2009中考分类汇编-不等式与不等式组

（2009·广东深圳）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式290x ->. 解：∵29(3)(3)x x x -=+-，∴(3)(3)0x x +->.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）3030x x +>⎧⎨->⎩ （2）3030x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组（1），得3x >，解不等式组（2），得3x <-，故(3)(3)0x x +->的解集为3x >或3x <-，即一元二次不等式290x ->的解集为3x >或3x <-.问题：求分式不等式51023x x +<-的解集.解：由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，有（1）510230x x +>⎧⎨-<⎩ （2）510230x x +<⎧⎨->⎩解不等式组（1），得135x -<<，解不等式组（2），得无解，故分式不等式51023x x +<-的解集为135x -<<.（2009·四川资阳）已知Z 市某种生活必需品的年需求量y 1(万件)、供应量y 2(万件)与价格x (元/件)在一定范围内分别近似满足下列函数关系式：y 1= –4x ＋190，y 2=5x –170．当y 1=y 2时，称该商品的价格为稳定价格，需求量为稳定需求量；当y 1<y 2时，称该商品的供求关系为供过于求；当y 1>y 2时，称该商品的供求关系为供不应求．(1) (4分) 求该商品的稳定价格和稳定需求量；(2) (4分) 当价格为45(元/件)时，该商品的供求关系如何？为什么？(1) 由y 1=y 2，得：–4x ＋190=5x –170， ··································································· 2分解得 x =40． ······························································································ 3分此时的需求量为 y 1= –4×40+190=30． ····························································· 4分因此，该商品的稳定价格为40元/件，稳定需求量为30万件．(2) 当x =45时，y 1= – 4×45＋190=10， ···························································· 5分y 2= 5×45–170=55， ······················································································ 6分∴ y 1<y 2． ································································································· 7分∴ 当价格为45(元/件)时，该商品供过于求． （2009·广西梧州）不等式组2201x x +>⎧⎨--⎩≥的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．（2009·广西柳州）若b a <，则下列各式中一定成立的是（ ）A ．11-<-b aB ．33b a >C ． b a -<-D ． bc ac <（2009·广东佛山）画出一次函数24y x =-+的图象，并回答：当函数值为正时，x 的取值范围是 ．（2009·山东威海）实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错．误．的是（ ） A ．0ab > B ．0a b +<C ．1ab< D ．0a b -<（2009·湖南长沙）已知关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨->⎩≥，只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．（2009浙江义乌） 不等式组210x ox -≤⎧⎨>⎩的解是 . （2009·山东东营）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--+2321123x ,x x ＞的解集在数轴上表示正确的是a第8题图（2009湖北荆门）．若不等式组0,122x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则a 的取值范围是( )(A)a ＞－1． (B)a ≥－1． (C)a ≤1． (D)a ＜1． A （2009·浙江杭州）已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围为______________（2009·四川遂宁）把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那么这个不等式组的解集是 .（2009·浙江丽水）绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：(1) 按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的政府补贴？(2)为满足农民需求,商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台, 且冰箱的数量不少于彩电数量的65. ①请你帮助该商场设计相应的进货方案；②哪种进货方案商场获得利润最大（利润=售价-进价），最大利润是多少？ 解：(1) (2 420+1 980)×13%=572 …………(3分)答: 可以享受政府572元的补贴.(2) ①设冰箱采购x 台，则彩电采购（40-x ）台，根据题意，得 ………(1分)2 320x +1 900(40-x )≤85 000， x ≥65(40-x ). 解不等式组，得11218≤x ≤7321 ……………(3分)∵x 为正整数． ∴x = 19,20，21．∴该商场共有3种进货方案：（A ）（B ）（C ）（D ）方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台 方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台；方案三：冰箱购买21台，彩电购买19台. ………(1分) ②设商场获得总利润y 元，根据题意，得 y =(2 420 - 2 320)x +(1 980 -1 900)(40-x )=20x +3 200∵20>0, ∴y 随x 的增大而增大 ∴当x =21时，y 最大=20×21+3 200=3 620答：方案三商场获得利润最大，最大利润是3 620元（2009·山东烟台）如图，直线y kx b =+经过点(12)A --，和点(20)B -，直线2y x =过点A ，则不等式20x kxb <+<的解集为（ ） A ．2x <- B ．21x -<<- C ．20x -<< D ．10x -<< （2009·四川达州）函数b kx y +=的图象如图2所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是 A. x ＜－2B. x ＞－2C. x ＜－1D.x ＞－1（2009·湖北仙桃）直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为（ ）．A 、x ＞1B 、x ＜1C 、x ＞－2D 、x ＜－2（2009·湖南娄底）下列哪个不等式组的解集在 数轴上表示如图2所示 ( )x ≥2 x ＜-1x ≤2 x ＞-1x ＞2 x ≤-1x ＜2 x ≥-1（2009·广西崇左）不等式组221x x -⎧⎨-<⎩≤的整数解共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个（2009·山西省）不等式组21318x x --⎧⎨->≥的解集在数轴上可表示为（ ）A B C Dc k 1x ＋bA ．B ． CD．（2009·山东烟台）如果不等式组2223xa xb ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，那么a b +的值为 ．（2009·四川凉州）．若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是11x -<<，则2009()a b += ．（2009·湖北恩施）如果一元一次不等式组⎩⎨⎧ax x 3的解集为3 x .则a 的取值范围是:A.3 aB.3≥aC.3≤aD.3 a（2009·山东潍坊）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元． （1）若需要这种规格的纸箱x 个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用1y （元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用2y （元）关于x （个）的函数关系式； （2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由． 解：（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用：14y x = ········································································································ 2分 蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：2 2.416000y x =+． ······················································································ 4分 （2）21(2.416000)4y y x x -=+-16000 1.6x =-，由12y y =，得：16000 1.60x -=，解得：10000x =． ························································································ 5分∴当10000x <时，12y y <，选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低． ············································· 6分∴当10000x >时，12y y >，选择方案二，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低． ·········································· 7分∴当10000x =时，12y y =，两种方案都可以，两种方案所需的费用相同．（2009·黑龙江牡丹江）某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A 、B 两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，（1）冰箱厂有哪几种生产方案？（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．解：（1）设生产A 型冰箱x 台，则B 型冰箱为()100x -台，由题意得：47500(28002200)(30002600)(100x x -+-⨯-≤≤ ················· 2分解得：37.540x ≤≤ ········································································ 1分 x 是正整数x ∴取38，39或40．············································································································ 1分（2）设投入成本为y 元，由题意有：22002600(100)400260000y x x x =+-=-+ ······································ 1分4000-<y ∴随x 的增大而减小∴当40x =时，y 有最小值．即生产A 型冰箱40台，B 型冰箱50台，该厂投入成本最少 ······················· 1分此时，政府需补贴给农民(280040300060)13%37960()⨯+⨯⨯=元 ·········· 1分（3）实验设备的买法共有10种．（2009·福建漳州）为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？ （1）解法一：设甲种消毒液购买x 瓶，则乙种消毒液购买(100)x -瓶． ··················· 1分 依题意，得69(100)780x x +-=．解得：40x =． ····························································································· 3分∴1001004060x -=-=（瓶）． ····································································· 4分 答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶． ············································· 5分 解法二：设甲种消毒液购买x 瓶，乙种消毒液购买y 瓶． ······································· 1分 依题意，得10069780x y x y +=⎧⎨+=⎩，．············································································· 3分解得：4060x y =⎧⎨=⎩，．····························································································· 4分答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶． ············································· 5分 （2）设再次购买甲种消毒液y 瓶，刚购买乙种消毒液2y 瓶． ································· 6分 依题意，得6921200y y +⨯≤． ······································································ 8分 解得：50y ≤． ···························································································· 9分 答：甲种消毒液最多再购买50瓶．（2009·广东清远）某饮料厂为了开发新产品，用A 种果汁原料和B 种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x 千克，两种饮料的成本总额为y 元． （1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y 与x 之间的函数关系式．（2）若用19千克A 种果汁原料和17.2千克B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表可使y 值最小，最小值是多少？解：（1）依题意得：43(50)150y x x x =+-=+ ················································· 3分（2）依题意得：0.50.2(50)19(1)0.30.4(50)17.2(2)x x x x +-⎧⎨+-⎩≤…………≤……… ········································· 5分解不等式（1）得：30x ≤ 解不等式（2）得：28x ≥∴不等式组的解集为2830x ≤≤ ····································································· 7分 150y x =+ ，y 是随x 的增大而增大，且2830x ≤≤∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y 最小，28150178y =+=最小（元）（2009·山西太原）某公司计划生产甲、乙两种产品共20件，其总产值w （万元）满足：1150＜w ＜1200，相关数据如下表．为此，公司应怎样设计这两种产品的生产方案．解：设计划生产甲产品x 件，则生产乙产品()20x -件，根据题意，得()()45752011504575201200x x x x +-<⎧⎪⎨+->⎪⎩，．解得35103x <<． x 为整数，∴11x =．此时，209x -=（ 件）．答：公司应安排生产甲产品11件，乙产品9件． （2009·广东梅州）求不等式组1184 1.x x x x --⎧⎨+>-⎩≥，的整数解解：由11x x --≥得1x ≥， ·········································································· 2分 由841x x +>-，得3x <． ·········································································· 4 分 所以不等式组的解为：13x <≤， ·································································· 6 分 所以不等式组的整数解为：1，2．（2009·新疆乌鲁木齐）某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x （张）满足的不等式为 ． 500.31200x +≤（2009·湖北十堰）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A 、B 两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃有492户．(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程．(2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱．解: (1) 设建造A型沼气池x 个，则建造B型沼气池(20－x )个………1分依题意得:()()⎩⎨⎧≥-+≤-+492203018365202015xxxx…………………………………………3分解得：7≤ x≤ 9 ………………………………………………………………4分∵x为整数∴ x = 7，8 ，9 ，∴满足条件的方案有三种．. ……………5分(2)设建造A型沼气池x个时，总费用为y万元，则：y = 2x + 3( 20－x) = －x+60 ………………………………………………6分∵－1< 0，∴y随x 增大而减小，当x=9 时，y的值最小，此时y= 51( 万元) …………………………………7分∴此时方案为：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个．……………8分解法②:由(1)知共有三种方案，其费用分别为：方案一: 建造A型沼气池7个，建造B型沼气池13个，总费用为:7×2 + 13×3 = 53( 万元) ……………………………6分方案二: 建造A型沼气池8个，建造B型沼气池12个，总费用为:8×2 + 12×3 = 52( 万元) ……………………………7分方案三: 建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个，总费用为:9×2 + 11×3 = 51( 万元)∴方案三最省钱. …………………………………………… 8分。

中考专题复习知识点1、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

知识点2、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。

知识点3、不等式的解集在数轴上的表示： （1）x ＞a ：数轴上表示a 的点画成空心圆圈，表示a 的点的右边部分来表示；（2）x ＜a ：数轴上表示a 的点画成空心圆圈，表示a 的点的左边部分来表示；（3）x ≥a ：数轴上表示a 的点画成实心圆点，表示a 的点及表示a 的点的右边部分来表示；（4）x ≤a ：数轴上表示a 的点画成实心圆点，表示a 的点及表示a 的点的左边部分来表示。

在数轴上表示大于3的数的点应该是数3所对应点的右边。

画图时要注意方向（向右）和端点（不包括数3，在对应点画空心圆圈）。

如图所示：同样，如果某个不等式的解集为x ≤－2， 那么它表示x 取－2左边的点 画实心圆点。

如图所示：总结：在数轴上表示不等式解集的要点： 小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画圆点。

知识点4、不等式的性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

知识点5、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。

知识点6、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1。

通过这些步骤可以把一元一次不等式转化为x ＞a （x ≥a ）或x ＜a （x ≤a ）的形式。

知识点7、一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。

知识点8、知识点9、解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组。

知识点10、解一元一次不等式组的一般步骤：先分别解不等式组中的各个不等式，然后再求出这几个不等式解集的公共部分。

中考数学复习辅导：不等式与不等式组先生们在享用学期的同时，也要面对一件重要的事情那就是学习。

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不等式：①用符号〉，=，〈号衔接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或许除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的一切解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的进程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一同，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共局部，叫做这个一元一次不等式组的解集。

③求不等式组解集的进程，叫做解不等式组。

一元一次不等式的符号方向：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改动。

在不等式中，假设加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：A>B,A+C>B+C在不等式中，假设减去同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：A>B，A-C>B-C在不等式中，假设乘以同一个正数，不等号不改向;例如：A>B，A*C>B*C(C>0)在不等式中，假设乘以同一个正数，不等号改向;例如：A>B，A*C假设不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在标题中，要求出乘以的数，那么就要看看题中能否出现一元一次不等式，假设出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否那么不等式不成立;精品小编为大家提供的中考数学温习辅导就到这里了，愿大家都能在学期努力，丰厚自己，锻炼自己。

xx中考数学试题分类汇编：考点12不等式与不等式组一．选择题（共22小题）1．（xx•衢州）不等式3x+2≥5的解集是（）A．x≥1 B．x≥C．x≤1 D．x≤﹣1【分析】根据一元一次不等式的解法即可求出答案．【解答】解：3x≥3x≥1故选：A．2．（xx•岳阳）已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别解不等式组进而在数轴上表示出来即可．【解答】解：，解①得：x＜2，解②得：x≥﹣1，故不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，故解集在数轴上表示为：．故选：D．3．（xx•广安）已知点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是（）A．a＜﹣3 B．﹣3＜a＜1 C．a＞﹣3 D．a＞1【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．【解答】解：∵点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，∴，解得a＜﹣3．故选：A．4．（xx•襄阳）不等式组的解集为（）A．x＞B．x＞1 C．＜x＜1 D．空集【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x＞1﹣x，得：x＞，解不等式x+2＜4x﹣1，得：x＞1，则不等式组的解集为x＞1，故选：B．5．（xx•南充）不等式x+1≥2x﹣1的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案．【解答】解：移项，得：x﹣2x≥﹣1﹣1，合并同类项，得：﹣x≥﹣2，系数化为1，得：x≤2，将不等式的解集表示在数轴上如下：，故选：B．6．（xx•衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别解两个不等式得到x＞﹣1和x≤3，从而得到不等式组的解集为﹣1＜x≤3，然后利用此解集对各选项进行判断．【解答】解：，解①得x＞﹣1，解②得x≤3，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤3．故选：C．7．（xx•聊城）已知不等式≤＜，其解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】把已知双向不等式变形为不等式组，求出各不等式的解集，找出解集的方法部分即可．【解答】解：根据题意得：，由①得：x≥2，由②得：x＜5，∴2≤x＜5，表示在数轴上，如图所示，故选：A．8．（xx•滨州）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x+1≥3，得：x≥2，解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1，将两不等式解集表示在数轴上如下：故选：B．9．（xx•荆门）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（）A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤7【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围．【解答】解：解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞，∵不等式有最小整数解2，∴1≤＜2，解得：4≤m＜7，故选：A．10．（xx•临沂）不等式组的正整数解的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】先解不等式组得到﹣1＜x≤3，再找出此范围内的正整数．【解答】解：解不等式1﹣2x＜3，得：x＞﹣1，解不等式≤2，得：x≤3，则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，所以不等式组的正整数解有1、2、3这3个，故选：C．11．（xx•眉山）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是（）A．≤a＜1 B．≤a≤1 C．＜a≤1 D．a＜1【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案．【解答】解：由x＞2a﹣3，由2x＞3（x﹣2）+5，解得：2a﹣3＜x≤1，由关于x的不等式组仅有三个整数：解得﹣2≤2a﹣3＜﹣1，解得≤a＜1，故选：A．12．（xx•广西）若m＞n，则下列不等式正确的是（）A．m﹣2＜n﹣2 B．C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n【分析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．【解答】解：A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；B、将m＞n两边都除以4得：＞，此选项正确；C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误；故选：B．13．（xx•贵港）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的范围即可．【解答】解：∵不等式组无解，∴a﹣4≥3a+2，解得：a≤﹣3，故选：A．14．（xx•娄底）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（）A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k）C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）=0或1【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：f（1）=[]﹣[]=0﹣0=0，故选项A正确；f（k+4）=[]﹣[]=[+1]﹣[+1]=[]﹣[]=f（k），故选项B正确；C、当k=3时，f（3+1）=[]﹣[]=1﹣1=0，而f（3）=1，故选项C错误；D、当k=3+4n（n为自然数）时，f（k）=1，当k为其它的正整数时，f（k）=0，所以D 选项的结论正确；故选：C．15．（xx•嘉兴）不等式1﹣x≥2的解在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出已知不等式的解集，然后表示在数轴上即可．【解答】解：不等式1﹣x≥2，解得：x≤﹣1，表示在数轴上，如图所示：故选：A．16．（xx•湘西州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先定界点，再定方向即可得．【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示如下：故选：C．17．（xx•海南）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（）A．B．C．D．【分析】根据不等式组的表示方法，可得答案．【解答】解：由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为，故选：D．18．（xx•宿迁）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．﹣＞﹣D．a2＜b2【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．【解答】解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a﹣1＜b﹣1，故本选项错误；B、在不等式a＜b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b，故本选项错误；C、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣，不等号的方向改变，即﹣＞﹣，故本选项错误；D、当a=﹣5，b=1时，不等式a2＜b2不成立，故本选项正确；故选：D．19．（xx•株洲）下列哪个选项中的不等式与不等式5x＞8+2x组成的不等式组的解集为＜x＜5（）A．x+5＜0 B．2x＞10 C．3x﹣15＜0 D．﹣x﹣5＞0【分析】首先计算出不等式5x＞8+2x的解集，再根据不等式的解集确定方法：大小小大中间找可确定另一个不等式的解集，进而选出答案．【解答】解：5x＞8+2x，解得：x＞，根据大小小大中间找可得另一个不等式的解集一定是x＜5，故选：C．20．（xx•娄底）不等式组的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2﹣x≥x﹣2，得：x≤2，解不等式3x﹣1＞﹣4，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，所以不等式组的最小整数解为0，故选：B．21．（xx•长春）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：3x﹣6≥0，3x≥6，x≥2，在数轴上表示为，故选：B．22．（xx•台湾）如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？（）A．112 B．121 C．134 D．143【分析】设妮娜需印x张卡片，根据利润=收入﹣成本结合利润超过成本的2成，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其内最小的整数即可得出结论．【解答】解：设妮娜需印x张卡片，根据题意得：15x﹣1000﹣5x＞0.2（1000+5x），解得：x＞133，∵x为整数，∴x≥134．答：妮娜至少需印134张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成．故选：C．二．填空题（共7小题）23．（xx•黔南州）不等式组的解集是x＜3 ．【分析】首先把两条不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一条式子表示出来．【解答】解：由（1）x＜4，由（2）x＜3，所以x＜3．24．（xx•安顺）不等式组的所有整数解的积为0 ．【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解相乘即可求解．【解答】解：，解不等式①得：x，解不等式②得：x≤50，∴不等式组的整数解为﹣1，0，1…50，所以所有整数解的积为0，故答案为：0．25．（xx•扬州）不等式组的解集为﹣3＜x≤．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀求出不等式组的解集即可．【解答】解：解不等式3x+1≥5x，得：x≤，解不等式＞﹣2，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤，故答案为：﹣3＜x≤．26．（xx•包头）不等式组的非负整数解有 4 个．【分析】首先正确解不等式组，根据它的解集写出其非负整数解．【解答】解：解不等式2x+7＞3（x+1），得：x＜4，解不等式x﹣≤，得：x≤8，则不等式组的解集为x＜4，所以该不等式组的非负整数解为0、1、2、3这4个，故答案为：4．27．（xx•温州）不等式组的解是x＞4 ．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．【解答】解：，解①得x＞2，解②得x＞4．故不等式组的解集是x＞4．故答案为：x＞4．28．（xx•山西）xx年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为55 cm．【分析】利用长与高的比为8：11，进而利用携带行李箱的长、宽、高三者之和不超过115cm 得出不等式求出即可．【解答】解：设长为8x，高为11x，由题意，得：19x+20≤115，解得：x≤5，故行李箱的高的最大值为：11x=55，答：行李箱的高的最大值为55厘米．故答案为：5529．（xx•聊城）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]=1，[π]=3，[﹣2.82]=﹣3等．[x]+1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1．①利用这个不等式①，求出满足[x]=2x﹣1的所有解，其所有解为x=0.5或x=1 ．【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]=2x﹣1，∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，解得，0＜x≤1，∵2x﹣1是整数，∴x=0.5或x=1，故答案为：x=0.5或x=1．三．解答题（共13小题）30．（xx•威海）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，大小小大中间找，可得答案【解答】解：解不等式①，得x＞﹣4，解不等式②，得x≤2，把不等式①②的解集在数轴上表示如图，原不等式组的解集为﹣4＜x≤2．31．（xx•常德）求不等式组的正整数解．【分析】根据不等式组解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．【解答】解：，解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤，不等式组的解集是﹣2＜x≤，不等式组的正整数解是1，2，3，4．32．（xx•南京）如图，在数轴上，点A、B分别表示数1、﹣2x+3．（1）求x的取值范围；（2）数轴上表示数﹣x+2的点应落在 B ．A．点A的左边B．线段AB上C．点B的右边【分析】（1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；（2）根据不等式的性质，可得点在A点的右边，根据作差法，可得点在B点的左边．【解答】解：（1）由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得﹣2x+3＞1，解得x＜1；（2）由x＜1，得﹣x＞﹣1．﹣x+2＞﹣1+2，解得﹣x+2＞1．数轴上表示数﹣x+2的点在A点的右边；作差，得﹣2x+3﹣（﹣x+2）=﹣x+1，由x＜1，得﹣x＞﹣1，﹣x+1＞0，﹣2x+3﹣（﹣x+2）＞0，∴﹣2x+3＞﹣x+2，数轴上表示数﹣x+2的点在B点的左边．故选：B．33．（xx•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．【分析】分别解不等式①、②求出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解．【解答】解：解不等式①，得：x≤2；解不等式②，得：x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x≤2．将其表示在数轴上，如图所示．34．（xx•泸州）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？【分析】（1）利用用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本得出等式求出答案；（2）根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．【解答】解：（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，根据题意可得：﹣=24，解得：x=20，经检验得：x=20是原方程的根，则2.5x=50，答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；（2）设购买甲图书本数为x，则购买乙图书的本数为：2x+8，故50x+20（2x+8）≤1060，解得：x≤10，故2x+8≤28，答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．35．（xx•黄石）解不等式组，并求出不等式组的整数解之和．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．【解答】解：解不等式（x+1）≤2，得：x≤3，解不等式≥，得：x≥0，则不等式组的解集为0≤x≤3，所以不等式组的整数解之和为0+1+2+3=6．36．（xx•南通模拟）解不等式组，并写出x的所有整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：x≥﹣，解不等式②，得：x＜3，则不等式组的解集为﹣≤x＜3，∴不等式组的整数解为：﹣1、0、1、2．37．（xx•哈尔滨）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．（1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；（2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？【分析】（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，列出方程组即可解决问题；（2）由题意列出不等式求出即可解决问题．【解答】解：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，可得：，解得：，答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元；（2）设购买A型放大镜m个，根据题意可得：20a+12×（75﹣a）≤1180，解得：x≤35，答：最多可以购买35个A型放大镜．38．（xx•济宁）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：村庄清理养鱼网箱人数/人清理捕鱼网箱人数/人总支出/元A15957000B101668000（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？【分析】（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，根据A、B两村庄总支出列出关于x、y的方程组，解之可得；（2）设m人清理养鱼网箱，则（40﹣m）人清理捕鱼网箱，根据“总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数”列不等式组求解可得．【解答】解：（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，根据题意，得：，解得：，答：清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元；（2）设m人清理养鱼网箱，则（40﹣m）人清理捕鱼网箱，根据题意，得：，解得：18≤m＜20，∵m为整数，∴m=18或m=19，则分配清理人员方案有两种：方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱．39．（xx•苏州）某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费9400元．（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？【分析】（1）设每台A型电脑的价格为x元，每台B型打印机的价格为y元，根据“1台A型电脑的钱数+2台B型打印机的钱数=5900，2台A型电脑的钱数+2台B型打印机的钱数=9400”列出二元一次方程组，解之可得；（2）设学校购买a台B型打印机，则购买A型电脑为（a﹣1）台，根据“（a﹣1）台A型电脑的钱数+a台B型打印机的钱数≤20000”列出不等式，解之可得．【解答】解：（1）设每台A型电脑的价格为x元，每台B型打印机的价格为y元，根据题意，得：，解得：，答：每台A型电脑的价格为3500元，每台B型打印机的价格为1200元；（2）设学校购买a台B型打印机，则购买A型电脑为（a﹣1）台，根据题意，得：3500（a﹣1）+1200a≤20000，解得：a≤5，答：该学校至多能购买5台B型打印机．40．（xx•郴州）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．【解答】解：（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：，解得：．答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，解得：a≤．∵a为整数，∴a≤41．答：A种奖品最多购买41件．41．（xx•）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论；（2）根据购买x台时，该公司采用方案二购买更合算，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：设购买A型号笔记本电脑x台时的费用为w元，（1）当x=8时，方案一：w=90%a×8=7.2a，方案二：w=5a+（8﹣5）a×80%=7.4a，∴当x=8时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7.2a元；（2）∵若该公司采用方案二购买更合算，∴x＞5，方案一：w=90%ax=0.9ax，方案二：当x＞5时，w=5a+（x﹣5）a×80%=5a+0.8ax﹣4a=a+0.8ax，则0.9ax＞a+0.8ax，x＞10，∴x的取值范围是x＞10．42．（xx•湘潭）湘潭市继xx年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【分析】（1）根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；（2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．【解答】解：（1）设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，根据题意得，2x+3×3x=550，∴x=50，经检验，符合题意，∴3x=150元，即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，根据题意得，意，，∴50≤y≤52，∵y为正整数，∴y为50，51，52，共3种方案；即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个，根据题意，费用为50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000，当y=52时，所需资金最少，最少是9800元．【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】。

第九章 不等式与不等式组一、知识结构图二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。

2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。

4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(3215、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。

规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。

（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。

用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。

用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <(或cb c a <)； 不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，的方向 改变 。

用字母表示为： 如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x a 或x ＜a 的形式。

不等式与不等式组一、知识要点概述1、不等式的基本性质(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式不等号的方向不变．(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．2、不等式(组)的解法(1)解一元一次不等式和解一元一次方程相类似，但要特别注意不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变．(2)解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．(3)设a＜b，那么：①不等式组的解集是x＞b(大大取大)；②不等式组的解集是x＜a(小小取小)；③不等式组的解集是a＜x＜b(大小、小大中间找)；④不等式组的解集是空集(大大、小小题无解)．3、不等式(组)的应用会列一元一次不等式(组)解决实际问题，其步骤是：(1)找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式(组)；(2)解不等式(组)；(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案．二、典例剖析例1、(1)已知不等式3x－a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是________．(2)已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________．分析：对于(1)，由题意知不等式的解在x＜4的范围内；对于(2)，从数轴上看，原不等式组中两个不等式的解集无公共部分．解：(1)由题意得，∴9≤a＜12．(2)由(1)得x＞a，由(2)得x≤3，因不等式组无解，∴a≤3．说明：确定不等式(组)中参数的取值或范围常用的方法有：(1)逆用不等式(组)解集确定；(2)分类讨论确定；(3)借助数轴确定．例2、解下列关于x的不等式(组)．(1)|x－2|≤2x－10；(2)(2mx＋3)－n＜3x．分析：对于(1)确定“零界点”x=2(令x－2=0得x=2)分x≥2和x＜2，去掉绝对值后求出不等式的解集；对于(2)，化为ax＜b的形式，再就a的正负性讨论．说明：涉及未知系数或绝对值式子的题目，均可用零点分段讨论法解答．例3、已知3a＋2b－6=ac＋4b－8=0且a≥b＞0求c的取值范围．分析：消去a，b得到关于c的不等式组，解不等式组得c的取值范围．分析：已知不等式组的解集，求某些字母的值(或范围)是不等式组解集确定方法的逆向应用，处理这类问题时，可先求出原不等式组含有字母的解集，然后对照已知“对号入座”，应取有针对性的方法．例6、东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠方法：甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x(x≥10)本．(1)写出每种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x(本)之间的关系式；(2)比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和书法练习本60本设计一种更省钱的购买方案．分析：(2)中比较哪种优惠办法更省钱与购买练习本的数量有关，因此应分类讨论；(3)中因为可同时用两种优惠办法购买，所以需要重新建立关于毛笔枝数的关系式求解．解：(1)依题意，可得y甲=25×10＋5(x－10)=5x＋200(x≥10)；y乙=(25×10＋5x)×90%=4.5x＋225(x≥10)(2)由(1)有y甲－y乙=0.5x－25当y甲－y乙=0时，解得x=50；当y甲－y乙＞0时，解得x＞50；当y甲－y乙＜0时，解得x＜50．所以，当购买50本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款一样，即可任选一种办法付款，当购买本数在10～50之间时，选择优惠办法甲付款更省钱；当购买本数大于50本时，选择优惠办法乙更省钱．(3)①因为60＞50，由(2)知不考虑单独选用优惠办法甲购买．若只用优惠办法乙购买10支毛笔和60本书法练习本需付款(25×10＋5×60)×90%=495(元)②若用优惠办法乙购买m支毛笔，则须用优惠办法甲购买(10－m)支毛笔，用优惠办法乙购买60－(10－m)=m＋50本书法练习本，设付款总金额为P，则：P=25(10－m)＋[25m＋5(m＋50)]×90%=2m＋475(0≤m≤10)所以，当m=0即用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本时，P取得最小值为：2×0＋475=475(元)故选用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱．例7、我市某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，计划利用这两种原料生产A、B 两种产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5kg，乙种原料1.5kg，生产成本是120元；生产一件B产品，需要甲种原料2.5kg，乙种原料3.5kg，生产成本是200元．(1)该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案？请你设计出来．(2)设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中一种生产的件数为x，试写出y与x之间的关系式，并利用关系式说明(1)中哪种生产方案总成本最低？最低生产总成本是多少？分析：若设安排生产A种产品x件，根据题意可建立关于x的不等式组，解出不等式组得x 的取值范围．由x为整数在取值范围内确定x的取值，从而得出生产方案，然后由成本的已知条件求出x与y之间的关系式，根据此关系式求出最低生产总成本．解：(1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品(80－x)件，依题意，可得：解得：34≤x≤36因为x为整数，所以x只能取34或35或36．所以该工厂现有的原料能保证生产，有三种生产方案：第一种：生产A种产品34件，B种产品46件；第二种：生产A种产品35件，B种产品45件；第三种：生产A种产品36件，B种产品44件．(2)设生产A种产品x件，则生产B种产品(80－x)件，依题意，可得：y=120x＋200(80－x)即y=－80x＋16000(x取34或35或36)由式子可知，当x取最大值36时，y取最小值为－80×36＋16000=13120元，即第三种方案；生产A种产品36件，B种产品44件，总成本最低，最低生产成本是13120元．说明：利用列不等式组然后求出不等式组的集，在其解集内求出符合条件(一般是整数)的值，是解方案设计型应用题的常用方法．方程与方程组一、知识要点概述1、等式和方程的有关概念、等式的基本性质．2、一元一次方程的解法及最简方程ax=b解的三种情况．(1)解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为1．(2)最简方程ax=b的解有以下三种情况：①当a≠0时，方程有唯一解；②当a=0，b≠0时，方程无解．③当a=0，b=0时，方程有无穷多解．3、一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c=0(a≠0)其解法主要有：直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法．4、一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的求根公式是：注意：求根公式成立的条件为：①a≠0；②b2－4ac≥0．5、一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式是△=b2－4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．当△=0时，方程有两个相等的实数根，即；当△＜0时，方程没有实根，反之成立．6、若一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x1，x2，则7、以两数α、β为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(α＋β)x＋αβ=0．8、解一次方程组的基本思想是消元，常用的消元方法是加减消元法和代入消元法．9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”．①若方程组中有一个是一次方程，则一般用代入消元法求解；②若方程组中有能分解成两个一次方程的方程，则一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解．10、简单的分式方程组的解法，一般是用去分母或换元法将其转化为整式方程组求解，并要验解．11、方程组的解的存在性问题，一般转化为方程的解的存在性问题来研究．二、典例剖析点评：灵活解一元一次方程时常用到以下方法技巧．(1)若括号内有分数时，则由外向内先去括号，再去分母；(2)若有多重括号，则去括号与合并同类项交替进行；(3)恰当用整体思想．例2、解下列关于x的方程．(1)4x＋b=ax－8(a≠4)(2)mx－1=nx(3)分析：把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论．例4、已知m是整数，方程组有整数解，求m的值．分析：先求出y，运用整除的性质求出m的值，需注意所求的整数m要使得x也为整数．解：由原方程组解得，若y有整数解，则2m＋9=±1或±2或±17或±34，经检验当2m＋9=±1或±17时，m为整数且x也为整数，得m=4或－4或－5或－13．例5、已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根．(1)求m的取值范围；例7、解下列方程(2)3x2＋x－7=0分析：对于(1)首先应回避复杂的小数运算，注意此时只运用分数的基本性质而未用到等式有关性质．对于(2)此方程用分解因式法难以行通，故考虑用求根公式．解：(1)原方程化简得方程两边都乘以12(即去分母)得3(35x－5)=4(5－x)－6(25x＋5)去括号得：105x－15=20－4x－150x－30移项及合并同类项得：259x=5例8、如果关于x的一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实根，试说明关于x的方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．分析：由一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，可以得出k≠0，b2－4ac＜0，从而求出k的取值范围，再由k的取值范围来说明(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．解：∵关于kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，解得k＞4当k=5时，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0为一元一次方程，－14x＋5=0，此时方程的根为．当k≠5时，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0为一元二次方程∴△=[－2(k＋2)]2－4(k－5)·k=4(9k＋4)∵k＞4且k≠5，∴△=4(9k＋4)＞0∴此时方程必有两不等实数根，综上可知方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．点评：(1)方程“有实数根”与“有两个实数根”有着质的区别．方程“有实数根”表示方程可能为一元一次方程，此时方程有一实数根，方程也可能为一元二次方程，此时方程有两个实数根，而方程“有两个实数根”，则表示此时方程一定为一元二次方程．点评：构造一元二次方程是解题的常用技巧，构造的主要方法有：(1)当已知等式具有相同的结构，就可以把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程；(2)对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．分式方程一、知识要点概述1、分式方程：分母中含有未知数的有理方程叫分式方程．2、解分式方程的基本思想方法是：3、解分式方程必须验根．二、典型例题剖析例1、解方程．分析：根据解分式方程的一般步骤来解此题．解：方程两边同乘以(x＋3)(x－2)得：10＋2(x－2)=(x＋3)(x－2)化简，整理得：x2－x－12=0解之得x1=－3或x2=4经检验可知：x1=－3是原方程的增根，x2=4是原方程的根．∴原方程的根是x=4．分析：用换元法解这些分式方程．解：(1)设x2－x=y，则原方程变为解这个方程得y1=－2，y2=6，当y1=－2时，x2－x=－2，此方程无解；当y2=6时，x2－x=6，∴x1=－2，x2=3．经检验可知：x1=－2，x2=3都是原方程的根．∴原方程的解为x1=－2，x2=3．例3、当m为何值时，关于x的方程无实根？分析：先将分式方程化为整式方程，如果整式方程有实根，那么这些根均是原方程的增根，这样x=0或x=1是所得整式方程的根，如果整式方程无实根，那么原方程也无实根．解：原方程去分母，整理得：x2－x＋2－m=0①(1)若方程①有实根，根据题意知，方程①的根为x=0或x=1．把x=0或x=1代入方程①得m=2．而x=0或x=1是原方程的增根．∴当m=2时原方程无实根．(2)若方程(1)无实根，则△=(－1)2－4(2－m)＜0解之得∴当时，原方程无实根．综合之，当m=2或时，原方程无实根．例4、若方程有增根，试求m的值．分析：分式方程将会产生增根，即最简公分母x2－4=0，故方程产生增根有两种可能：x1=2，x2=－2．由增根的定义知：x1=2，x2=－2是原分式方程去分母化成整式方程的根，由根的定义即可求出m的值．解：将原方程去分母得：2(x＋2)＋mx=3(x－2)整理得：(m－1)x=－10 (1)∵原方程有增根，∴x2－4=0∴x1=2，x2=－2．将x1=2代入(1)得2(m－1)=－10∴m=－4将x2=－2代入(1)得－2(m－1)=－10∴m=6所以m的值为－4或6．点评：(1)增根的求法：令最简公分母为0；(2)求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．例5、已知a2－a－1=0且求x的值．分析：为求x的值，须将x与a2分离，联想到分式的基本性质，从而原等式含，这样应从条件出发构造倒数关系．解：。

中考数学试题汇编- 不等式与不等式组-
4、（2009年遂宁）把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那么这个不等式组的解集是.
5．(2009年云南省)不等式组的解集是.
6.（2009年包头）不等式组的解集是．
7.（2009年莆田）甲、乙两位同学参加跳高训练，在相同条件下各跳10次，统计各自成绩的方差得，则成绩较稳定的同学是___________．（填甲或乙）
8．(2009年南充)不等式的解集是．
9.(2009年南充)不等式的解集是．
1-．（2009年甘肃白银）不等式组的解集是．
11.（2009年宁波市）不等式组的解是．
12.(2009年义乌)不等式组的解是
13、（2009江西）不等式组的解集是．
14（2009年湘西自治州）3.如果x－y＜0，那么x与y的大小关系是x y ．（填＜或＞符号）
15.（2009年烟台市）如果不等式组的解集是，那么的值为．
16.（2009年宁波市）不等式组的解是．
17.（2009年新疆乌鲁木齐市）某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量（张）满足的不等式为．
18．（2009年孝感）关于x的不等式组的解集是，则m = ▲ ．
19．（2009年厦门市）已知．（1）若，则的取值范围是____________．（2）若，且，则____________．。

【中考数学知识点总结】中考数学《不等式》知识点：不等式与
不等式组
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中考数学《不等式》知识点：不等式与不等式组
不等式及其解集
用<或>号表示大小关系的式子叫做不等式。

使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式解的集合，简称解集。

含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

不等式的性质
不等式有以下性质：
不等式的性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。

不等式的性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

实际问题与一元一次不等式
解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为xa)的形式。

一元一次不等式组
把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。

几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集。

解不等式就是求它的解集。

对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。

解一元一次不等式组时。

一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。

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. 2009中考数学分类汇编——不等式与不等式组 （2009，）不等式325x +≥的解集是.（2009，某某）某工厂计划招聘A 、B 两个工种的工人共120人，A 、B 两个工种的工人月工资分别为800元和1000元．(1)若某工厂每月支付的工人工资为ll000O 元，那么A 、B 两个工种的工人各招聘多少人?设招聘A 工种的工人x 人。

根据题设完成下列表格，并列方程求解． (2)若要求B 工种的人数不少于A 工种人数的2倍，那么招聘A 工种的工人多少人时，可使工厂每月支付的工人工资最少?解：(Ⅱ)填表按行如下： 第一行：800 800x第二行：l000 l20-x l000(120一x)………………………………………2分 依题意得：800x+l000(120-x)=110000……………………………………4分 解得：x=50120-x=70………………………………………………………………………5分 (2)由120一x≥2x 解得x≤40． 设工厂每月支付的工人工资为y 元，则：y=800x+1000(120一x)=一200x+120000…………………………………8分 ∴当x=40时，y 有最小值为11000…………………………………………9分 答：(l)A 、B 两工种工人分别招聘50人和70人．工人每月工资(元)招聘人数工厂应付工人的月工资(元)(2)当招聘A 工种40人时，工厂每月支付的工人工资最少．（2009，某某）为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？（1）解法一：设甲种消毒液购买x 瓶，则乙种消毒液购买(100)x -瓶． ··················· 1分 依题意，得69(100)780x x +-=．解得：40x =． ····························································································· 3分∴1001004060x -=-=（瓶）． ····································································· 4分答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶． ············································· 5分 解法二：设甲种消毒液购买x 瓶，乙种消毒液购买y 瓶． ······································· 1分 依题意，得10069780x y x y +=⎧⎨+=⎩，．············································································· 3分解得：4060x y =⎧⎨=⎩，． ····························································································· 4分答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶． ············································· 5分 （2）设再次购买甲种消毒液y 瓶，刚购买乙种消毒液2y 瓶． ································· 6分 依题意，得6921200y y +⨯≤． ······································································ 8分 解得：50y ≤． ···························································································· 9分 答：甲种消毒液最多再购买50瓶(2009,某某)不等式组1024x x ->⎧⎨<⎩的解集是（）CA ．x ＞1B ．x ＜2C ．1＜x ＜2D ．无解(2009,某某)不等式组1024x x ->⎧⎨<⎩的解是（ ） CA ．x ＞1B ．x ＜2C ．1＜x ＜2D ．无解（2009，某某）某工地实施爆破，操作人员点燃导火线后，必须在炸药爆炸前跑到m 400外安全区域，若导火线燃烧的速度为cm 1.1/秒，人跑步的速度为m 5/秒，则导火线的长x 应满足的不等式是：．54001.1>x （2009，某某）解不等式：32x x >+，并在数轴上表示解集解：３x －x ＞22x ＞2 x ＞1．（2009，某某）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. ⎪⎩⎪⎨⎧->+--1321)2(3x x x x解：由①，得x ≥1…………………………………3分 由②，得x < 4 …………………………………6分 ∴原不等式组的解集是：1 ≤x < 4 ……………8分…… 10分（2009，某某）不等式组103x x +>⎧⎨>-⎩，的解集是．1->x（2009，某某）某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（ ）C………① ………②≤4 ， .A ．80元B ．100元C ．120元D ．160元（2009，某某）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式290x ->. 解：∵29(3)(3)x x x -=+-，∴(3)(3)0x x +->.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）3030x x +>⎧⎨->⎩（2）3030x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组（1），得3x >， 解不等式组（2），得3x <-，故(3)(3)0x x +->的解集为3x >或3x <-， 即一元二次不等式290x ->的解集为3x >或3x <-.问题：求分式不等式51023x x +<-的解集. 解：由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，有（1）510230x x +>⎧⎨-<⎩（2）510230x x +<⎧⎨->⎩解不等式组（1），得135x -<<，解不等式组（2），得无解，故分式不等式51023x x +<-的解集为135x -<<.（2009，某某）迎接大运，美化某某，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50)x -个，依题意，得：8050(50)34904090(50)2950x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤解得：3331x x ⎧⎨⎩≤≥，∴3133x ≤≤∵x 是整数，x 可取31、32、33，∴可设计三种搭配方案：①A 种园艺造型31个，B 种园艺造型19个；②A 种园艺造型32个，B 种园艺造型18个；③A 种园艺造型33个，B 种园艺造型17个．（2）方法一：由于B 种造型的造价成本高于A 种造型成本．所以B 种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：33×800+17×960=42720（元）方法二：方案①需成本：31×800+19×960=43040（元）；方案②需成本：32×800+18×960=42880（元）； 方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）；∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．（2009，某某）求不等式组1184 1.x x x x --⎧⎨+>-⎩≥，的整数解．解：由11x x --≥得1x ≥， 由841x x +>-，得3x <． 所以不等式组的解为：13x <≤， 所以不等式组的整数解为：1，2（2009，某某）不等式20x -≤的解集在数轴上表示正确的是（ ）B0 1 2 30 12 3A ．B ．C ．D ．（2009，某某）某饮料厂为了开发新产品，用A 种果汁原料和B 种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x 千克，两种饮料的成本总额为y 元． （1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y 与x 之间的函数关系式．（2）若用19千克A 种果汁原料和B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x 且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y 值最小，最小值是多少？．解：（1）依题意得：43(50)150y x x x =+-=+（2）依题意得：0.50.2(50)19(1)0.30.4(50)17.2(2)x x x x +-⎧⎨+-⎩≤…………≤………解不等式（1）得：30x ≤ 解不等式（2）得：28x ≥∴不等式组的解集为2830x ≤≤150y x =+，y 是随x 的增大而增大，且2830x ≤≤ ∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y 最小，28150178y =+=最小（元）（2009，某某）不等式组1024x x ->⎧⎨<⎩的解集是（）CA ．x ＞1B ．x ＜2C ．1＜x ＜2D ．无解（2009，某某）3若b a <，则下列各式中一定成立的是（ ）A A ．11-<-b a B ．33b a > C ．b a -<- D ．bc ac <（2009，某某）解不等式组⎩⎨⎧>+<+② 392①31x x ，并把它的解集表示在数轴上．解： 由①得：13-<x即2<x 由②得：62->x即3->x∴原不等式的解集为23<<-x 在数轴上表示为： （2009，某某）不等式组2201x x +>⎧⎨--⎩≥的解集在数轴上表示为（ ）DA ．B ．C ．D ．（2009，某某）某工厂要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元．（1）设招聘甲种工种工人x 人，工厂付给甲、乙两种工种的工人工资共y 元，写出y （元）与x （人）的函数关系式；（2）现要求招聘的乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种 各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？ 解：（1）)150(1000600x x y -+=x32 10 -1 -3 -2 1 2 3－1 0 －2 1 23 －1 0 －2 1 2 3－1 0 －2 1 2 3－1 0 －2150000400+-=x y（2）依题意得，1502x x -≥50x ≤因为－400＜0，由一次函数的性质知，当x =50时，y 有最小值所以150－50=100答: 甲工种招聘50人，乙工种招聘100人时可使得每月所付的工资最少．（8分） （2009，某某）小刚准备用自己节省的零花钱购买一台MP4来学习英语，他已存有50元，并计划从本月起每月节省30元，直到他至少．．有280元．设x 个月后小刚至少有280元，则可列计算月数的不等式为（ ） A ．3050280x +> B ．3050280x -≥ C ．3050280x -≤D ．3050280x +≥（2009，某某）解不等式组2145x x x -⎧⎪⎨+<⎪⎩≤0，①，②并把它的解集在数轴上表示出来．（2009，某某）15．一个不等式的解集为12x -<≤，那么在数轴上表示正确的是（ ）（2009，贺州）已知一件文化衫价格为18元，一个书包的价格是一件文化衫的2倍还少6元．（1）求一个书包的价格是多少元？（2）某公司出资1800元，拿出不少于350元但不超过400元的经费奖励山区小学的优秀学生，剩余经费还能为多少名山区小学的学生每人购买一个书包和一件文化衫？ 解：（1）182630⨯-=（元） 1分 所以一个书包的价格是30元． 2分（注：用其它方法解出正确答案也给予相应的分值）（2）设还能为x 名学生每人购买一个书包和一件文化衫，根据题意得：3分10 1 2 3 54 ABCD……{(1830)1800400(1830)1800350x x +-+-≥≤解之得：129653024x x ⎧⎨⎩≥≤所以不等式组的解集为：152930624x ≤≤∵x 为正整数， ∴x =30答：剩余经费还能为30名学生每人购买一个书包和一件文化衫．（2009，某某）不等式组11223x x ⎧⎪⎨⎪-<⎩≤的解集在数轴上表示为（ ）C（2009，某某）解不等式：13x －1＜0，并把它的解集在数轴上表示出来；去分母，移项，得x ＜3．这个不等式的解集在数轴上表示如下：（2009，白色）在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三（1）班同学去栽种，如果每人分2棵，还剩42棵，如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）。