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第3章-逻辑函数

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《数字逻辑》第3章习题答案

《数字逻辑》第3章习题答案
习
题
【3-1】填空： (1) 逻辑代数中有三种最基本运算： 与 、 或 和 非 ，在此基础上又派生出五种基本运算， 分别为 与非 、 或非 、 异或 、 同或 、和 与或非 。 (2) 与运算的法则可概述为：有 0 出 0 ，全 1 出 1 ；类似地，或运算的法则为 有”1”出”1”， 全”0”出”0” 。 (3) 摩根定理表示为： A B = A B ； A B = A B 。 (4) 函数表达式 Y= AB C D ，则其对偶式为 Y ' = ( A B)C D 。 积的形式结果应为 M ( 0,1,2,4,5,8,9,10)。 (5) 函数式 F=AB+BC+CD 写成最小项之和的形式结果应为 m ((3,6,7,11,12,13,14,15))， 写成最大项之
0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0
【3-8】写出下列函数的反函数 F ，并将其化成最简与或式。 (1) F1 ( A D )( B C D)( AB C ) (2) F2 ( A B )( BCD E )( B C E )(C A) (3) F3 A B C A D (4) F4 ( A B)C ( B C ) D 解： (1) F1 AD C (2) F2 AB A C E (3) F3 AB AC A D (4) F4 BC C D ABD A B C 【3-9】用对偶规则，写出下列函数的对偶式 F ，再将 F 化为最简与或式。 (1) F1 AB B C A C (2) F2 A B C D (3) F3 ( A C )( B C D)( A B D) ABC (4) F4 ( A B )( A C )( B C )(C D) (5) F5 AB C CD BD C 解：题中各函数对偶函数的最简与或式如下： (1) F1 A BC AB C (2) F2 A B D A C D (3) F3 AC A BD (4) F4 A BC B C CD (5) F5 ABC D (6) F6 AB C D 【3-10】已知逻辑函数 F A B C , G=A⊙B⊙C，试用代数法证明： F G 。 解：

数字电子技术 第三章 组合逻辑电路

数字电子技术 第三章 组合逻辑电路

2021/6/10
23
3.2.2 二进制编码器
由于每次操作只有一个输入信号，即输入IR、IY、IG 具有互斥性，根据表3.5，将输出变量取值为1对应的输入 变量相加，可得输出Y1、Y0与输入IR、IY、IG之间的逻辑 关系表达式如下。
Y0 = IR + IG Y1 = IY + IG
对Y1、Y0两次取非，得
5. 断开开关S1、S2，观察发光二极管的发光情况，记 录观察到的结果。
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3.3.1 任务描述
图3.18所示是开关S1闭合、S2断开时，观察到的现象。
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图3.18 闭合S1、断开S2时观察到的现象
40
3.3.2 二进制译码器
1. 译码器的基本功能 二进制译码真值表如表3.11所示。
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27
3.2.2 二进制编码器
表中的“×”号表示：有优先级高的输入信号输入时， 优先级低的输入信号有输入还是无输入，不影响编码器的 输出。
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3.2.2 二进制编码器
3. 集成8线-3线优先编码器 集成8线-3线优先编码器74LS148、74LS348的引脚排 列完全相同，如图3.12（a）所示。
第四步，判断逻辑电路的逻辑功能。其方法是：根据
真值表进行推理判断。在实际应用中，当逻辑电路很复杂
时，一般难以用简明扼要的文字来归纳其逻辑功能，这时
就用真值表来描述其逻辑功能。
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7
3.1.2 组合逻辑电路的分析
2. 分析举例 【例3.1】 试分析图3.1所示电路的逻辑功能。
解：画出图3.1所示电路的逻辑图如图3.4所示。

第3章 逻辑电路功能描述方法

第3章 逻辑电路功能描述方法

full_add
⑶采用程序建模：顶层模块编程设计
将顶层模块用硬件描述语言进行设计，在这里需要调 用底层半加器模块来实现。 例3.7 一位全加器顶层模块程序 module full_add(ain,bin,cin,sum,cout); input ain,bin,cin; output sum,cout; wire d,e,f; //用于内部连接的节点信号 half_add u1(ain,bin,e,d); //半加器模块调用，采用位置关联方式， //或名称对应方式 //hall_add u1(.a(ain),. b(bin), .so(e),.co(d)) half_add u2(e,cin,sum,f); or u3(cout,d,f); //或门调用 endmodule
//或仅使用下面一条语句替代上面两条

//assign {cout,sum}=a+b+cin

endmodule
【例3.6】行为描述的1位全加器






module full_add3(a,b,cin,sum,cout); input a,b,cin; output reg sum,cout;//必须定义为寄存器型变量 always @* //或写为always @(a ，b ， cin) begin {cout,sum}=a+b+cin; end endmodule
一位半全加器U2
1、采用层次化方式设计1位全加器 ⑴底层一位半加器模块建模
采用数据流描述设计建模，并通过编译、仿真得到正 确的半加器电路，保存文件，用于顶层文件调用。
module half_add(a,b,so,co); input a,b; output so,co; assign co=a&b; assign so=a^b; endmodule

第3次课_逻辑函数化简

第3次课_逻辑函数化简
0
1
0
0
1
1
1
第二章 逻辑代数（44）
2.3 图解法(卡诺图)化简逻辑函数 卡诺图化简的步骤
1 按照循环码规律指定卡诺图变量取值；
2 在函数最小项对应的小方块填“1”，其他方块填“0”；
3 合并相邻填“1”的小方块，两个方块合并消去一个变量 （一维块）；4个方块合并消去两个变量（二维块）；
5
第二章 逻辑代数（29）
2.3 图解法(卡诺图)化简逻辑函数
最小项的定义 设一个函数表达式中有n个变量，由它们组
成的具有n个变量的“与项”中，每个变量 以原变量或反变量的形式出现且仅出现一 次，这个与项为最小项。 例如：n=3，对A、B、C，有8个最小项
AB C A BC
6
AB C A BC
2.3 图解法(卡诺图)化简逻辑函数 最大项与最小项的关系
（1）对于所有的i，相同i的最大项与最小项互补
M i mi mi M i
mi 和 （2） 对于所有的i，
13
Mi
互为对偶式
公式法化简（不唯一、不好判断）
Y = ������������������ + ������������������ + ������������ + ������������ + ������������ + ������������������ Y = ������������ + ������������ + ������������ + ������������ Y = ������������ + ������������ + (������ + ������)������ Y = ������������ + ������������ + ������ ������������ Y = ������������ + ������ ������������ + ������������ Y = ������������ + ������ + ������������

第3章 逻辑代数基础-习题答案

第3章 逻辑代数基础-习题答案
Aห้องสมุดไป่ตู้ B BC BCD ABCD ABCD A BCD BCD B BC BCD A BD B A B D
（3） ( A + B)(B + D)(C + D)( A + C + D)(B + C + D) 解：原式取对偶
F AB BD C D AC D BCD AB BD C D BCD AD AB BD C D BC AD AB BD C BD AD AB BD C AD 冗余定理 =BD C AD
2
(
)
解： F = ABC + ABC + BCD + BCD
F = ( A + B + C)( A + B + C)(B + C + D)(B + C + D)
（5） F = ( A + B)(BCD + E)(C + A) 解： F AB ( B C D) E AC （6） F = ( A + D)(B + C + D)( AB + C) 解： F = AD + BCD + ( A + B)C （7） F = BC + AB + ABC 解： F = ( B + C)( A + B)( A + B + C) （8） F = A + B + D + C 解： F = AB DC 3.6 将下列函数写成与非-与非式。 （1） XY X Z Y Z 解： XY X Z Y Z XY X Z Y Z XY X Z Y Z （2） XYZ X Y Z 解： XYZ X Y Z XYZ X Y Z XYZ X Y Z （3） A + C + D + ABCD + ABC D 解：

《数字电子技术(第三版)》3布尔代数与逻辑函数化简

《数字电子技术(第三版)》3布尔代数与逻辑函数化简

《数字电子技术(第三版)》3布尔代数与逻辑函数化简数字电子技术第3章布而代数与逻辑函数化简学习要点：学习要点：三种基本运算，基本公式、定理和规则。

逻辑函数及其表示方法。

逻辑函数的公式化简法与卡诺图化简法。

无关项及其在逻辑函数化简中的应用。

3.1基本公式和规则3.1.1逻辑代数的公式和定理(1)常量之间的关系与运算：00=001=010=011=1或运算：0+0=0非运算：1=00+1=10=11+0=11+1=1(2)基本公式A+0=A0-1律：A1=A互补律：A+A=1A+1=1A0=0AA=0双重否定律：A=A等幂律：A+A=A(3)基本定理AB=BA交换律：A+B=B+A(AB)C=A(BC)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)A00A(B+C)=AB+AC1分配律：A+BC=(A+B)(A+C)1BA.BB.A000100000111A.B=A+B反演律(摩根定律):A+B=AB证明分配率：A+BC=(A+B)(A+C)证明：证明：(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC分配率A(B+C)=AB+AC等幂率AA=A等幂率AA=A分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1(4)常用公式AB+AB=A还原律：(A+B)(A+B)=AA+AB=A吸收率：A(A+B)=AA(A+B)=ABA+AB=A+B证：A+AB=(A+A)(A+B)明分配率A+BC=(A+B)(A+C)互补率A+A=1互补率A+A=10-1率A·1=11=1 =1(A+B)=A+B冗余律：AB+AC+BC=AB+AC证明：AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC互补率A+A=1互补率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1=AB(1+C)+AC(1+B)3.1.2逻辑代数运算的基本法则(1)代入法则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。

第3章 布尔代数与逻辑函数化简3[1].1-3.2


A B
AB
求反率
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
AB
＝AB
AB
1 0 0 0
1 0 0 0
AB
1 1 1 0
1 1 1 0
3. 分配律证明
ABC B· C
A+BC = (A+B)(A+C)
A+BC (A+B) (A+C) (A+B)(A+C)
000 001 010 011 100 101 110 111
_
_
F A B C D E
_
_
_
_
例2 与上面用摩根定律求出结果一样。
逻辑代数的基本法则
注意：在运用反演规则求一个函数的反函数时，逻辑 运算的优先顺序： 先算括号 与运算 或运算 非运算。
另外，为保持原式的逻辑优先关系， 也要正确使用括 号， 否则就要发生错误。
3.1.3 基本公式应用
(4) 或非-或非式
将或与表达式两次取反， 用摩根定律展开一次 得或非-或非表达式
F ( A B)( A C ) A B A C
_ _
同一逻辑的五种逻辑图
A B A C
&
≥1
A B F A C
& & &
___ _
&
_
F
A B A C
_
&
≥1 F
a )AC与或式; (a) F AB ( A B A C ≥1
那么所得到的表达式就是函数F的反函数 (或称补函数) 。
反函数和对偶函数之间在形式上只差变量的“非”。
逻辑代数的基本法则
例1： F A( B C ) CD

第三章--卡诺图化简

1. 二个相邻项可合并为一项，消去一个取值不 二个相邻项可合并为一项， 同的变量，保留相同变量。如图（ ） 同的变量，保留相同变量。如图（a）所示
AB CD 00 01 11 10 1 1 1 ACD 00 01 11 10 1
ABD
( a) )
3.3.5 最小项合并规律
2. 四个相邻项可合并为一项，消去二个取值不 四个相邻项可合并为一项， 同的变量，保留相同的变量，如图（ ）所示。 同的变量，保留相同的变量，如图（b）所示。
3.3.2 逻辑函数的标准式 ——最小项标准式 ——最小项标准式
3.最小项的性质 .
2 -1
n
① ②
∑ m =1
i i=0
mi · mj = 0 （ i ≠ j） ③ n变量有2n个最 小项，每个最小 项有n个逻辑相 邻项
有了最小项标准式， 有了最小项标准式， 但要较快找出其全部相 邻关系， 邻关系，并确定相邻项 如何合并， 如何合并，使之结果最 仍然十分困难。 简，仍然十分困难。 为此用图形将最小 项巧妙地排列， 项巧妙地排列，使逻辑 相邻与几何位置相邻一 一对应，这样逻辑相邻 一对应， 关系就一目了然。 关系就一目了然。
3.3.2 逻辑函数的标准式 ——最小项标准式 ——最小项标准式
2.由一般式——最小项标准式 .由一般式 最小项标准式 ①代数法（添项法） 代数法（添项法） F = ABC+BC+AC
= ABC+BC（A+A）+AC（B+B） （ ） （ ） = ABC+ABC+ABC+ABC+ABC = m0 +m3+ m4+ m6+m7 = ∑（0, 3, 4, 6, 7） （

第三章逻辑代数基础作业题(参考答案)

第三章逻辑代数基础（Basis of Logic Algebra）1．知识要点逻辑代数（Logic Algebra）的公理、定理及其在逻辑代数化简时的作用；逻辑函数的表达形式及相互转换；最小项（Minterm）和最大项（Maxterm）的基本概念和性质；利用卡诺图（Karnaugh Maps）化简逻辑函数的方法。

重点：1．逻辑代数的公理（Axioms）、定理（Theorems），正负逻辑（Positive Logic, Negative Logic）的概念与对偶关系（Duality Theorems）、反演关系（Complement Theorems）、香农展开定理，及其在逻辑代数化简时的作用；2．逻辑函数的表达形式：积之和与和之积标准型、真值表（Truth Table）、卡诺图（Karnaugh Maps）、最小逻辑表达式之间的关系及相互转换；3．最小项（Minterm）和最大项（Maxterm）的基本概念和性质；4．利用卡诺图化简逻辑函数的方法。

难点：利用卡诺图对逻辑函数进行化简与运算的方法（1）正逻辑（Positive Logic）、负逻辑（Negative Logic）的概念以及两者之间的关系。

数字电路中用电压的高低表示逻辑值1和0，将代数中低电压（一般为参考地0V）附近的信号称为低电平，将代数中高电压（一般为电源电压）附近的信号称为高电平。

以高电平表示1，低电平表示0，实现的逻辑关系称为正逻辑（Positive Logic），相反，以高电平表示0，低电平表示1，实现的逻辑关系称为负逻辑（Negative Logic），两者之间的逻辑关系为对偶关系。

（2）逻辑函数的标准表达式积之和标准形式（又称为标准和、最小项和式）：每个与项都是最小项的与或表达式。

和之积标准形式（又称为标准积、最大项积式）：每个或项都是最大项的或与表达式。

逻辑函数的表达形式具有多样性，但标准形式是唯一的，它们和真值表之间有严格的对应关系。

逻辑函数 confactor

逻辑函数 confactor
逻辑函数的概念是指在逻辑学和数学中，对于给定的布尔函数，可以通过一定的方法来简化或者转换成更简单的形式。

其中，一个
常见的逻辑函数是“卡诺图”，它是一种用于简化布尔函数的图形
方法。

另外，逻辑函数还可以用代数的方式来表示，比如使用与、或、非等逻辑运算符号来描述逻辑函数的表达式。

在计算机科学和
电子工程中，逻辑函数也被广泛应用于数字电路的设计和分析中。

在逻辑函数中，常见的概念之一就是“卡诺图”，它是一种用
于简化布尔函数的图形方法。

卡诺图通过将布尔函数的真值表转化
为图形化的形式，然后根据特定的规则进行化简，以达到简化布尔
函数的目的。

另外，逻辑函数还可以用代数的方式来表示，比如使
用与、或、非等逻辑运算符号来描述逻辑函数的表达式。

这种代数
形式的描述方式在逻辑设计和分析中也是非常常见的。

此外，逻辑函数还可以通过真值表、卡诺图、代数式等多种方
式进行描述和分析。

真值表是逻辑函数的一种直观的描述方式，通
过列出所有可能的输入组合及其对应的输出值来表示逻辑函数的行为。

卡诺图则是一种用于简化布尔函数的图形方法，通过图形化的
方式展现逻辑函数的特性，从而进行化简。

而代数式则是使用逻辑
运算符号和变量来表示逻辑函数的表达式，通过代数运算来分析和简化逻辑函数。

总的来说，逻辑函数是在逻辑学和数学中广泛应用的概念，它可以通过多种方式进行描述和分析，包括卡诺图、代数式、真值表等。

在实际应用中，逻辑函数在数字电路设计、计算机科学等领域起着至关重要的作用，对于理解和掌握逻辑函数的概念和相关方法具有重要意义。

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添冗余因子
口诀：
正负相对, 余全完。
（消冗余项）
（12）
( AB ABC) ( AC ABC)
AB AC =右式
包含律推论：
AB AC AB AC BCD
该式说明：两个与项相加时，若它们分别包含 A 和 A 因子，则两项中的其余因子组成可添加的第 三个与项。其逆式也成立，即三个与项相加时， 若两项中分别有 A 和A因子，而这两项的其余因 子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余 的，可以消去。
◆ 数字电路的特点及描述工具
数字电路是一种开关电路； 输入、输出量可用（0 ，l）来表示。 输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果 关系。 仿效普通函数的概念，数字电路可以用逻辑函 数的数学工具来描述。 真值表、逻辑表达式、
逻辑图、波形图、卡诺图 逻辑函数： 如果对应于输入逻辑变量 A 、 B 、 C 、 … 的每一 组确定值，输出逻辑变量F就有唯一确定的值，则称 F是A、B、C、…的逻辑函数。记为
0 1
二. 基本定律
1、0-1 律： A 1 1
2、自等律： A 0 A
3、重叠律： A A A
4、互补律： A A 1
5、还原律： A A
A 0 0
A 1 A
A A A
A A 0
分别令A=0及A=1代 入这些公式，即可证 明它们的正确性。
F f ( A, B, C ,)
3.2 逻辑代数的运算规则
一. 基本公理
公理1： 设A为逻辑变量，若A≠0，则A＝1；若A≠l，则A＝0。 公理2： 000；111 公理3：1 1 1； 0 0 0 。 公理4： 0 1 0 ； 1 0 1 。 1 0 0 ； 0 1 1 。 公理5： 1 0
9.吸收律
吸收：多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、 去掉 被消化了。
短项
长项
A + AB = A 原变量的吸收： 证明：左式=A(1+B)
=A 1 =右式
||
长中含短, 口诀：
留下短。
（10）
原式成立
10.等同律
原(反)变量
反(原)变量
反变量的吸收：
添冗余项
A+AB=A+B
证明：左式 A AB AB A B( A A)
6、交换律 A+B=B+A A• B=B • A 7、结合律 A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B
A• (B • C)=(A • B) • C 8、分配律 A(B+C)=A • B+A • C
普通代数不 A+B • C=(A+B)(A+C) 适用!
（8）
例1、证明分配律：A+BC=(A+B)(A+C) 证明： (A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC =A+AB+AC+BC =A(1+B+C)+BC =A+BC 分配律 A(B+C)=AB+AC 重叠律AA=A 分配律 A(B+C)=AB+AC 0-1律A+1=1
A1 1
A A A
A B B A
A ( A B) A
A A
A A A
A B B A
A A 1
A A 0
A B B A
A A 1
A AB A
( A B) C A ( B C )
A BC ( A B )( A C ) ( A B) C A ( B C )
=右式
另证：
||
1
口诀： 长中含反,
去掉反。
A AB ( A A) ( A B) A B
（11）
12.包含律
互为反变量
混合变量的吸收：A B + A C + BC=AB+AC
证明： 左式 AB AC BC
AB AC (A A)BC
AB AC ABC ABC 添加
（14）
用真值表证明摩根定理成立
A ·B=A+B
√
1 1 0
A+B= A ·B
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y1=A· B 1
Y2=A+B 1 相等 1 1 0
（15）
摩根定理
逻辑代数的基本公式
公
A 1 A A0 0 A A 0
A0 A
式
A0 A
说明 自等律 0—1律 互补律 重叠律 交换律 吸收律 还原律 结合律 分配律 反演律 求反律
第3章 逻辑函数
• 主讲：成洁
主要内容
⒈ 基本逻辑运算 ⒉ 逻辑代数的基本公式和规则 ⒊ 逻辑函数的化简
3.1 概 述
1849年，英国数学家George Boole提出了 描述客观事物逻辑关系的数学方法：布尔代 数，又称逻辑代数。逻辑代数研究的是二值 逻辑(0,1)关系。 逻辑代数是分析和设计数字逻辑电路的数学 工具。 本节讨论：逻辑变量、逻辑函数、基本逻辑 运算和逻辑代数公式，以及化简逻辑函数的 两种方法—公式法和图形法。
三、 摩根定理(反演律）
（De Morgan)
AB A B A B AB
1 2
证明： 真值表法、 穷举法
推广到多变量：BC
说明：两个（或两个以上）变量的与非（或非） 运算等于两个（或两个以上）变量的非或（非与） 运算。

逻辑变量和逻辑函数
逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果 的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也 就是用逻辑代数来描述。
事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中 可以抽象地表示为 0 和 1 ，称为逻辑0状态和逻辑1 状态。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表 示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示 两种对立的逻辑状态。
( A B) C A ( B C )
A ( B C ) AB AC
A( B C ) AB AC
A B A B
0 1
A B A B
1 0
A B =A⊙B= AB AB A 1 A
四. 基本运算规则
(1)代入规则 在任何逻辑等式中，如果等式两边所有出现 某一变量的地方，都代之一个函数，则等式 仍然成立。这个规则叫代入规则 。 例如：等式 A B A B