2018年协作体数学奥林匹克夏令营A水平考试(图片版)

2018年协作体数学奥林匹克夏令营o水平解析一、前言2018年协作体数学奥林匹克夏令营，作为一项具有挑战性和深度的数学活动，吸引着全国各地优秀的数学爱好者参与。

其中，o水平解析作为该夏令营的重要内容之一，具有一定的难度和复杂性。

本文将深入剖析2018年协作体数学奥林匹克夏令营o水平解析的相关内容，帮助读者更加全面、深刻和灵活地理解这一主题。

二、o水平解析的基本概念o水平解析是指在数学奥林匹克竞赛中，对o水平题目进行深入剖析，探讨解题思路和方法，以及解题过程中可能遇到的困难和技巧。

这需要对数学知识有着深厚的理解和灵活的运用，同时也需要具备较强的逻辑思维能力和解决问题的能力。

在2018年协作体数学奥林匹克夏令营中，o水平解析更是成为了参与者们深入思考和探讨的热点之一。

我们将对该夏令营中的o水平解析进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章，帮助读者更好地理解这一主题。

三、解析题目和思路在2018年协作体数学奥林匹克夏令营中，o水平解析的题目主要涉及到数论、代数、几何等多个领域。

我们先从数论领域的题目入手，逐步深入探讨其中的解题思路和方法。

1. 数论题目解析题目：已知整数序列$${a_n}$$满足$$a_1 = 1$$，$$a_2 = 2$$，且$$a_{n+2} = a_{n+1} + \dfrac{(-1)^n}{a_n}$$，证明：对于任意的正整数$$n$$，$$a_n$$都是正整数。

解析思路：首先我们可以递归地计算出数列$$a_n$$的前几项，观察规律。

可以假设$$a_k$$是正整数，再来证明$$a_{k+1}$$也是正整数。

通过数学归纳法证明，最终得出结论。

2. 代数题目解析题目：设$$a,b,c$$是非负实数，且$$a+b+c=1$$，求证：$$a^2 + b^2 + c^2 + 2abc \leq 1$$。

解析思路：这是一个典型的不等式证明题，可以通过各种方法进行证明，如洛必达法则、绝对值法、柯西不等式等。

江西省鹰潭市中国数学奥林匹克协作体学校2018年高一数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 关于且），且），且）函数下列说法正确的是（）A、与表示同一函数，与它们不同B、与表示同一函数，与它们不同C、、、均表示同一函数D、、、表示的函数各不相同。

参考答案：B2. 已知函数, 若则实数x的值为A．－3 B．1 C．－3或1 D．－3或1或3参考答案：C3. 方程组的解集是（）A. {(1，﹣1),(﹣1，1)}B. {(1，1),(﹣1，﹣1)}C. {(2，﹣2),（﹣2，2)}D. {(2，2),(﹣2，﹣2)}参考答案：A【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．【详解】方程组的解为或，其解集为．故选：A．【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为，一个解可表示为．4. △ABC中，若，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形参考答案：B5. 在约束条件下，则目标函数的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：B6. 在△ABC中，若，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形参考答案：A7. 如左图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何体中的（）参考答案：D8. 下列函数中，最小正周期是且在区间()上是增函数的是A． B． C．D．参考答案：D略9. 函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的反函数的零点为( )A．2 B．C．3D．0参考答案：D10. 给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是( )A．①②B．②③C．③④D．①④参考答案：B考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．解答：解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．点评：本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在空间直角坐标系中，点与点的距离为参考答案：12. 正方体的各项点都在同一个球的球面上，若该正方体的体积为8cm3，则其外接球的表面积为cm2．参考答案：12π．【分析】由体积求出正方体的棱长，球的直径正好是正方体的体对角线，从而可求出球的半径，得出体积．【解答】解：设正方体的棱长为a，则a3=8cm3，即a=2cm，∴正方体的体对角线是为2cm∴球的半径为r=cm，故该球表面积积S=4πr2=12πcm2．故答案为：12π．13. 在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是．参考答案：【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】根据sinA：sinB：sinC=5：7：8，利用正弦定理可求得a，b，c的关系，进而设a=5k，b=7k，c=8k，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．【解答】解：sinA：sinB：sinC=5：7：8∴a：b：c=5：7：8设a=5k，b=7k，c=8k，由余弦定理可得cosB==；∴∠B=．故答案为．14. 若函数的定义域为（1，2]，则函数的定义域为参考答案：15. 对定义域内的任意,若有的函数,我们称为满足“翻负”变换的函数,下列函数:①,②,③中满足“翻负”变换的函数是________________. (写出所有满足条件的函数的序号)参考答案：略16. 满足，且的集合的个数有。

2018年江西省鹰潭市中国数学奥林匹克协作体学校高一生物联考试题含解析一、选择题（本题共40小题，每小题1.5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列关于核酸的叙述错误的是A．核酸是携带遗传信息的物质B．DNA分子内碱基的排列顺序代表着遗传信息C．一个DNA分子通常含有二条脱氧核苷酸链D．所有生物都以DNA作为遗传物质参考答案：D2. 经实验测得衣藻DNA在细胞中分布如下：84％在染色体上，14％在叶绿体上，1％在线粒体上，1％游离于细胞质中。

这些数据说明（）。

A．衣藻的遗传物质主要是DNAB．衣藻DNA的主要载体是染色体C．衣藻细胞质中无DNAD．衣藻染色体由DNA、蛋白质和少量RNA组成参考答案：B3. 下列关于细胞核的叙述，正确的是（）A．某些大分子物质能通过核孔进出细胞核B．核膜可与高尔基体膜直接相连C．位于细胞的正中央，是细胞的控制中心D．细胞核是细胞代谢的主要场所参考答案：A【考点】细胞核的结构和功能．【分析】细胞核包括核膜（将细胞核内物质与细胞质分开）、染色质（DNA和蛋白质）、核仁（与某种RNA（rRNA）的合成以及核糖体的形成有关）、核孔（核膜上的核孔的功能是实现核质之间频繁的物质交换和信息交流）．功能：细胞核是遗传物质贮存和复制的场所，是细胞遗传和代谢的控制中心．【解答】解：A、核孔是某些大分子物质进出细胞核的通道，如RNA进入细胞质、组蛋白进入细胞核等，A正确；B、外层核膜与内质网膜直接相连，不与高尔基体膜相连，B错误；C、细胞核不一定位于细胞的正中央，遗传物质主要存在于细胞核中，故细胞核是细胞代谢和遗传的控制中心，C错误；D、细胞质基质是细胞代谢的主要场所，D错误．故选：A．4. 下列关于呼吸作用的叙述，正确的是A．无氧呼吸的终产物是丙酮酸B．有氧呼吸产生的[H]在细胞质基质中与氧结合生成水C．无氧呼吸不需要O2的参与。

该过程最终有[H]的积累D．质量相同时，脂肪比糖原有氧氧化释放的能量多参考答案：D5. 某人腰椎部因受外伤造成右侧下肢运动障碍，但有感觉。

{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。

2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。

2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。

进 而 可 得 U2,2 ， S 4,1 ， 代 入 椭 圆 方 程 解 得 ： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ， 从 而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。

第三十四届中国数学奥林匹克成都
第一天
1. 对全体满足a, b, c, d, e≥−1且a + b + c + d + e = 5 的实数. 求
S = (a + b)(b + c)(c + d)(d + e)(e + a)
的最大值和最小值.
2. 若正整数a,b,c是一个直角三角形的三边长，则称三元集合{a,b,c}为勾股三元组. 求证：对任意勾股三元组P,Q，存在正整数m≥2勾股三元组P1,P2,··· ,P m使得P = P1, Q = P m且∀ 1≤i ≤m−1,P1∩P i+1≠∅.
3. △ABC中，AB < AC, O为外心，D是∠BAC平分线上一点，E在BC上，满足OE∥AD, DE ⊥BC，在射线EB去取点K满足EK = EA，△AKD外接圆与BC交于另一点P≠D，△ADK外接圆与△ABC外接圆交于另一点Q≠A. 求证：PQ与△ABC外接圆相切.
第二天
4. 给定一个长轴与短轴不等长的的椭圆.
（1）证明：其面积最小的外切的菱形是唯一的；
（2）写出用尺规作图作出这个菱形的过程.
5. 给定一个n×n的方格表，每个格子中填入一个整数，每次操作选择一个方格，将其同行、同列的2n−1个数都加1. 求最小的N(n)，使得无论开始时方格表内数填的是多少，均可以通过有限次操作使得方格表内至少有N(n)个偶数.
6. 设点P1,P2,…,P2018放在给定正五边形的内部或边界上. 求所有的放置方法使得
取到最大值.。

岁马尼亚克卢日蜻沐卡第一天«1. itΓ<HΛ三角砒4〃C的外44圈・点D和EAru殳/CAC上∙^nAD ≈ AEφ BI)^CE的•克羊分线⅛Γ上劣弧AB AC分別文于点FG im ADE⅜FG1 ⅛A÷*t•⅛ 2.求所有的整4⅛□23∙便俗存在实软5皿2.・・・.<¼+2∙滿足"*ι = <M∙ 5∙2 Ua2异且<≡∙<<∙⅛1 + 1 = α∣÷3— 1.2. - - ■” 戍立・題3・反忖斷卡三蔦砒是由铁俎戎的一个正三角外障•港足除了鬟下方一行.孕个敦是它下方相你两金铁之屋的绘对值•例*\下而是一金四忡的反恤浙卡三角耐・由Hl MlO tt⅛.42 65 7 18 3 10 9请MΛ5 4Λ2018fτ的反帕浙卡三 E 包含IMl +2十・∙∙ + 2018所亦的蹩典？鈿二夭« 4.我们呀谓一个（IJL是斯d角坐栋丰而上的一个A（X.,V）∙乳中工・"需足不雄述20的正史软.最初时•所有400个位豆那是空的.甲乙两人轮濃霖放石子•由甲先遗ft∙毎次伦刘甲时.他41 一个空的住I±Λ±-¼*的化也若子•要求任急两金红己石子舸息<1 Jt之问的距离都不#于％・每次伦刘乙片•他/1任直一个空的CiJt上崔上一个M6⅛2Lt>&子.（Jl色石子所在位直与戻它石于所在位直之问雎禹可以是任倉值・）4此UAitfTT去直至某金人无法再霖放石子•试确岌遥大的位再无论乙知何报就這色若予.Y⅛*Ef⅛Ui∙>∙4X⅛K个红已若子・« 5. Ha i.a2.…走一个>LfPil正整软斥列.已知4在於敦N>l∙使碍对每个^Kn > .V t Oi i o2 . I Q*1“ I OH――+ — + ・• • + ・■■■・ + —。

2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设集合 1,2,3,,99,2,2A B x x A C x x A ，则B C 的元素个数为 ．答案：24．解：由条件知， 13992,4,6,,198,1,,2,,2,4,6,,48222B C，故B C 的元素个数为24．2. 设点P 到平面的距离为，点Q 在平面 上，使得直线PQ 与 所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 ．答案：8 ．解：设点P 在平面 上的射影为O ．由条件知，tan OP OQP OQ ，即[1,3]OQ ，故所求的区域面积为22318 ．3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 ．答案：910．解：先考虑abc def +为奇数的情况，此时,abc def 一奇一偶，若abc 为奇数，则,,a b c 为1,3,5的排列，进而,,d e f 为2,4,6的排列，这样有3!3!36×=种情况，由对称性可知，使abc def +为奇数的情况数为36272×=种．从而abc def +为偶数的概率为72729116!72010−=−=．4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别是1F 、2F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P ．已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F 的面积为 ．答案解：由对称性，不妨设(,)P P P x y 在第一象限，则由条件知112,122P P x PT PS y PV PU ，即(2,1)P ．进而由1,2P x PU PS 得(2,2),(4,1)U S ，代入椭圆C 的方程知2222111144161a b a b，解得2220,5a b ．从而121212PF F P P S F F y y ．5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ，则不等式组12,1()2x f x的解集为 ． 答案：[2,82] ．解：由()f x 为偶函数及在[0,1]上严格递减知，()f x 在[1,0] 上严格递增，再结合()f x 以2为周期可知，[1,2]是()f x 的严格递增区间．注意到(2)()1,(82)(2)(2)2f f f f f ，所以1()2(2)()(82)f x f f x f ，而12822 ，故原不等式组成立当且仅当[2,82]x ．6. 设复数z 满足1z ，使得关于x 的方程2220zx zx 有实根，则这样的复数z 的和为 ．答案：32．解：设22i (,,1)R z a b a b a b ．将原方程改为2(i)2(i)20a b x a b x ，分离实部与虚部后等价于2220ax ax ，① 220bx bx ．②若0b ，则21a ，但当1a 时，①无实数解，从而1a ，此时存在实数1x 1z 满足条件．若0b ，则由②知{0,2}x，但显然0x 不满足①，故只能是2x ，代入①解得14a ，进而bz ．综上，满足条件的所有复数z 之和为312．7. 设O 为ABC 的外心，若2AO AB AC，则sin BAC 的值为 ．答案 解：不失一般性，设ABC 的外接圆半径2R ．由条件知，2AC AO AB BO，①故112AC BO ．取AC 的中点M ，则OM AC ，结合①知OM BO ，且B 与A 位于直线OM 的同侧．于是1cos cos(90)sin 4MCBOC MOC MOC OC． 在BOC 中，由余弦定理得BC ，进而在ABC中，由正弦定理得sin 2BC BAC R． 8. 设整数数列1210,,,a a a 满足1012853,2a a a a a ，且1{1,2},1,2,,9i i i a a a i ，则这样的数列的个数为 ．答案：80．解：设1{1,2}(1,2,,9)i i i b a a i ，则有11011292a a a b b b ，① 2345285567b b b a a a a b b b ．②用t 表示234,,b b b 中值为2的项数．由②知，t 也是567,,b b b 中值为2的项数，其中{0,1,2,3}t ．因此237,,,b b b 的取法数为021222323333(C )(C )(C )(C )20 ．取定237,,,b b b 后，任意指定89,b b 的值，有224 种方式．最后由①知，应取1{1,2}b 使得129b b b 为偶数，这样的1b 的取法是唯一的，并且确定了整数1a 的值，进而数列129,,,b b b 唯一对应一个满足条件的数列1210,,,a a a ．综上可知，满足条件的数列的个数为20480 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）已知定义在R 上的函数()f x 为3log 1,09,()49.x x f x x设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ，求abc 的取值范围．解：不妨假设a b c ．由于()f x 在(0,3]上严格递减，在[3,9]上严格递增，在[9,) 上严格递减，且(3)0,(9)1f f ，故结合图像可知(0,3)a ，(3,9)b ，(9,)c ，并且()()()(0,1)f a f b f c ． …………………4分由()()f a f b 得331log log 1a b ，即33log log 2a b ，因此239ab ．于是9abc c ． …………………8分又0()41f c ， …………………12分 故(9,16)c ．进而9(81,144)abc c ．所以，abc 的取值范围是(81,144)． …………………16分注：对任意的(81,144)r ，取09rc =，则0(9,16)c ∈，从而0()(0,1)f c ∈．过点00(,())c f c 作平行于x 轴的直线l ，则l 与()f x 的图像另有两个交点(,())a f a ，(,())b f b （其中(0,3),(3,9)a b ），满足()()()f a f b f c ，并且9ab ，从而abc r =．10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a 满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和．证明：(1) 对任意正整数n ，有n a(2) 对任意正整数n ，有11n n a a ．证明：(1) 约定00S ．由条件知，对任意正整数n ，有221111(2)()()n n n n n n n n n a S a S S S S S S ，从而220n S n S n ，即n S （当0n 时亦成立）． …………………5分显然，1n n n a S S ． …………………10分(2) 仅需考虑1,n n a a 同号的情况．不失一般性，可设1,n n a a 均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则11n n n S S S ，故必有1n n S S ，此时1n n a a从而11n n a a ． …………………20分11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线24y x 的过点(1,0)F 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）．若PF 平分APB ，求PF 的所有可能值．解：设222123123,,,,,444y y y A y B y P y，由条件知123,,y y y 两两不等且非零． 设直线AB 的方程为1x ty ，与抛物线方程联立可得2440y ty ，故124y y ． ① 注意到AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为220x y dx ey ，与24y x 联立得，4210164y d y ey ．该四次方程有123,,,0y y y y 这四个不同的实根，故由韦达定理得12300y y y ，从而312()y y y ．②…………………5分因PF 平分APB ，由角平分线定理知，12PA FA yPB FB y ，结合①、②，有2222312222231212112122222222222321222132()()16(2)44()16(2)()44y y y y y y y y y PA yy PB y y y y y y y y y2222422122122224212112(8)16(416)64192(8)16(416)64192y y y y y y y y y y ， ………………10分 即62226222112122126419264192y y y y y y y y ，故 224224121122()(192)0y y y y y y ． 当2212y y 时，21y y ，故30y ，此时P 与O 重合，与条件不符． 当422411221920y y y y 时，注意到①，有22221212()192()208y y y y ． …………………15分因22121282y y y y ，故满足①以及2212y y 的实数12,y y 存在，对应可得满足条件的点,A B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF ．…………………20分2018年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）设n 是正整数，1212,,,,,,,,,n n a a a b b b A B 均为正实数，满足,,1,2,,i i i a b a A i n ≤≤= ，且1212n n b b b Ba a a A≤ ． 证明：1212(1)(1)(1)1(1)(1)(1)1n n b b b B a a a A ++++≤++++ ．证明：由条件知，1,1,2,,i i i b k i n a =≥= ．记BK A=，则1212n n b b b B a a a A ≤ 化为12n k k k K ≤ ．要证明11111ni i i ik a KA a A =++≤++∏． ① 对1,2,,i n = ，由于1i k ≥及0i a A <≤知，11111111i i i i i i i i i k a k k k A k k a a A A +−−+=−≤−=++++． 结合12n K k k k ≥ 知，为证明①，仅需证明当0,1(1,2,,)i A k i n >≥= 时，有1211111ni n i k A k k k A A A =++≤++∏． ②…………………20分对n 进行归纳．当1n =时，结论显然成立． 当2n =时，由120,,1A k k >≥可知1212122111(1)(1)0111(1)k A k A k k A A k k A A A A +++−−⋅−=−≤++++， ③ 因此2n =时结论成立． …………………30分设n m =时结论成立，则当1n m =+时，利用归纳假设知，11121111111111111m m i i m m m i i k A k A k A k k k A k A A A A A A +++==+++++ =⋅≤⋅ +++++∏∏ 12111m k k k A A ++≤+ ，最后一步是在③中用121,m m k k k k + （注意1211,1m m k k k k +≥≥ ）分别代替12,k k ． 从而1n m =+时结论成立．由数学归纳法可知，②对所有正整数n 成立，故命题得证．…………………40分二、（本题满分40分）如图，ABC 为锐角三角形，AB AC ，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC 的外接圆 BAC和 BC 的中点，F 为ABC 的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足NB AB ． 证明：若BN EM ，则DF FG ．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由条件知，DE 为ABC 外接圆的直径，DE BC 于M ，AE AD ． 记I 为ABC 的内心，则I 在AE 上，IF AB ． 由NB AB 可知(180)90NBE ABE ABN ADE90ADE MEI ．① …………………10分又根据内心的性质，有EBI EBC CBI EAC ABI EAB ABI EIB ， 从而BE EI ．结合BN EM 及①知，NBE MEI ≌ ． …………………20分于是90180EMI BNE BFE EFI ，故,,,E F I M 四点共圆．进而可知9090AFM IFM IEM AGM ，从而,,,A F G M 四点共圆． …………………30分 再由90DAG DMG 知，,,,A G M D 四点共圆，所以,,,,A F G M D 五点共圆．从而90DFG DAG ，即DF FG ． …………………40分三、（本题满分50分）设,,n k m 是正整数，满足2k ≥，且21k n m n k−≤<． 设A 是{1,2,,}m 的n 元子集．证明：区间0,1n k−中的每个整数均可表示为a a ′−，其中,a a A ′∈．证明：用反证法．假设存在整数0,1n x k∈ −不可表示为a a ′−，,a a A ′∈．作带余除法m xq r =+，其中0r x ≤<．将1,2,,m 按模x 的同余类划分成x 个公差为x 的等差数列，其中r 个等差数列有1q +项，x r −个等差数列有q 项．由于A 中没有两数之差为x ，故A 不能包含以x 为公差的等差数列的相邻两项．从而1,2,12()22,2|,2q x q q q n A r x r q x r q + ⋅ + =≤+−= ⋅+ ① 这里α 表示不小于α的最小整数． …………………20分由条件，我们有()2121k kn m xq r k k >+−−． ②又0,1n x k ∈ −，故(1)n k x >−． ③情形一：q 是奇数．则由①知，12q n x +≤⋅． ④ 结合②，④可知，1()22121q k kx n xq r xq k k +⋅≥>+≥−−，从而21q k <−．再由q 是奇数可知，23q k ≤−，于是1(1)2q n x k x +≤⋅≤−，与③矛盾．情形二：q 是偶数．则由①知，2qn x r ≤⋅+． ⑤结合②，⑤可知，()221q k x r n xq r k ⋅+≥>+−，从而1(1)2(21)2121xq k k xr k k k −−<<−−−，故2(1)q k <−．再由q 是偶数可知，24q k ≤−，于是(2)(1)2qn x r k x r k x ≤⋅+≤−+<−，与③矛盾．综上可知，反证法假设不成立，结论获证． …………………50分四、（本题满分50分） 数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数， 对整数1n ≥， 1n a +是与1ni i a =∑互素，且不等于1,,n a a 的最小正整数．证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现．证明：显然11a =或21a =．下面考虑整数1m >，设m 有k 个不同素因子，我们对k 归纳证明m 在{}n a 中出现．记1n n S a a =++，1n ≥．1k =时，m 是素数方幂，设m p α=，其中0α>，p 是素数．假设m 不在{}n a 中出现．由于{}n a 各项互不相同，因此存在正整数N ，当n N ≥时，都有n a p α>．若对某个n N ≥，n p S ，那么p α与n S 互素，又1,,n a a 中无一项是p α，故由数列定义知1n a p α+≤，但是1n a p α+>，矛盾！因此对每个n N ≥，都有|n p S ．但由1|n p S +及|n p S 知1|n p a +，从而1n a +与n S 不互素，这与1n a +的定义矛盾． …………………10分假设2k ≥，且结论对1k −成立．设m 的标准分解为1212k km p p p ααα=．假设m 不在{}n a 中出现，于是存在正整数N ′，当n N ′≥时，都有n a m >．取充分大的正整数11,,k ββ−，使得11111max k k n n N M p p a ββ−−′≤≤=> ．我们证明，对n N ′≥，有1n a M +≠． …………………20分对任意n N ′≥，若n S 与12k p p p 互素，则m 与n S 互素，又m 在1,,n a a 中均未出现，而1n a m +>，这与数列的定义矛盾．因此我们推出：对任意n N ′≥，n S 与12k p p p 不互素．()∗情形1．若存在(11)i i k ≤≤−，使得|i n p S ，因1(,)1n n a S +=，故1i n p a +，从而1n a M +≠（因|i p M ）． …………………30分 情形2．若对每个(11)i i k ≤≤−，均有i n p S ，则由()∗知必有|k n p S ．于是1k n p a + ，进而1k n n p S a ++，即1k n p S +．故由()∗知，存在00(11)i i k ≤≤−，使得01|i n p S +，再由11n n n S S a ++=+及前面的假设(11)i n p S i k ≤≤−，可知01i n p a +，故1n a M +≠． …………………40分因此对1n N ′≥+，均有n a M ≠，而1max n i N M a ′≤≤>，故M 不在{}n a 中出现，这与归纳假设矛盾．因此，若m 有k 个不同素因子，则m 一定在{}n a 中出现．由数学归纳法知，所有正整数均在{}n a 中出现． …………………50分。