b =n （b ）〞 类推出 "n n a a b +=+n（b ）〞 3.有这样一段演绎推理是这样的 "有些有理数是真分数 ,整数是有理数 ,那么整数是真分数〞结论显然是错误的 ,是因为)()(,sin )('010x f x f x x f == ,'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x += ,n ∈N ,那么2007()f x =A.sin xB.－sin xC.cos xD.－cos x01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯ ,那么在5进制中数码2004折合成十进制为A.29B. 254C. 602D. 200421y ax =+的图像与直线y x =相切 ,那么a =A.18B.14C.12D. 17.下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有24x y =上一点A 的纵坐标为4 ,那么点A 与抛物线焦点的距离为A.2B.3C.4D. 59.设 ()|1|||f x x x =--, 那么1[()]2f f =A. 12-B. 0C.12D. 1)3,5(-=→x a , ),2(x b =→,且→→⊥b a , 那么由x 的值构成的集合是A.{2,3}B. { -1, 6}C. {2}D. {6} 11. 有一段演绎推理是这样的： "直线平行于平面,那么平行于平面内所有直线；直线b ⊆/平面α ,直线a ≠⊂平面α ,直线b ∥平面α ,那么直线b ∥直线a 〞的结论显然是错误的 ,这是因为12.2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+*x N ∈（） ,猜测(f x ）的表达式为 A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+二.解答题：本大题共5小题 ,每题8分 ,共40分. 13.证明：5,3,2不能为同一等差数列的三项.△ABC 中 ,CB CB A cos cos sin sin sin ++=,判断△ABC 的形状.15.：空间四边形ABCD 中 ,E ,F 分别为BC ,CD 的中点 ,判断直线EF 与平面ABD 的关系 ,并证明你的结论.16.函数x x x f -+=)1ln()( ,求)(x f 的最|大值.17.△ABC 三边长,,a b c 的倒数成等差数列 ,求证：角B 090<.第二卷 (共50分 )三．填空题.本大题共4小题 ,每空4分 ,共16分 ,把答案填在题中横线上 .18. 类比平面几何中的勾股定理：假设直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直 ,那么三角形三边长之间满足关系：222BC AC AB =+ .假设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直 ,那么三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .22112343=++=2，，3+4+5+6+7=5中 ,可得到一般规律为 (用数学表达式表示)20.函数y ＝f (x )在 (0 ,2 )上是增函数 ,函数y =f(x +2)是偶函数 ,那么f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .21.设平面内有ｎ条直线(3)n ≥ ,其中有且仅有两条直线互相平行 ,任意三条直线不过同一点．假设用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数 ,那么(4)f = ； 当ｎ＞４时 ,()f n ＝ (用含n 的数学表达式表示 )四.解答题. (每题13分 ,共26分.选答两题 ,多项选择那么去掉一个得分最|低的题后计算总分 )22.在各项为正的数列{}n a 中 ,数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a S 121 (1 ) 求321,,a a a ； (2 ) 由 (1 )猜测数列{}n a 的通项公式； (3 ) 求n S23.自然状态下鱼类是一种可再生资源 ,为持续利用这一资源 ,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响 ,用n x 表示某鱼群在第n 年年初的总量 ,+∈N n ,且1x ＞0.不考虑其它因素 ,设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与n x 成正比 ,死亡量与2n x 成正比 ,这些比例系数依次为正常数c b a ,,. (Ⅰ )求1+n x 与n x 的关系式；(Ⅱ )猜测：当且仅当1x ,c b a ,,满足什么条件时 ,每年年初鱼群的总量保持不变 ? (不要求证明 )24. 设函数)(sin )(R x x x x f ∈=.(1 )证明：Z k x k x f k x f ∈=-+,sin 2)()2(ππ；五.解答题. (共8分.从以下题中选答1题 ,多项选择按所做的前1题记分 ) 25. 通过计算可得以下等式：1121222+⨯=-1222322+⨯=- 1323422+⨯=-┅┅12)1(22+⨯=-+n n n将以上各式分别相加得：n n n +++++⨯=-+)321(21)1(22即：2)1(321+=++++n n n 类比上述求法：请你求出2222321n ++++ 的值.26. 直角三角形的两条直角边的和为a ,求斜边的高的最|大值 27.))((R x x f ∈恒不为0 ,对于任意R x x ∈21,等式()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=+222212121x x f x x f x f x f 恒成立.求证：)(x f 是偶函数. 28.ΔABC 的三条边分别为a b c ，，求证：11a b ca b c+>+++合情推理与演绎推理测试题答案 (选修1 -2 )一.选择题：本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的；请将答案直接填入以下表格内. )题号 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCCDBBADDCAB二.解答题：本大题共5小题 ,每题8分 ,共40分.13.证明：假设2、3、5为同一等差数列的三项 ,那么存在整数m,n 满足3 =2 +md ① 5 =2 +nd ②①⨯n -②⨯m 得：3n -5m =2(n -m)两边平方得： 3n 2+5m 2-215mn =2(n -m)2左边为无理数 ,右边为有理数 ,且有理数≠无理数 所以 ,假设不正确 .即 2、3、5不能为同一等差数列的三项 14. ∆ABC 是直角三角形； 因为sinA =CB CB cos cos sin sin ++据正、余弦定理得 ： (b +c )(a 2-b 2-c 2) =0； 又因为a,b,c 为∆ABC 的三边 ,所以 b +c ≠0所以 a 2 =b 2 +c 2即∆ABC 为直角三角形.15.平行； 提示：连接BD ,因为E ,F 分别为BC ,CD 的中点 , EF ∥BD. 16.提示：用求导的方法可求得)(x f 的最|大值为017.证明：222cos 2a c b B ac +-=≥222ac b ac - =212b ac -=211()b bb ac a c -=-++ ,,a b c 为△ABC 三边 ,a c ∴+b > ,1ba c∴-+0>cos B ∴0> ∴B 090<. 三．填空题.本大题共4小题 ,每空4分 ,共16分 ,把答案填在题中横线上 .18. 2222AD B ACD ABC BCD S S S S ∆∆∆∆++= .19. 2(1)(2)......(32)(21)n n n n n ++++++-=-20. f(2.5)>f(1)>f(3.5) 21. 5； 12（n+1）(n-2)．四.解答题. (每题13分 ,共26分.选答两题 ,多项选择那么去掉一个得分最|低的题后计算总分 )22. (1 )23,12,1321-=-==a a a ； (2 )1--=n n a n ； (3 )n S n =.23.解 (I )从第n 年初到第n +1年初 ,鱼群的繁殖量为ax n ,被捕捞量为b x n ,死亡量为221,,*.(*)n n n n n n cx x x ax bx cx n N +-=--∈因此 1(1),*.(**)n n n x x a b cx n N +=-+-∈即(II )假设每年年初鱼群总量保持不变 ,那么x n 恒等于x 1 , n ∈N* ,从而由 (* )式得 ..0*,,0)(11cba x cxb a N n cx b a x n n -==--∈--即所以恒等于 因为x 1>0 ,所以a >b. 猜测：当且仅当a >b ,且cba x -=1时 ,每年年初鱼群的总量保持不变.24. 证明：1 )(2)()22f x k f x x k x k x x πππ+-=++（）sin()-sin=2x k x x x π+（）sin -sin =2k x πsin 2) ()sin cos f x x x x '=+0000()sin cos 0f x x x x '=+= ① 又2200sin cos 1x x += ②由①②知20sin x =2021x x + 所以2422220000002200[()]sin 11x x f x x x x x x ===++ 五.解答题. (共8分.从以下题中选答1题 ,多项选择按所做的前1题记分 ) 25.[解] 1131312233+⨯+⨯=- 1232323233+⨯+⨯=-1333334233+⨯+⨯=- ┅┅133)1(233+⨯+⨯=-+n n n n将以上各式分别相加得：n n n n ++++⨯+++++⨯=-+)321(3)321(31)1(222233所以： ]2131)1[(3132132222n nn n n +---+=++++ )12)(1(61++=n n n 2 27.简证：令12x x = ,那么有()01f = ,再令12x x x =-=即可 28.证明：设(),(0,)1xf x x x=∈+∞+ 设12,x x 是(0,)+∞上的任意两个实数 ,且210x x >≥ ,1212121212()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=++++ 因为210x x >≥ ,所以12()()f x f x < .所以()1xf x x=+在(0,)+∞上是增函数 . 由0a b c +>>知()()f a b f c +> 即11a b ca b c+>+++.。