[解] 设住宅窗户面积、地板面积分别为a、b，同时增 a 加的面积为m，根据问题的要求a<b，且 ≥10%.由于 b a＋m a mb－a a＋m a a － ＝ >0，于是 > .又 ≥10%，因此 b b＋m b bb＋m b＋m b a＋m a > b ≥10%.所以，同时增加相等的窗户面积和地板面 b＋m 积后，住宅的采光条件变好了．
迁移变式 2
比较 3＋ 7与 2 5的大小．
解：( 3＋ 7)2－(2 5)2＝(10＋2 21)－20＝2( 21－5)． ∵( 21)2－52＝21－25＝－4<0， ∴2( 21－5)<0，∴ 3＋ 7<2 5.
(1)设m≠n，x＝m4 －m3n，y＝n3m －n4，比较x与y的大小． (2)已知a>0且a≠1，p＝loga(a3 ＋1)，q＝ loga(a2＋1)，比较p与q的大小． [分析] 本题考查两数(式)大小的比较，可 作差比较，并注意(2)中须分类讨论．
通过观察具体的二次函数图象及其相应的 一元二次方程的关系，推出了一般的一元 二次不等式的解集的求法，并且程序框图 的形式归纳出了求解一般的一元二次不等 式的基本过程；
第三节是二元一次不等式(组)与简单的线性
规划问题，教材从研究具体的不等式的解 集所表示的平面区域入手，推广到一般的 二元一次不等式Ax＋By＋C<0(或Ax＋By＋ C>0)的解集所表示的平面区域，进一步说 明简单的线性规划的意义与有关概念，并 介绍了线性规划问题的图解方法，还说明 了线性规划在实际生活中的简单应用；
)
B．M＝N D．与x有关
解析：∵M－N＝x2－(x－1)＝x2－x＋1 1 3 ＝x －x＋4＋4
2
1 3 ＝(x－2)2＋4>0. ∴M>N.
答案：A
2．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限
速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的 车间距d不得小于10 m，用不等式表示为 A．v≤120 (km/h)或 d≥10 (m) ( )
v≤120 km/h B. d≥10 m
C．v≤120 (km/h) D．d≥10 (m)
答案：B
3．某市环保局为增加城市的绿地面积，提
出两个方案：方案A为每年投资20万元；方 案B为第一年投资5万元，以后每年都比前 一年增加10万元．要表示“经过n年之后方 案B的投入不少于方案A的投入”应列的不 等式为________．(不用化简)
事实上，要解决上述问题，需要用到本章
的知识．本章共分为四节： 第一节是不等关系与不等式，教材首先通 过具体问题情境，使我们感受到现实世界 和日常生活中存在着大量的不等关系，然 后提出如何用不等式研究及表示不等关系， 最后给出了不等式的九条基本的性质；
第二节是一元二次不等式及其解法，教材
掌握不等式的性质是学好本章的关键． 2．解不等式的过程是一个等价转化的过程， 通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、 准确地求解．于是，在学习不等式的解法 时，要加强等价转化思想的训练． 3．不等式、函数、方程三者密不可分、相 互联系、相互转化，平时学习中要加强函 数与方程思想在不等式中的应用训练．
a3＋1 (2)p－q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga 2 ， a ＋1 当 a>1 时，a3＋1>a2＋1， a3＋1 a3＋1 ∴ 2 >1.∴loga 2 >0； a ＋1 a ＋1 当 0<a<1 时，a3＋1<a2＋1， a3＋1 a3＋1 ∴ 2 <1.∴loga 2 >0. a ＋1 a ＋1 综上可得 p－q>0，∴p>q.
要注意“至少”的含义，同时还应 保证两种药片的数量均非负这一隐含条 件． [解] 设提供A药片x片、B药片y片．
[分析]
由题意，得
迁移变式1
一个盒子中红、白、黑三种球 分别有x个、y个、z个，黑球个数至少是白 球个数的一半，至多是红球个数的 ，白 球与黑球的个数之和至少为55，试用不等 式将题中的不等关系表示出来．
[例3]
[解] (1)x－y＝(m4－m3n)－(n3m－n4) ＝m3(m－n)－n3(m－n) ＝(m－n)(m3－n3) ＝(m－n)2(m2＋mn＋n2)， ∵m≠n，∴(m－n)2>0. n 2 3n2 又∵m ＋mn＋n ＝(m＋ ) ＋ >0， 2 4
2 2
∴(m－n)2(m2＋mn＋n2)>0. ∴x－y>0.∴x>y.
[点评]
实数大小比较的依据，给我们提供 了比较两个实数大小的方法，同时也是我 们解决有些实际问题的有效途径．
迁移变式4
如图1，y＝f(x)反映了某
公司产品的销售收入y万 元与销售量x吨的函数关 系，y＝g(x)反映了该公 司产品的销售成本与销售 量的函数关系，试问： (1)当销售量为多少时， 该公司赢利(收入大于成 本)； (2)当销售量为多少时，
1．含有不等号 “≠”“>”“<”“≥”或“≤”
3．若a，b∈R，则在a＝b，a>b，a<b三种 有且仅
种关系成立． 4．若a，b∈R，则 ⇔a>b， a－b＝0 a－b>0 ⇔a＝b， ⇔a<b.
a－b<0
关系中， 有一
1．设M＝x2，N＝x－1，则M与N的大小关
系为 ( A．M>N C．M<N
[评析]
(1)中是通过因式分解和配方法来判 断差的符号，(2)中是通过分类讨论来判断 差的符号．这三种方法都是判断差的符号 的常用方法．
迁移变式3
比较下面两个代数式的大小： (1)x2＋3与3x； (2)已知a、b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与 a2b＋ab2.
32 3 3 解：(1)(x ＋3)－3x＝x －3x＋3＝(x－ ) ＋ ≥ >0， 2 4 4
芭蕾舞演员在表演时，脚尖立起给人以美 的享受．原来，脚尖立起调整了身段的比例．如 果设人的脚尖立起提高了 m，则下半身长 x 与全 x＋m x 身长 y 的比由y变成了 ，这个比值非常接近 y＋m x 黄金分割值 0.618.其中的数学关系是 0.58≈ y x＋m < ≈0.618，怎样判定“<”的关系成立？ y＋m
b＋m 加糖后糖水浓度变为 ， a＋m b b＋m 根据题意，有a< (a>b>0，m>0)． a＋m
[例1]
两种药片的有效成分如下表所示.
成 阿司匹 小苏 可待 打 因 分 林 (mg (mg (mg) 药片 ) ) 若要求至少提供12 mg阿司匹林，70 mg小 2 5 1 A(1片) 苏打，28 mg可待因，则两种药片的数量应 1 7 6 B(1片) 满足怎样的不等关系？用不等式的形式表 示出来．
4．不等式知识在解决实际问题中有着十分
重要的作用，要善于建立合理的不等式模 型，解决生活中的实际问题．
§3.1
不等关系与不等式
第1课时
不等关系与比较大小
的 式 子 叫不等式．若a，b是两实数，那么a≥b即为 a>b或a＝b a<b或a＝b ；a≤b即为 . 2．数轴上的任意两点中，右边点对应的实 大 数比左边点对应的实数 ．
解：(1)当销售量大于a吨时，即x>a时，公
司赢利，即f(x)>g(x)； (2)当销售量小于a吨时，即0≤x<a时，公司 亏损，即f(x)<g(x)．
1．比较实数大小的依据． 实数集与数轴上的点集之间可以建立一一
对应关系．那些表示实数的点在数轴上有 次序地(无缝隙地)排列．数轴上的一个动点 向着数轴的正方向运动时，它所对应的实 数越来越大，由此可以得到下面两个结论：
(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实
数比左边点对应的实数大； (2)对于任意两个实数a和b，在a＝b，a>b， a<b三种关系中，有且仅有一种关系成立．
2．比较两个实数大小的方法．
如果a－b是正数，那么a>b；如果a>b，那
么a－b是正数． 如果a－b是负数，那么a<b；如果a<b，那 么a－b是负数． 如果a－b等于零，那么a＝b；如果a＝b， 那么a－b等于零．
4．已知x<1，则x2 ＋2与3x的大小关系为
________． 解析：(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)． ∵x<1，∴x－1<0，x－2<0， ∴(x－1)(x－2)>0，∴x2＋2>3x. 答案：x2＋2>3x
5．在日常生活中，“糖水加糖更甜”，即加
糖溶化后，糖水的浓度变大了．若a克糖水中 含b克糖，再加m克糖溶化后，则糖水更甜， b 解：加糖前糖水浓度为a， 你能用一个不等式来表示这个关系吗？
解： 列不等式组， 涉及到“至少”、 “至多”问题， 要用到“≥” 或“≤”， 那么在处理“＝”问题时要注意“＝”成立的条件，
y≤z≤x 3 (x，y，z∈N＋)．比较 3＋ 5与 4 的大小．
[分析]
要比较 3＋ 5与 4 的大小， 直接作差后很难判定
2 2
∴x2＋3>3x. (2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a －b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0. ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.
差的符号，如果把两数平方后作差，差式中仍含一无理式，可 第二次平方相减判断符号．
[解] ∵( 3＋ 5)2－42＝3＋5＋2 15－16＝2( 15－4)，
