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最常见的变量分布类型是离散型随机变量的常见分布1、0-1分布伯努利试验（Bernoulli trial）：在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。
2、二项分布（Binomial distribution）二项代表它有两种可能的结果，成功或失败。
它满足性质：每次试验成功的概率均是相同的，记录为p；失败的概率也相同，为1-p。
每次试验必须相互独立，该试验也叫做伯努利试验，重复n次即二项概率分布，它主要用于解决n次试验中成功x次的概率。
掷硬币就是一个典型的二项分布。
当我们要计算抛硬币n次，恰巧有x次正面朝上的概率，可以使用二项分布的公式：f(x)=(nx)px(1−p)n−x数学期望为E(x)=np，方差Var(x)=np(1-p)【例】假设现在有一个抽奖活动，每位用户拥有10次抽奖机会，中奖概率是5%。
老板准备先考虑成本问题，想知道至少有3次以上中奖机会的概率是多少？思路一：可以拿恰巧3次，恰巧4次直到恰巧10次累加求和，但是这样太麻烦了。
思路二：先计算最多2次的概率是多少，f(0)+f(1)+f(2)，结果是92.98%，利用逆向思维：概率公式1-92.98%，就是至少3次的概率了，为7.02%。
PS：二项分布和泊松分布、正太分布的关系二项分布是多次伯努利，即扔多次硬币泊松分布是p很小的二项，即扔好多好多次硬币，且扔出正面概率极小正态分布是n很大的二项，即扔好多好多次硬币，且硬币是完全相同的3、泊松分布（Poison distribution）泊松概率主要用于估计某事件在特定时间或空间中发生的次数。
比如一天内中奖的个数，一个月内某机器损坏的次数等。
x代表发生x次，u代表发生次数的数学期望，概率函数为：f(x)=uxe−ux!【例】现在又举办了一个新的运营活动，这次的中奖概率未知，只知24小时内中奖的平均个数为5个，老板想知道24小时内恰巧中奖次数为7的概率是多少？此时x=7，u=5（区间内发生的平均次数就是期望），代入公式求出概率为10.44%。
类型二、离散型随机变量的二项分布例3. 一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。
（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分ξ的概率分布列。
【思路点拨】有放回地依次取3次，相当于三次独立重复试验，其得分ξ服从二项分布，故可用n 次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。
【解析】（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A ，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则53)(352312==C C C A P （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为3．4．5．6。
因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为.53,52取到黑球的概率为 ξ∴的分布列为【总结升华】①本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量ξ服从二项分布，然后运用n 次独立重复试验的概率公式计算。
②注意n 次独立重复试验中，离散型随机变量X 服从二项分布，即(,)X B n p ，这里n 是独立重复试验的次数，p 是每次试验中某事件发生的概率。
举一反三：【变式1】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．【答案】依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095， P (2=ξ)=22C (5%)2=0.0025．因此，次品数ξ的概率分布是【高清课堂：独立重复试验与二项分布409089 例题3】【变式2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31。
（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；（3） 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．解：（1）ξB (5,31)，ξ的分布列为P (ξ=k )=5512()()33k k kC -，k =0，1，2，3，4，5； （2）η的分布列为P (η=k )=p (前k 个是绿灯，第k +1个是红灯)=21()33k ⋅，k =0，1，2，3，4；P (η=5)=P (5个均为绿灯)=52()3；（3）所求概率=P (ξ≥1)=1－P (ξ=0)=1－52211()3243=≈0.8683.【变式3】一袋中有5个白球，3个红球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时总共取了X 次球，求X 的分布列及P （X=12）． 【答案】由题意知，X 是取球次数，X=10，11，12，…，且每次取得红球的概率是38，取得白球的概率是58，所以X=k （k=10，11，12…）表示取了k 次球，且第k 次取到的是红球，前（k －1）次取得9次红球．∴X 的分布列为91k -910353()888k P X k C-⎛⎫⎛⎫==⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k=10，11，…）， （表格略）10291135(12)88P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【变式4】 某射手击中目标的概率为0.8，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X 的概率分布． 【答案】错解： X 的可能取值是1，2，3，4．P （X=1）=0.8；12(2)0.80.20.32P X C ==⨯⨯=； 123(3)0.80.20.096P X C ==⨯⨯=； 134(4)0.80.20.0256P X C ==⨯⨯=．所以X 的概率分布列为错解分析： 错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件A 首次发生出现在第k 次试验中的概率，要使首次发生出现在第k 次试验，必须而且只需在前（k －1）次试验中都出现A ． 正解 X 的可能取值是1，2，3，4． P （X=1）=0.8；P （X=2）=0.2×0.8=0.16；P （X=3）=0.22×0.8=0.032；P （X=4）=0.23=0.008．所以X 的概率分布列为类型三、独立重复试验与二项分布综合应用例4.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是2334和 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.（１）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（２）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？ 【思路点拨】本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，每次射中目标都是相互独立的、可以重复射击即事件重复发生、每次都只有发生或不发生两种情形且发生的概率是相同的.第二问解答时要认清限制条件的意义.【解析】（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P （A 1）=412651()1()381P A -=-=答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为6581；(2) 记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中” 为事件D i ，（i =1，2，3，4，5），则 3354211()()4i A D D D D D P D ==且，由于各事件相互独立， 故335421()()()()()P A P D P D P D P D D =1131145(1),444441024=⨯⨯⨯-⨯=答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是451024【总结升华】射击问题必须弄清所求目标的含义，是否为独立重复试验，再用排列组合知识求解。
举一反三：【变式1】一名射击爱好者每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？【答案】已知n 次独立射击中至少击中一次的概率为nn P )8.0(1)2.01(1-=--=； (1)要使{1}1(0.8)0.9nP p X =≥=-≥，0.1(0.8)n≥,必须3.108.0lg 1.0lg ≈≥n ，即射击次数必须不小于11=n 次.(2)要使99.0)8.0(1≥-=nP ，必须64.208.0lg 01.0lg ≈≥n ，即射击次数必须不小于21=n 次【变式2】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：（1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率； （2）其中恰有3次击中目标的概率；（3）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率。
【答案】（1）该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，相当于射击了5次，在第一、三、五次击中目标，在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况， 又因为各次射击的结果互不影响， 故所求概率为33333108(1)(1)555553125P =⨯-⨯⨯-⨯=； （2）法一：该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标。
相当于5次当中选3次击中，其余两次未击中，共有35C 种情况。
故所求概率为332533216()(1)55625P C =⨯⨯-=； 法二：因为各次射击的结果互不影响，所以符合n 次独立重复试验概率模型。
该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率为3325533216(3)()(1)55625P C =⨯⨯-=； （3）该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有目标， 把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有13C 种情况。
故所求概率为132333324()(1)553125P C =⋅⋅-=。
【高清课堂：独立重复试验与二项分布409089 例题5】【变式3】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列.【答案】（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P (A )=P (B )=P (C )=16P (A B C )=P (A )P (B )P (C )=15252()66216= 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216……………………………………6分 （2）ξ的可能值为0,1,2,3P (ξ=k )=3315()()66kk k C -(k =0,1,2,3)所以中奖人数ξ的分布列为例5．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一个巨大的汽油罐。
已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23． （1）求油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 的概率分布． 【思路点拨】从正面去分析可知：5发子弹必须击中2次，于是有以下几种情况：第1枪击中，第2枪也击中；第3枪击中，前两枪只击中1次；第4枪击中，前3枪只击中1次；第5枪击中，前4枪只击中1次．而利用对立事件去分析更好理解．【解析】 （1）解法一：记B 表示“引爆油罐”，则射击次数符合独立重复试验，X=2，3，4，5． X=2表明第一次击中，第二次也击中， 224(2)339P X ==⨯=； X=3表明前2次击中一次，第3次击中，11122128(3)33327P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；X=4表明前3次击中一次，第4次击中，12132124(4)33327P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭； X=5表明前4次击中一次，第5次击中，1314521216(5)3333P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，548416232()927273243P B =+++=． 解法二：利用()1()P B P B =-．油罐没有引爆的情况有两种：①射击五次，都没击中；②射击五次，只击中一次．所以5415112232()1333243P B C ⎛⎫⎛⎫=--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）X=2，3，4时同（1），当X=5时，击中次数分别为0，1，2．∴5141311541212121(5)3333339P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++⨯⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以X 的概率分布为【总结升华】 要特别注意X=5的意义，当X=5时，表示5枪都未中或5枪中只中1枪或第5枪中且前4枪只中了1枪这三种情况，否则P （X=5）易出错，也可以用概率分布的性质间接检验． 举一反三：【变式1】 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1－p ，且各发动机互不影响．如果至少50％的发动机能正常运行，飞机就可以顺利飞行，问对于多大的P 而言，四发动机比二发动机更安全？ 【答案】四发动机飞机成功飞行的概率为22233442234444(1)(1)6(1)4(1)C p p C p p C p p p p p p -+-+=-+-+，二发动机飞机成功飞行的概率为122222(1)2(1)C p p C p p p p -+=-+．要使四发动机飞机比二发动机飞机安全，只要223426(1)4(1)2(1)p p p p p p p p -+-+>-+，化简整理，得213p <<． ∴当发动机不出故障的概率大于23时，四发动机飞机比二发动机飞机安全． 【变式2】厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品。
