2019届浙江省名校协作体高三下学期2月联考数学试题(解析版)

2019年浙江省杭州⼆中⾼三第⼆次⽉考数学（理）试题及答案⾼考数学精品复习资料2019.5杭州⼆中20xx 届⾼三第⼆次⽉考数学（理）试题第I 卷（共50分）⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题5分，共50分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1、若集合{|2}-==xM y y，{|==P y y ，则M P =A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y2、实数等⽐数列{}n a 中，01>a ，则“41a a <”是“53a a <” 的（）A.充分⽽不必要条件 B ．必要⽽不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3、已知圆22:21C x y x +-=，直线:(1)1l y k x =-+，则与C 的位置关系是A ．⼀定相离B ．.⼀定相切C ．相交且⼀定不过圆⼼D ．相交且可能过圆⼼4、已知实数等⽐数列{}n a 公⽐为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 成等差数列，则3q 等于（）A ．12-B ．1C ．12-或1D ．112-或 5、已知x 、y 满⾜2y xx y x a ≥??+≤??≥?，且2z x y =+的最⼤值是最⼩值的4倍，则a 的值是（）A ．34 B ．14 C ．211D ．4 6、等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知254523335,25S S a a ==，则6543Sa =（） A ．125 B ．85 C ．45 D ．357、若正数a ，b 满⾜111a b +=，则1911a b +--的最⼩值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．168、已知12,F F 分别是椭圆的左，右焦点，现以2F 为圆⼼作⼀个圆恰好经过椭圆中⼼并且交椭圆于点,M N ，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离⼼率为A ．13-B ．32-C ．22 D ．239、若等差数列{}n a 满⾜2211010a a +=，则101119...S a a a =+++的最⼤值为（）A ．60B ．50C ． 45D ．4010、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(0,2]上是增函数，且(4)()f x f x -=-，给出下列结论：①若1204x x <<<且124x x +=，则12()()0f x f x +>；②若1204x x <<<且125x x +=，则12()()f x f x >；③若⽅程()f x m =在[8,8]-内恰有四个不同的实根1234,,,x x x x ，则12348x x x x +++=-或8；④函数()f x 在[8,8]-内⾄少有5个零点，⾄多有13个零点其中结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第II 卷（共100分）⼆、填空题：本⼤题共7⼩题，每⼩题4分，共28分．11、如图为了测量A ，C 两点间的距离，选取同⼀平⾯上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km）:AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,如图所⽰，且A 、B 、C 、D 四点共圆，则AC 的长为_________km ． 12、在△ABC 中，6 A π=，D 是BC 边上任意⼀点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+?，则⾓B 等于．13、函数210()log 0x x f x xx +≤?=?>?，则函数[()]1y f f x =+的所有零点所构成的集合为________．14、已知正三棱柱111ABC A B C -体积为94若P 为底⾯ABC 的中⼼，则1PA 与平⾯111A B C 所成⾓的⼤⼩为15、已知sin ,cos αα是关于x 的⽅程20x ax a -+=的两个根，则1cos 2sin 21sin 2cos 21sin 2cos 21cos 2sin 2a a a aa a a a+---+=--+- ．16、已知O 是ABC ?外⼼，若2155AO AB AC =+，则cos BAC ∠= ． 17、已知函数()af x x x=-，对(0,1)x ?∈，有()(1)1f x f x ?-≥恒成⽴，则实数a 的取值范围为．三、解答题：本⼤题共5⼩题，共72分．解答请写在答卷纸上，应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．18、在ABC ?中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知cos sin 0b C C a c --=. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b =2a c +的取值范围.19、如图，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平⾯PAB ．已知PA AB =，点D ，E 分别为PB ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平⾯PBC ；（Ⅱ）若F 在线段AC 上，满⾜//AD 平⾯PEF ，求AFFC的值．20、已知数列{}n a 的⾸项为(0)a a ≠，前n 项和为n S ，且有1(0)n n S tS a t +=+≠，1n n b S =+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当1t =时，若对任意*n N ∈，都有5n b b ≥，求a 的取值范围；（Ⅲ）当1t ≠时，若122...n n c b b b =++++，求能够使数列{}n c 为等⽐数列的所有数对(,)a t ．APCD EF21、如图，已知圆2220G x y x +--=：，经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 及上顶5π22、已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（Ⅰ）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成⽴，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最⼤值．参考答案⼀、选择题 1-10 CACAB CBABC ⼆、填空题 11、7； 12、512π； 13、113,,24?--??； 14、3π；151； 16、4 17、14a ≤-或1a ≥ 三、解答题18、解：（1）由正弦定理知：sin cos sin sin sin 0B C B C A C +--=sin sin()sin cos cos sin A B C A C A C =+=+代⼊上式sin cos sin sin 0B C B C C --=sin 0C >,cos 10B B --=.即1sin()62B π-=,(0,)B π∈,3B π∴=（2）由（1）得：22sin bR B==222(2sin sin )2[2sin sin()]5sin )3a c R A C A A A A A πθ∴+=+=+-=+=+2(0,)3A π∈,2)a c A θ∴+=+∈19、（1）证明：BC ⊥平⾯PAB BC AD ∴⊥ PA AB =，D 为PB 中点AD PB ∴⊥,PB BC B ?=,AD ∴⊥平⾯PBC （2）连接DC 交PE 于G ，连接FG//AD 平⾯PEF ，平⾯ADC ?平⾯PEF=FG//AD FG ∴,⼜G 为PBC ?重⼼,12AF DG FC GC ∴== 20、解：（1）当1n =时，由21S tS a =+解得2a at = 当2n ≥时，1n n S tS a -=+，11()()n n n n S S t S S +-∴-=-，即1n n a ta +=⼜10a a =≠，综上有1(*)n na t n N a +=∈，即{}n a 是⾸项为a ，公⽐为t 的等⽐数列,1nn a at -∴=（2）当1t =时，,1n n S an b an ==+，当0a >时，{}n b 单调递增，且0n b >，不合题意；当0a <时，{}n b 单调递减，由题意知：460,0b b >< ，且4565||||b b b b ≥??-≥?解得22911a -≤≤-, 综上a 的取值范围为22[,]911--（3）1t ≠，11nn a at b t-∴=+-22(1)2(1)(...)2(1)111(1)n nn a a a at t c n t t t n t t t t -∴=++-+++=++-----1222(1)(1)1(1)n at a at n t t t +=-+++---由题设知{}n c 为等⽐数列，所以有,220(1)101at t t a t-=?-?-+=-，解得12a t =??=?，即满⾜条件的数对是(1,2)．（或通过{}n c 的前3项成等⽐数列先求出数对(,)a t ，再进⾏证明）21、解：（Ⅰ）∵圆G ：02222=--+y x y x 经过点F 、B ．∴F （2，0），B （0，2），∴2=c ，2=b ．∴62=a ．故椭圆的⽅程为12622=+y x ．（Ⅱ）设直线l 的⽅程为)6)((33>--=m m x y ．由--==+)(3312622m x y y x 消去y 得0)6(2222=-+-m mx x ．设),(11y x C ，),(22y x D ，则m x x =+21，26221-=m x x ，∴3)(331)](33[)](33[221212121m x x m x x m x m x y y ++-=--?--=．∵),2(11y x -=，),2(22y x -=，∴FD FC ?=2121)2)(2(y y x x +-- 43)(3)6(3422121+++-=m x x m x x=3)3(2-m m ．∵点F 在圆G 的外部，∴0FC FD ?>，即2(3)03m m ->，解得0m <或3m >．由△=0)6(8422>--m m ，解得3232<<-m ．⼜6>m ，326<∴3m <<．22、解：（1）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成⽴，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成⽴，①当1x =时，（*）显然成⽴，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ?+>?-==?-+<-? 因为当1x >时，()2x ?>，当1x <时，()2x ?>-，所以()2x ?>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（2）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ?+--?--++-≤≥…10分①当1,22aa >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经⽐较，此时()h x 在[2,2]-上的最⼤值为33a +. ②当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经⽐较，知此时()h x 在[2,2]-上的最⼤值为33a +.③当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a-上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经⽐较，知此时()h x 在[2,2]-上的最⼤值为3a +.④当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a-上递减，在[,1]2a ，[,2]2a-上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，经⽐较，知此时()h x 在[2,2]-上的最⼤值为3a +. 当3,322a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，故此时()h x 在[2,2]-上的最⼤值为(1)0h =.综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最⼤值为33a +；当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最⼤值为3a +；当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最⼤值为0.。

浙江名校新高考研究联盟2019高三第二次联考-数学（理）数学(理科)试题卷本卷须知1、本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答、答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名;2、本试题卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，全卷总分值150分，考试时间120分钟、参考公式：假如事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+、假如事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅、假如事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次 的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-= 、 球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径、 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径、 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高、 锥体的体积公式13V Sh=，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高、台体的体积公式121()3V h S S =，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高、第I 卷(选择题 共50分)【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1、设全集=U R ，集合}0|{≥=x x A ，}032|{2<--=x x x B ，那么=B A C U )(( )A. }03|{<<-x xB. }01|{<<-x xC. }10|{<<x xD. }30|{<<x x2、复数i m z 21+=，i z -=22，假设21z z 为实数，那么实数m 的值为( )A. 1B. 1-C. 4D. 4-3、右图是计算10181614121++++值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( ) A. ?5>k B . ?5<k C. ?10>k D. ?10<k 4、在52)1(xx +的展开式中x 的系数为 ( )A. 5B. 10C. 20D. 405、数列}{n a 前n 项和为n S ，那么“02>a ”是“数列}{nS 为递增数列”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件A.假如平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l =βα ，那么γ⊥lB.假如平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.假如平面⊥α平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β 7、1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，假设21MF F ∠为锐角，那么双曲线离心率的取值范围是() A.)2,1(B.),2(∞+C.)2,1(D.),2(∞+8、从集合}10,,3,2,1{ 中任取5个数组成集合A ，那么A 中任意两个元素之和不等于11的概率为 A.9451B.634C.638D.6316() 9、函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=)0(,3)0(,1)(3x x x x x x f ，那么函数a x x f x F -+=)2()(2〔2>a 〕的零点个数不可．．（第3题）能．为 A.3 B.4C.5D.6()10、在ABC ∆中，4=AB ，87cos =B ，AC 边上的中线234=BD ，那么=A sin ()A.863B.66C.810D.610第二卷〔非选择题，共100分〕【二】填空题〔此题共7道小题，每题4分，共28分；将答案直截了当答在答题卷上指定的位置〕11、)(x f 为奇函数，且当0>x 时x x f 2log )(=，那么=-)4(f ▲、12、直线b x y +=交圆122=+y x 于A 、B 两点，且o 60=∠AOB 〔O 为原点〕，那么实数b 的值为▲、13、一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为▲、 14、实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-≤+2122x y x y x ，那么|2|y x z +=的最大值是▲、15、将3个小球随机地放入3个盒子中，记放有小球的盒子个数为X ，那么X 的均值=)(X E ▲、16、非零向量，夹角为060，且1||=-b a ，那么||b a +的取值范围为▲、17、P 为抛物线C ：x y 42=上的一点，F 为抛物线C 的焦点，其准线与x 轴交于点N ，直线NP 与抛物线交于另一点Q ，且QF PF 3=，那么点P 坐标为▲、【三】解答题：(本大题共5小题，共72分、解承诺给出文字说明，证明过程或演算步骤、) 18、〔此题总分值14分〕函数)sin()(ϕω+=x A x f (∈x R ，0>A ，0>ω，20πϕ<<)图象如图，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点、且2||=，25||=，213||=、（第13题）正视图 侧视图俯视图〔Ⅰ〕求函数)(x f y =的解析式；〔Ⅱ〕将函数)(x f y =图象向右平移1个单位后得到函数)(x g y =的图象，当]2,0[∈x 时，求函数)()()(x g x f x h ⋅=的最大值、19、〔此题总分值14分〕数列}{na 是公比为21的等比数列，且21a -是1a 与31a +的等比中项，前n 项和为n S 、数列}{n b 是等差数列，81=b ，前n项和nT 满足λλ(1+⋅=n nb n T 为常数，且)1≠λ、〔Ⅰ〕求数列}{na 的通项公式及λ的值；〔Ⅱ〕比较nT T T 11121+++ 与n S 21的大小.20、〔此题总分值14分〕如图，四边形ABCD 中，BCD ∆为正三角形，2==AB AD ，32=BD ，AC 与BD 交于O 点、将ACD ∆沿边AC 折起，使D 点至P 点，PO 与平面ABCD 所成的角为θ，且P 点在平面ABCD 内的射影落在ACD ∆内、 〔Ⅰ〕求证：⊥AC 平面PBD ；〔Ⅱ〕假设二面角D PB A --的余弦值为721，求θ的大小.21、〔此题总分值15分〕如图，分别过椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 左右焦点1F 、2F 的动直线l 1、l 2相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率1k 、2k 、3k 、4k 满足4321k k k k +=+、当l 1与x 轴重合时，32||=AB ，334||=CD 、〔Ⅰ〕求椭圆E 的方程；〔Ⅱ〕是否存在定点M 、N ，使得||||PN PM +为定值、假设存在，求出M 、N 点坐标，假设不存在，说明理由、22、〔此题总分值15分〕0>a ，函数ax xa x f -+=ln )(，],1[2e x ∈、〔Ⅰ〕当3=a 时，求曲线)(x f y =在点))3(,3(f 处的切线方程； 〔Ⅱ〕假设23)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围、（第21题）DBCOP（第20题）浙江省名校新高考研究联盟2018届第二次联考数学〔理科〕试题参考答案1－5:：BDABB6--10：DDCAC 11、-2；12、26±；13、31；14、5； 15、919；16、]3,1(；17、)32,3(±、18、解〔Ⅰ〕由余弦定理得51cos 222==∠POQ ，〔2分〕∴52sin =∠POQ ，得P 点坐标为)1,21(、〔3分〕 ∴1=A ，6)212(42=-=ωπ，3πω=、〔5分〕 由1)6sin()21(=+=ϕπf ，20πϕ<<得3πϕ=、∴)(x f y =的解析式为)33sin()(ππ+=x x f 、〔7分〕 〔Ⅱ〕xx g 3sin)(π=，〔9分〕 xx x x x x g x f x h 3cos 3sin 233sin 213sin )33sin()()()(2ππππππ+=+=⋅=41)632sin(2132sin 43432cos 1+-=+-=ππππx x x、〔12分〕 当]2,0[∈x 时，]67,6[632ππππ-∈-x ，∴当2632πππ=-x ，即1=x 时43)(max =x h 、〔14分〕 19、解〔Ⅰ〕由题意)1()1(3122+=-a a a ，即)141()211(1121+=-a a a 〔2分〕解得211=a ，∴n n a )21(=〔4分〕 又⎩⎨⎧==32212b T b T λλ，即⎩⎨⎧+=++=)28(216)8(8d d d λλ〔6分〕解得⎪⎩⎪⎨⎧==821d λ或⎩⎨⎧==01d λ〔舍〕∴21=λ〔8分〕 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知n n S )21(1-=∴41)21(21211≥-=+n n S ①〔10分〕 又n n T n442+=，)111(41)1(411+-=+=n n n n T n ∴41)111(41)1113121211(4111121<+-=+-++-+-=+++n n n T T T n ②〔13分〕由①②可知n n S T T T 2111121<+++ 〔14分〕20.解：(Ⅰ)易知O 为BD 的中点，那么AC BD ⊥，又AC PO ⊥， 又BDPO O =，,BD PO ⊂平面PBD ，因此AC ⊥平面PBD 〔5分〕(Ⅱ)方法一：以OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O平面ABC 向上的直线为z 轴建立如下图空间 直角坐标系，那么(0,1,0)A -,B()P θθ〔7分〕易知平面PBD 的法向量为(0,1,0)j =〔8分〕(3,1,0)AB =，()AP θθ=设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =（第20题）那么由n AB n AP⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得，303n AB x yn AP θx y θz=0⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++⎪⎩解得，cos 1sin y θ+z x θ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1x =，那么cos 1(1,3,)sin θn θ+=-〔11分〕那么|||cos ,|7||||n j n j nj ⋅<>===解得，22(cos 1)3sin θ+θ=cos 1θθ=-，即1sin 62πθ=-（），又πθ02∈（，），∴πθ=3故πθ=3.〔14分〕方法二：作OE PB ⊥，连接AE ，由(Ⅰ)知AO ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ，∴AO ⊥PB ，又AO OE O =，,AO OE ⊂平面AOE， ∴PB ⊥平面AOE ，又AE ⊂平面AOE ， ∴PB ⊥AE ，∴AEO ∠即为二面角A PB D --的平面角〔8分〕作PF OD ⊥于F ，由AC ⊥平面PBD 及PF ⊂平面PBD 知，AC PF ⊥又ODAC O =，,OD AC ⊂平面ABCD ，因此PF ⊥平面ABCD因此POF ∠即为直线PO 与平面ABCD 所成的角，即POF θ∠=〔10分〕 在Rt AOE ∆中，1,πθθAO OE 222⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， DBCOP（第20题）EF由cos AEO ∠=7知，tan1AOAEO θOE2∠===，那么1sin 2θ2=，又πθ02∈（，），因此πθ=3，故πθ=3.〔14分〕 21、解〔Ⅰ〕当l 1与x 轴重合时，04321=+=+k k k k ，即43k k -=，〔2分〕∴l 2垂直于x 轴，得322||==a AB ，3342||2==a b CD ，〔4分〕 得3=a ，2=b ，∴椭圆E 的方程为12322=+y x 、〔6分〕 〔Ⅱ〕焦点1F 、2F 坐标分别为(-1,0)、(1,0)、当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(-1,0)或(1,0)、当直线l 1、l 2斜率存在时，设斜率分别为1m ，2m ，设),(11y x A ，),(22y x B ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)1(123122x m y y x 得0636)32(2121221=-+++m x m x m ，∴212121326m m x x +-=+，2121213263m m x x +--=、〔8分〕)2()11(2121122111221121x x x x m x x x x m x y x y k k ++=+++=+=+24)222(21121211--=--=m m m m m ，〔10分〕同理43kk +24222--=m m 、∵4321k k k k +=+，∴2424222211--=--m m m m，即0))(2(1221=-+m m m m 、由题意知21m m ≠，∴0221=+m m 、〔12分〕设),(y x P ，那么0211=+-⋅+x y x y ，即)1(1222±≠=+x x y ，〔14分〕 由当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(-1,0)或(1,0)也满足，∴),(y x P 点椭圆1222=+x y 上，∴存在点M 、N 其坐标分别为(0,-1)、(0,1)，使得||||PN PM +为定值22、〔15分〕 22、解：〔Ⅰ〕当3=a 时，x xx f ln 33)(-+=，〔2分〕 ∴x xx f 13)(2'--=，32)3('-=f ，〔4分〕 又3ln 4)3(-=f ，∴曲线)(x f y =在点))3(,3(f 处的切线方程为： )3(32)3ln 4(--=--x y ，即：3ln 632-+-=x y 、〔6分〕 〔Ⅱ〕由],1[2e x ∈得]2,0[ln ∈x ①当2≥a 时x a x a x f ln )(-+=，01)(2<--='x x a x f ，∴)(x f 在],1[2e 上递减， ∴232)1()(max ≤==a f x f ，∴43≤a ，如今a 不存在；〔8分〕 ②当20<<a 时 假设a e x ≤≤1时，xa xax f ln )(-+=由①得)(x f 在],1[a e 上递减， ∴43,232)1()(max ≤∴≤==∴a a f x f ，如今430≤<a 〔9分〕假设2e x e a ≤<时x xa x f a x x a x f 1)(,ln )(2+-='∴-+=令0)(='x f 得a x =，又x e x g x -=)(在)2,0(递增，故1)0(=>-g x e x ∴a e a <，当2e x e a <<时0)(>'x f ,∴)(x f 在(]2,e e a 递增，〔12分〕 ∴232)()(22max ≤-+==a eae f x f)1(222-≥e e a ，2)1(222<-e e ，∴2)1(222<≤-a e e ，〔13分〕 又43)1(2121)1(2222<-+=-e e e ，∴43)1(222≤≤-a e e综上知，实数a 的取值范围⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-43,)1(222e e 〔15分〕。

浙江名校新高考研究联盟2019高三第二次联考--数学（文）1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名；2.本试题卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，全卷总分值150分，考试时间120分钟。

参考公式：假如事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 假如事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅假如事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式121()3V h S S =，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 第I 卷〔选择题 共50分〕【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1.设全集=U R ，集合}0|{≥=x x A ，}032|{2<--=x x x B ，那么=B A C U )(〔 〕A.}03|{<<-x xB.}01|{<<-x xC.}10|{<<x xD.}30|{<<x x2.复数z 满足(1)2i z -=,i 为虚数单位，那么z =〔 〕 A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --3.,a b 为实数,那么“2a b +≤”是“1a ≤且1b ≤”的〔 〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A.假设αβ⊥，那么l m ⊥ B.假设αβ⊥，那么//l m C.假设l m ⊥，那么//αβ D.假设//l m ，那么αβ⊥5.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，假设222()tan a c b B +-=，那么角B 的值为 〔〕A.3πB.6πC.3π或23π D.6π或56π6.如右图是一个空间几何体的三视图，那个几何体的体积是〔〕 A.2πB.3πC.6π D.9π7.0,0a b >>，且5a b +=，那么21+++b a 的最大值为〔〕 A.62+ B.53+ C.4D.22314+8.,a b a b ==+设那么a b -与b 的夹角为〔〕 A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒9.设圆C 的圆心与双曲线222 1 (0)x y a a-=>的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，假设直线0x =被圆C 截得的弦长等于1，那么a 的值为〔〕 10.函数2()[+(22) +22](,,x f x x a x a b e a b R e =---⋅∈为自然对数的底〕在区间第（6）题图[1,3]-上是减函数，那么a b +的最小值是〔〕A.4B.2C.32D.23第二卷〔非选择题，共100分〕【二】填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分11.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图〔如图〕，那么这1000名学生在该次自主招生水平测试中不低于70分的学生数是〔〕12.椭圆2241x y +=的离心率为〔〕13.函数1lg(),0,(),0.x x x f x e x --<⎧=⎨≥⎩，假设2)()1(=+a f f ，那么a 的所有可能值为〔〕14.在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，那么取出小球标注的数字之差的绝对值为2或3的概率是〔〕15.执行如右图的程序框图，那么输出S 的值是〔〕16.假设函数()sin()2cos()f x x x αα=+--是奇函数，那么sin cos αα⋅=〔〕 17.在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+*()n N ∈,那么数列{}n a 的通项=n a 〔〕 【三】解答题：本大题共5小题，共72分。

浙江省五校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．[0，2）2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2] C．D．[﹣4，5]4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2] C．（0，1] D．（1，2）6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣ C．﹣ D．﹣38．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是；几何体的体积是．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是；函数f（x）的最大值是．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15= ；设b n=（﹣1）n a，数列{b n}前n项的和为S n，则S2016= ．n12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是；x2+y2的最小值是．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y 轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF 折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．20．已知正项数列{a n}满足：S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项的和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．[0，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），∵全集为R，∴∁R B=（﹣∞，1]，则A∩∁R B=[0，1]．故选：B．2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在△ABC中，由“a2+b2＜c2”，利用余弦定理可得：C为钝角，因此“△ABC为钝角三角形”，反之不成立．【解答】解：在△ABC中，“a2+b2＜c2”⇔cosC=＜0⇒C为钝角⇒“△ABC为钝角三角形”，反之不一定成立，可能是A或B为钝角．∴△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2] C．D．[﹣4，5]【考点】基本不等式．【分析】对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，可得+=（sin2θ+cos2θ）=5++，利用基本不等式的性质可得其最小值M．由不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得M≥|2x﹣1|，解出即可得出．【解答】解：∵对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，∴+=（sin2θ+cos2θ）=5++≥5+2×2=9，当且仅当时取等号．∵不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴9≥|2x﹣1|，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5，则实数x的取值范围是[﹣4，5]．故选：D．4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明即可．B．研究四面体的底面积和高的变化进行判断即可．C．所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C的长度，求出球半径进行计算即可．D．根据正方体内切球和三角形外接圆的关系进行判断即可．【解答】解：A．∵AB1∥DC1，AC∥A1C1，且AC∩AB1=A，∴平面ACB1∥平面A1C1D，长方体的体对角线BD1=，设B到平面ACB1的距离为h，则=×1=h，即h=，则平面ACB1与平面A1C1D的距离d=﹣2h==，故A正确，B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，C．与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C=，则2R=，R=，则球的体积V==×π×（）3=π，故C正确，D．设与正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球为O′，则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球为O′的一个小圆，∵点M在与正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，∴线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球相切的球的半径，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴线段MN长度的最小值是﹣．故D错误，故选：D．5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2] C．（0，1] D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数f（x）的图象，问题转化为f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象读出即可．【解答】解：画出函数f（x）在[0，2π]的图象，如图示：，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，即f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，0＜m＜1，故选：A．6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理，化简可得|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，再由三角形的等积法，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，①由直径所对的圆周角为直角，可得PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，②②﹣①2，可得2|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2，即有|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，由三角形的面积公式可得，|PF1|•|PF2|=|PH|•|F1F2|，即有2c2﹣2a2=2ac，由e=可得，e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去）．故选：C．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣ C．﹣ D．﹣3【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知式子可得sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，保持整体展开变形可得tan（α+β）=2tanα，再由3tan+=1和二倍角的正切公式可得tanα的值，代入计算可得．【解答】解：∵sinβ=3sin（2α+β），∴sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，∴sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα+3cos（α+β）sinα，∴2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，∴tan（α+β）===2tanα，又∵3tan+=1，∴3tan=1﹣，∴tanα==，∴tan（α+β）=2tanα=，故选：A．8．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图所示，O在AC上，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠OAE=30°，由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，由此可得顶点C1到平面α的距离的最大值．【解答】解：如图所示，AC的中点为O，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠AOE=30°由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，C1O=，OE=OA=2﹣x，∴C1E=+2﹣x，令y=+2﹣x，则y′=﹣=0，可得x=，∴x=，顶点C1到平面α的距离的最大值是2（+）．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是8π；几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，由三视图求出几何元素的长度，利用柱体、球体的体积公式计算出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，球和底面圆的半径是1，圆柱的母线长是2，∴几何体的表面积S=4π×12+2π×1×2=8π，几何体的体积是V==，故答案为：．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是π；函数f（x）的最大值是．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式化f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），由已知求出θ得到a值，则函数的周期及最值可求．【解答】解：∵f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），又x=是函数的一条对称轴，∴，即．则f（x）=．T=；由a=tanθ=tan（）=tan=，得．∴函数f（x）的最大值是．故答案为：．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15= 3 ；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则S2016= ﹣2100 ．【考点】数列的求和．【分析】利用递推式计算前5项即可发现{a n}为周期为4的数列，同理{b n}也是周期为4的数列，将每4项看做一个整体得出答案．【解答】解：∵a1=2，a n+1=，∴a2==﹣3，a3==﹣，a4==，a5==2．∴a4n+1=2，a4n+2=﹣3，a4n+3=﹣，a4n=．∴a4n+1•a4n+2•a4n+3•a4n=2×=1．∴a1a2a3…a15=a13a14a15=a1a2a3=2×（﹣3）×（﹣）=3．∵b n=（﹣1）n a n，∴b4n+1=﹣2，b4n+2=﹣3，b4n+3=，b4n=．∴b4n+1+b4n+2+b4n+3+b4n=﹣2﹣3++=﹣．∴S2016=﹣×=﹣2100．故答案为：3，﹣2100．12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是24 ；x2+y2的最小值是8 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．第二问，转化为点到原点的距离的平方，求出B的坐标代入求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，由可得，A（8，8）z最大等于2×8+8=24．x2+y2的最小值是可行域的B到原点距离的平方，由可得B（2，2）．可得22+22=8．故答案为：24；8．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．由于向量与﹣夹角为，可得：∠A OB=θ∈.∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，化简整理可得：=2+﹣=+2，即可得出．【解答】解：不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．∵向量与﹣夹角为，∴∠AOB=θ∈．∴∈，∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，∴=，=sinθ=，∴=2+﹣=+2=+2=+2∈．∴的取值范围是．故答案为：．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是f（x）=4•（）（x∈N*）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由题意可得f（x）＞0恒成立，可对等式两边取2为底的对数，整理为log2f（x+1）﹣2=（log2f（x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}为首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式，整理即可得到f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）＞0恒成立，由f（x+1）=2，可得：log2f（x+1）=1+log2，即为log2f（x+1）=1+log2f（x），可得log2f（x+1）﹣2=（log2f（x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}是首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，可得log2f（x）﹣2=（log210﹣2）•（）x﹣1，即为log2f（x）=2+log2•（）x﹣1，即有f（x）=22•2=4•（）．故答案为：f（x）=4•（）（x∈N*）．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y 轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是8 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，写出直线AB的方程为（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0，由直线AB与圆相切可得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0，同理：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y A，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，因为S=|y C﹣y B|x0，再结合韦达定理即可求出三角形的最小值．【解答】解：设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，所以直线AB的方程，化简得（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0直线AB与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，两边平方化简得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0 同理可得：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y C，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，所以y C+y B=，y C y B=，所以S=|y C﹣y B|x0==（x0﹣2）++4≥8，所以当且仅当x0=4时，S取到最小值8，所以△ABC的面积的最小值为8．故答案为：8．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DCB，利用余弦定理可求BD，进而求得AC，AB，利用三角形面积公式即可得解．（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，由已知及基本不等式可求BD的最小值，进而可求AC的最小值．【解答】（本题满分为15分）解：（Ⅰ）∵∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB，可得A，B，C，D四点共圆，∴∠DCB=120°，∴BD2=BC2+CD2﹣2CD•CB•cos120°=1+4+2=7，即BD=，∴，∴，∴．…（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，则：x+y=3，BD2=x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy，∴，当时取到．…17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF 折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE为二面角A﹣BF﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣BF﹣C的余弦值．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，由AB⊥CF，得GB⊥CF，由此能求出cosθ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面AEF⊥平面CEFB，且EF⊥EC，∴AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE为二面角A﹣BF﹣C的平面角设，，，∴，∴二面角A﹣BF﹣C的余弦值为．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，如果AB⊥CF，则根据三垂线定理有GB⊥CF，∵△BCF为正三角形，∴，则，∵，∴，∴cosθ的值为．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．【考点】二次函数的性质；绝对值三角不等式．【分析】（1）由|f（x）|≤得|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，代入解析式即可得出a，b，c的关系，使用放缩法求出|f（2）|的最值；（2）由（1）得出|g（±1）|，故g（x）单调时结论成立，当g（x）不单调时，g（x）=a，利用不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，∴|c|≤，|a+b+c|≤，|a﹣b+c|≤；∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（a﹣b+c）﹣3c|≤|3（a+b+c）|+|（a﹣b+c）|+|﹣3c|≤=．∴|f（2）|的最大值为．（2）∵﹣≤a+b+c≤，﹣≤a﹣b+c≤，﹣≤c≤，∴﹣1≤a+b≤1，﹣1≤a﹣b≤1，∴﹣1≤a≤1，若c|x|+bx=0，则|g（x）|=|a|，∴|g（x）|≤1，若c|x|+bx≠0，则g（x）为单调函数，|g（﹣1）|=|a﹣b+c|≤，|g（1）|=|a+b+c|≤，∴|g（x）|．综上，|g（x）|≤1．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆立，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在点满足．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3∴椭圆方程为（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=如果要上式为定值，则必须有验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点满足20．已知正项数列{a n}满足：S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项的和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*）与S n﹣12=a13+a23+…+a n﹣13（n≥2，n∈N*）作差、计算可知S n+S n﹣1=，并与S n﹣1﹣S n﹣2=作差、整理即得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知，一方面利用不等式的性质、累加可知（）+（）+（）+…+（）＞，另一方面通过放缩、利用裂项相消法计算可知++…+＜2，进而整理即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），∴S n﹣12=a13+a23+…+a n﹣13（n≥2，n∈N*），两式相减得：﹣=，∴a n（S n+S n﹣1）=，∵数列{a n}中每一项均为正数，∴S n+S n﹣1=，又∵S n﹣1﹣S n﹣2=，两式相减得：a n﹣a n﹣1=1，又∵a1=1，∴a n=n；证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，∴，即，令k=1，2，3，…，n，累加后再加得：（）+（）+（）+…+（）＞2+2+ (2)=（2n+1）=，又∵+++…+＜3等价于++…+＜2，而=＜=（﹣）=（﹣）＜（﹣）=2（﹣），令k=2，3，4，…，2n+1，累加得：++…+＜2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（1﹣）＜2，∴．。

2019届浙江省联盟校高三下学期第二次联考数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6}N =，则M N =I （ ）．A ．{2,4,6}B ．{2,4}C ．{1,2,3,4,5,6}D ．{3,5,6} 【答案】B【解析】根据交集的定义求解.【详解】因为{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6}N =，所以{2,4}M N ⋂=.故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2．已知21i z i =+（其中z 为z 的共轭复数，i 为虚数单位），则复数z =（ ）． A ．1i -B ．1i --C ．1i +D ．1i -+ 【答案】A【解析】先根据复数代数形式的四则运算将z 化简为a bi +（其中a ，b 为实数）的形式，然后根据共轭复数的概念求复数z 即可．【详解】 由题意得，22(1)(1)11(1)(1)i i i z i i i i i i -===-=+++-， 故1z i =-.故选：A ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算、共轭复数的概念，还考查运算求解的能力，属于基础题. 3．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为4，则该双曲线的渐近线方程为（ ）． A ．14y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．4y x =±【答案】B【解析】先根据双曲线的实轴长为4求得a 的值，再求双曲线的近线方程即可．【详解】因为双曲线的实轴长为4，所以24a =，2a =， 所以双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．函数||2x y x e =-的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】用特殊值法取4x =，排除A ，B ，再用导数法研究当0x >时的单调性，再用特殊值进一步确定.【详解】取4x =，则2422440y ee =-=->，排除A ，B ； 当0x >时，22x y x e x '=-⨯∴1214111e e012222xy==-⨯=-<⨯'，因此在原点右侧附近，2xy x e=-应该为减函数.故选：C．【点睛】本题主要考查函数图象的判断，对函数性质的理解、求导运算、数值估算，还考查了运算求解辨析的能力，属于基础题.5．已知,a b∈R，则“||||a ba b>”是“a b>”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由||||a ba b>可得0a>，0b<，判断充分性，用特殊值法取2a=，1b=，判断必要性．【详解】由||||a ba b>可得0a>，0b<，故a b>，故充分；取2a=，1b=，则a b>，此时||||=a ba b，故不必要．故选：A．【点睛】本题考查充要关系的判断及不等式的有关知识，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A．6 B．62C．14 D．2【解析】由三视图可知该几何体是从长、宽、高分别为4，4，3的长方体截取而来，其中高为4，底面是一个等腰梯形.【详解】将几何体放入长、宽、高分别为4，4，3的长方体中，可知该几何体的直观图如图中四棱锥A BCDE -所示，故S 四边形114422622BCDE =⨯⨯-⨯⨯=， 四棱锥A BCDE -的高3h =， 故该几何体的体积13V S =四边形16363BCDE h =⨯⨯=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图及体积的计算，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7．已知随机变量ξ的分布列为 ξ0 1 2 Px y 2y x -则当102x <<时，随着x 的增大，（ ）． A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小再增大D ．()D ξ先增大再减小 【答案】D【解析】先根据分布列的性质求得y 的值，进而可求出随机变量ξ的数学期望和方差的表达式，然后根据二次函数的图象与性质即可判断()D ξ的变化趋势．因为21x y y x ++-=， 所以13y =，所以5()2(2)23E y y x x ξ=+-=-， 所以()D x ξ=⨯2225550212(2)22333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⨯-++-⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x y x y x x ， 282439=-++x x ， 212433⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭x ， 因为102x <<， 所以由二次函数的图象和性质知，随着x 的增大，()D ξ先增大再减小.故选：D ．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，二次函数的图象与性质，还考查了运算求解能力及分析问题、解决问题的能力，属于中档题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知AC 与BD 交于点O ，E 是1DD 的中点，F 为棱11A B 上的任意一点（不与端点重合），则平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】D【解析】先根据线线垂直证得AE ⊥平面1OFB ，然后根据面面垂直的判定定理证平面ABE ⊥平面1OFB ，即可得到平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小．【详解】如图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，过点O 作OP AD ⊥于点P ，则P 为AD 的中点， 因为11A B ⊥平面11ADD A ，AE ⊂平面11ADD A ，所以11AE A B ⊥．在正方形11ADD A 中，连接1A P ，易知1AE A P ⊥，又1111A B A P A ⋂=，所以AE ⊥平面11OB A P ，所以AE ⊥平面1OFB ，又AE ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面1OFB ，因此平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小为90︒.故选：D ．【点睛】本题主要考查线面位置关系、二面角的求法，还考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题.9．已知函数(1)ln ,1(),1f x x x f x ex +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中e 为自然对数的底数，则函数(())1y f f x =-的零点个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先将函数的零点个数问题等价转化为方程根的个数问题，再分情况讨论方程的根的个数，即可得到函数(())1y f f x =-的零点个数．【详解】函数(())1y f f x =-的零点个数即方程(())1f f x =的根的个数．令()f x t =，则原问题转化为()1(0)f t t =≥的根的个数问题．当1t ≥时，由ln 1t =，解得t e =，所以()f x e =，则当1x ≥时，ln x e =，解得e e x =；当1x <时，(||1)f x e e +=，得(||1)1f x +=，又||11x +≥，所以ln(||1)1x +=，解得1x e =-或1x e =-，又1x <，所以1x e =-．当01t ≤<时，由(||1)1f t e +=，得(||1)0f t +=，所以ln(||1)0t +=，解得0t =，所以()0f x =，所以ln 0x =，解得1x =．综上，函数(())1y f f x =-有e e ，1e -，1这3个零点．故选：C ．【点睛】本题主要考查分段函数、函数的零点等，还考查了转化化归的思想好运算求解能力，属于难题.10．已知数列{}n a 满足112a =，211n n n a a a +=++，若12111n n S a a a =++⋯+，对任意的*n N ∈，n S M <恒成立，则M 的最小值为（ ）．A ．83B ．269C ．2627D ．3【答案】D【解析】先根据已知的递推关系式得到0n a >，然后结合基本不等式得到1103n n a a +<<，进而得到*11111(2,3)n n n n N a a -<⋅≥∈，最后利用此不等式对n S 放缩，并利用等比数列的前n 项和公式求解即可．【详解】由211n n n a a a +=++，得2111n n n a a a +-=+>，又112a =，所以0n a >． 由211n n n a a a +=++， 可得1113n n n na a a a +=++≥，当且仅当21n a =时等号成立， 因为112a =，11n n a a +->， 所以21n a ≠，所以1103n n a a +<<， 所以111103n na a +<<⋅， 所以()*2112111111112,333n n n n n n N a a a a ---<⋅<⋅<<⋅≥∈…， 所以2111211111111111111111111313333333n n n n n S a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=++++⋅+⋅++⋅=+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………． 又对任意的*n N ∈，n S M <恒成立，所以3M ≥，故M 的最小值为3．故选：D【点睛】本题主要考查数列的递推关系式、放缩法的应用、基本不等式、等比数列的前n 项和公式、不等式恒成立问题等，还考查了运算求解和逻辑推理能力．属于难题.二、双空题11．我国唐代天文学家、数学家张逐曾以“李白喝酒”为题编写了如下一道题：“李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗（计量单位），三遇店和花，喝光壶中酒．”问最后一次遇花时有酒________斗，原有酒________斗．【答案】1 78【解析】用倒推的方法，根据最后一次喝光酒，且见花喝一斗，可知最后一次遇花时有酒1斗，然后设原有酒x 斗，根据他三遇店和花，遇店加一倍，见花喝一斗，递推可得第三次见店又见花后酒有()222111x ---⎡⎤⎣⎦斗，再根据最后一次喝光酒，令()2221110x ⎡⎤⎣⎦---=求解即可.【详解】因为最后一次喝光酒，且见花喝一斗，所以最后一次遇花时有酒1斗，设原有酒x 斗，由他三遇店和花，遇店加一倍，见花喝一斗得：第一次见店又见花后酒有21x -斗，第二次见店又见花后酒有()2211x --斗，第三次见店又见花后酒有()222111x ---⎡⎤⎣⎦斗，因为最后一次喝光酒，所以()2221110x ⎡⎤⎣⎦---=， 解得78x =. 故答案为：(1). 1 (2).78 【点睛】本题主要考查合情推理，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.12．已知实数x ，y 满足约束条件0,02020x y x y x y ≥≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2x y +的最小值为________，最大值为________．【答案】0 10【解析】先根据约束条件作出可行域，然后数形结合求最值即可．【详解】作出可行域如图中阴影部分所示：阴影三角形区域的三个顶点坐标分别为(0,0)，(2,0)，(4,2)，作出直线20x y +=并平移，当平移后的直线经过点(0,0)时，2x y +取得最小值，且最小值为0；当平移后的直线经过点(4,2)时，2x y +取得最大值，且最大值为10．故答案为：(1). 0 (2). 10【点睛】本题主要考查线性规划问题，还考查作图能力和运算求解能力，属于基础题.13．若1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则n =________，二项展开式中的常数项为________．【答案】6 20【解析】先根据二项式系数之和为64求得n 的值，然后根据二项式定理写出二项展开式的通项，令x 的次数为0，求得r 的值，即可求得二项展开式中的常数项．【详解】由二项式系数之和为64，得264n =，故6n =， 所以二项展开式的通项6161r r r r T C xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭626r r C x -=， 令620r -=，得3r =，则项展开式中的常数项为34620T C ==．故答案为： (1). 6 (2). 20【点睛】本题主要考查二项式系数之和及二项展开式中的常数项的求解，还考查了运算求解能力，属于基础题.14．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且222sin sin sin sin sin A C A C B +-=，则角B 的大小为________，若b =AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值为________．【答案】3π6+ 【解析】先根据正弦定理将已知等式转化为a ，b ，c 之间的关系，然后利用余弦定理即可求出角B 的大小，最后利用正弦定理及向量数量积的几何意义求AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值． 【详解】因为222sin sin sin sin sin A C A C B +-=， 所以222a c ac b +-=，即222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==．又(0,)B π∈， 所以3B π=．设ABC V 的外接圆半径为r ，则2sin b r B=42==， 即2r =．cos AB AC bc A ⋅=u u u r u u u r ，且cos c A 为AB u u u r 在AC u u ur 方向上的投影，而max (cos )c A 2b r =+，故max ()62b AB AC b r ⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v故答案为：(1). 3π(2). 6+ 【点睛】本题主要考查正、余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题15．某人将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球随机放入编号分别为1，2，3，4，5的5个盒子中，每个盒子中放一个小球若球的编号与盒子的编号相同，则视为“放对”，否则视为“放错”，则全部“放错”的情况有________种． 【答案】44【解析】可以利用计数原理从正面求解问题，先算出所有情况的种数，然后分别计算有1，2，3，4，5个小球“放对”的情况，最后相减即可得到结果． 【详解】解法一 第一步，若1号盒子“放错”，则1号盒子有14C 4=种不同的情况；第二步，考虑与1号盒子中所放小球的编号相同的盒子中的情况，若该盒子中的小球编号恰好为1，则5个小球全部“放错”的情况有122C =（种），若该盒子中的小球编号不是1，则5个小球全部“放错”的情况有()113219C C +=（种）． 由计数原理可知，5个小球全部“放错”的情况有4(29)44⨯+=（种）．解法二 将5个小球放入5个盒子中，共有55120A =种不同的放法，其中恰有1个小球“放对”的情况有()111532145C C C +=（种），恰有2个小球“放对”的情况有215220C C =（种），恰有3个小球“放对”的情况有3510C =（种）， 恰有4个小球“放对”的情况有0种， 恰有5个小球“放对”的情况有1种，故全部“放错”的情况有120452010144----=（种）． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查排列组合的有关知识，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.16．在四边形ABCD 中，3AB BC ==，4CD =，5DA =，则AC BD ⋅=u u u r u u u r________．【答案】92【解析】先根据平面向量的线性运算将AC BD ⋅u u u v u u u v转化为AC AD AC AB ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，然后根据平面向量的数量积和余定理求解即可． 【详解】因为()AC BD AC AD AB AC AD AC AB ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，||||cos ,AC AB AB AC AB AC ⋅=⋅〈〉u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，222||||||||||2||||+-=⋅⋅⋅AB AC BC AB AC AB AC u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， 222||||||2+-=AB AC BC u u u r u u u r u u u r ， ||||cos AC AD AD AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,〈〉AD AC u u u r u u u r ，222||||||||||2||||+-=⋅⋅⋅AD AC CD AD AC AD AC u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 222||||||2+-=AD AC CD u u u r u u u r u u u r 因为3AB BC ==，4CD =，5DA =， 所以BD A A C AD B C AC A ⋅=⋅-⋅uu u u u u u r u u u r u u u r u u u r r u ur ，222||||||2AD AC CD +-=-u u u r u u u r u u u r 222||||||922AB AC BC +-=u u u r u u u r u u u r ． 故答案为：92【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、数量积，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力和化归与转化思想，属于中档题.17．已知圆()()2200:8M x x y y -+-=，点(2,4)T -，从坐标原点O 向圆M 作两条切线OP ，OQ ，切点分别为P ，Q ，若切线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，121k k =-，则||TM 的取值范围为________．【答案】4]-+【解析】先根据题意得到直线OP ，OQ 的方程，再根据直线与圆的位置关系得到12k k ，结合121k k =-，即可求得圆心M 的轨迹方程，最后数形结合可得||TM 的取值范围． 【详解】由题意可知，直线1:OP y x k =，2:OQ y k x =， 因为直线OP ，OQ 与圆M 相切，==两边同时平方整理可得()2221010008280k x k x y y -++-=，()2222020008280k x k x y y -++-=，所以1k ，2k 是方程()2220008280(0)kx kx yy k -++-=≠的两个不相等的实数根，所以212288y k k x -=-．又121k k =-， 所以202818y x -=--，即220016x y +=．又||TO ==， 所以||4||||4TO TM TO -≤≤+，即4||4TM ≤≤．故答案为：4] 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，还考查了数形结合思想和运算求解能力，属于中档题.四、解答题18．已知向量(cos ,1)(0)m a x a =-≠r，cos ,)n x x b =-r，函数()f x m n =⋅r r． （1）求函数()f x 的最小正周期与()f x 图象的对称轴方程； （2）若0a >，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 的最小值是1-，最大值是2，求实数a ，b 的值．【答案】（1）22T ππ==；（2）实数a ，b 的值分别为2，1-． 【解析】（1）先由向量的数量积及三角恒等变换求出函数()f x 的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出函数()f x 的最小正周期与()f x 图象的对称轴方程即可；（2）先根据x 的取值范围求出26x π-的取值范围，然后根据正弦函数的图象和性质求出函数()f x 的最值，最后根据已知条件列出方程组，解之即可得实数a ，b 的值． 【详解】（1）由题意得()cos cos )=⋅=--f x m n a x x x b r r31cos 2sin 22⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭x a x b， sin =a 262ax b π⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==． 令262x k πππ-=+，k Z ∈，解得32k x ππ=+，k Z ∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为32k x ππ=+，k Z ∈．（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 因为0a >， 所以当266x ππ-=-，即0x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为22a ab ---，即a b --，当226x ππ-=，即3x π=时，函数()f x 取得最大值，最大值为2a ab --，即2ab -， 所以122a b a b --=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩．故实数a ，b 的值分别为2，1-． 【点睛】本题主要考查向量的数量积、三角恒等变换、三角函数的图象与性质，还考查了运算求解能力与分析问题、解决问题的能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知四边形ABCD 是菱形，60BAD ︒∠=，PD AD =，PB AB =，二面角A DB P --的大小为120︒，E 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）21313. 【解析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，根据三角形的中位线定理证得//OE AP ，然后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）先根据（1）得到直线AP 与平面PBC 所成的角，即直线OE 与平面PBC 所成的角，然后过点O 作OF BE ⊥，利用面面垂直的性质定理得到OF ⊥平面PBC ，进而得OEB ∠为直线OE 与平面PBC 所成的角，最后求OEB ∠的正弦值即可． 【详解】 （1）如图所示：连接AC 交BD 于点O ，则O 是AC 的中点，连接OE ． 又E 是PC 的中点，所以//OE AP ， 因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以//PA 平面BDE ．（2）过点O 作OF BE ⊥，垂足为F ，连接OP ． 由（1）知//OE AP ，所以直线AP 与平面PBC 所成的角，即直线OE 与平面PBC 所成的角． 易知BP BC =，又E 是PC 的中点， 所以BE PC ⊥．同理DE PC ⊥，又DE BE E ⋂=， 所以PC ⊥平面BDE ， 因为PC ⊂平面PBC ， 所以平面BDE ⊥平面PBC ．因为平面BDE ⋂平面PBC BE =，OF ⊂平面BDE ，OF BE ⊥， 所以OF ⊥平面PBC ，所以OEB ∠为直线OE 与平面PBC 所成的角．因为PD PB =，所以EO DB ⊥，又AC DB ⊥，EO AC O =I ， 所以DB ⊥平面ACP ，所以AOP ∠为二面角A DB P --的平面角， 所以120AOP ∠=o ，设菱形ABCD 的边长2AB =，又60BAD ︒∠=，所以AO OP ===由余弦定理得：2222cos1209AP AO OP AO OP =+-⋅=o ， 所以3AP =，在Rt EOB V 中，1322OE AP ==，1OB =，BE ==所以sin OB OEB BE ∠==， 所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为13． 【点睛】本题主要考查线面平行的证明、线面角的寻找与求解，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.20．已知数列{}n a 满足132a =，111,213,2n n n a n n k a a n k--+-=+⎧=⎨=⎩，其中*k N ∈．记2112n n b a n -=++，*n N ∈． （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）记212212n n n S a a a a -=++++…，试比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）2(1)213333n n n nS S ++++>理由见解析. 【解析】（1）根据题意求1n nb b +及1b ，即可得到数列{}n b 是等比数列；（2）根据（1）得到数列{}n b 的通项公式及前n 项和，然后根据题意将2n S 和数列{}n b 的前n 项和联系起来，得到2n S ，进而得22n S +，最后利用作差法比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小即可． 【详解】（1）由题意得21221121212113312332223111222n n n n nn n n a n a n n a n b b a n a n a n +-+---++++++++====++++++， 且11332b a =+=，所以数列{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）知，3nn b =，所以()11231333132n n n b b b +--+++==-…．因为2112n n b a n -=++，*n ∈N ， 所以123112n n b a n --=+-+，……23122b a =++， 11112b a =++，所以()121321(1)22n n n n nb b b a a a -++++=+++++……． 而212212n n n S a a a a -=++++…，11212133…--=++++n n a a a a ，()13214…-=+++n a a a .所以1212233242324622n n n n n S n n ++⎛⎫-+=-=⨯--- ⎪⎝⎭，故222222232(1)4(1)6232812n n n S n n n n +++=⨯-+-+-=⨯---，而()2(1)2(1)22111333333333+++++++++-=-n n n n n n n n S S S S ， ()221211232893232433+++⎡⎤=⨯----⨯---⎣⎦n n n n n n n ， ()2114403n n n +=+>，故2(1)213333n n n nS S ++++>． 【点睛】本题主要考查等比数列的证明、通项公式，数列求和，作差法比较大小等，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．21．已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率e =且经过点(1,0)，P 是抛物线22:2(0)C x py p =>上一点，过点P 作抛物线2C 的切线l ，与椭圆1C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线14x =-平分弦AB ，求p 的取值范围．【答案】（1）2214y x +=；（2）0p <<【解析】（1）易得1b =，结合椭圆的离心率及222a b c =+即可求出a ，c 的值，进而可得椭圆1C 的方程；（2）先根据题意得出切线l 的方程，然后将切线方程代入椭圆方程，最后利用根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性求解即可． 【详解】（1）由题意可知，c e a ==，1b =， 又222a b c =+，所以2a =，c =，所以椭圆1C 的方程是2214y x +=．（2）由题意可设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22x py =，即22x y p=，所以x y p '=，所以切线l 的方程是()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p=-， 将其代入椭圆方程得23420002224404x x x x x p p p ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 故62400042244404x x x p p p ⎛⎫⎛⎫∆=-+-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即422004160x x p --<．① 设()11,A x y ，()22,B x y ，则312224x x x p x +=+， 又直线14x =-平分弦AB ，所以1212x x +=-，所以30220142x p x =-+，即2320042p x x =--，② 将②代入①得430080x x +<，③由②③得0182x -<<-． 设32()2f x x x =--，则21()62603⎛⎫'=--=-+< ⎪⎝⎭f x x x x x ，18,2⎛⎫∈--⎪⎝⎭x 恒成立， 所以()f x 在18,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 所以320()288960f x <<⨯-=， 所以294006<<p ，解得0p << 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系、抛物线方程等，还考查了直观想象、逻辑推理、运算求解的能力，属于难题． 22．已知函数()322133222f x ax x a x =-+，其中a R ∈． （1）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的值 （2）函数()()()232g x f x f x a x '=+-，当[]0,2x ∈时，()g x 在0x =处取得最大值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2a =-；（2）6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）由题意得出()10f '=，可求得实数a 的值，然后将实数a 的值代入导数，就函数()y f x =是否在1x =处极大值进行检验，由此可得出实数a 的值； （2）求得()()32213313222g x ax a x x a =+--+以及()()232122g x ax a x '⎡⎤=+--⎣⎦，对实数a 分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =在区间[]0,2的单调性，结合函数()y g x =在0x =处取得最值进行验证或得出不等式，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()322133222f x ax x a x =-+Q ，()2233322f x ax x a '∴=-+， 由题意可得()23313022f a a '=-+=，整理得220a a +-=，解得1a =或2a =-. 当1a =时，()()22333310222f x x x x '=-+=-≥恒成立， 此时，函数()y f x =在R 上单调递增，无极值；当2a =-时，()()()()2233632312f x x x x x x x '=--+=-+-=--+. 令()0f x '>，得21x -<<；令()0f x '<，得2x <-或1x >.此时，函数()y f x =在1x =处取得极大值，合乎题意.综上所述，2a =-；（2）()()()()23223133132222g x f x f x a x ax a x x a '=+-=+--+， ()()()223331321222g x ax a x ax a x '⎡⎤∴=+--=+--⎣⎦. ①当0a =时，()330g x x '=--<对任意的[]0,2x ∈恒成立，此时，函数()y g x =单调递减，()()max 0g x g =，合乎题意；②当0a >时，对于函数()y g x '=，()2910a ∆=+>恒成立， 设方程()0g x '=的两根分别为1x 、2x ，则1220x x a=-<，设12x x <，则120x x <<. （i ）若202x <<，则当20x x <<时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减； 当22x x <≤时，()0g x '>，此时函数()y g x =单调递增.所以，()()(){}()max max 0,20g x g g g ==，则()()20g g ≤，即10120a -≤，解得65a ≤， 此时()()23430g a '=->，解得34a >，则3645a <≤； （ii ）当22x ≥时，即()()23430g a '=-≤，得304a <≤， 则()0g x '≤对任意的[]0,2x ∈恒成立，此时，函数()y g x =在区间[]0,2上单调递减， 则()()max 0g x g =，合乎题意；③当0a <时，对任意的[]0,2x ∈，()0g x '<，此时，函数()y g x =在区间[]0,2上单调递减，则()()max 0g x g =，合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数的极值点和最值点求参数，解题时要注意对参数的取值范围进行分类讨论，并学会利用导数分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。

2019届高三数学二模考试试题理（含解析）一､选择题1.已知是虚数单位，复数的共轭复数是（）A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数.【详解】因为,所以共轭复数就是.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2.已知集合，则满足的集合的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先求解集合，然后根据可求集合的个数.【详解】因为，，所以集合可能是.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.设向量，满足，，则（）A. -2B. 1C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】由平面向量模的运算可得：，①，②，则①②即可得解．【详解】因为向量，满足，，所以，①，②由①②得：，即，故选：．【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．4.定义运算，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数为奇函数排除、；再根据函数的单调性排除选项，即可得到答案．【详解】根据题意得，且函数为奇函数，排除、；；当时，，令，令，函数在上是先递减再递增的，排除选项；故选：．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5.已知圆:，定点，直线:，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.【详解】若点在圆外，则，圆心到直线:的距离，此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则，即，此时点在圆外.故选：C.【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.6.某程序框图如图所示，若输入的，则输出的值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第六次不满足判断框中的条件，执行输出结果．【详解】经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到经过第四次循环得到经过第五次循环得到经过第六次循环得到此时，不满足判断框中的条件，执行输出故输出结果为故选：．【点睛】本题主要考查解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．7.在公差不等于零的等差数列中，，且，，成等比数列，则（）A. 4B. 18C. 24D. 16【答案】D【解析】【分析】根据，，成等比数列可求公差，然后可得.【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，即有，解得，（舍），所以.故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据已知条件构建等量关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 8.已知，为椭圆的左右焦点，点在上（不与顶点重合），为等腰直角三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据为等腰直角三角形可得，结合椭圆的定义可求离心率.【详解】由题意等腰直角三角形，不妨设，则，由椭圆的定义可得，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.9.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【详解】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、4，由正视图知，三棱锥的高是4，该几何体的体积，故选：．【点睛】本题主要考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10.若的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）A. 672B. -672C. 5376D. -5376【答案】A【解析】【分析】先根据的展开式中的各项系数的和为1，求解，然后利用通项公式可得常数项.【详解】因为的展开式中的各项系数的和为1，所以，即；的通项公式为，令得，所以展开式中的常数项为.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知函数，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】【分析】先化简函数，然后利用解析式的特点求解最大值.【详解】，因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题，三角函数的最值问题主要是先化简为最简形式，结合解析式的特点进行求解.12.将边长为2的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱，点､分别是圆和圆上的点，长为，长为，且与在平面的同侧，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由弧长公式可得，，由异面直线所成角的作法可得为异面直线与所成角，再求解即可．【详解】由弧长公式可知，，在底面圆周上去点且，则面，连接，，，则即为异面直线与所成角，又，，所以，故选：．【点睛】本题主要考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，考查了空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二､填空题13.向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线下方概率为______.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案．【详解】作出平面区域，及曲线如图，，．向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为．故答案为：．【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14.设，满足约束条件，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的取值范围．【详解】作出，满足约束条件，则对应的平面区域（阴影部分），由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．此时的最大值为，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．此时的最小值为，故答案为：，．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.设等差数列的前项和为，若，，，则______.【答案】8【解析】【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式可得.【详解】因为，所以，因为，所以，设等差数列的公差为，则，解得，由得，解得.故答案为：8.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的运算，熟记相关的求解公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______.【答案】1【解析】【分析】分别设出两个切点，根据导数的几何意义可求.详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，则且，解得；同理可得且，解得；故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，设出切点建立等量关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三､解答题17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，求和；（2）求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件求出的余弦函数值，然后求解的值，然后求解三角形的面积；（2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．【详解】（1）因为，代入，得，所以，，由正弦定理得，所以，.（2）把余弦定理代入，得，解得.再由余弦定理得.当且仅当，即时，取最小值.【点睛】本题主要考查三角形的解法、正余弦定理的应用、三角形的面积以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．18.一只红玲虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观测数据如下表:温度21产卵数/7个为了预报一只红玲虫在时的产卵数，根据表中的数据建立了与的两个回归模型.模型①:先建立与的指数回归方程，然后通过对数变换，把指数关系变为与的线性回归方程:；模型②:先建立与的二次回归方程，然后通过变换，把二次关系变为与的线性回归方程:.（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和，模型①的相关指数；模型②的残差平方和，模型②的相关指数；，，；，，，，，，）【答案】（1），（2）模型①得到的预测值更可靠，理由见解析【解析】【分析】（1）把分别代入两个模型求解即可；（2）通过残差及相关指数的大小进行判定比较.【详解】(1)当时，根据模型①，得，，根据模型②，得.（2）模型①得到的预测值更可靠.理由1:因为模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由2:模型①的相关指数大于模型②的相关指数，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由3:因为由模型①，根据变换后的线性回归方程计算得到的样本点分布在一条直线的附近；而由模型②，根据变换后的线性回归方程得到的样本点不分布在一条直线的周围，因此模型②不适宜用来拟合与的关系；所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠.（注:以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得）【点睛】本题主要考查回归分析，模型拟合程度可以通过两个指标来判别，一是残差，残差平方和越小，拟合程度越高；二是相关指数，相关指数越接近1，则拟合程度越高.19.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.（1）求证:平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，然后可得平面平面；（2）建立坐标系，根据二面角的余弦值是可得的长度，然后可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）平面，平面，得.又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，因为，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则，，.又设，则，，，，.由且知，为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，即，取，，则，有，得，从而，.设直线与平面所成的角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.20.设为抛物线:的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，为的中点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得，则抛物线的方程可求；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为，与抛物线方程联立，求出，，可得四边形的面积，利用基本不等式求最值．【详解】（1）如图，为的中点，到轴的距离为，，解得．抛物线的方程为；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为．由，得．△，设，、，，则；同理设，、，，，则．四边形的面积．当且仅当时，四边形的面积取得最小值32．线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.是自然对数的底数，已知函数，.（1）求函数的最小值；（2）函数在上能否恰有两个零点?证明你结论.【答案】（1）（2）能够恰有两个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）先求导数，再求极值。

浙江省杭州市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数22sin ()1x xf x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A ；通过判断特殊点(),2f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭的函数值符号排除选项D 和选项C 即可求解. 【详解】对于选项A:由题意知,函数()f x 的定义域为R ，其关于原点对称，因为()()()()()2222sin sin 11x x x xf x f x x x ---==-=-+-+, 所以函数()f x 为奇函数,其图象关于原点对称，故选A 排除；对于选项D:因为2222sin 2202412f ππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故选项D 排除; 对于选项C:因为()()22sin 01f ππππ==+,故选项C 排除;故选:B 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 2．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( ) A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由()f x 的最小正周期是π，得2ω=， 即()sin(2)4f x x π=+cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos 2()8x π=-， 因此它的图象向左平移8π个单位可得到()cos2g x x =的图象．故选A ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质． 【名师点睛】三角函数图象变换方法：3．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324 B ．522C ．535D ．578【答案】D 【解析】 【分析】因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号. 【详解】从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:436,535,577,348,522,535,578,324,577,L ，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为436,535,577,348,522,578,324,L ，故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键. 4．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1 B ．2C ．3D ．6【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出5a ． 【详解】∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+,∴()()1111a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩，解得1a ＝﹣10，d ＝3， ∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A．且B．且C．且D．且【答案】A【解析】试题分析：由题意得，，∴，，∵，∴，∴，∴若：，，∴，若：，，∴，若：，，∴，综上可知，同理可知，故选A.考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.6．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意可得：131255iii-=--. 共轭复数为3155i+，故选A.考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．8 3B．163C．43D．8【答案】A【解析】【分析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，1822233V=⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键．8．设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y=-+的最大值为n，则2nxx⎛⎝的展开式中2x项的系数为( )A．60 B．80 C．90 D．120【答案】B【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n=，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y=-+，即322zy x=+，故z表示直线与y截距的2倍，根据图像知：当1,1x y=-=时，32z x y=-+的最大值为5，故5n=.52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C xx ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，取2r =得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=.故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 9．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40 B ．60C ．80D ．100【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质，根据题意，得到(110)(60)P X P X ≥=≤，求出概率，再由题中数据，即可求出结果. 【详解】由题意，成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，则正态分布曲线的对称轴为85x =，根据正态分布曲线的对称性，求得(110)(60)0.50.30.2P X P X ≥=≤=-=， 所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为5000.2100⨯=人， 故选:D . 【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易. 10．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．20【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果. 【详解】()()()32326z i a i a a i =-+=++-∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数， ∴320a +=且60a -≠ 得23a =-，此时203z i =故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题. 11．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4C ．14±D ．14【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．12．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得2ω=，且x ϕ=是()f x 的一条对称轴，即可求出ϕ的值，再根据三角函数的平移规则计算可得； 【详解】解：由已知得2ω=，x ϕ=是()f x 的一条对称轴，且使()f x 取得最值，则3πk ϕ=，π3ϕ=，π5ππ()cos 2cos 23122f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π()sin 2cos 22g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

试卷第1页，共6页浙江省杭州高级中学 2019 届高三2月高考模拟数学试卷第I 卷（选择题）一、选择题1、如图，点在正方体的表面上运动，且到直线与直线 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点的轨迹在展开图中的形状是（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知双曲线方程为 是双曲线的左顶点，是双曲线的左焦点，直线与相交于，若双曲线离心率为，则的余弦值为( )A ．B ．C ．D ．3、已知不等式组所表示的平面区域为 ，不等式组所表示的平面区域为，若中存在点在圆内，但中不存在点在圆内，则的取值范围是 （ ）试卷第2页，共6页A ．B ．C ．D ．4、已知数列的前项和为，对任意正整数，，则下列关于的论断中正确的是（ ）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，但不会是等比数列D ．可能是等比数列，但不会是等差数列 5、设中，角所对的边分别为，则“”的一个充分非必要条件是 ( )A ．B ．，C ．D ．6、已知，且 ，则的值是( ) A ．7 B ．C ．D ．987、已知函数，则函数在区间上的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48、已知集合则=（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题9、如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成角为，顶点在平面上的射影为点，当试卷第3页，共6页顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为__________。

10、在和中，是的中点，，若，则与的夹角的余弦值等于__________。

11、设为正数，且，则的最大值为__________。

12、设圆与抛物线相交于两点，为抛物线的焦点，若过点且斜率为的直线与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为，则的值__________，若直线与抛物线相交于两点，且与圆相切，切点在劣弧上，则的取值范是__________。

13、函数的部分图象如图，则函数表达式为_________；若将该函数向左平移 1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍得到函数__________。

浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第二次联考（返校考）数学部分小题解析编辑： 浙江省开化中学 张小臣8. 记函数1y x =-+M ，最小值为m ，则Mm的值为（ ）A.1B.1- 1- D.13-【解析】（三角换元）设,[0,]x θθπ=∈θ=，所以12sin()14y πθθθ=+-=+-因为5[,]444πππθ+∈，所以sin()[4πθ+∈，[1,1]y ∈，所以1M m ==故选B. 9. 学校安排一天6节课，语文、数学、英语和三节不同的选修课，则满足“数学不排第一节 和第六节，三节选修课至少2节相邻”的不同排法数是（ ） A. 288 B. 324 C. 360 D. 420【解析】若三节选修课都相邻，则将其捆绑看成一门课与语数英排，且其中数学不排两头，故此时有31332372A A A =种排法；若三节选修课仅有2节相邻，则相邻的情况有23A 种，再讨论每一种情况的排法：如图，若数学排在第2节，则相邻的两节选修课可排在3,4或4,5或5,6，，再考虑第三门选修课位置及语文与英语位置，此时不同的排法有122122222210A A A A A ++=种；若数学排在第3节，则相邻的两节选修课可排在1,2或4,5或5,6，再考虑第三门选修课位置及语文与英语位置，此时不同的排法有312123222214A A A A A ++=种；若数学在第4节排法与在第3节同；若数学在第5节排法与在第2节同. 所以仅有两节选修课相邻是符合要求的排法为23(102142)288A ⨯+⨯=种.综上，所求排法总数为72288360+=. 故选C.10. 如图，四面体A BCD -中，1,2 AB AC CD DA ====，当BC 与面ACD 所成角最 大时，四面体A BCD -的体积为（ ） A.12B. 1C.D. 不确定【解析】依题意，点B 在以A 为球心，以1为半径的球面上， 当BC 与面ACD 所成角最大时，直线BC 与球相切， 且平面ABC ⊥平面ACD . 过点B 作BE AC ⊥，垂足为E .在Rt ABC ∆中，2,1 AC AB ==，得60BAC ∠= 在Rt ABE ∆中，sin BE AB BAC =∠=. 所以2111312sin603322A BCDB ACD ACD V V S BE --∆==⋅=⋅⋅⋅⋅=. 故选A. 15. 已知平面中的三个向量,, a b c 满足1a b ⋅=，,3a b π<>=，1c a ⋅=，2c b ⋅=，则||c 的最小值是 . 【解析】由1a b ⋅=，,3a b π<>=，得||||2a b =，设(,0)(0)a t t =>，则13(,)b t =，设(,)c x y =，由1c a ⋅=，2c b ⋅=，得12xt x t=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t 得，22x =，由此得210)y x t ==>， 所以2||c xy =+==≥==. 故min 23||3c =.16. 已知椭圆22:184x y E +=，点P 是直线:4l x =上的任意一点，过点P 作椭圆E 的两条切线，切点分别是,A B ，则||AB 的最小值是 . 【解析】设(4,)P t ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则切线PA 方程为11184x x y y+=， 切线PB 方程为22184x x y y+=.因为它们都经过点P ，所以1122124124x ty x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故直线AB 的方程为124x ty +=，即22t x y =-+.联立2218422x y t x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去x 得，22(8)8160t y ty +--=所以12288t y y t +=+，122168y y t =-+，所以||AB ==24)8t ===-+ 所以当0t =时，min ||AB =【快解】（利用对称原理）设(4,)P t ，由题意及图形对称性可知当||t 越大时，||AB 越大.且当t →∞时，||2AB a →=当0t =时，求得直线AB 方程为2x =，代入椭圆方程，解得y =所以此时min ||AB =17. 若12b =，13(*2,)44N 且 R n n t b b n n t -=+∈≥∈，若||2n b ≤对任意*N n ∈恒成立， 则实数t 的取值范围是 . 【解析】当4t =时，{}n b 为首项为2，公差为34的等差数列，显然不合题意. 当4t ≠时，由11333()44444n n n n t t b b b b t t--=+⇒-=--- 又133522444t b t t t--=-=---， 若52t =，则2n b =，满足题意； 若5,42t ≠，则1523()444n n t t b t t--=⋅+--， 所以12115252||2()4444n n t t t tb t t t----≤⇔≤⋅≤---（*） 当5204t t -<-，即542t <<时，（*）式12111()452n t t t --⇔≤≤-不能恒成立； 当5204t t ->-，即4t >或52t <时，（*）式1211()1524n t tt --⇔≤≤-， 若4t >，右边不等号不能恒成立；若4t <-，右边不等号不能恒成立； 若542t -≤<，因为211152t t -<--，1|()|14n t -<，故1211()1524n t t t --≤≤-恒成立. 综上所述，5[4,]2t ∈-.。

2019届浙江省名校协作体⾼三下学期考试数学试卷【含答案及解析】2019届浙江省名校协作体⾼三下学期考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________⼀、选择题1. 已知集合则为（）A. B. C. D.2. 已知（为虚数单位），则“ ” 是“为纯虚数” 的（）A. 充分不必要条件________B. 必要不充分条件C. 充分必要条件________D. 既不充分也不必要条件3. 已知直线、与平⾯下列命题正确的是（）A. 且________B. 且C. 且________D. 且4. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度________B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度________D. 向右平移个单位长度5. 已知点满⾜，⽬标函数仅在点（ 1,0 ）处取得最⼩值，则的范围为（）A. B. C. D.6. 直线与圆交于两点，则的⾯积为（）A. B. C. D.7. 设函数，若不等式对任意实数恒成⽴，则的取值集合是（）A. B. C. D.8. 已知平⾯平⾯，，且 .是正⽅形，在正⽅形内部有⼀点，满⾜与平⾯所成的⾓相等，则点的轨迹长度为 ( )A. B. C. D.9. 在平⾯内，，若则的取值范围是（）A. B. C. D.10. 若集合，则集合中的元素个数是（）A. 2016B. 2017C. 2018D. 2019⼆、填空题11. 已知，，则的最⼤值是 _______ .12. 某⼏何体的三视图如图所⽰，且该⼏何体的体积是，则正视图中的的值是 _______ ，该⼏何体的表⾯积是 _______ .13. 设等⽐数列的前项和为，满⾜对任意的正整数，均有，则 _______ ，公⽐ _______ .14. 在中，⾓分别对应边，为的⾯积 . 已知，，，则 _______ ， _______ .15. ⼀个⼝袋⾥装有⼤⼩相同的 6 个⼩球，其中红⾊、黄⾊、绿⾊的球各 2 个，现从中任意取出 3 个⼩球，其中恰有 2 个⼩球同颜⾊的概率是 _______ . 若取到红球得 1 分，取到黄球得 2 分，取到绿球得 3 分，记变量为取出的三个⼩球得分之和，则的期望为 _____ .16. 设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第⼀象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离⼼率的值是 _______ .17. 设函数的两个零点分别为，且在区间上恰好有两个正整数，则实数的取值范围 _______ .三、解答题18. 已知，函数．（Ⅰ）若，求的单调递增区间；（Ⅱ）若的最⼤值是，求的值．19. 如图，在四棱锥中，底⾯为梯形，，，，平⾯，分别是的中点 . （Ⅰ）求证：平⾯；（Ⅱ）若与平⾯所成的⾓为，求线段的长 .20. 已知，函数 .（Ⅰ）若函数在上递减 , 求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，求的最⼩值的最⼤值；（Ⅲ）设，求证： .21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离⼼率为，直线与的两个交点间的距离为 .（Ⅰ）求椭圆的⽅程；（Ⅱ）分别过作满⾜，设与的上半部分分别交于两点，求四边形⾯积的最⼤值 .22. 已知函数 .（Ⅰ）求⽅程的实数解；（Ⅱ）如果数列满⾜，（），是否存在实数，使得对所有的都成⽴？证明你的结论．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设数列的前项的和为，证明：．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。