正弦定理2

正弦定理所有公式
正弦定理是数学中最重要的定理之一，也是三角函数的基础。

它描述了三角形内角度和边长之间的关系。

它是一种把三角形内角度和边长联系起来的定理，可以用来计算三角形内角度、边长和面积等。

正弦定理的第一个公式表明，三角形的两个内角比和为180度，即a+b=180°。

它表明了三角形内的角度总和为180度，也是三角形的基本特征。

第二个正弦定理的公式是sin a / a= sin b / b，它描述了三角形内角a和角b之间的比例关系。

这个关系表明，在三角形中，两个内角的正弦值比值相等。

最后一个正弦定理的公式是a = b = c，它表明三角形的三条边长是相等的。

它表明，如果三角形的三条边都是相等的，则三角形是等边三角形。

正弦定理也可以用来计算三角形的面积。

计算三角形面积的公式为S=1/2ab sin C，其中a和b分别是三角形的两条边长，C是三角形的夹角大小。

正弦定理的应用非常广泛，它可以用于计算三角形的角度、边长和面积，以及求解其他相关问题。

它是三角函数的基础，也是数学中最重要的定理之一。

正弦定理变形9种公式摘要：一、正弦定理简介二、正弦定理的九种变形公式1.公式一2.公式二3.公式三4.公式四5.公式五6.公式六7.公式七8.公式八9.公式九三、总结正文：一、正弦定理简介正弦定理是三角学中的一个重要定理，它揭示了三角形中各边与对应角的正弦值之间的比例关系。

根据正弦定理，我们可以通过已知的边长和角度来计算其他边长或角度。

正弦定理的数学表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，A、B、C 分别表示对应的三個角。

二、正弦定理的九种变形公式1.公式一：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA2.公式二：b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosB3.公式三：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC4.公式四：a^2 = b^2 + c^2 + 2bc*cosA5.公式五：b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosC6.公式六：c^2 = a^2 + b^2 + 2ab*cosB7.公式七：a^2 = b^2 - c^2 + 2bc*cosC8.公式八：b^2 = a^2 + c^2 + 2ac*cosA9.公式九：c^2 = a^2 - b^2 + 2ab*cosB三、总结正弦定理是三角学中非常基础且重要的定理，掌握其各种变形公式有助于我们更好地理解和应用正弦定理。

在解决实际问题时，我们可以根据问题的具体需求选择合适的公式进行计算。

三角形公式的汇总
三角形是一个具有三条边和三个角的多边形。

以下是一些与三角形相关的公式：
1. 周长公式：三角形的周长等于三条边的长度之和。

周长 = 边1长度 + 边2长度 + 边3长度
2. 海伦公式：用于计算三角形的面积，其中海伦公式根据三条边的长度进行计算。

面积 = 平方根(s * (s-边1长度) * (s-边2长度) * (s-边3长度))
其中s = (边1长度 + 边2长度 + 边3长度) / 2
3. 正弦定理：用于计算三角形的角度和边长之间的关系。

正弦定理1：a/sinA = b/sinB = c/sinC
正弦定理2：边长a/sinA = 边长b/sinB = 边长c/sinC
4. 余弦定理：用于计算三角形的角度和边长之间的关系。

余弦定理1：a² = b² + c² - 2bc * cosA
余弦定理2：边长a² = 边长b² + 边长c² - 2bc * cosA
5. 正切定理：用于计算三角形的角度和边长之间的关系。

正切定理1：tanA = a/b
正切定理2：tanA = (b*sinC) / (c-b*cosC)
以上是一些常见的三角形公式，它们可以用于解决与三角形相关的问题。

必修5解三角形第02课时 正弦定理2要求：会应用正弦定理求解实际问题、判断三角形的形状、证明平面几何问题重点：求解实际问题、判断三角形的形状 难点：证明平面几何问题过程：一、复习一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．1、正弦定理表示形式：R C c B b A a 2sin sin sin ===（外接圆直径）；⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2；C B A cb a sin :sin :sin ::=.2、正弦定理应用范围：利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题. ①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边或角）.3、正弦定理的变形及面积公式：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；(R 为△ABC 的外接圆半径) ②R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===；③三角形面积公式：B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ Rabc 4=C B A R s i n s i n s i n 22= r c b a )(21++=（其中r 为△ABC 的内切圆半径）．4、基础练习：(1)在△ABC 中，一定成立的等式是（ ）A ．B b A a sin sin = B ．B b A a cos cos =C ．A b B a sin sin =D ．A b B a cos cos =(2)在△ABC 中，若2cos 2cos 2cos C c B b A a==，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等边三有形(3)在∆ABC 中，A =60︒，a =3，则CB A c b a s i n s i n si n ++++等于 .(4)根据下列条件解三角形：b =47,c =38,C =110︒二、正弦定理的应用常规题型及其解法例1：根据下列条件解三角形：a =16，b =26，A =30︒.两解变：(1) a=13，b=26，A=30︒；一解(2) a=12，b=26，A=30︒；零解(3) a=30，b=26，A=30︒.一解归纳：在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况：1．如果A为锐角，当：(1) a=b sin A时有一解；(2) b sin A< a <b时有两解；(3) a≥b时有一解.(4) a < b sin A时无解2．A为直角或钝角，a>b时一解.利用正弦定理求范围例2：在△ABC中，a=x，b=2，B=45︒，若三角形有两解，则x的取值范围是.练习：在△ABC中，a=2，c=1，则角C的取值范围是.例 3.在△ABC 中, 若C =3B , 求b c 的取值范围.这类题型一般是将目标式转化为某个变量的函数解: ∵ A + B + C=π, ∴ C=3B.∴ A=π- 4B>0, ∴ 0<B<4π，∴ 0<sin 2B<21. 又 ∵ sin sin 3sin(2)sin sin sin c C B B B b B B B+=== =3sin 2cos cos 2sin 3sin 4sin sin sin B B B B B B B B+-==3 – 4sin 2B , ∴ 1<3 – 4sin 2B <3, 故1<bc <3.若改条件“C =3B ”为“C =2B ”呢？例 4. 判断满足下列条件的△ABC 的形状：(1) sin 2A+sin 2B=sin 2C ；(2) a cos B =b cos A ； (3) C c B b A a cos cos cos ==； (4)c C b B a A cos cos sin ==.小结：利用正弦定理判断三角形形状的方法1、化角为边的等式，根据勾股定理判断；2、化边为角的等式，根据三角函数的单调性判断.变：在△ABC 中，设BC =a ，CA =b ，=c ， 且a ∙b =b ∙c =c ∙a ，判断三角形的形状.提巩固高例 5.在△ABC 中，AD 是∠A 的内（外）角平分线， 证明：DC BD AC AB =.利用正弦定理证明平面几何问题把分散的量集中起来！三、课堂小结：1、解的组数的讨论在△ABC 中，已知a 、b 和A 时解三角形的各种情况：（1）如果A 为锐角，当：(1) a =b sin A 时有一解；(2) b sin A < a <b 时有两解；(3) a ≥b 时有一解.(4) a < b sin A 时无解（2）A 为直角或钝角，a >b 时一解.2、利用正弦定理判断三角形形状的方法（1）化角为边的等式，根据勾股定理判断；（2）化边为角的等式，根据三角函数的单调性判断.3、利用正弦定理证明平面几何问题四、课堂巩固1.在△ABC 中，若a·cosA=b·cosB ，则△ABC 是( )(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰或直角三角形 (D)等腰直角三角形2.在△ABC 中，若c b a C B A ：：求,5:4:3::=3.在△ABC 中，若,3,600==a A 求 cb C B C B Ac b a 2sin 2sin )2(sin sin sin )1(++++++的值4.在△ABC 中，若B a sin =C b sin =Ac sin ，试判断三角形的形状五、作业布置1. 在∆ABC 中，若ba B A =tan tan ，则∆ABC 的形状为 . 2. 在∆ABC 中，若3a=2bsinA ，则B= .3. 在∆ABC 中，若a+b=3+2,A=60︒，B=45︒，则c= .4. 在∆ABC 中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6，且a+b+c=30，则a= .5. 在∆ABC 中，若b=2，B=45︒，且此三角形有两解，则a 的取值范围是 .6. 在∆ABC 中，已知C=2B ，求c b 的取值范围.7. 在∆ABC 中，已知tanA=21，tanB=31，且最长边的长为55，求： (1)C ；(2)最短边的长.8．在ABC ∆中，若cC b B a A cos cos sin ==，试判断ABC ∆的形状．9.在△ABC 中，已知a =m ，c =10，C =30︒，求b .(1) m =20；(2) m =15；(3) m =8；(4) m =25.参考答案：1. 等腰三角形2. 60︒或120︒3.226+4.85.(2,22)6.(21,1)7.(1)C=π43;(2)最短边长b=58. C B A。

正弦定理等于2r推导正弦定理是高中数学中重要的一条定理，它描述了一个三角形中的各个角度和边长之间的关系。

该定理的表述方式是：在任意一个三角形ABC中，有：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$其中，a，b，c是三角形ABC的三条边，A，B，C是三角形ABC的三个内角，R是这个三角形的外接圆的半径。

本文将通过推导过程来展开这个等式。

假设我们能够找到一个三角形ABC的外接圆O，并把这个圆的直径AC记为d。

则根据圆的性质，我们可以得出：∠AOC = 2∠B∠BOC = 2∠A∠AOB = 2∠C而这个圆的半径R等于一半的直径d/2，因此R=d/2。

因此，我们可以把sin2∠A和sin2∠B分别代入正弦公式的分子和分母：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$\frac{a}{2sinAcosA}=\frac{b}{2sinBcosB}=\frac{c}{2sinCcosC }=d$根据合并分式以及cos 2∠A和cos 2∠B的公式，我们可以得到：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$\frac{a}{sin2A}=\frac{b}{sin2B}=\frac{c}{sin2C}=d$$\frac{a}{2sinAcosA}=\frac{b}{2sinBcosB}=\frac{c}{2sinCcosC }=\frac{d}{2cosA}=\frac{d}{2cosB}=\frac{d}{2cosC}$ $acosA=\frac{d}{2}\times sinA= \frac{1}{2}bsinC$$bcosC=\frac{d}{2}\times sinC= \frac{1}{2}asina$$c cosC = \frac{d}{2}\times sinB= \frac{1}{2}bsinA$代入原式，有：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$\frac{1}{sinA } \times \frac{1}{sinC } \left( acosA \right) =\frac{1}{sinB } \times \frac{1}{ sinC } \left( bcosC \right) =\frac{1}{sinB} \times \frac{1}{sinA } \left( ccosC \right) $$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{abc}{2R\left(a{sinC+b{sinA}+c{sinB}}\right)}$最终我们得到了正弦定理的推导公式：$a=\frac{2RsinA}{sinA {sinC}+sinB {sinA} +sinC {sinB}}$$b=\frac{2RsinB}{sinA {sinC}+sinB {sinA} +sinC {sinB}}$$c=\frac{2RsinC}{sinA {sinC}+sinB {sinA} +sinC {sinB}}$这个公式展示了三角形的三个边长和对角度的正弦有什么关系，并揭示R值的秘密。

在三角形中，正弦定理描述了三个边和其对应的角之间的关系。

它可以表示为：[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2r ]其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C表示对应的角的大小，r表示三角形外接圆的半径。

现在我们来推导这个公式：假设有一个三角形ABC，其中AB为边长为c，BC为边长为a，AC为边长为b。

设O为三角形的外接圆心，r为外接圆的半径。

首先，根据外接圆的性质，我们知道AO、BO、CO都等于r，因此三角形AOB、BOC、COA都是等腰三角形。

接下来，我们以三角形AOB为例进行推导。

根据三角形AOB的定义，我们可以得到以下两个等式：[ \angle AOB + \angle ABC = 180^\circ ][ \angle AOB + \angle ACB = 180^\circ ]将两个等式相加，可得：[ (\angle AOB + \angle ABC) + (\angle AOB + \angle ACB) = 2\angle AOB + \angle ABC + \angle ACB = 360^\circ]由于(\angle ABC + \angle ACB = \angle BAC)（三角形内角和为180°），所以可以得到：[ 2\angle AOB + \angle BAC = 360^\circ]再进一步，我们知道在等腰三角形AOB中，两个底角\(\angle AOB\)相等，设它们都为x，则有：[ 2x + \angle BAC = 360^\circ]化简得：[ 2x = 360^\circ - \angle BAC]由于外接圆的性质，我们知道\(\angle BAC\)对应的弧度为\(\frac{b}{2r}\)。

因此，可以将上式改写为：[ 2x = 360^\circ - \frac{b}{2r}]最后，根据正弦函数的定义，我们知道：[ \sin x = \frac{c}{2r}]将上述等式代入，可以得到：[ 2r\sin x = c]即：[ 2r = \frac{c}{\sin x}]由于x对应的是角AOB，而AOB是三角形ABC的对边比例关系，所以我们可以推广到所有的边和角，得到正弦定理的形式：[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2r ]这就是正弦定理的推导过程。

第2课时 正弦定理（2） 【学习导航】知识网络 正弦定理→测量问题中的应用学习要求1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．学会用计算器，计算三角形中数据。

【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===Cc B b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=（2）R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin = 2．三角形的面积公式：（1）C ab s sin 21==A bc sin 21=B ca sin 21 （2）s=C B A R sin sin sin 22（3）Rabc s 4= 【精典范例】【例1】 如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）． 分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑解△ＡＢＤ．【解】过点Ｄ 作ＤＥ ∥ＡＣ 交ＢＣ 于Ｅ，因为 ∠ＤＡＣ ＝２０°，所以∠ＡＤＥ＝１６０°，于是∠ＡＤＢ＝３６０°－１６０°－６５°＝１３５°．又∠ＢＡＤ＝３５°－２０°＝１５°，所以∠ＡＢＤ＝３０°． 在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得21000sin sin =∠∠=ABD ADB AD AB （ｍ）．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ＡＢｓｉｎ３５°＝１0002ｓｉｎ３５°≈８１１（ｍ）． 答 山的高度约为８１１ｍ．【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？（819.055sin ,766.050sin 00≈≈）分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C ；（2）求三角形的高。