四川省成都市金堂县又新镇永乐场八年级数学下册4.1因式分解学案北师大版 精品

4．1因式分解1．理解并掌握因式分解的概念；2．理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够运用其解决问题．(难点)一、情境导入某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma＋mb)元．”小华说：“总共需要m(a＋b)元．”同学们，你们觉得他们计算出的总金额一样吗？二、合作探究探究点一：因式分解的概念下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选B.方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．探究点二：因式分解与整式乘法的关系及简单应用已知三次四项式2x3－5x2－6x＋k分解因式后有一个因式是x－3，试求k的值及另一个因式．解析：此题可设此三次四项式的另一个因式为(2x2－mx－k3)，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k的值．解：设另一个因式为2x2－mx－k3，∴(x－3)(2x2－mx－k3)＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－mx2－k3x－6x2＋3mx＋k＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－(m＋6)x2－(k3－3m)x＋k＝2x3－5x2－6x＋k，∴m＋6＝5，k3－3m＝6，解得m＝－1，k＝9，∴k＝9，∴另一个因式为2x2＋x－3.方法总结：因为整式的乘法和分解因式互为逆运算，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式．三、板书设计1．因式分解的概念把一个多项式转化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．2．因式分解与整式乘法的关系因式分解是整式乘法的逆运算．本课是通过对比整式乘法的学习，引导学生探究因式分解和整式乘法的联系，通过对比学习加深对新知识的理解．教学时采用新课探究的形式，鼓励学生参与到课堂教学中，以兴趣带动学习，提高课堂学习效率.。

《因式分解》教学设计因式分解是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第四章第一节内容，本章主要是研究代数式的因式分解的方法和应用；本节要求使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.。

所以本节的重点是理解因式分解的意义.识别分解因式与整式乘法的关系。

【知识与能力目标】使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.【过程与方法目标】通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力. 【情感态度价值观目标】通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.【教学重点】1.理解因式分解的意义.2.识别分解因式与整式乘法的关系.【教学难点】通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.教师准备课件、多媒体；学生准备；练习本；Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？［生］会.（a+b）（a－b）=a2－b2.［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a－b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.［师］很好，a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.Ⅱ.讲授新课1.讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.［生］993－99能被100整除.因为993－99=99×992－99=99×（992－1）=99×9800=99×98×100其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除.［师］993－99还能被哪些正整数整除？［生］还能被99，98,980,990,9702等整除.［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.2.议一议你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式.［生］a3－a=a（a2－1）=a（a－1）（a+1）3.做一做（1）计算下列各式：①（m+4）（m－4）=__________;②（y－3）2=__________;③3x（x－1）=__________;④m（a+b+c）=__________;⑤a（a+1）（a－1）=__________.［生］解：①（m+4）（m－4）=m2－16;②（y－3）2=y2－6y+9;③3x（x－1）=3x2－3x;④m（a+b+c）=ma+mb+mc;⑤a（a+1）（a－1）=a（a2－1）=a3－a.（2）根据上面的算式填空：①3x2－3x=（）（）;②m2－16=（）（）;③ma+mb+mc=（）（）;④y2－6y+9=（）2.⑤a3－a=（）（）.［生］把等号左右两边的式子调换一下即可.即：①3x2－3x=3x（x－1）;②m2－16=（m+4）（m－4）;③ma+mb+mc=m（a+b+c）;④y2－6y+9=（y－3）2;⑤a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）.［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？［生］在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.［师］在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）.4.想一想由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？［生］由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是整式乘法，由a3－a得到a（a+1）（a －1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.［生］由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.［师］非常棒.下面我们一起来总结一下.如：m（a+b+c）=ma+mb+mc （1）ma+mb+mc=m（a+b+c）（2）联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.即ma+mb+mc m（a+b+c）.所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.5.例题投影片（§4.1 A）下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;（3）a2－4=（a+2）（a－2）;（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.而不是因式分解；（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；（3）和（2）相同，是因式分解；（4）是因式分解.［师］大家认可吗？［生］第（4）题不对，因为虽然x2－3x=x（x－3），但是等号右边x（x－3）+2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以（4）的变形不是因式分解.Ⅲ.课堂练习连一连解：Ⅳ.课时小结本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.Ⅴ.课后作业习题4.11.连一连解：2.解：（2）、（3）是分解因式.3.因19992+1999=1999（1999+1）=1999×2000，所以19992+1999能被1999整除，也能被2000整除.（2）因为16.9×81+15.1×81=81×（16.9+15.1） =81×32=4 所以16.9×81 +15.1×81能被4整除.4.解：当R 1=19.2,R 2=32.4,R 3=35.4,I=2.5时， IR 1+IR 2+IR 3 =I （R 1+R 2+R 3） =2.5×（19.2+32.4+35.4） =2.5×87 =217.5 Ⅵ.活动与探究 已知a=2,b=3,c=5.求代数式a （a+b －c ）+b （a+b －c ）+c （c －a －b ）的值. 解：当a=2,b=3,c=5时，a （a+b －c ）+b （a+b －c ）+c （c －a －b ） =a （a+b －c ）+b （a+b －c ）－c （a+b －c ） =（a+b －c ）（a+b －c ） =（2+3－5）2=0 ●板书设计§4.1 分解因式一、1.讨论993－99能被100整除吗？ 2.议一议 3.做一做4.想一想（讨论整式乘法与分解因式的联系与区别）5.例题讲解二、课堂练习三、课时小结四、课后作业◆教学反思略。

《因式分解》教学目标知识目标：1、理解因式分解的概念．2、掌握从整式乘法得出因式分解的方法．能力目标：1、培养分工协作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力．2、培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法．情感目标：1、培养学生积极参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯．2、体会事物之间互相转化的辨证思想，从而初步接受对立统一观点．教学重难点教学重点：因式分解的概念．教学难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题．教学过程一、设置问题，以趣激情手工课上，老师给小王同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助小王同学解决这个问题吗？你能给出数学解释吗？（留一定的时间让学生思考、讨论，在学生感到新奇又不知所措的过程中积蓄了强烈的求知欲望．设置悬念，无疑对整节的学习也创设了良好的情绪状态．）二、以旧探新，引出课题因式分解的概念类同于因数分解的概念，借助于学生已有的整式乘法的基础，给学生提供一些问题背景，同时给学生留有充分探索的空间．这个环节围绕几个问题展开，在积极的状态下，用类比的方法，找到新知生长点，把数的有关知识正迁移到式，由学生自己给出因式分解的名称，引出课题，显得顺理成章．再看下面两个式子x （x +1）=2x +x （1）2x +x= x （x +1） （2）同时设疑，既然我们学习了整式乘法，几个整式乘积可以写成一个多项式（1）的形式，那么反过来，一个多项式化为几个整式乘积的形式又叫什么呢？即上面的（2）式．我们给它起个名字，叫做因式分解，也就是我们今天所要学习的内容（板书课题：因式分解）． 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形就叫做因式分解．三、初步应用，巩固新知趁此时学生处在一个积极思维的状态，教师给出两个练习．1、列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？（1）2m （m －n ）=2m 2－2mn （2）4x 2－4x+1=（2x －1）2（3）x 2－3x+1=x （x －3）+12、填空：（1）∵3a（a+4）=3a 2+12a∴3a 2+12a=（ ）（ ）；（2）∵（a+3）2=a 2+6a+9∴a 2+6a+9=（ ）（ ）；（3）∵（2－a ）（2+a ）=4－a 2∴4－a 2=（ ）（ ）；通过此练习，引导学生归纳自己对因式分解的理解，师生归纳要注意的问题：（1）因式分解是对多项式而言的一种变形；（2）因式分解的结果仍是整式；（3）因式分解的结果是几个整式的积的形式；（4）因式分解与整式乘法正好相反． 因式分解与整式乘法的关系如下：2(1)x x x x −−−−→++←−−−−因式分解整式乘法即：因式分解和整式乘法是互为相反方向的式子变形．四、范例教学，练习反馈：因式分解的方法：提公因式法．考虑到公因式是一个新的概念，所以我首先给出公因式的概念：多项式各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式，比如说ma +mb +mc 的公因式是m ．这样设置便于学生接受．例：观察，写出下列多项式各项的公因式（1）5x -5y ；（2）ab +ac ；（3）22x +63x ．经过刚才上面的例题，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤：（“三定法”）． 练习：把下列各式分解因式．（1）32a －9ac（2）2a（b-c）-3（b-c）（3）253x+102x－5x。

北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教案一. 教材分析北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》这一节主要介绍了因式分解的概念和基本方法。

通过本节课的学习，学生能够理解因式分解的意义，掌握提公因式法、公式法等基本的因式分解方法，并能够运用这些方法解决一些实际问题。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了整式的乘法，对一些基本的代数运算有一定的了解。

但是，因式分解作为一种独立的数学思想，对学生来说可能还有一些抽象和难以理解。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，逐步理解和掌握因式分解的方法。

三. 教学目标1.了解因式分解的概念和意义。

2.掌握提公因式法、公式法等基本的因式分解方法。

3.能够运用因式分解解决一些实际问题。

四. 教学重难点1.因式分解的概念和意义。

2.提公因式法和公式法的运用。

五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生从实际问题出发，探索和理解因式分解的概念和方法。

同时，结合案例分析和练习，让学生在实践中掌握因式分解的方法。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出因式分解的概念，比如：已知二次函数f(x)=x^2+4x+4，求其解析式。

让学生思考如何将这个二次函数表示成两个一次函数的乘积形式。

2.呈现（10分钟）讲解因式分解的概念，介绍提公因式法和公式法。

通过PPT课件，展示因式分解的步骤和例子，让学生理解和掌握因式分解的方法。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个题目进行因式分解。

教师巡回指导，解答学生的问题，并给予反馈。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的练习题，教师选取一些题目进行讲解和分析。

5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将因式分解应用到解决实际问题中，比如：求解一元二次方程、求函数的极值等。

6.小结（5分钟）让学生总结因式分解的概念和方法，以及自己在学习过程中的收获和不足。

7.家庭作业（5分钟）布置一些因式分解的练习题，让学生巩固所学知识。

2024北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计一. 教材分析《因式分解》是北师大版数学八年级下册第4章第1节的内容。

本节课的主要内容是利用提公因式法和公式法分解因式。

因式分解是中学数学中的重要内容，是解决许多数学问题的基础。

通过本节课的学习，使学生掌握因式分解的方法，提高解题能力。

二. 学情分析学生在七年级已经接触过简单的因式分解，对因式分解有初步的认识。

但八年级的因式分解内容更加系统和复杂，需要学生有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。

根据学生的实际情况，我将采用循序渐进的教学方法，引导学生逐步掌握因式分解的方法。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法和公式法分解因式的方法。

2.过程与方法：通过独立探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。

四. 教学重难点1.重点：提公因式法和公式法分解因式。

2.难点：如何引导学生发现和运用提公因式法和公式法的规律。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过设置问题，引导学生独立思考和合作交流，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关案例和练习题。

2.准备课件和教学素材。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入因式分解的概念，激发学生的兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现因式分解的方法，包括提公因式法和公式法。

通过讲解和示例，让学生初步理解这两种方法。

3.操练（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的练习题，巩固所学的知识。

4.巩固（5分钟）对学生的练习情况进行反馈，解答学生的问题，帮助学生巩固因式分解的方法。

5.拓展（5分钟）通过一些综合性的练习题，引导学生运用因式分解的方法解决问题，提高学生的解题能力。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调因式分解的方法和注意事项。

7.家庭作业（5分钟）布置一些因式分解的练习题，让学生回家后巩固所学知识。

酒店食物中毒案例近日，某酒店因食物中毒事件引发了社会广泛关注。

据了解，该酒店在一次宴会上，多名宾客因食用餐品后出现呕吐、腹泻等症状，经医院诊断确认为食物中毒。

这一事件引发了公众对酒店食品安全的担忧和质疑，也提醒了我们在日常生活中对食品安全的重视。

首先，食品安全是酒店管理的重要环节。

作为服务行业的一部分，酒店的食品安全直接关系到宾客的健康和生命安全。

酒店在供应食品时，必须严格按照国家相关法律法规和卫生标准进行操作，保证食品的卫生安全。

而在这起食物中毒事件中，酒店是否严格按照食品安全要求进行操作，是否存在食品卫生隐患，都需要相关部门进行彻底调查。

其次，酒店食品中毒事件的发生，也提醒了我们消费者在选择餐饮场所时要格外谨慎。

在日常生活中，我们经常会选择酒店进行聚餐或宴会，而酒店的食品安全水平直接关系到我们的健康。

因此，选择餐饮场所时，我们应该选择信誉良好、管理规范、食品安全有保障的酒店，避免因食品安全问题导致食物中毒事件的发生。

另外，酒店在食品安全管理方面也需要加强自身的监管和管理。

除了严格遵守食品安全法律法规外，酒店还应建立完善的食品安全管理制度，加强员工的食品安全培训，确保每一道菜品的质量和安全。

同时，酒店还应加强对食品供应商的管理，选择有资质、有信誉的供应商，确保食品的原料安全和质量。

综上所述，酒店食品中毒事件的发生提醒我们，食品安全是每个酒店都必须高度重视的问题。

酒店作为服务行业的一部分，其食品安全直接关系到宾客的健康和生命安全，因此酒店在食品安全管理方面必须严格要求自己，确保食品的卫生安全。

同时，消费者在选择餐饮场所时也要格外谨慎，选择信誉良好、管理规范的酒店，避免因食品安全问题导致食物中毒事件的发生。

希望相关部门能够对此次事件进行彻底调查，从根本上解决食品安全问题，确保公众的饮食安全。

北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。

因式分解是代数运算的基础，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

本节课的内容包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，通过这些方法的学习，使学生能够灵活运用因式分解解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备了一定的代数基础。

但因式分解较为抽象，对于部分学生来说，理解起来存在一定的困难。

因此，在教学过程中，要关注学生的学习差异，针对不同层次的学生进行教学，提高他们的学习兴趣和自信心。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的方法，能够灵活运用各种方法进行因式分解。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法。

2.难点：灵活运用各种方法进行因式分解，解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动思考，培养学生的创新能力。

3.小组合作学习：培养学生团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关教案、PPT、教学素材等。

2.准备黑板、粉笔、投影仪等教学用品。

3.提前让学生预习本节课的内容，了解因式分解的基本概念。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例或趣味数学问题，引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 呈现（10分钟）通过PPT展示因式分解的方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法等。

引导学生了解各种方法的特点和应用。

3. 操练（10分钟）对学生进行分组，每组选定一个因式分解问题，运用所学的methods进行解决。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.1 因式分解【学习目标】了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.【学习重点】因式分解的概念【学习难点】因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法【自主学习】1. 阅读理解课本P43页“993—99能被100整除吗？为什么？2.993—99还能被哪些正整数整除？3. 从上面的推导过程看，解题关键是把一个数式是变成了家长签字：【自主学习成果展示】【合作探究】探究一：1.类比993—99尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式。

与同伴交流。

2.3..总结因式分解的概念：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式【合作探究成果展示】探究二：做一做1.计算下列式子：（1）3x(x -1)= ；（2）m(a+b-1)= ；（3）（m+4）(m -4)= ；（4）（y -3）2= ；2.根据上面的算式填空：（1）3x 2-3x = ；（2）ma+mb-m= ;（3）m 2-16= ；（4）y 2-6y +9=3.小组讨论：（1）由(1)(1)a a a +-=3a a -的变形是 运算。

（2）由3a a -=(1)(1)a a a +-的变形是 运算。

4.想一想：分解因式与整式乘法有什么关系？【合作探究成果展示】【课内训练巩固】课本93页 随堂练习【课内外拓展延伸】1. 若因式分解后得到2x +mx- 15=( x +3)( x +n),则m 的值是2.已知2x - 2x+k=(x- 1)2,求k 的值。

3.简便计算：（1）19.99×52+19.99×74-19.99×26(2)9×10100-10101.【作业】课本第94页习题2.1第3,4,题。