天水市三中高三级第一次月考数学试题(文科)

甘肃省天水市第一中学2017届高三数学上学期第三阶段（12月）月考试题文（扫描版）参考答案1-5 CDAAA 6-10 CCCAB 11-12 DC13.14.15.16.17．（1）；（2）【解析】，所以，由正弦定理得，，由，由于，因此，所以，由于，（2）由余弦定理得，因此，当且仅当时，等号成立；因此面积，因此面积的最大值．18. 略19．（I）；（II）试题解析：（I）时，时，，又，两式相减得为是以1为首项，2为公差的等差数列，即. （II），——12分20．（1）见解析；（2）4．试题解析：（1）解法一：直线恒过定点，且点在圆的内部，所以直线与圆总有两个不同交点.解法二：联立方程，消去并整理，得.因为，所以直线与圆总有两个不同交点.解法三：圆心到直线的距离，所以直线与圆总有两个不同的交点.（2），．21．（Ⅰ）x-y-1=0；（Ⅱ）试题解析：（Ⅰ）的定义域为．当=1时，所以曲线在处的切线方程x-y-1=0（Ⅱ）当时，等价于令，则，（ⅰ）当，时，，故在上单调递增，因此；（ⅱ）当时，令得，由和得，故当时，，在单调递减，因此．综上，的取值范围是22．试题解析：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为.（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.23．（Ⅰ）；（Ⅱ）．试题解析：（Ⅰ）当时，.解不等式，得.因此，的解集为.（Ⅱ）当时，，当时等号成立，所以当时，等价于. ①当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.。

天水一中2020届2019—2020学年度第一学期第一次考试数学文科试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =ð（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.已知平面向量(1,)a m =，(3,1)b =-且(2)//a b b +，则实数m 的值为（ ） A.13B. 13-C.23D. 23-【答案】B 【解析】(2)//a b b +(1,21)//(3,1)m ⇒-+-13(21)13m m ⇒-+=-⇒=-,选B.3.“2211og a og b <”是“11a b<”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】由2211og a og b <可推出a b <，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】若2211og a og b <，则0a b <<，所以110a b>>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b <”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b<”的既不充分也不必要条件. 故选D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.4.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（ ） A. 60 B. 75C. 90D. 105【答案】B 【解析】3482585325a a a a a a a ++=++== ，即5253a =，而()1995925997523a a S a +===⨯= ，故选B.5.已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=--当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∴()25f -= 故选：D6.如图所示的图象对应的函数解析式可能是A. 221x y x =-- B. 2sin 41x x y x ⋅=+C. ln x y x=D. ()22e xy x x =-【答案】D 【解析】对于A ，∵221x y x =--，当x 趋向于-∞时，函数2xy =趋向于0，21y x =+趋向于+∞ ∴函数221x y x =--的值小于0，故排除A对于B ，∵sin y x =是周期函数∴函数2sin 41x xy x ⋅=+的图像是以x 轴为中心的波浪线，故排除B对于C ， ∵ln xy x=的定义域是()()0,11,⋃+∞，且在()0,1x ∈时，ln 0x < ∴0ln xy x=<，故排除C 对于D ，∵函数()22211y x x x =-=--，当0,1x x <>时，0y >；当01x <<时，0y <；且0xy e =>恒成立∴2()2xy x x e =-的图像在x 趋向于-∞时，0y >；01x <<时，0y <；x 趋向于+∞时，y 趋向于+∞故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7.已知:p m R ∀∈，210x mx --=有解，0:q x N ∃∈，020210x x --≤则下列选项中是假命题的为（ ） A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. p q ∨D.()p q ∨⌝【答案】B 【解析】 【分析】分别判断p 、q 命题的真假，然后判断选项即可.【详解】∵2m 40∆=+>恒成立，∴对m R ∀∈，210x mx --=有解．所以p 是真命题.取00x N =∈，满足020210x x --≤，∴q 也是真命题.∴()p q ∧⌝是假命题，故选B ．【点睛】本题考查简单命题以及复合命题真假的判断，属于基础题.8.平面上三个单位向量,,a b c 两两夹角都是23π，则a b -与a c +夹角是（ ） A.3π B.23π C. 12π D. 6π 【答案】D 【解析】由题意得，向量,,a b c 为单位向量，且两两夹角为23π， 则3,1a b a c -=+=， 且222213()()111cos11cos 11cos 133322a b a c a a c a b b c πππ-⋅+=+⋅-⋅-⋅=+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+=，所以a b -与a c +的夹角为3()()2cos 31a b a c a b a cθ-⋅+===⨯-⋅+，且0θπ≤≤，所以a b -与a c +的夹角为6π，故选D.9.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n m m n S S S ++=(m n ，N *∈）且15a =，则8a =（ ）A. 40B. 35C. 5D. 12【答案】C 【解析】 【分析】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m ∈N *）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出．【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m ∈N *）且a 1=5， 令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5． 则a 8=5． 故选：C ．【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知函数()sin 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()0ω>在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是( ) A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D.13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数恒等变换的应用化简得f （x ）=2sinωx ()0ω>可得[﹣2πω，2πω]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣2πω，2πω]⊇[3,42ππ-]，可解得0＜ω≤23，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得14 ⨯2πω 2π≤，得14ω≥ ，进而得解．【详解】()sin 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2sinωx ()0ω>，∴[﹣2πω，2πω]是函数含原点的递增区间． 又∵函数在[3,42ππ-]上递增，∴[﹣2πω，2πω]⊇[3,42ππ-]， ∴得不等式组：﹣2πω≤34π-，且2π≤2πω， 又∵ω＞0， ∴0＜ω≤23， 又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值， 根据正弦函数的性质可知14 ⨯ 2πω 2π≤且54 ⨯ 2πω2π> 可得ω∈[14，5)4．综上：ω∈12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B ．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．11.如图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 为BC 边的中点，则AM AO ⋅的值为（ ）A. B. 12 C. 6 D. 5【答案】D 【解析】 【分析】取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求AM AO AD AO AE AO⋅=⋅+⋅ ，由数量积的定义可得,AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅= ，代值即可．【详解】如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知O D A B ,O E A ⊥⊥，∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+ . 11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅，由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅= ，而cos ,AO AD AO AD = ，故2224||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 同理可得2222||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=. 故选：D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12.已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时，()()2log 2f x x x b =+++，则()3f x >的解集为（ ）A. ()(),22,-∞-+∞B. ()(),44,-∞-+∞C. ()2,2-D. ()4,4-【答案】A 【解析】 【分析】由于函数为奇函数，并且在R 上有定义，利用()00f =求出b 的值.然后解()3f x >这个不等式，求得x 的取值范围.【详解】由于函数为奇函数，并且在R 上有定义，故()20log 2010f b b =++=+=，解得1b =-，故当0x ≥时，()()2log 21f x x x =++-，这是一个增函数，且()00f =，所以()0f x ≥，故()()33f x f x >⇔>，注意到()23f =，故2x >.根据奇函数图像关于原点对称可知，当2x <-时，()3f x <-，()3f x >.综上所述，()(),22,x ∈-∞-⋃+∞.故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查奇函数图像关于原点对称的特点，考查绝对值不等式的解法.属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知112,1,,,1,2,322a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x a =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则a =____． 【答案】1- 【解析】 【分析】先根据单调性判断出a 的正负，然后根据奇偶性判断出a 的可取值. 【详解】112,1,,,1,2,322a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭幂函数()f x 在(0,)+∞上递减， ∴ 0a <，即12,1,2a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭又因为()f x x a=为奇函数，∴ 1a =-． 故答案为：1-.【点睛】本题考查根据幂函数奇偶性、单调性判断幂指数的取值，难度较易.幂函数中的幂指数大于零时，则幂函数在(0,)+∞递增，若幂指数小于零时，则幂函数在(0,)+∞递减.14.将函数2sin3y x =的图象向左平移π12个单位长度得到()y f x =的图象，则π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为___．【答案】 【解析】 【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将π3代入解析式求值即可【详解】f(x)=2sin3(x+π)12=2sin(3x+π)4,则π5πf 2sin 34⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题15.若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*21()n n S a n =-∈N ，则6S 等于________．【答案】63 【解析】 【分析】根据n S 和n a 关系得到数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，再利用公式得到答案. 【详解】当1n =时，1121a a =-，得11a =，当2n …时，21n n S a =-，1121n n S a --=-，两式作差可得：122n n n a a a -=-，则：12n n a a -=， 据此可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其前6项和为66216321S -==-．故答案为63．【点睛】本题考查了等比数列的前N 项和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.16.在同一个平面内，向量,,OA OB OC的模分别为OA 与OC 的夹角为α，且tan 7,OB α=与OC 的夹角为45，若(),OC mOA nOB m n R =+∈，则m n +=_________．【答案】3 【解析】【详解】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则()1,0A ，由OC与OA 与OC 的夹角为α，且t a nα=知，22c o s,1010s i nαα==，可得17,,55C ⎛⎫⎪⎝⎭()()()c o s 45,45B s i n αα++，34,55B ⎛⎫∴-⎪⎝⎭，由OC mOA nOB =+可得13173455,,,74555555m nm n n n⎧=-⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩57,44m n ==，3m n ∴+=，故答案为3. 【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．三、解答题：共70分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C ；（2）若c =ABC ∆的面积为2，求ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=；（2）5.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C ；（2）根据1sin C 22ab =，及πC 3=可得6ab =．再利用余弦定理可得()225a b +=，从而可得ΑΒC △的周长为5．【详解】（1）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=．故2sin cos sin C C C =． 可得1cos 2C =，所以πC 3=．（2）由已知ABC ∆1sin 2ab C =． 又πC 3=，所以6ab =．因为2222271cos 2122a b c a b C ab +-+-=== ，所以2213a b +=，从而()225a b +=．解得：5a b +=，所以ΑΒC △的周长为5．【点睛】本题考查用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式解三角形，常用的解题方法是利用正弦定理或余弦定理进行“边化角”或“角化边”的转换，本题属于基础题.18.某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：(1)根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；(3)从(2)中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率. 参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中n a b c d =+++.【答案】（1）没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）2；（3）35. 【解析】 【分析】（1）计算2K 的值，对比题目所给参考数据可以判断出没有95%把握认为“微信控”与“性别”有关.（2）女性用户中，微信控和非微信控的比例为30:203:2=，由此求得各抽取的人数.（3）利用列举法以及古典概型概率计算公式，求得抽取3人中恰有2人是“微信控”的概率.【详解】解：（1）由2×2列联表可得：()()()()()()22210026203024500.649 3.8415050564477n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈<++++⨯⨯⨯， 所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）根据题意所抽取的5位女性中，“微信控”有3人，“非微信控”有2人； （3）设事件M =“从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人，抽取3人中恰有2人是“微信控””抽取的5位女性中，“微信控”3人分别记为,,A B C ； “非微信控”2人分别记,D E .则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ，共有10种；抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为：,,,,,ABD ABE ACD ACE BCD BCE ，共有6种， 所以()63105P M ==. 【点睛】本小题主要考查22⨯联表独立性检验的知识，考查分层抽样，考查利用列举法求古典概型，属于中档题.19.如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB //EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，已知AB ＝2，EF ＝1．（I ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（II ）若BC ＝1，求四棱锥F －ABCD 的体积．【答案】（I ）见解析;（II）【解析】 【分析】（I ）通过证明,AF BF AF BC ⊥⊥，证得AF ⊥平面CBF ，由此证得平面DAF ⊥平面CBF .（II ）矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，点F 到边OA的距离即为四棱锥F ABCD 的高，然后利用锥体体积公式求得四棱锥的体积. 【详解】（I ）∵AB 为圆O 的直径，点F 在圆O 上∴AF ⊥BF又矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直且它们的交线为AB ，CB ⊥AB∴CB ⊥圆O 所在平面 ∴AF ⊥BC 又BC 、 BF 为平面CBF 上两相交直线∴AF ⊥平面CBF 又AF DAF 面⊂∴平面DAF ⊥平面CBF ．（II ）连接OE∵AB ＝2，EF ＝1，AB //EF∴OA ＝OE ＝1，即四边形OEF A 为菱形 ∴AF ＝OA ＝OF ＝1 ∴等边三角形OAF 中，点F 到边OA又矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直∴点F 到边OA 的距离即为四棱锥F －ABCD 的高∴四棱锥F －ABCD 的高h = 又BC ＝1∴矩形的ABCD 的面积S ABCD ＝212AB BC ⋅=⨯=∴12323F ABCD V -=⨯⨯=【点睛】本小题考查空间两个平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法.要证明两个平面垂直，则需要在一个平面内找到另一个平面的垂线来证明.属于中档题.20.已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足23OP OA OB =+．()1求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；()2一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程．【答案】（1）22143x y +=（2）y 2x =±+【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决．【详解】(1) 因为23OP OA OB =+ 即()()()()0000,2,030,2,3x y x y x y =+=所以002,x x y =所以001,23x x y y ==又因为1AB =,所以22001x y +=即:22112x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22143x y +=(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得: ()22341640kxkx +++=由>0∆,得214k >()* 设()()112,2,,P x y Q x y 以PQ 直径的圆恰过原点 所以OP OQ ⊥,•0OP OQ = 即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++= 即()()212121240kx xk x x ++++= 将(1)式代入,得()2224132403434k kk k+-+=++ 即()()22241324340kk k +-++=解得243k =,满足（*）式，所以k =所以直线2y x =+21.已知函数2()2x f x e x a b =-++（x ∈R ）的图象在0x =处的切线为y bx =（e 为自然对数的底数） （1）求,a b 的值； （2）若k Z ∈，且21()(352)02f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值. 【答案】(1)a=-1,b=1;(2)-1. 【解析】（1）对()f x 求导得()2xf x e x '=-，根据函数()f x 的图象在0x =处的切线为y bx =，列出方程组，即可求出,a b 的值；（2）由（1）可得()21xfx e x =--，根据()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，等价于215122xk e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立，构造()215122x h x e x x =+--，求出()h x '的单调性，由()00h '<，()10h '>，102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝，304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，可得存在唯一的零点013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，利用单调性可求出()()0min h x h x =，即可求出k 的最大值. （1）()22xf x e x a b =-++，()2xf x e x '=-.由题意知()()01201011f a b a f b b ⎧=++==-⎧⎪⇒⎨⎨==='⎪⎩⎩. （2）由（1）知：()21xf x e x =--，∴()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立 2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x R ∈恒成立215122x k e x x ⇔≤+--对任意x R ∈恒成立.令()215122x h x e x x =+--，则()52xh x e x ='+-.由于()'10xh x e +'=>，所以()h x '在R 上单调递增.又()3002h =-<'，()3102h e =->'，121202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭，所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增.所以()()02000min 15122xh x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502xe x +-=，∴0052x e x =-. ∴ ()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+. ∵ 013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴ ()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 又因为215122xk e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立()0k h x ⇔≤， 又k Z ∈，∴ max 1k =-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2 【解析】 【分析】（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ． 【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫⎪⎝⎭； 设()22Q ,ρθ，则由2sin 3{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭； 所以Q 2P =【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.23.已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集； (2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 【答案】（1）{|11}x x x <->或；（2）3 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得．【详解】（1）()111f x x x =-+++，∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩，解得{|11}x x x 或-.（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=，()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()1322233≥+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3. 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

甘肃省天水市第三中学2021届高三上学期第一次阶段检测考试数学（天水市三中2021届高三级第一次阶段检测数学（文科）试卷第一卷（多项选择题）一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.让函数y？4.（x2）（a，b）的（a，b）定义为（x2）（a，b）=（1,2）（a-1，b）（）2.设i为虚数单位，复数z1=1i，z2=2i1，则复数z1?z2在复平面上对应的点在（）a．第一象限b．第二象限c．第三象限d．第四象限3.下列命题，其中说法错误的是（）a、命题“如果x3x4=0，那么x=4”的反命题是“如果x”≠ 4，然后是x3x4≠0“B.“x=4”是“x23x4=0”的一个充分条件c．命题“若m＞0，则方程x+xm=0有实根”的逆命题为真命题d、命题“如果M2+N2=0，那么M=0，N=0”的无命题是“如果M2+N2”≠ 0，然后是m≠ 0或n≠ 0“4如果在算术序列{an}中A3+A4+A5=12，那么a1+A2++a7=（）a.14b.21c.28d.355.已知向量22二????oa?3，????ob?2????????????????????，oc?moa?nob，若oa与ob的夹角为60°，且Moc？AB，那么实数n的值是（）a.16b。

14c.6d.46.已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈r、ω＞最小正周期（0）为π，以获得函数g （x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）a．向左平移c．向左平移单位长度B.右移单位长度D.右移个单位长度个单位长度7.执行如图所示的程序框图，输出t=（）-1-a、 29b.44c.52d.628.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a、12πb.8πc.d。

29.在独立性测试中，假设H0：变量x与变量y没有关系，当H0成立时，P（K）的含义≥ 6.635) ≈ 0.010是（）a．变量x与变量y有关系的概率为1%。

天水市三中高三级第一次月考数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 复数（ii +-13）2= A. i 43-- B. i 43+- C. i 43- D. i 43+2.曲线2+=x x y 在点（1-，1-）处的切线方程为 A. 12+=x y B. 12-=x y C. 32--=x y D. 22--=x y 3. =--→)2144(2lim 2x x A. 1- B. 41-C. 41 D 1 4.某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为小x ，则x 的数学期望为A.100B.200C.300D.4005.已知x x f 1)(=，则xf x f x ∆-∆+→∆)2()2(0lim 的值是 A. 41- B. 2 C. 41 D. 2- 6.函数)cos(x y -=的导数是A.x cosB. x cos -C.x sin -D.x sin7.已知随机变量ξ服从正态分布N （0，σ2），若023.0)2(=>ξP ，则=≤≤-)22(ξPA.0.477B.0.628C.0.954D.0.9778.若曲线21-=x y 在点（21,-a a ）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则a =A.64B.32C.16D.89.等比数列}{n a 中，4,281==a a ，函数))(()(21a x a x x x f --=…)(8a x -，则=)0('fA. 62B.92C. 122D. 15210.若函数423+-=ax x y 在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围是A. 3≥aB. 3=aC. 3≤aD. 30<<a11.已知点p 在曲线14+=x e y 上，α为曲线在点p 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A.]4,0[π B. )2,4[ππ C. ]43,2(ππ D. ),43[ππ 12.设)(),(x g x f 是定义在R 上的恒大于零的可导函数，且0)(')()()('<-x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有A. )()()()(b g b f x g x f >B.)()()()(x g a f a g x f >C. )()()()(x g b f b g x f >D. )()()()(a g a f x g x f >二、填空题（每小题5分，共20分） 13. +++∞→231311(lim n …+=)31n 2 （0≤x ） 14.若函数=)(x f 在R 上连续，则实数a = x a cos 2-（0>x ）15.某射手射击所得环数ξ的分布列如下已知ξ的期望E ξ=8.9，则y 的值为16.已知函数)0(2>=x x y 的图像在点),(2k k a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1+k a ，其中N k ∈*，若161=a ，则531a a a ++的值是三、解答题（第17小题10分，其余各题各12分，共70分）17.某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若瓶盖内印有“奖励一瓶”字样为中奖，中奖概率为61，甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

2021届甘肃省天水市第一中学高三上学期第一次月考数学（文）试题一．选择题（本大题共个小题，每小题4分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,所以，又则2. “”是“函数在区间上为增函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】函数的对称轴为，则在上函数递增，若函数在区间上为增函数，所以,得.所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故选A.3. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选A.4. 曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】这题是错题，题目答案都不对5. 定义域为上的奇函数满足，且，则（）A. 2B. 1C. -1D. -2【答案】C【解析】 ,因此，选C.6. 已知函数，（为自然对数的底数），且,则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，则函数为偶函数且在上单调递增，，，即，两边平方得，解得或，故选C.7. 在中，，若，则面积的最大值是（）A. B. 4 C. D.【答案】D【解析】∵，由，，得，∴．又，∵，∴，∴当时，取得最大值，∴面积的最大值为，故选D．8. 已知函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以函数的单调递减函数，又因为，即，所以由函数的单调性可得：，应选答案D。

9. 函数的大致图像为( )A. B. ...............C. D.【答案】C【解析】∵函数y=ln(1−x)的定义域为{x|x<1}，故可排除A，B；又y=1−x为(−∞,1)上的减函数，y=ln x为增函数，∴复合函数y=ln(1−x)为(−∞,1)上的减函数，排除D；故选C.10. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数,则f′(x)=ln x−ax+x(=ln x−2ax+1令f′(x)=ln x−2ax+1=0得ln x=2ax−1，函数f(x)=x(ln x−ax)有两个极值点,等价于f′(x)=ln x−2ax+1有两个零点，等价于函数y=ln x与y=2ax−1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)当a=时，直线y=2ax−1与y=ln x的图象相切，由图可知,当0<a<时，y=ln x与y=2ax−1的图象有两个交点。

2016-2017学年甘肃省天水三中高一（下）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知一个算法：（1）m=a．（2）如果b＜m，则m=b，输出m；否则执行第3步．（3）如果c＜m，则m=c，输出m．如果a=3，b=6，c=2，那么执行这个算法的结果是（）A．3 B．6 C．2 D．m2．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和身体健康情况；④圆的半径与面积；⑤汽车的重量和每千米耗油量．其中两个变量成正相关的是（）A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤3．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）78166572080263140702436997280198 32049234493582003623486969387481A．08 B．07 C．02 D．014．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，535．为了规定学校办学，省电教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查，抽查到班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号，33号，46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是（）A．13 B．19 C．20 D．526．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x4+3x3+2x2+6x+1，当x=0.5时的值，需要做乘法的次数是（）A．9 B．14 C．4 D．57．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A．9 B．10 C．12 D．138．给出一个算法的程序框图（如图所示），该程序框图的功能是（）A．求输出a，b，c三数的最大数B．求输出a，b，c三数的最小数C．将a，b，c按从小到大排列D．将a，b，c按从大到小排列9．执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（）A．B．C．D．10．甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列正确的是（）A．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲＜x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定11．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元12．如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．7二、填空题：共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．已知函数y=，如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图，①处应填写；②处应填写．14．按下列程序框图来计算：如果输入的x=5，应该运算次才停止．15．阅读下面两个算法语句：执行图1中语句的结果是输出；执行图2中语句的结果是输出．16．下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在1500，2000），2500，3000），3500，40001000，1500），2000，2500），3000，3500），的人数依次为A1、A2、…、A6．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量n=10000；图乙输出的S=6000．（用数字作答）【考点】E7：循环结构；B8：频率分布直方图．【分析】先弄清算法功能，然后根据频率分布直方图的矩形面积表示频率求出频率，从而求出月收入在1000，1500）的频率为0.0008×500=0.4，且有4000人∴样本的容量，由图乙知输出的S=A2+A3++A6=10000﹣4000=6000．故答案为：10000，6000三．解答题：本大题共4小题，共36分，其中17.18题8分，其余各题10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17． 用辗转相除法求5280和12155的最大公约数，并用更相减损术检验．‚先将412化成十进制的数，然后用“除k取余法”再化成七进制的数．（5）【考点】EM：进位制．【分析】用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．先把5进制的数412（5）化为十进制数再变为七进制数，用除k取余法，即可得解．【解答】解：用辗转相除法求5280和12155的最大公约数，12155=2×5280+15955280=3×1595+4951595=3×495+110495=4×110+55110=2×555280和12155的最大公约数为55．检验：12155﹣5280=6875，6875﹣5280=1595，5280﹣1595=3685，3685﹣1595=2090，2090﹣1595=495，1595﹣495=1100，1100﹣495=605，605﹣495=110，495﹣110=385，385﹣110=275，275﹣110=165，165﹣110=55，110﹣55=55．经检验：5280和12155的最大公约数为55． 412（5）=2×50+1×51+4×52=2+5+4×25=107， ∵107=2×70+1×71+2×7 2∴把5进制的数412（5）化为7进制是212（7）．18．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示），解答下列问题：分组 频数 频率 50.5～60.5 40.08 60.5～70.50.1670.5～80.5 1080.5～90.5 160.3290.5～100.5合计50（1）填充频率分布表中的空格； （2）补全频率分布直方图；（3）若成绩在80.5～90.5分的学生可以获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？【考点】B8：频率分布直方图；B7：频率分布表． 【分析】（1）由题意能完成频率分布表． （2）由频率分布表能补全频率分布直方图．（3）成绩在80.5～90.5分的学生的频率为0.32，且有900名学生参加了这次竞赛，由此能求出该校获得二等奖的学生人数．【解答】解：（1）由题意完成频率分布表，如下：分组频数频率50.5～60.540.0860.5～70.580.1670.5～80.5100.2080.5～90.5160.3290.5～100.5120.24合计50 1.00（2）由频率分布表补全频率分布直方图如图所示：（3）因为成绩在80.5～90.5分的学生的频率为0.32，且有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.32×900=288（人）．19．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的零件的个数x（个）2345加工的时间y（小时） 2.534 4.5数据如下：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少小时？（注：=，=﹣）【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据表中所给的数据，可得散点图；（2）求出出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和a的值，写出线性回归方程．（3）将x=10代入回归直线方程，可得结论．【解答】解：（1）作出散点图如下：…（2）=3.5，=3.5，…∧=54，x i y i=52.5∴==0.7=3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴所求线性回归方程为：=0.7x+1.05…（3）当x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）．所以加工10个零件大约需要8.05个小时…20．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2cm，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从B点开始由左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF=x（0≤x≤7），左边部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，画出程序框图，并写出程序．【考点】E8：设计程序框图解决实际问题．【分析】过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，然后根据直线l的位置进行分类讨论，求出函数关系式，即可画出程序框图，利用条件语句书写程序．【解答】解：过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．∵四边形ABCD是等腰梯形，底角是45°，AB=2cm，∴BG=AG=DH=HC=2 cm．又∵BC=7 cm，∴AD=GH=3 cm，∴y=程序框图如下：程序如下：INPUT“x=“；xIF x＞=0 AND x＜=2 THENy=0.5*x^2ELSEIF x＜=5 THENy=2*x﹣2ELSEy=﹣0.5*（x﹣7）^2+10 END IFEND IFPRINT y2017年6月12日。

天水市三中2017届高一年级第三学段考试数 学 试 题考生注意：本试题分为两部分，共2页。

满分150分，考试时间90分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、空间中的四个点最多能确定的平面个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、如图，若Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确．．．的是( ) A. EH ∥FG B. 四边形EFGH 是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台3、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交且垂直C ．异面D ．相交成60°4、一个空间几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，则这个几何体的侧面积是（ ）A ．4π B.45π C. π D.23π 5、下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行6、 如下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的全面积．．．为（ ）A ．12B ．16C ．4334+ D ．434+7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、5603B 、5803C 、200D 、240 8、一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于（） A.242a B ．222a C.222a D.2232a 9、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10、已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为（ ）A ．3172B ．210C ．132D ．310 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11、已知,m n 表示两条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面：① 若,m n αα⊥∥则m n ⊥； ② 若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥；③ 若,m n αα∥∥，则m n ∥； ④ 若,,m αββγα⊥∥∥，则m γ⊥其中正确的是12、下列各图是正方体和正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)，G 、N 、M 、H 分别是顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．13、如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BC 的中点，则直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值为_______．④③①② G MN H G M N HA B C D S14、四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V AB C --的大小是三、解答题：本大题共6小题，共70分.15、（本小题满分10分）如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，SA⊥底面ABCD ，求证：平面SBD⊥平面SAC ；16、（本小题满分12分） 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：CE 、D 1F 、DA 三线共点．17、（本小题满分12分）空间四边形ABCD 中，2AD BC ==,E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若3EF =，求异面直线AD 、BC 所成角的大小.18、（本小题满分12分）如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积.B DE F19、（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，E是棱CC1的中点，且CF⊥AB，AC=BC．求证：CF∥平面AEB1；20、（本小题满分12分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C 是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.高一级 第三学段考试 数学试题(答案) 一、选择题： DDDCC ACBCC 二、填空题：11、①④ 12、③ 13. 5514.60o三、解答题：15、证明：⑴因为ABCD 是菱形，所以BD⊥AC. 因SA⊥底面ABCD ，所以BD⊥SA. 因SA 与AC 交于点A ，所以BD⊥面SAC 因BD ⊂面SBD ，所以面SBD⊥面SAC ；16、证明 连接EF ，CD 1，A 1B .∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，∴EF ∥BA 1.且EF =12BA 1 又A 1B ∥D 1C ，且A 1B =D 1C ∴EF ∥CD 1，且EF <CD 1，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1. 又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ， ∴P ∈直线DA .∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．17、解：取BD 中点M ，连接EM 、FM ∵E 、F 分别是AB 、CD 的中点∴EM ∥AD 且EM=12AD, FM ∥BC 且FM=12BC ∴EMF ∠或其补角就是异面直线AD 、BC 所成的角∵2AD BC == ∴1EM FM ==， 在等腰MEF ∆中，过点M 作MH ⊥EF 于H ， 在Rt MHE ∆中，EM =1，EH=12EF ＝32，∴3sin 2EMH ∠=，于是60EMH ∠=o ，则2120EMF EMH ∠=∠=o ， ∴异面直线AD 、BC 所成的角是60o18、 解 设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋r ＋2r ＝5＋2×22πr l＝π2，解得r ＝2，l ＝42，S ＝πrl ＋πr 2＝10π， h ＝l 2－r 2＝30，V ＝13πr 2h ＝230π3. 19．证明：取1AB 的中点G ，连结,EG FG ；,CF AB AC BC ⊥=Q ，F ∴为AB 中点． 1FG BB ∴P ， 且112FG BB = ∵1CC ∥1BB 且11CC BB =，又∵E 为1CC 的中点， ∴CE ∥FG 且CE FG =，从而，四边形CEGF 为平行四边形；所以CF ∥EG ， 又∵EG ⊂面1AEB ，CF ⊄面1AEB ∴CF ∥平面1AEB ．20．证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC .又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .(2)连接OG 并延长交AC 于M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点．由Q 为PA 中点，得QM ∥PC ，又O 为AB 中点，得OM ∥BC .因为QM ∩MO ＝M ，QM ⊂平面QMO ， MO ⊂平面QMO ，BC ∩PC ＝C ，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC .所以平面QMO ∥平面PBC . 因为QG ⊂平面QMO ， 所以QG ∥平面PBC .。

({x I -2 < x < 2,或3)6. C. {尤I 尤v —2,或尤> 0}2e x-1,x<2,心…2贝0f(f(2))的值为log 3(x-l), x>2.D. (x I x < < 3}A. 0B. 1C. 27.函数y = log t (x 2 - 3x + 2)的递增区间是( ) 2D.3A. (—8,1)B. (2,+oo)3C. (-8,"3D.(5,+8)A.充分不必要条件B.必要不充分条件 A. (一(,+8) B. 5、不等式x" + 2) < o 的解集为x — 3A. (x I x < 一2,或0 < x < 3) 天水成功高考学校2011年第一次月考数学试题（文科） 命题人：薛铮一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 P={XC N|1M X M10},集合 Q={xeR|x2+x-6=0},则 PnQ 等于（ ）A.{2}B.（1 , 2}C.（2,3}D.{1,2,3}2.设集合A = {1,2},则满足AoB = （1,2,3}的集合B 的个数为 （）A. 1B. 3C. 4D. 83.集合 M ={y\y = x-l,xeR},集合 N = [x,y) y = ^3 +x 2\,则 M^N 等于() (A)((-l,-2)} (B)(-l-2)(C)[-l,-2] (D)O3x 2、4. -------------------------- 函数f (x) =+ lg(3x +1)的定义域是()— x8.设N 是两个集合，则是更0"的（）C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件9.设集合M = {（x,y ）|x 2 + y 2 = 1},^ = {（x,y ）|y = x 2}则集合M cN 的子集个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410.已知函数f [x^ = ax 2 -x-c ,且不等式f （工）=。

（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合{}2|20A x x x =--<，集合{}|11B x x =-<≤，则A B =I （ ）A.[]1,1-B.(]1,1- C.()1,2-D.[)1,2 2．若，且，则下列不等式一定成立的是 （ ）A ．B ．C ．D ．3．下列命题的说法错误的是（ ）A.对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++>则2000:,10p x R x x ⌝∃∈++≤.B.“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C.“22ac bc <”是“a b <”的必要不充分条件.D.命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”. 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1475=+a a ，则=11S ( )A. 140B. 70C. 154D. 775．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为25,则椭圆12222=+by a x 的离心率为( )A.21B.33 C.23 D.22 6．函数()[]ππ,,sin -∈=x x x x f 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，则平移后新函数图象的对称轴方程为（ ）A.(k Z)62k x ππ=-+∈ B.(k Z)122k x ππ=-+∈C.(k Z)62k x ππ=+∈ D.(k Z)122k x ππ=+∈ 8．在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为3，26BC =，则AB AC ⋅=u u u r u u u r（ ） A.1- B.1C.2D.39．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．12 B ．36C ．24D ．7210．已知()()4,0,0,4A B -，点C 是圆222x y +=上任意一点，则ABC ∆面积的最大值为 （ ） A.8B.42C.12D.6211．如图所示，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别是21,F F ，过1F 作倾斜角为ο30的直线交双曲线右支于点M ，连接2MF ，若2MF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( ) A.6 B. 3C. 2D. 5 12．已知函数()23xf x e mx =-+的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线13y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是A.3+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，B.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知x ，y 满足约束条件330040x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_____．14．动点M 在椭圆C ：1222=+y x 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM NP 2=．则点P 的轨迹方程______．15.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，若()30f -=，实数a 满足()250f a -≤，则a 的最小值为________． 16．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________． 三、解答题（共70分）17．（10分）已知函数()R x x x x x x f ∈-+=,sin cos sin 32cos 22．（Ⅰ）求函数()x f 的单调增区间； （Ⅱ）求方程()0=x f 在(]π，0内的所有解．18．（12分）已知数列{}n a 是等差数列， 前n 项和为，且353a S =，864=+a a ． （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n nn a b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和19．（12分）在中 , 角A , B , C 所对的边分别是a , b , c , 已知ACa cb cos cos 2=-。

天水2023-2024学年第一学期第三次月考《高三数学》试卷（答案在最后）时长：120分钟总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.设集合{}128x A x =<<，{}13B x x =+≥，则A B = （）A.(]0,2 B.[)2,3 C.(]2,3 D.()0,32.在ABC 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（）A.0.34B.0.37C.0.42D.0.434.若8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中6x 的系数是16-，则实数a 的值是（）A.2- B.1- C.1D.25.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台,如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位:cm ）,现在向这个空石瓢壶中加入391πcm （约3285.9cm ）的矿泉水后,问石瓢壶内水深约（）cmA.2.8B.2.9C.3.0D.3.16.已知等边ABC 的边长为2，D 为BC 的中点，P 为线段AD 上一点，PE AC ⊥，垂足为E ，当23PB PC ⋅=- 时，PE =（）A.1233AB AC-+B.1136AB AC-+C.1163AB AC-+D.2133AB AC-+uu ur uuu r7.若51e ln 5100a b c ===，，（e 2.71828= ）试比较,,a b c 的大小关系（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.b c a>>8.已知三棱锥-P ABC ，Q 为BC 中点，2PB PC AB BC AC =====，侧面PBC ⊥底面ABC ，则过点Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（）A.5ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2π,2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]π,2π二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知,A B 为圆22:1O x y +=上的两点，P 为直线:20+-=l x y 上一动点，则（）A.直线l 与圆O 相离B.当,A B 为两定点时，满足π2APB ∠=的点P 有2个C.当AB =时，PA PB +的最大值是1+D.当,PA PB 为圆O 的两条切线时，直线AB 过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭10.定义运算m p mn pq qn=-．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足301a b c a c b++=+-，则下列结论正确的是（）A .sin sin 2sin A C B+= B.:1:2A C =C.角B 的最大值为π3D.若sin 4sin a A c C =，则ABC 为钝角三角形11.已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =，且1F 到l 的距离为点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为()2,0，PQ 为12F PF ∠的平分线．则下列正确的是（）A.双曲线的方程为221927x y -= B.123PF PF =C.OP =D.点P 到x 轴的距离为212.已知函数()()sin (0,02π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（）A.4π3ϕ=B.()f x 在区间5ππ,62⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增C.将函数cos y x =图象上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移π12个单位长度，可得函数()f x 的图象D.函数()4y f x =+的零点个数为7三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分.13.已知某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.9，超过2年的概率为0.63，若一个这种元件使用1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为___________.14.给出下列命题：①由变量x 和y 的数据得到其回归直线方程ˆ:ˆˆl y bx a =+，则l 一定经过点()P x y ；②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；③线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱；④在回归直线方程 0.510y x =-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量 y 增加0.5个单位.其中真命题的序号是______．15.若函数()x f x e x =-图象在点()()00,x f x 处的切线方程为y kx b =+，则k b -的最小值为__________.16.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，11，3443，94249等，显然2位回文数有9个：11，22，33，L ，99，3位回文数有90个：101，111，121，L ，191，202，L ，999．（1）4位回文数有__________个．（2）21()n n ++∈N 位回文数有__________个．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan (2)tan a B c a A =-.（1）求B ；（2）若4A π=，b =ABC 的面积.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，当2n ≥时，12n n n a S -=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b S =，设n n n c b S =⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n T ．19.党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识对抗赛，组委会将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委会随机从百年党史题库抽取2道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛细则为：选手抢到试题且回答正确得100分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得50分2；道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为45，乙回答正确的概率为35，两名选手每道试题回答是否正确相互独立．（1）求乙同学得100分的概率；（2）记X 为甲同学的累计得分，求X 的分布列和数学期望．20.如图，在以P ，A ，B ，C ，D 为顶点的五面体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，12AD CD AB ==，平面PAD ⊥平面PAB ，PA PB ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）若二面角P AB D --的余弦值为33，求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．21.已知圆2217x y +=与抛物线()2:20C y px p =>在x 轴下方的交点为A ，与抛物线C 的准线在x 轴上方的交点为B ，且点A ，B 关于直线y x =对称．（1）求抛物线C 的方程；（2）若点M ，N 是抛物线C 上与点A 不重合的两个动点，且AM AN ⊥，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标．22.设函数()21ln 2f x x ax bx =--．（1）已知()f x 在点()()1,1P f 处的切线方程是21y x =-，求实数a ，b 的值；（2）在第（1）问的条件下，若方程()()20xf x λλ=>有唯一实数解，求实数λ的值．天水2023-2024学年第一学期第三次月考《高三数学》试卷时长：120分钟总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.设集合{}128x A x =<<，{}13B x x =+≥，则A B = （）A.(]0,2 B.[)2,3 C.(]2,3 D.()0,3【答案】B 【解析】【分析】根据题意将集合,A B 化简，然后结合交集的运算，即可得到结果.【详解】因为03128222x x <<⇒<<，所以03x <<，即()0,3A =，且1313x x +≥⇒+≥或13x +≤-，所以2x ≥或4x ≤-，即(][),42,B ∞∞=--⋃+，所以A B = [)2,3.故选:B2.在ABC 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合正弦函数的性质由1sin 2A >，可得π5π66A <<，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】在ABC 中，()0,πA ∈，由1sin 2A >，可得π5π66A <<，所以“π6A >”是“1sin 2A >”的必要不充分条件.故选：B .3.某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（）A.0.34B.0.37C.0.42D.0.43【答案】C 【解析】【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.【详解】设事件A 表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则223124C 0.80.32C P =⨯=,若两个题目中一个有思路一个没有思路，则1113224C C 0.80.250.1C P =⨯⨯=，故12()0.320.10.42P A P P =+=+=,故选：C4.若8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中6x 的系数是16-，则实数a 的值是（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】原式利用二次展开通项公式化简，根据6x 的系数是16-，求出a 的值即可.【详解】根据8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开通项公式882188()rrr r r r r a T C x C a x x --+⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭.令826r -=，得到1r =，由6x 的系数是16-，得到181(6)C a =--，解得：2a =，故选：D ·5.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台,如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位:cm ）,现在向这个空石瓢壶中加入391πcm （约3285.9cm ）的矿泉水后,问石瓢壶内水深约（）cmA.2.8B.2.9C.3.0D.3.1【答案】C 【解析】【分析】取圆台的中轴面,补全为一个三角形,根据三角形相似,找到加入矿泉水后水面的半径和水深的关系,根据圆台体积为391πcm ,列出等式,解出即可.【详解】解:由题知矿泉水的体积为391πcm ,将圆台的中轴面拿出,补全为一个三角形如图所示:加入矿泉水后,记石瓢壶内水深为h ,水平面半径为r ,由图可知ABC AFG ,所以有,AB BCAF FG=即466AB AB =+,解得12AB =,由ABC ADE ,得AB BCAD DE =,即12418h r=-,解得:183h r =-,故加入矿泉水后圆台的体积为:()()221π1836691π3V r r r =-++=,解得5r ==,所以183 3.0h r =-=.故选:C6.已知等边ABC 的边长为2，D 为BC 的中点，P 为线段AD 上一点，PE AC ⊥，垂足为E ，当23PB PC ⋅=- 时，PE =（）A.1233AB AC -+ B.1136AB AC-+C.1163AB AC-+D.2133AB AC-+uu ur uuu r 【答案】B 【解析】【分析】根据题意，先分别表示出PB，PC ，再由向量的数量积运算得到PB PC ⋅，从而得到P 为ABC 的重心，即可得到结果.【详解】设(01)AP AD λλ=<< ，则PC AC AP AC AD λ=-=- ，PB AB AD λ=- ，∴22()()PC PB AC AD AB AD AC AB AC AD AB AD AD λλλλλ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=22222233623λλλλ-⨯+=-+=-，291880λλ∴-+=，23λ∴=或43λ=（舍去），P ∴为ABC 的重心，PE AC ⊥ ，E ∴为AC 的中点，∴1212111()2323236PE AE AP AC AD AC AB AC AB AC =-=-=-⨯+=-+，故选：B ．7.若51e ln 5100a b c ===，，（e 2.71828= ）试比较,,a b c 的大小关系（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b>>D.b c a >>【答案】D 【解析】【分析】先估算出5e ，进而求出a 的范围，再由21.64e <求出b 的范围，最后构造函数估算出c 即可求解.【详解】由e 2.71828= 得2e 7.5<，故5e 7.57.5 2.72153<⨯⨯=，又1.64 1.64 2.6896e ⨯=<，故51e 1.6100<<，由常用数据得ln 5 1.609≈，下面说明ln 5 1.609≈，令()()26ln 146x xf x x x +=+-+，()()()()()()()232226464614146146x x x x x f x x x x x ++-+-'=-=++++，当()1,0x ∈-时，()0f x ¢>，()f x 单增，当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单减，则()()max 00f x f ==，则()26ln 146x xx x ++≤+，则5ln 52ln 2ln 4=+，11121320111ln 2ln ln 1ln 1ln 110111219101119⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，令()2646x xg x x +=+，则111ln 20.6932101119g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈+++≈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，591011lnln ln 1ln 148989⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，511ln0.2232489g g ⎛⎫⎛⎫≈+≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5ln 52ln 2ln 20.69320.2232 1.60964=+≈⨯+≈，综上，b c a >>.故选：D.【点睛】本题主要考查指数对数的大小比较，关键点在于通过构造函数求出ln 5的范围，放缩得到()26ln 146x xx x ++≤+，再由111ln 2ln 1ln 1ln 1101119⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 和511ln ln 1ln 1489⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结合5ln 52ln 2ln4=+即可求解.8.已知三棱锥-P ABC ，Q 为BC 中点，2PB PC AB BC AC =====，侧面PBC ⊥底面ABC ，则过点Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（）A.5ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2π,2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]π,2π【答案】A 【解析】【分析】连接PQ ，QA ，OA ，设三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，设过点Q 的平面为α，则当OQ α⊥时，此时所得截面的面积最小，当点Q 在以O 为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解.【详解】连接PQ ，QA ，由2PB PC AB BC AC =====，可知：ABC 和PBC 是等边三角形，设三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，所以球心O 到平面ABC 和平面PBC 的射影是ABC 和PBC 的中心F ，E ，PBC 是等边三角形，Q 为BC 中点，所以PQ BC ⊥，又因为侧面PBC⊥底面ABC ，侧面PBC ⋂底面ABC BC =，所以PQ ⊥底面ABC ，而AQ ⊂底面ABC ，因此PQ AQ ⊥，所以OFQE 是矩形,ABC 和PBC 是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高h ==在矩形OFQE 中，132233333OE FQ h AE h =====，连接OA ，所以3OA ===，设过点Q 的平面为α，当OQ α⊥时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，333OQ h =====，因此圆Q 1==，所以此时面积为2π·1π=，当点Q 在以O 为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：25ππ33⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，所以截面的面积范围为5ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A ．【点睛】关键点点睛：几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大．二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知,A B 为圆22:1O x y +=上的两点，P 为直线:20+-=l x y 上一动点，则（）A.直线l 与圆O 相离B.当,A B 为两定点时，满足π2APB ∠=的点P 有2个C.当AB =时，PA PB +的最大值是1+D.当,PA PB 为圆O 的两条切线时，直线AB 过定点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】利用点到直线的距离判断A ；确定APB ∠最大时的情况判断B ；取AB 中点D ，由线段PD 长判断C ；求出直线AB 的方程判断D 作答.【详解】对于A ，因为O 到直线l的距离1d ==>，即直线l 与圆O 相离，A 正确；对于B ，当A ，B 为过点P 的圆O 的切线的切点时，APB ∠最大，而2PAB OPA ∠=∠，显然OPA ∠是锐角，正弦函数在π(0,)2上单调递增，1sin OA OPA OP OP∠==，因此APB ∠最大，当且仅当OPA ∠最大，当且仅当OP 最小，则有PO l ⊥，此时π2APB ∠=，所以当,A B 为两定点时，满足π2APB ∠=的点P 只有1个，B 错误；对于C ，令AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，2211()22OD OA AB =-=，点D 在以O 为圆心，12为半径的圆上，|||2|2||PA PB PD PD +==，显然当P 在l 上运动时，||PD 无最大值，C 不正确；对于D ，设(),2P a a -，当,PA PB 为切线时，,PA OA PB OB ⊥⊥，点,A B 在以OP 为直径的圆上，此圆的方程为()(2)0x x a y y a -+-+=，于是直线AB 为()21ax a y +-=，即()210a x y y -+-=，所以直线AB 过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确.故选：AD 10.定义运算m p mn pq qn=-．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足301a b c a c b++=+-，则下列结论正确的是（）A.sin sin 2sin A C B +=B.:1:2A C =C.角B 的最大值为π3D.若sin 4sin a A c C =，则ABC 为钝角三角形【答案】ACD 【解析】【分析】由新定义运算得2a c b +=，对于选项A ：由正弦定理边化角后知sin sin 2sin A C B +=正确；对于选项B ：可举反例进行判断；对于选项C ：结合余弦定理及基本不等式，可求得1cos 2B ≥，可知C 正确；对于选项D ：结合条件可得24,,33c b a b ==计算cos A 即可判断出A 为钝角.【详解】由301a b c a c b++=+-可知()3()0a b c a c b ++-+-=，整理可知2a c b +=，由正弦定理可知，sin sin 2sin A C B +=，从而可知A 正确；因为π3A B C ===满足2a c b +=，但不满足:1:2A C =，故B 不正确；B 错误；2222222cos 22a c a c a c b B ac ac+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===()2232621882a c ac ac ac ac ac +--≥=a c =时取“=”），又0πB <<，∴B 的最大值为π3，故C 正确；由sin 4sin a A c C =可得224a c =，解得2a c =，又2a c b +=，从而可得24,,33c b a b a ==为最大边，22222224133cos 0,(0,π)22423b b b b c a A A bc b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-<∈⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，角A 为钝角，故D 正确．故选：ACD ．11.已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =，且1F 到l的距离为点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为()2,0，PQ 为12F PF ∠的平分线．则下列正确的是（）A.双曲线的方程为221927x y -= B.123PF PF =C.OP =D.点P 到x轴的距离为2【答案】ACD 【解析】【分析】由1F 到l的距离为y =可求得3,6a b c ===，即可得出方程，判断A ；由1122PF QF PF QF =可求出判断B ；结合双曲线定义可求得1212,6PF PF ==，求出12cos F PF ∠，即可求出12PF PF +，判断C ；利用等面积法可求得点P 到x 轴的距离，判断D.【详解】()10F c -，到y =的距离为2=，解得6c =，又渐近线方程为y =，则ba=222+=a b c 可解得3a =，b =，则双曲线的方程为221927x y -=，故A 正确；PQ 为12F PF ∠的平分线，1122824PF QF PF QF ===，故B 错误；由双曲线定义可得126PF PF -=，则可得112PF =，26PF =，则在12PF F △中，22212126121cos 21264F PF ∠+-==⨯⨯，则222221211221||212212662164PF PF PF PF PF PF +=+⋅+=+⨯⨯⨯+= ，则122PF PF PO +==，即OP =C 正确；在12PF F △中，12sin 4F PF ∠==，设点P 到x 轴的距离为d ，则1212121211sin 22PF F S F F d PF PF F PF ∠=⨯⨯=⨯⨯△，即111512126224d ⨯⨯=⨯⨯⨯，解得3152d =，故D 正确．故选：ACD.【点睛】关键点点睛：是根据已知求出双曲线方程，结合双曲线的定义求得焦点三角形的各边长.12.已知函数()()sin (0,02π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（）A.4π3ϕ=B.()f x 在区间5ππ,62⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增C.将函数cos y x =图象上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移π12个单位长度，可得函数()f x 的图象D.函数()4y f x =+的零点个数为7【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数()f x 的解析式，再分析判断ABC ；换元并构造函数，利用导数结合图形判断D 作答.【详解】观察图象知，函数()f x 的周期5ππ2(π63T =-=，则2π2T ω==，而π()03f =，即有π2π,Z 3k k ϕ⋅+=∈，由sin 0,02πϕϕ<<<知，π2πϕ<<，因此4π2,3k ϕ==，A 正确；显然4π()sin(2)3f x x =+，当5ππ[,62x ∈--时，4πππ2[,]333x +∈-，因此()f x 单调递增，B 正确；将cos y x =图象上各点横坐标变为原来的12得cos2y x =，再将所得图象向右平移12π个单位长度，得πcos(2)6y x =-，而π3ππ4πcos(2)sin(2)sin(2)6263y x x x =-=-+-=-+，C 错误；由4()0f x =，得π4sin(2)3x +=，令π23x t +=，则4sin t =，令()4sin g x x =16x >时，4sin 4x ≤>，即恒有()0g x <，函数()g x 在(16,)+∞上无零点，当01x <<时，()4cosg x x '=()4cos h x x =-()4sin h x x '=-+，函数3214sin ,4y x y x -=-=在(0,1)上都递减，即有()h x '在(0,1)上递减，11(4sin1601616h '=-+>，1π11(1)4sin14sin 204644h '=-+<-+=-+<，因此存在0(0,1)x ∈，0()0h x '=，当00x x <<时，()0h x '>，当01x x <<时，()0h x '<，有()()g x h x ='在0(0,)x 上递增，在0(),1x 递减，01π1()(1)4cos14cos 0232g x g ''>=->->，11()4cos 406464g '=-<，于是存在101(,)64x x ∈，1()0g x '=，当10x x <<时，()0g x '<，当11x x <<时，()0g x '>，则函数()g x 在1(0,)x 上递减，在1(,1)x 递增，1()(0)0g x g <=，π(1)4sin114sin 106g =->->，从而函数()g x 在(0,1)上存在唯一零点，而函数4sin y x =周期为2π，y =在(0,)+∞上单调递增，如图，π()402g =>，5π()402g =>，9π()402g =->，从而函数()g x 在(0,π),(2π,3π),(4π,5π)上各有一个零点，又0是()g x 的零点，即函数()g x 在定义域上共有7个零点，所以函数()4y f x =+的零点个数为7，D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f (x )=0的解；(2)图象法：作出函数f (x )的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分.13.已知某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.9，超过2年的概率为0.63，若一个这种元件使用1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为___________.【答案】0.7【解析】【分析】根据条件概率公式进行求解即可.【详解】设一个这种元件使用1年的事件为A ，使用2年的事件为B ，则()0.63()0.7()0.9P AB P BA P A ===∣.故答案为：0.714.给出下列命题：①由变量x 和y 的数据得到其回归直线方程ˆ:ˆˆl y bx a =+，则l 一定经过点()P x y ；②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；③线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱；④在回归直线方程 0.510y x =-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量 y 增加0.5个单位.其中真命题的序号是______．【答案】①②【解析】【分析】利用回归直线方程的特征以及两个变量之间的关系逐一判断四个选项的正误即可.【详解】回归直线一定过样本中心点(),P x y ，故①正确；残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故②正确；线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，故③错误；在回归直线方程 0.510y x =-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量 y 减少0.5个单位，故④错误.故答案为：①②.15.若函数()x f x e x =-图象在点()()00,x f x 处的切线方程为y kx b =+，则k b -的最小值为__________.【答案】11e--【解析】【分析】先求出函数的导数，表示出切线方程，得k ﹣b ＝0e x •x 0﹣1，令()g x ＝xe x ﹣1，根据函数()g x 的单调性求出k ﹣b 的最小值即可．【详解】已知()x f x e x =-，得f ′（x ）＝e x ﹣1，设切点为（x 0，f （x 0）），故f ′（x 0）＝01x e -，故f （x ）＝e x ﹣x 图象在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率为：k ＝01x e -，所求切线方程为y ＝（0e x ﹣1）（x ﹣x 0）+0e x ﹣x 0，即y ＝（0e x ﹣1）x ﹣0x e ⋅x 00x e +，则k ＝0e x ﹣1，b ＝﹣0e x •x 00x e +，则k ﹣b ＝0e x •x 0﹣1，令()g x ＝xe x ﹣1，()'g x ＝e x （x +1），当x ＜﹣1时，()'g x ＜0，当x ＞﹣1时，()'g x ＞0，所以()g x 在(),1-∞-上递减，在()1,-+∞上递增，故()g x ＝xe x ﹣1在x ＝﹣1处取得最小值，则k ﹣b 的最小值是﹣1﹣1e.故答案为：11e--.【点睛】思路点睛：首先，求出函数的导数，设切点（x 0，f （x 0）），得切线的斜率，进而得切线方程，最后，得出k b -＝0e x •x 0﹣1，令()g x ＝xe x ﹣1，求导得出()g x 的单调性及最值.16.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，11，3443，94249等，显然2位回文数有9个：11，22，33，L ，99，3位回文数有90个：101，111，121，L ，191，202，L ，999．（1）4位回文数有__________个．（2）21()n n ++∈N 位回文数有__________个．【答案】①.90②.910n⨯【解析】【详解】（1）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法，第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位回文数有91090⨯=个．（2）第一步，选左边第一个数字，有9种选法，第二步，分别选左边第2、3、4、L 、n 、1n +个数字，共有1010101010n ⨯⨯⨯⨯= 种选法，故21()n n ++∈N 位回文数有910n ⨯个.四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan (2)tan a B c a A =-.（1）求B ；（2）若4A π=，b =ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）3【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系及正弦定理化简tan (2)tan a B c a A =-求B ；由题意结合正弦定理求得a 边，余弦定理求得c 边，最后根据面积公式求解即可.【详解】（1）因为tan (2)tan a B c a A =-，所以()sin sin sin 2sin sin cos cos B AA C AB A⋅=-⋅.又sin 0A ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B A C B A B =-，即sin cos sin cos 2sin cos B A A B C B +=，即sin()sin 2sin cos A B C C B +==.又sin 0C ≠，所以1cos 2B =，则由0πB <<，得3B π=.（2）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin 2sin 2b A a B ==，则由余弦定理得22221cos 22a cb B ac +-===，解得c =(负值舍去)，所以11sin 3222ABC S ac B ==⨯⨯=+△.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，当2n ≥时，12n n n a S -=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b S =，设n n n c b S =⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n T ．【答案】（1）12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；（2）()1212n n T n +=-+【解析】【分析】（1）当2n ≥时，12n n n a S -=-，可得112nn n a S ++=-，两式相减即可求解；（2）由（1）可求得n S ，进而可得n b ，n c ，利用乘公比错位相减求和即可求解.【详解】（1）当2n ≥时，12n n n a S -=-，112nn n a S ++=-，两式相减可得：11122nn n n n n a S a S -++--+=-，即1112n n n n a a a -++=--，所以12n n a -=，12a =不满足12n n a -=，所以数列{}n a 的通项公式为12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；（2）当2n ≥时，由12n n n a S -=-，12n n a -=，可得1112222n n n n n n S a ---=+=+=，112S a ==，满足2n n S =，所以2n n S =，可得22log log 2nn n b S n ===，2nn n n c b S n =⋅=⋅，()1231122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，两式相减可得：123111222222n n n n T n -+-=⋅++++-⋅()()11212221212n n n n n ++-=-⋅=---，所以()1212n n T n +=-+.19.党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识对抗赛，组委会将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委会随机从百年党史题库抽取2道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛细则为：选手抢到试题且回答正确得100分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得50分2；道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为45，乙回答正确的概率为35，两名选手每道试题回答是否正确相互独立．（1）求乙同学得100分的概率；（2）记X 为甲同学的累计得分，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）37100（2）分布列见解析；期望为100【解析】【分析】（1）根据相互独立事件、互斥事件的判断与概率计算公式综合运算求解即可；（2）由题意，X 可能值为0，50，100，150，200，根据相互独立事件、互斥事件的判断与概率计算公式分别求出对应取值的概率，即可得到离散型随机变量的分布列，再由期望定义及公式求其期望值．【小问1详解】由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}，所以乙同学得100分的概率为1312141311113722252525252525100p =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=【小问2详解】由题意，甲同学的累计得分X 可能值为0，50，100，150，200，1111111313134(0)+225252525252525P X ==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，121112134(50)222525252525P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，1212111414139(100)+2225252525252525P X ==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，14124(150)2252525P X ==⨯⨯⨯⨯=，14144(200)252525P X ==⨯⨯⨯=，分布列如下：X50100150200()P X 425425925425425所以期望44944()0501001502001002525252525E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．20.如图，在以P ，A ，B ，C ，D 为顶点的五面体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，12AD CD AB ==，平面PAD ⊥平面PAB ，PA PB ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）若二面角P AB D --的余弦值为3，求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得到PB ⊥平面PAD ，由面面垂直的判定即可证明；（2）过D 作DH PA ⊥，⊥DO AB ，垂足分别为H ，O ，连接HO ，由几何法可证DOH ∠即为二面角P AB D --的平面角，过O 作OM ⊥平面PAB ，以{},,OA OH OM为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设4AB =，再由向量法求出直线PD 与平面PBC 所成角即可．【小问1详解】（1）因为平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD ⋂平面PAB PA =，PA PB ⊥，PB ⊂平面PAB ，所以PB ⊥平面PAD ，又因为PB ⊂平面PBC ，所以平面PAD ⊥平面PBC ．【小问2详解】过D 作DH PA ⊥，⊥DO AB ，垂足分别为H ，O ，连接HO ，因为平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD ⋂平面PAB PA =，DH PA ⊥，DH ⊂平面PAD ，所以DH ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，所以DH AB ⊥，又⊥DO AB ，且DO DH D = ，DO ，DH ⊂平面DHO ，所以AB ⊥平面DHO ，因为HO ⊂平面DHO ，所以AB HO ⊥，即DOH ∠即为二面角P AB D --的平面角，不妨设4AB =，则可知2AD CD BC ===，且1AO =，OD =因为cos 3DOH ∠=，所以1OH =，所以π4BAP ∠=，过O 作OM ⊥平面PAB ，以{},,OA OH OM为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(D ，()1,2,0P -，()3,0,0B -，(C -，所以(1,PD =-，()2,2,0BP =，(1,1,CP = ，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则2200m BP x y m CP x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1x =，则1y =-，0z =，所以()1,1,0m =-u r，设直线PD 与平面PBC 所成角为θ，则2sin 2m PD m PDθ⋅==⋅ ，直线PD 与平面PBC所成角的正弦值为221.已知圆2217x y +=与抛物线()2:20C y px p =>在x 轴下方的交点为A ，与抛物线C 的准线在x 轴上方的交点为B ，且点A ，B 关于直线y x =对称．（1）求抛物线C 的方程；（2）若点M ，N 是抛物线C 上与点A 不重合的两个动点，且AM AN ⊥，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）216y x =；（2）存在；定点坐标为()17,4．【解析】【分析】（1）联立抛物线准线与圆的方程求得点B 的坐标，再根据点A 和点B 关于y x =对称获得点A 的坐标，最后根据点A 在抛物线上，列方程求得8p =，最后求得抛物线的方程;（2）设211,16y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,16y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线MN 的方程为x my n =+，联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理可知1216y y m +=，1216y y n =-，因为AM AN ⊥，所以0AM AN →→⋅=，整理化简得到417n m =-+，最后得到直线MN 过定点()17,4.【详解】（1）解：将2p x =-代入2217x y +=，得y =，所以2p B ⎛- ⎝，由点A ，B 关于直线y x =对称，可得2p A ⎫-⎪⎪⎭，将A 的坐标代入抛物线C 的方程得224p =8p =，所以抛物线C 的方程为216y x =．（2）证明：由（1）得()1,4A -，设211,16y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,16y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线MN 的方程为x my n =+．将直线MN 的方程代入216y =得，所以216160y my n --=，所以1216y y m +=，1216y y n =-．因为AM AN ⊥，所以()()()()22221212121216161,41,44401616256y y y y AM AN y y y y →→--⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意可知14y ≠-，24y ≠-，所以()()12440y y ++≠．所以()()124410256y y --+=，即()121242720y yy y -++=，所以16642720n m --+=，即417n m =-+，所以直线MN 的方程为()417x m y =-+，直线MN 过定点，定点坐标为()17,4．【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.设函数()21ln 2f x x ax bx =--．（1）已知()f x 在点()()1,1P f 处的切线方程是21y x =-，求实数a ，b 的值；（2）在第（1）问的条件下，若方程()()20x f x λλ=>有唯一实数解，求实数λ的值．【答案】（1）0a =，1b =-；（2）1．【解析】【分析】（1）当1x =时，求得()1112b f a =--=，得到22a b +=-，再由()112b f a =--='，联立方程组即可求解；（2）根据题意转化为2ln 0x x x λ--=有唯一实数解，设()2ln x x g x x λ--=，求得()221x x g x xλ'--=，令2210x x λ--=，利用二次函数的性质，得到函数()g x 单调性与最值，进而得到()20g x =，结合()2ln 1h x x x =+-的单调性，求得方程的解为21x =，代入，即可求解.【详解】（1）当1x =时，可得2111y =⨯-=，所以()1112b f a =--=，即22a b +=-，因为()1f x ax b x-'=-，即()112b f a =--='，即1a b +=-联立方程组221a b a b +=-⎧⎨+=-⎩，解得0a =，1b =-．（2）由方程()2f x x λ=有唯一实数解，即2ln 0x x x λ--=有唯一实数解，设()2ln x x g x x λ--=，则()221,0x x g x x xλ'--=>，令2210,0x x x λ--=>，因为0λ>，所以180λ∆=+>，且12102x x λ=-<，所以方程有两异号根，设10x <，20x >，因为0x >，所以1x 应舍去，当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上单调递增．当2x x =时，()20g x '=，()g x 取最小值()2g x ，因为()0g x =有唯一解，所以()20g x =，则()()2200g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即2222222ln 0210x x x x x λλ⎧--=⎨--=⎩，因为0λ>，所以222ln 10x x +-=．（*）设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程（*）的解为21x =，将21x =代入222210x x λ--=，可得1λ=．【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：f x中分离1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.。