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高二下第六讲：球与组合体

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第讲简单多面体球与组合体

第讲简单多面体球与组合体
又 R A 在 t 中 H SS 2 ， H S2 A A2H
所 以SH2x2 （3x） 22x2
②
33
2
S
联 立 ① ②得
2 3xR
（3x） 29 3
解得 x2 6
h 4
即正四面体的高为4.
O
C
A
H
B
【回顾与反思】
球与多面体的切、接问题，要弄清位置 关系，选择最佳角度作出截面，以使空 间问题能转化为平面问题解决.
O4 O3
【回顾与反思】遇到一些比较陌生，正面不易求解的试题 时，考生应注意认真审题，尽量转化为自己比较熟悉的典 型习题，结合熟悉的背景，化繁为简、化陌生为熟悉.
谢谢！
令y=1,则z=－2, x=4, 故n=(4, 1, －2).
又由(1)知，A1C⊥平面BED
D1 z A1
故 n, A1C 等于二面角A1-DE-B的平面角，
则
cos
n,A1CnnA A11C C
14. 42
D
A
所以二面角A1-DE-B的大小为
arccos
14 42
x
C1
B1
E
C
y
B
典例精析
(1)求A1A与底面ABC所成的角； (2)证明A1E∥平面B1FC； (3)求经过A1、A、B、C四点的球的体积.
【分析】本题是一道立体几何的综合 题，以三棱柱为载体，考查了线面角、
A1
线面平行、外接球等内容.本题中求外
接球的体积关键是根据已知条件确定
外接球的球心，再求出半径.
C1 B1
解析 (1) 过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H. 连结AH， 并延长交BC于G，连结EG，

球与简单组合体的结构特征-(2019)高中数学必修第二册课件

球与简单组合体的结构特征-(2019)高中数学必修第二册课件

[解] 旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱 O1O2 和
情
课
境 导
两个圆台 O2O3，O3O4 组成的；图②是由一个圆锥 O5O4，一个圆柱
堂 小
学
结
探 O3O4 及一个圆台 O1O3 中挖去圆锥 O2O1 组成的．
·
提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
29
·
情
境
旋转体形状的判断方法
·
返 首 页
11
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
思考 1：用平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台吗？
提 素
知
养
合 作
[提示] 不一定．只有当平面与圆锥的底面平行时，才能截得一 课
探 究
个圆锥和一个圆台．
时 分
层
释
作
疑
业
难
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·
12
4．球的结构特征
情
课
境 导 学
定义
以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫
提 素
知
养
合 作
[提示] 能．圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的 课
探 究
旋转体即为球．
时 分
层
释
作
疑
业
难
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·
14
·
情
课
境
堂
导 学
5．简单组合体的结构特征

2020.3.16球与组合体

2020.3.16球与组合体
上， PA PB PC ,△ABC 是边长为 2 的等边 三 角 形 ， E、F 分 别 是 PA、AB 的 中 点 ， CEF 90ｏ，则球 O 的体积为( D ).
( A) 8 6 (B) 4 6 (C ) 2 6 (D) 6
例 2.( P45 对 4、例 5 (1) ) 1.已知三棱锥 P─ABC 的四个顶点都在半径为 2 的
2.已知一个三棱锥的所有棱长均为 2，则该三棱锥 的内切球的体积为_____3__.
法3.一已:知等积A、法B、 V C、13 Dr内切四球点 S在表5面4半积 径法二为:直5 接2法的注球意面球心上的，位且置.
2 AC BD 5, AD BC 41, AB CD, 则三棱锥
D─ABC 的体积是_2_0_.提示:补成长方体(补形法).
补充练习:
4.在封闭的直三棱柱 ABC ─A1B1C1 内有一个体积
Hale Waihona Puke 为 V 的球，若 AB BC, AB 6, BC 8, AA1 3,
则V 的最大值是( B ).( A) 4 (B) 9 (C ) 6 (D) 22
2
3
5.已知三棱锥 P─ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，
△ABC 是边长为 1 的正三角形， PC 为球 O 的直径，
(1)三角形的外心及外接圆半径易求；
A
R
rr
dO O1
(利用正弦定理可求半径 r a )
2sin A
(2)依据球的垂径定理定球心，不定再设未知求解;
(列方程)
思考: P44 例 2、 P45 对 4、例 5(1)
例 1.( P44 例 2 (1) ) 1.已知三棱锥 P─ABC 的四个顶点在球 O 的球面
球与组合体

北师版高中数学必修第二册精品课件 第6章 立体几何初步 §6 6.3 球的表面积和体积

北师版高中数学必修第二册精品课件 第6章 立体几何初步 §6 6.3 球的表面积和体积
在解决关于截面的问题时,要防止出现错误,一定先作出截面
示意图,分析出可能出现的不同情况,准确合理地选择公式.
1.如果两个球的半径之比为1∶3,那么这两个球的表面积之比
为(
).
A.1∶9
B.1∶27
C.1∶3
D.1∶1
解析:两球的表面积之比为 ∶ =1∶9.
答案:A
2.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和
(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.
( √ )
(3)已知球的半径为R,则球的体积V与球的表面积S的关系为

V= S.( √ )
(4)球的表面积为其大圆面积的4倍.( √ )
探究一 球的表面积与体积
【例1】 (1)已知球的表面积为64π,求它的体积;

(2)已知球的体积为 π,求它的表面积.
§6
6.3
简单几何体的再认识
球的表面积和体积
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.了解球的体积和表面积公式.
2.理解球的体积和表面积公式并能应用它们解
决相关的问题.
3.利用球的体积和表面积公式解决球的组合体
的有关问题.
4.通过对球的表面积、体积公式的学习,培养空
内接或外切正多边形来逼近圆的周长.理论上,只要取得圆内
接正多边形的边数越多,圆周率越精确,直到无穷.这种思想就
是朴素的极限思想.
(1)运用上述思想能否计算球的表面积和体积?
(2)求球的表面积和体积需要什么条件?

(3)设球的半径为R,则它的体积V= πR3,表面积S=4πR2.观察

高中数学 1.1.2圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征课件 新人教A版必修2

高中数学 1.1.2圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征课件 新人教A版必修2

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15
【解析】 在C中，不符合定义，旋转轴不确定，而A、 B、D正确．因此选C.
【答案】 C
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16
规律技巧 由定义知圆锥的轴截面是一个等腰三角形.圆 柱的轴截面是矩形.球的截面是圆面.
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17
二 旋转体与旋转组合体问题
【例2】 (1)用变化的观点说明圆台与圆柱、圆锥之间的 相互联系？
A．①②③⑤ C．①④⑤
B．③④⑤ D．②③④
答案 C
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完整版ppt
8
的直线旋转一周才可形成圆台，换言之，绕其他边旋转一周所 形成的几何体是组合体．如绕直角三角形的斜边旋转一周所形 成的旋转体就是共底面的两个圆锥．
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9
2．球与球面的区别 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的旋转体叫 做球体，简称球．半圆弧绕着它的直径旋转一周而形成的曲面 叫做球面．球面也可看成是在空间到定点的距离等于定长的所 有点的集合．球面仅仅指球的表面，而球即球体不仅包括球的 表面，同时还包括球面所包围的空间.
完整版ppt
5
3．圆台：用一个______圆锥底面的平面去截圆锥，底面 与截面之间的部分叫做圆台．
4．球：以____的____所在直线为旋转轴，______旋转一 周形成的旋转体叫做球.
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6
自 1.矩形 面 我 2.直角三角形 一条直角边 校 3.平行于 对 4.半圆 直径 半圆面
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A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
解析 对于①、③两点的连线不一定在圆柱、圆台的曲面 上，当然有可能不是母线了．②④由母线的定义知正确．
答案 D

球、简单组合体的结构特征 PPT课件 人教课标版

球、简单组合体的结构特征 PPT课件 人教课标版

球面上的点到 球心的距离
半径 O
直径
球心
思考4:用一个平面去截一个球，截面是 什么图形？
O
思考5:设球的半径为R，截面圆半径为r， 球心与截面圆圆心的距离为d，则R、r、 d三者之间的关系如何？
O Rd
r Oˊ P
r R2 d2
知识探究（二）：简单组合体的结构特征
思考1:棱柱、棱锥、棱台都是多面体，但它 们有本质的区别.如果棱台上底面的大小发生 变化，它与棱柱、棱锥有什么关系？
•
39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。
•
40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。
•
41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
•
42、自信人生二百年，会当水击三千里。
•
43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。
•
44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。
•
45、不可能！只存在于蠢人的字典里。
•
52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。
•
53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。
•
54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。
•
55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。
思考2:现实世界中几何体的形状各种各样， 除了柱体、锥体、台体和球体等简单几何体 外，还有大量的几何体是由这些简单几何体 组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.你 能说出周围物体所示的几何体是由哪些简单 几何体组合而成的吗？
思考3:试说明下列几何体分别是怎样组 成的？

高中数学 1.1-3球、简单组合体的结构特征课件 新人教A版必修2

思考1:棱柱、棱锥、棱台都是多面体，但它 们有本质的区别.如果棱台上底面的大小发生 变化，它与棱柱、棱锥有什么关系？
思考2:现实世界中几何体的形状各种各样， 除了柱体、锥体、台体和球体等简单几何体 外，还有大量的几何体是由这些简单几何体 组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.你 能说出周围物体所示的几何体是由哪些简单 几何体组合而成的吗？
ppt课件
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知识探究（一）：球的结构特征 思考1：现实生活中有哪些物体是球状几 何体？
NBA
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思考2:从旋转的角度分析，球是由什么 图形绕哪条直线旋转而成的？
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆
面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简
称球.
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思考3:半圆的圆心、半径、直径，在球 体中分别叫做球的球心、球的半径、球 的直径，球的外表面叫做球面.那么球的 半径还可怎样理解？
球面上的点到 球心的距离
半径 O
直径
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球心
思考4:用一个平面去截一个球，截面是 什么图形？
O
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思考5:设球的半径为R，截面圆半径为r， 球心与截面圆圆心的距离为d，则R、r、 d三者之间的关系如何？
O Rd
r Oˊ P
r R2 d2
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知识探究（二）：简单组合体的结构特征
A
D
C
B
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例2 如图，四边形ABCD为平行四边形， EF∥AB，且EF<AB，试说明这个简单组合 体的结构特征.
E
F
E
F
D A
CD
BA
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C B
例3 如图，各棱长都相等的三棱锥 内接于一个球，则经过球心的一个截面 图形可能是 (1),(3) .

圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件


圆 柱 、 圆 锥 、圆台 、球和 简单组 合体【 新教材 】人教 A版高中 数学必 修第二 册课件
简单组合体的结构特征 [例2] 如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立 体图形分别是由哪些简单几何体组成的？
圆 柱 、 圆 锥 、圆台 、球和 简单组 合体【 新教材 】人教 A版高中 数学必 修第二 册课件
的结构特征，发现圆柱、圆锥、圆台的联系，理解共性 和个性，培养数学抽象核心素养.
[思考发现]
1．下列几何体中不是旋转体的是
()
解析：由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体．故选D. 答案：D
2．圆锥的侧面展开图是 A．三角形 C．正方形
B．长方形 D．扇形
()
解析：利用圆锥的形成过程可得，圆锥的侧面展开图 是扇形．故选D.
圆 柱 、 圆 锥 、圆台 、球和 简单组 合体【 新教材 】人教 A版高中 数学必 修第二 册课件
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圆 柱 、 圆 锥 、圆台 、球和 简单组 合体【 新教材 】人教 A版高中 数学必 修第二 册课件
圆 柱 、 圆 锥 、圆台 、球和 简单组 合体【 新教材 】人教 A版高中 数学必 修第二 册课件
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圆 柱 、 圆 锥 、圆台 、球和 简单组 合体【 新教材 】人教 A版高中 数学必 修第二 册课件
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球与组合体教学案

高一数学教学案材料编号:391.1.3.2球，组合体班级: 姓名：学号：设计人：李荣审查人:郭栋使用时间：12.5一．学习目标：1、掌握球的概念的形成过程及它的结构特征。

2、掌握球面距离的应用。

3、熟悉组合体的分解与合成。

二. 学习重点与难点：重点：球的结构特征。

难点：球面距离的概念及应用，组合体的分解与合成。

三．课前自学：（一）复习检测：已知下列三个命题：（1）在圆柱上，下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上，下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线。

其中正确的命题个数为（）A．0 B.1 C.2 D.3（二）自学导学：1、思考：球具有哪些性质？哪些性质可以作为球集合的特征性质？2、知识点梳理：学点1、球的定义及性质:(1)定义:以半圆的所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做简称.其中半圆的圆心叫做球的,如图中的.半圆的半径叫做.如图中的.半圆的直径叫做.如图中的.(2)球的记法：用表示球心的字母表示,如球O.(3)球的截面性质：①r=其中r为截面圆半径,,R为球的半径,d为球心O到截面圆的距离,即O到截面圆圆心'O的距离,如图所示.②球的大圆和小圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做.被不经过球心的平面截得的圆叫做注：把地球看作一个球时,经线是球面上从北极到南极的半个大圆,赤道是一个大圆,其余的纬线都是小圆.学点2、球面性质：在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。

我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

例如，飞机，轮船都尽可能地以大圆的圆弧（劣弧）为航线航行。

学点3、组合体:1.若干个简单的几何体经过适当的组合，可以得到一些比较复杂的几何体，这样的几何体叫做组合体。

常见的螺钉和螺母，螺钉可以看做是正六棱柱和圆柱的组合体。

螺母可以看做是正六棱柱中挖掉一个圆柱体。

球的组合体问题1(球的组合体问题最全分类和解法研究)

球的组合体研究（球中的截面问题 及 球与其它几何体的切接问题）王宪良[学习目标]1.学习球与其它几何体切接的直观图的画法。

2.掌握球的截面的性质；3.理解掌握球的切接题目的类型和解法；4.培养空间想象能力，能根据题意正确画出组合体的直观图。

一、基础知识与概念： 1.有关定义（1）球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，（2）外接球：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 如图（3）内切球：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.如图（4）大圆：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等（它是截面圆中最大的圆）； （5）小圆：不过球心的截面所截得的圆叫小圆． 2．外接球的有关知识与方法 （1）性质：性质1：球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 性质2：经过小圆的直径与且小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：球心和截面圆心的连线垂直于截面（类比：圆的垂径定理）；性质4：在同一球中，过两不平行截面圆的圆心且垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）；性质5：球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+． （2）结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体截得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；ca b初图2初图1NOO 1PEFOO 1D 1C 1B 1DCA 1O 2ABM结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连线段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱与该棱柱的外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥与该棱锥的外接圆锥有相同的外接球.（3）终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 3．内切球的有关知识与方法（1）若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.（2）内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等(类比：与多边形的内切圆、外接圆) （3）正多面体的内切球和外接球的球心重合.（4）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 4．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 二、理清位置，学会画图 先画一个大圆与一个或两个小圆。

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第六讲：球与组合体
1．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为___________
2．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是___________
3.已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2
π，则球心O 到平面ABC 的距离为_______
4．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为_______
5．用底面半径2R 的圆柱形铁罐做一种半径为R 的球型产品的外包装，一听4个，铁罐的高度至少应为 ．
6.表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_______
7.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三
角形(正四面体的截面)的面积是 ________
8.过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°则该截面的面积是__________
9.两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四
棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．
均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个
10.如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，
点P 在球面上，如果163
P ABCD V -=，则球O 的表面积是___________ 11.如图，O 是半径为l 的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是_________
12.已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =那么,A B 两点的球面距离为_______，球心到平面ABC 的距离为__________.
13如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积
是________．
14.圆1o 是以R 为半径的球O 的小圆，若圆1o 的面积1S 和球O 的表面积S 的比为1:2:9S S =，则圆心1o 到球心O 的距离与球半径的比1:OO R =＿＿＿＿＿。

15．半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为__________
16．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个
大圆上，则该正三棱锥的体积是_____________
17.设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、C 两点的球面距离都是
2π，且二面角B -OA -C 的大小为
3
π，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是
____________ A B
C P
D
E
F O
1
O B
A C
18．若一个底面边长为32，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 ． 19.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于_________
20.连结球面上两点的线段称为球的弦。

半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N
③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1
其中真命题的个数为A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
21.长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在球O 的球面上，其中1::1:1:2AB AD AA =．A B ，两点
的球面距离记为m ，1A D ，两点的球面距离记为n ，则
m n
的值为 ． 22.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。

已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为 ______ 23.已知,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =213,AC =8AD =,则,B C 两点间的球面距离是
24.若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 9
25.如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于___________。

26.在体积为43π的球的表面上有A ，B ，C 三点，AB =1，BC =2，A ，C 两点的球面距离为33π，则球心到平面ABC 的距离为_________．
27.半径为R 的四个球两两外切，第五个球与这四个球都外切（或内切），则球的半径为__________（或_____）
28.在四面体ABCD 中，AB=CD=5，AC=BD=10，AD=BC=17，则该四面体的外接球的表面积为________。