安徽省合肥市第五十六中学七年级数学下册《7.1不等式及其基本性质(2)》讲学稿(无答案) 沪教版

七年级下册不等式的知识点随着时间的推移，我们可以看到数学在我们未来的生活中具有越来越重要的地位，因为它被广泛用于科学，工程，经济，商业和金融学中。

所以在中学数学的学习过程中，不等式是一个必不可少的部分，尤其是在七年级下册的学习中。

本文将回顾不等式的定义，性质以及解决不等式问题的一般方法。

一、不等式基础知识不等式与等式一样，也是表示数学关系的符号。

但是，不等式不仅可以表示相等关系，还可以表示大小关系。

例如，当我们说2大于1时，我们可以写成2>1。

在这里，“>”表示“大于”的关系。

类似地，符号“<”表示“小于”的关系，符号“≥”表示“大于等于”的关系，符号“≤”表示“小于等于”的关系。

二、不等式的性质1. 如果两个不等式两端都加上（或减去）同一个数，得到的新的不等式关系不变。

2. 如果两个不等式两端都乘以（或除以）同一个正数，得到的新的不等式关系不变。

3. 如果是两个不等式两端都乘以（或除以）同一个负数，得到的新的不等式关系会改变，即原来大于的变成小于，原来小于的变成大于。

三、不等式的解法1. 加减法原则：将变量移到一支，同时相应地改变符号。

2. 乘除法原则：与一个正数、负数、分数取倒数同时改变符号。

3. 否定原则：将整个不等式两边取反。

举个例子，如果我们需要解决以下不等式：2x + 3 > 7我们可以采用以下步骤得出答案：1. 将3移动到一侧，得到2x > 42. 将2移到一侧，得到x > 2四、不等式的应用不等式是解决许多实际问题的数学工具。

在代数、几何、经济和金融学中，我们可以通过使用不等式来解决许多问题。

以下是一些应用示例：1. 等量关系。

如果我们需要判断哪个方案比其他方案更好，我们可以通过不等式解决。

例如，如果我们需要购买某种物品，我们可以通过比较我们的津贴（C）与物品价格的某个特定值（P）来确定哪一种方案更好，即C > P。

2. 边界和范围。

如果我们需要确定一个变量的范围，我们可以使用不等式。

全球雅思教育学科教师讲义年级：学员姓名：上课次数：指导科目：学科教师：课题课型□ 预习课□ 同步课复习课□ 习题课讲课日期实时段教学内容【基础知识网络总结与新课解说】知识点一、不等式的相关看法：1.不等式的看法：用不等号把两个代数式连结起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。

注意：常有的不等号有五种：“≠”、“>” 、“<” 、“≥”、“≤”．例 1. 请指出以下各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞ 5③ -3 ＜0④a+b≤c+b⑤ a≠ 0⑥ 2x-7=5x+4例 2. 列出表示以下各数目关系的不等式：（ 1）a 是正数；（ 2）y 与 2 的差是非负数；（ 3） a 与 6的和大于 7；（ 4）y 的一半不小于 3；（ 5）8 与 x 的 3 倍的和不大于 1。

提示：注意一个数的 " 和" ，" 差" ，" 倍" ，" 分" 的表示法以及 " 大于 " ，" 不小于 " ，" 不大于 " 应当用哪一个不等号来表示，此外。

正数都大于 0，负数都小于 0，因此 " 是正数 " 可表示为 " ＞0" ，"是负数 "可表示为 "＜0"，" 非负数 "可表示为 "≥0"。

参照答案：（1）a＞0 (2)y-2≥0 (3)a+6＞7 (4)≥3 (5)8+3x≤1注意：列不等式时应注意两点：①"是正数 " 表示为＞ 0" ，" 是负数 " 表示为＜ 0" ；" 非正数 " 表示为 " ≥0" 。

②" 不大于 "用"≤"表示， " 不小于 "用"≥"表示。

七年级数学下不等式知识点不等式是一个数值或者代数表达式和一个不等关系符号组成的式子。

在数学中，不等式同等重要于等式。

在七年级学习的数学中，不等式是一个重要的知识点。

本文将会详细介绍七年级下学期数学中的不等式知识点。

一、不等式的意义不等式是数与数之间的大小关系的一种表示方式。

例如，a > b 表达了a比b大的关系，a < b表达了a比b小的关系，a ≥ b表达了a大于等于b的关系，a ≤ b表达了a小于等于b的关系。

二、不等式的基本性质1. 对于任何实数a、b和c，都有以下基本的不等式性质：（1）加减性质：如果a > b，则a + c > b + c (c为任意实数)；如果a < b，则a + c < b + c （c为任意实数）。

（2）乘除性质：如果a > b 且 c > 0，则ac > bc；如果a > b 且c < 0，则ac < bc。

（3）绝对值的性质：如果a > b，则|a| > |b|。

2. 简单的破折号法则。

例如：（1）1 < x < 2，表示x在1到2之间。

（2）x > 3 或 x < -2，表示x大于3或x小于-2。

三、不等式的解不等式问题的解决很大程度上依赖于不等式的基本性质。

解不等式的方法有以下几种：1. 图像法：把不等式表示成一个数轴上的图像，确定图像的范围，根据图像找出不等式的解。

2. 试数法：在不等式两边插入相同数量的数进行比较，根据比较结果调整不等式的范围，直到找出不等式的解为止。

3. 分类讨论法：由前面的性质可知，不等式具有很好的可加性和可减性，这时可以根据“大于”或“小于”进行分类，找到不等式的解。

四、常见的不等式1. 一元一次不等式一元一次不等式的形式是ax + b > c（或ax + b < c），x ∈ R。

例如：2x + 1 > 5，需要求解x的取值范围，使得不等式成立。

2017-2018学年（新课标）沪科版七年级数学下册7.1 不等式及其基本性质1．能正确理解不等式的概念，会用不等式表示生活中的不等关系．2．理解掌握不等式的性质，能灵活运用不等式性质进行不等式变形．1．不等式的概念(1)定义：用不等号(＞、≥、＜、≤或≠)表示不等关系的式子，叫做不等式．像v≤40，t≥6 000，3x＞5，q＜p＋2，x≠3等这样的式子都是不等式．(2)常用的不等关系：不等号≠＜＞≤≥读法不等于小于大于小于等于大于等于举例3－4≠9－1＜80＞－6a≤1a≥0①符号“≤”表示小于或等于，也可以表示不大于；②符号“≥”表示大于或等于，也可以表示不小于．在用“≥”表示的不等式中，只要“＞”或“＝”两个关系中有一个成立，该不等式就成立，例如，不等式3≥2成立，不等式2≥2也成立；用“≤”表示的不等式道理也一样．【例1】在下列数学表达式中，不等式的个数是( )．①－2 013＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；⑥x＋2＞y＋3.A．5 B．4 C．3 D．2解析：运用不等式的定义进行判断，③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．故选B．答案：B本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠.2．不等式的基本性质(1)不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．字母表示：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，a －c ＞b －c ；同样有，如果a ＜b ，那么a ＋c ＜b ＋c ，a －c ＜b －c .(2)不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．字母表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ，a c ＞b c；同样有，如果a ＜b ，c ＞0，那么ac ＜bc ，a c ＜b c. (3)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．字母表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc ，a c ＜b c；同样有，如果a ＜b ，c ＜0，那么ac ＞bc ，a c ＞b c .(1)不等式的变形中，只有当两边都乘以(或除以)一个负数时，不等号的方向改变．(2)不等式的两边不能都乘以零，乘以零后不等式变为等式．(4)如果a ＞b ，那么b ＜a .例如，由12＜x ，可得x ＞12. 不等式的这个基本性质类似于等式的基本性质中的“若a ＝b ，则b ＝a ”．(5)如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c .不等式的这个基本性质类似于等式中的“若a ＝b ，且b ＝c ，则a ＝c ”．【例2－1】如果m ＜n ，用“＞”或“＜”填空，并说明你的理由．(1)5m ________5n ；(2)m 2________n 2； (3)－2m ______－2n ；(4)－m 2______－n 2. 解析：(1)＜；由m ＜n 两边都乘以5得到；(2)＜；由m ＜n 两边都乘以12(或除以2)得到； (3)＞；由m ＜n 两边都乘以－2得到；(4)＞；由m ＜n 两边都乘以－12(或除以－2)得到． 答案：(1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＞【例2－2】若a ＜b ，则下列各式中一定成立的是( )．A ．a －1＜b －1B ．a 3＞b 3C ．－a ＜－bD ．ac ＜bc解析：在不等式的三条基本性质中要特别注意“不等式两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变”，因为已知a ＜b ，由不等式基本性质1得a －1＜b －1，故选A ．由不等式基本性质2知B 选项错误，应为a 3＜b 3，由不等式基本性质3知C 选项中不等号方向要改变．由于c 可取任意实数，故D 项中不等式不一定成立．答案：A解决这类问题时，先看已知不等式与变化后的不等式两边变化情况，从而确定应用哪一条性质．3．根据数量关系列出不等式根据题意用不等号表示数量间的不等关系，就是列不等式．(1)用不等式表示数量关系是研究不等式的基础，在用不等式表示数量关系时，一定要抓住关键词，然后把关键词用正确的不等号表示出来．(2)寻找题目中的不等量关系式第一步：寻找具有比较性质的关键词．如：“大于”“小于”“不大于”“不小于”“最多”“至少”“超过”“低于”等．第二步：寻找比较的两个量．即“谁大于谁”“谁小于谁”即可．(3)根据不等量关系式列出不等式找到不等量关系式之后，只需把不等量关系式中的量用式子表示出来即可．列不等式时除找出关键词确定不等关系外，还需明确以下常用的不等关系．(1)a 是正数表示为a ＞0；a 是负数表示为a ＜0.(2)a 是非负数表示为a ≥0；a 是非正数表示为a ≤0.(3)a ，b 同号表示为ab ＞0或者a b ＞0；a ，b 异号表示为ab ＜0或者a b＜0. 【例3】用适当的符号表示下列关系：(1)x 的13与x 的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300 m ；(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；(4)明天下雨的可能性不小于70%.分析：(1)先表示出x 的13与x 的2倍，再求13x 与2x 的和，最后列出不等式13x ＋2x ≤0，注意非正数表示的是负数或零，即小于或等于0的数．(2)(3)(4)需先设未知数，然后用代数式表示问题中的各量，并根据题目中的不等关系列出不等式：一枚炮弹的杀伤半径不小于300 m ，即炮弹的杀伤半径≥300 m ；总价钱不高于268元，即总价钱≤268元；明天下雨的可能性不小于70%，即明天下雨的可能性≥70%.解：(1)13x ＋2x ≤0. (2)设炮弹的杀伤半径为r m ，则有r ≥300.(3)设每件上衣为a 元，每条长裤是b 元，则有3a ＋4b ≤268.(4)用P 表示明天下雨的可能性，则有P ≥70%.4．用不等式的基本性质将不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式将不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，是不等式基本性质的一个重要应用．将不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，要依据不等式的三条基本性质，进行合理的变形，这是解不等式的基础．在变形中，要用到去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，每一步都要依据不等式的基本性质．利用不等式的基本性质变形的步骤：(1)观察不等式的变化前后的规律；(2)适当选择不等式的基本性质1,2或3；利用不等式的基本性质3时，注意不等号方向的改变情况；(3)根据选择的基本性质变形．【例4】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：(1)x －2＜3；(2)6x ＞5x －1；(3)－4x ＞4；(4)14x ≤9. 分析：适当地选用不等式的基本性质对所给不等式进行变形，注意不等号方向的“不变”与“改变”．解：(1)由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以x －2＋2＜3＋2，即x ＜5.(2)由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都减去5x ，不等号的方向不变，所以6x －5x ＞5x －1－5x ，即x ＞－1.(3)由不等式的基本性质3可知，不等式的两边都除以－4，不等号的方向改变，所以x ＜－1.(4)根据不等式的基本性质2，在不等式14x ≤9的两边都乘以4，得x ≤36.解决这类问题，要观察题中不等式与所要得到的不等式在形式上的差别，从而采用适当的方法进行变形．5．根据实际问题列不等式根据实际问题列不等式的步骤可总结为：(1)认真审题，找出题目中的数量关系和关键字词；(2)列出相应的代数式，根据关键字词确定不等关系；(3)用不等号连接，列出不等式．解决这类问题的关键在于把题目中所给的数量关系中的“大于”，“小于”，“不大于”，“不小于”，“是负数”，“是正数”，“是非负数”，“至少”等文字语言正确地用数学符号表示出来，把不等关系转化为不等式．【例5－1】小刚准备用自己节省的零花钱购买一台MP4来学习英语，他已存有50元，并计划从本月起每月节省30元，直到他至少有280元．设x个月后小刚至少有280元，则可得到不等式为( )．A．30x＋50＞280 B．30x－50≥280C．30x－50≤280 D．30x＋50≥280解析：此题的不等关系：已存的钱与每月节省的钱数之和至少为280元．至少即大于等于，根据题意，得50＋30x≥280.故选D．答案：D【例5－2】冬天到了，小华准备用自己平时节省的30元钱为乡下的爷爷奶奶和自己买手套与袜子．已知一副手套5元钱，一双袜子4元钱，他先买了3双袜子．如果设他还能买x副手套，那么根据题意，可得到不等式________．解析：此题的不等关系：3双袜子的总价＋x副手套的总价不大于30元，根据题意可以列出不等式．答案：3×4＋5x≤306．与不等式及其性质有关的拓展创新题不等式在新型题目中的应用常见于新定义型题、探究题以及图表信息题，主要是以不等式及其性质为知识背景．拓展题主要是不等式基本性质的逆向应用，逆向运用公式或性质，可以从另一个角度考查我们对定义、性质、公式的理解，发散我们的思维．另外，逆向运用公式或性质，有时可以有效地简化计算，收到意想不到的效果．逆向应用不等式的基本性质时，关键是要看变形中，不等号的方向是否改变，从而判断变形中是否根据了不等式的基本性质3.进一步可判断未知系数的正负性．逆用不等式的基本性质解题，多数考查的应该是不等式的基本性质3.【例6－1】现规定一种新的运算：a△b＝a·b－a＋b＋1，如3△4＝3×4－3＋4＋1.请比较下列两式的大小：(－3)△4________4△(－3)(填“＜”“＞”或“＝”)．解析：先根据规定的运算方法，将两式化简，然后进行大小比较．(－3)△4＝(－3)×4－(－3)＋4＋1＝－4；4△(－3)＝4×(－3)－4＋(－3)＋1＝－18.因－4＞－18，故(－3)△4＞4△(－3)．答案：＞【例6－2】已知关于x的不等式2＜(1－a)x的解集为x＜21－a，则a的取值范围是( )．A．a＞0 B．a＞1C．a＜0 D．a＜1解析：对照两个不等式可以发现，已知不等式左、右两边经过变形后位置发生了改变(即2在原不等式的左边，经过变形后在右边，含x的项在已知不等式的右边，经过变形后在左边)，因此应先将2＜(1－a)x变形为(1－a)x＞2，再根据不等式的性质确定a的取值范围．根据不等式的性质3，得1－a＜0，即a＞1.故选B．答案：B。