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离散型随机变量及其分布函数

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离散型随机变量的概率函数和分布函数的性质和分析

离散型随机变量的概率函数和分布函数的性质和分析

离散型随机变量的概率函数和分布函数的性质和分析随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机事件的可能结果。

离散型随机变量是指可能取有限个或者可数个值的随机变量。

在概率论中，我们通常通过概率函数和分布函数来描述离散型随机变量的性质和分布情况。

概率函数是离散型随机变量的重要工具，它定义了随机变量取某个特定值的概率。

对于一个离散型随机变量X，其概率函数可以表示为P(X=x)，其中x为X可能取的某个值。

概率函数具有以下性质：1. 非负性：对于任意的x，P(X=x)≥0。

2. 正则性：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x)=1。

通过概率函数，我们可以计算离散型随机变量的期望值、方差等统计量。

例如，对于一个服从二项分布的离散型随机变量X，其概率函数可以表示为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为成功的概率。

通过计算概率函数，我们可以得到二项分布的期望值为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。

除了概率函数，分布函数也是描述离散型随机变量的重要工具。

分布函数描述了随机变量小于等于某个特定值的概率。

对于离散型随机变量X，其分布函数可以表示为F(x)=P(X≤x)。

分布函数具有以下性质：1. 单调性：对于任意的x1<x2，有F(x1)≤F(x2)。

2. 有界性：对于任意的x，0≤F(x)≤1。

3. 右连续性：对于任意的x，有lim[F(x+Δx)]=F(x)，其中Δx→0。

通过分布函数，我们可以计算离散型随机变量落在某个区间的概率。

例如，对于一个服从泊松分布的离散型随机变量X，其分布函数可以表示为F(x)=∑(k=0 to x)P(X=k)=e^(-λ)∑(k=0 to x)λ^k/k!，其中λ为平均发生率。

通过计算分布函数，我们可以得到泊松分布在某个特定值x处的概率P(X=x)=e^(-λ)λ^x/x!。

概率函数和分布函数是描述离散型随机变量的重要工具，它们可以帮助我们了解随机变量的性质和分布情况。

离散型随机变量及其分布函数_图文

离散型随机变量及其分布函数_图文

5.超几何分布
设X的分布律为
说明 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.
三、内容小结
1.常见离散型随机变量的分布 两点分布 二项分布 泊松分布
几何分布 超几何分布
两点分布
二项分布
泊松分布
则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.
定义 说明
离散型随机变量的分布律也可表示为 或
例1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号
灯.每盏灯以
的概率禁止汽车通过.以
表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信
号灯的工作是相互独立的），求 的分布律.
Байду номын сангаас
离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系 ：
也就是： 分布律
分布函数
二、常见离散型随机变量的概率分布
1.两点分布
设随机变量 X 只取0与1两个值 , 它的分布律为
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布或伯努利分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
离散型随机变量及其分布函数_图文.ppt
一、离散型随机变量的分布函数
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它 (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个
或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命 中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)，发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.

离散型随机变量及其分布律

离散型随机变量及其分布律

解 由 0 p 1 ( k 0 , 1 , 2 , ), p 1 k k k 0 1 k ( ) a 得 k 1 即 a 3 1 ! k! k 03 k k0 1k 1 1 ( ) ae 3 3 e3 ! k 0 k


2. 离散型随机变量分布律与分布函数及 事件概率的关系 (1) 若已知 X 的分布律：
X
pk
0 1 2
1 2
1
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
1 , 取得不合格品, X 0 , 取得合格品.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0-1)分布.
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
p P { X x } k k
或
F ( x ) F ( x 0 ) k k k 1 , 2 , ) F ( x ) F ( x ) ( k k 1
( P { X x } P { x X x } ) k k 1 k 注 1º 离散型随机变量X的分布函数F(x)是阶
梯函数，x1, x2,· · · ,是F(x)的第一类间断 点, 而X在xk（k=1,2, · · ·）处的概率就是
F(x)在这些间断点处的跃度.
2º P { a X b }
P { a X b } P { X a } P { X b }
[ F ( b ) F ( a )] [ F ( b ) F ( b 0 )] [ F ( a ) F ( a 0 )]

2-2离散型随机变量及其分布律

2-2离散型随机变量及其分布律

松定理（第二章）和中心极限定理（第五章），利用这些定理
可以近似计算出它们的值．
3．泊松分布
定义 2.5 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} k e ， k 0,1, 2,L ， 0 ，
k!
就称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ P() ．
【注 1】 P{X
k
k}
e
0 ， k 0,1, 2,L
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点
{1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1两点分布．
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念 定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 x1, x2 ,L , xi ,L ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2,L ．
的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ．
P{X
10}

离散型随机变量及其分布规律

离散型随机变量及其分布规律

解:
例5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，
已知他每发命中的概率是p，求射击次数X 的分布列.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …，
设 Ak = {第k 次命中}，k =1, 2, …，
于是
P(X =1)=P(A1)=p,
P(X 2)P(A1A2 ) (1 p)p
P(X 3)P(A1A2 A3)(1 p)2p
可见 P(Xk)(1 p)k1p k1,2,
这就是所求射击次数 X 的分布列.
若随机变量X的分布律如上式， 则称X 服从
几何分布. 不难验证:
(1 p)k1p 1
k 1
几个重要的离散性随机变量模型
(0,1)分布 二项分布 波松分布
一、 (0-1)分布 （二点分布）
按Po
k
n=10 n=20 n=40 n=100 =np=1 p=0. p=0.05 p=0.02 p=0.01
0 10.349 0.3585 0.369 0.366
0
1 0.305 0.377 0.372 0.370
0
2 0.194 0.189 0.186 0.185
0
3 0.057 0.060 0.060 0.061
•• • • • • • 56 7 8 9 10
•
•
•
•
•
•
•
•
•20x
二项分布的图形特点:
X ~ Bn, p
对于固定n 及 P， 当k 增加时 , 概率P (X = k ) 先是随之增加
Pk
直至达到最大值, 随后单调减少.
当 n 1p 不为整数时， n 1p 二项概率 PX k

第二节 离散型随机变量及其分布

第二节 离散型随机变量及其分布
说明： 1) 泊松分布与二项分布的关系：这两个分布的数学模 型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二项分布当n很大 p 很小时的近似计算。 2) Poisson分布主要用于描述一些稀有事件，如地震、 火山爆发、特大洪水等等。
例3.1.3 (进货问题）由某商店过去的销售记录知
道，海尔彩电每月的销售数可用参数为λ =5的泊 松分布来描述，为了以95%以上的把握保证月底不 脱销，问商店在月底至少应进多少台？ 解：设每月的销售数为X，月底进N台，则
其概率分布为 P ( X 1) 3 10 即X服从两点分布。
7 P( X 0) 10
(2) 二项分布 B ( n, p )
背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量
若P ( A ) = p , 则
Pn ( k ) P ( X k ) C p (1 p)
P{ X 1} 1 P{ X 0} =1 0.99
成功次数服从二项概率
400
0.9820
B(400, 0.01)
有百分之一的希望，就要做百分之百的努力!
(3) Poisson 分布 ( ) 或 P ( )
k! 其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布，记作 ( ) 或 P ( )
k n k
n k
, k 0,1,, n
称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli 分布).记作
X ~ B( n, p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布.
例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取
出15件．试求下列事件的概率： B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 } C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 }

第二节 离散性随机变量及其分布

第二节 离散性随机变量及其分布
X 0 0.1 1 0.6
。 。 。
1
2 0.3
解： F ( x )＝P{ X x }
0, 0.1, ＝ 0.7, 1, x0 0 x1 1 x 2 x2
1
Pk
F ( x)
0
2
x
0, 0.1 , F ( x )＝ 0.7 , 1,
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据概率分布的性质: P{X =k}≥0,
P{ X k } 1
k 0

这里用到了幂级数 展开式
欲使上述函数为概率分布
a≥0
a
k 0

k
k!
e
ae 1

k!
k 0

k
从中解得
ae
。
3. 利用分布律求事件概率 离散型随机变量的分布律不仅给出了{X=xk }
x0 0, F ( x )＝P{ X x }＝ x, 0 x 1 1, x1
1
x
0
1
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
P{a X b} ?
的概率，而且通过它可以求事件{a X b}, a b 发生的概率。 由概率的有限可加性有
P{a X b}
a xk b

P{ X xk }
a xk b

pk
例2.3 设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从
中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概
注:
1. 这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。 2. 分布函数F(x)＝P {Xx} 是一个普通的函数，它 的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌 握了X在(－∞, +∞)上的概率分布情况。

2.2离散型随机变量及其分布

2.2离散型随机变量及其分布
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n,
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
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在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
第二节
离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量和概率分布 定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或 可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 定义4：设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2, …),事件 { X x k } 发生的概率为pk ,即
P { X x k } pk
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-k 即为（0－1）分布 （0－1）分布可用b(1，p)表示。
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k=0,1
k nk n p ( 1 p ) P{X = k}= C k 恰好是 [ Ｐ +(1 － Ｐ )] n 二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布 名称的由来。
e 5 5 k 0.95 k! k 0
a
e5 5k 即 0.05 k a 1 k !

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查表可得
e 10 ≈0.031828<005 k! k 10
即 a 1 10， a 9
于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件 （假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月不会脱销.
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离散型随机变量的分布函数

离散型随机变量的分布函数

离散型随机变量的分布函数
1 离散型随机变量及其分布函数
离散型随机变量是指取值的范围有限且为定值的随机变量。

离散型随机变量可以用来描述离散的结果，如两种可能的活动结果（成功或失败）等。

其取值为有限定值，故其直方图呈离散形态。

分布函数是离散型随机变量的另一种描述。

分布函数定义为这个离散随机变量小于等于某个数值的概率。

当离散型随机变量有n个可能的取值时，其分布函数为F(x)=∑i=1nP(X≤xi)，其中P(X≤xi)表示离散随机变量X小于等于xi的概率。

离散随机变量的分布函数可以使用一表表示，也可以用折线图表示。

当有多组分布函数数据时，这些多组数据可以在一张折线图上表示，这样可以更加直观地比较不同分布函数的差异。

离散随机变量的分布函数有助于更深入理解离散随机变量的取值和概率的分布情况，促进数据的分析和预测，从而支持决策做出更加准确合理的判断。

离散型随机变量及其分布

离散型随机变量及其分布

定是一个离散型随机变量,其分布函数 F(x) 唯一确定.
例 2.6 设随机变量 X 的分布律为
X2
3
4
P 0.2
0.3 0.5
求 X 的分布函数,并求 P{X 2}, P{2.4 X 3.8}, P{3 X 4} .
解 当 x 2 时, F(x) P{X x} 0 ;
当 2
x 3 时,
元和 6 万元.设 X 为总公司应付出的奖金,求 X 的分布
律并计算 P{4 X 10} 和 P{X 6} .
解 X 的所有可能取值为 0,4,6,10 (单位:万元).设 Ai { 第 i 个 分 公 司 获 得 奖 金 }( i 1, 2 ), 则 P(A1) 0.8 , P(A2 ) 0.4 ,且 A1, A2 相互独立.因此
离散型随机变量 及其分布
1.1 离散型随机变量及其分布律
定义 2.3 若随机变量 X 的所有可能取值是有限个或可
列无限多个,则称此随机变量为离散型随机变量.
例如,掷骰子朝上一面的点数、一昼夜120接到的呼叫 次数等均为离散型随机变量,而某元件寿命的所有可能取 值充满一个区间,无法按一定次序一一列举出来,因而它是 一个非离散型随机变量.
显然
(1) P{X k} 0 ( k 0,1, 2, , n );
F ( x)
P{X
xi x
xi}
P{X
2}
0.2
;
当 3
x 4 时,
F ( x)
P{X
xi x
xi}
P{X
2}
P{X
3}
0.5 ;
当 x 4 时, F(x) P{X 2} P{X 3} P{X 4} 1 .

离散型随机变量及其分布

离散型随机变量及其分布
（0－1）分布的分布律用表格表示为：
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是

2-2离散型随机变量及其分布律

2-2离散型随机变量及其分布律

P(X=2)=C (0.05) (0.95) = 0.007125
思考：本例中的“有放回”改为”无放回” 思考： 本例中的“有放回”改为”无放回”？ 不是伯努利试验。 各次试验条件不同,此试验就不是伯努利试验 此时, 各次试验条件不同,此试验就不是伯努利试验。此时, 1 2 只能用古典概型求解. 古典概型求解 只能用古典概型求解. C C
3. 泊松分布
定义 若一个随机变量 X 的概率分布为 λke−λ P{ X = k} = , k = 0,1,2,⋯, k! 则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布， 泊松分布， 记为 X ~ P (λ ) 或 X ~ π (λ ). 易见， 易见，1) P { X = k } ≥ 0; ( k −λ ∞ ∞ ∞ λk λe −λ (2)∑P{X = k} = ∑ =e ∑ k! k=0 k ! k=0 k=0
泊松分布是常见的一种分布： 泊松分布是常见的一种分布： 地震 火山爆发 特大洪水
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
4. 二项分布的泊松近似
很大时， 对二项分布 b( n, p ), 当试验次数 n 很大时， 计 算其概率很麻烦. 例如， 算其概率很麻烦 例如，b(5000, 0.001), 要计算
.
二、几种常见分布
1. 两点分布 只可能取x 设随机变量 X 只可能取 1与x2两个值 , 它的 分布律为 x x
X pi
p 1− p
1
2
0< p<1
则称 X 服从x1 , x2处参数为 的两点分布。 处参数为p的两点分布。
说明： 只可能取0与 两个值 说明：若随机变量 X 只可能取 与1两个值 , 它的 分布律为 0 1
则随机变量 X的分布律为 X 的分布律为

离散型随机变量及其分布函数

离散型随机变量及其分布函数
第2.2节 离散型随机变量 及其分布函数
一、离散型随机变量的分布函数 二、几种常见的离散型随机变量 三、小结
一、离散型随机变量的分布函数
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它 (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个
或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
因此 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
3. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2, ,而取各个 值的概率为
P{X k} ke , k 0,1, 2, ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ ().
P{X k} Cnk pnk (1 pn )nk 且满足
npn 0
则对任意非负整数k , 有
lim P{X k} k e
n
k!
证明
由
pn
,得
n
P{ X
k}
n! k!(n
( k)!
pn )k
(1
pn )nk
n(n 1) (n k 1（) ）（k 1 )nk
k!
n
n
k [1 (1 1 )(1 2) (1 k 1)](1 )n (1 )k
(k 1,2,)
说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.
5.超几何分布
设X的分布律为
P{X
m}
CMm
C nm NM
(m 0,1,2,, min{M , n})

第二节 离散型随机变量及其分布1

第二节 离散型随机变量及其分布1
概率论与数理统计
广
东
工
业
广
大 学
东 工 业
主讲教师：
大 学
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第二章 随机变量
§1 随机变量及其分布函数 §2 离散型随机变量及其分布 §3 连续型随机变量及其分布 §4 随机变量函数的分布
广 东 工 业 大 学
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§2 离散型随机变量及分布
一、离散型随机变量的定义
有些随机变量，它全部可能取的值只有有限 个，或者，虽然有无限多个可能的值，但这些值 可以无遗漏地一个接一个地排列出来（即可列 个），称这种随机变量为离散型随机变量。
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现
“成功”（事件A发生）次数ξ的概率分
布.
在解应用题时需要注意判断问题是否
为贝努利概型，可否用二项分布求解. 广 东 工 业 大 学
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例 医生对5个人作某疫苗接种试验，设已知对试验反应呈阳性的
概率为p＝0.45，且各人的反应相互独立。若以 记反应为阳性的人数。 （1）写出 的分布律；（2）恰有3人反应为阳性的概率；（3）至少有2
0.453(1
0.45)2
0.276;
广
(3)至 少 有2人 反 应 呈 阳 性 的 概 率 是
东 工
P( 2) 1 p( 0) p( 1)
业 大
1
(1
0.45)
5
C
1 5
0.45(1
0.45)4 0.744.
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返回
学
若X : b(n,p)，则明显地成立以下公式：
1.在n重贝努利 试验中，事件A发生的次 数在k1与k2之间的概 率是
下面求P{ξ=k}

2.2离散型随机变量及其分布律

2.2离散型随机变量及其分布律
1. (01)分布 其分布律为: X 0 1
P 1 p
p
称X服从(01)分布或两点分布 记为 X～ B(1, p)
13
2.二项分布
在n重贝努里试验中,设每次试验事 件A发生的概率为p
令X是n次试验中事件A发生的次数
则 X为一离散型随机变量
P ( X k ) C p (1 p)
k n k n k
2.2 离散型随机变
量及其分布律
一、离散型随机变量 二、常见离散型分布
1
一天内接到的电话个数（可以一一罗列） 从某一学校随机选一学生，测量他的身高 （不可以一一罗列）
定义1: 如果随机变量X只能取有限个 或可列无限多个不同可能值,则称X 为 离散型随机变量
2
一、离散型随机变量
定义：设离散型随机变量X所有可能取 的值为x1, x2,…, xi ,…, X取可能值xi的概 率pi ,即P(X=xi)=pi (i=1,2,…),则称该式为 离散型随机变量X的分布律或概率分布 分布律也常用下列形式表示: X x1 x2 … xi … 性质: (1) pi≥0, i=1,2,… (2)
k n k e k n k
k!
( np)
21
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，
当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布
22
例.用步枪向某一目标射击,每次击中目标
的概率为0.001,今射击6000次,试求至少有 两弹击中目标的概率.(泊松定理)
24
4.几何分布： X ~ G(p)
PX k q
k 1
p
k 1， 2，
(其中p 0, q 0, p q 1)

离散型随机变量及其函数的分布

离散型随机变量及其函数的分布
联合分布
对于两个离散型随机变量X和Y，它们的联合分布可以表示为P(X=x,Y=y)，其中x和y是 所有可能取值的集合。联合分布可以用来计算两个随机变量的期望和方差。
04
离散型随机变量的函数
线性函数
线性函数
$Y = aX + b$，其中$a$和 $b$为常数。
分布性质
线性函数会改变随机变量的 均值和方差，但不会改变其 离散性。
离散型随机变量的分布函数
定义
离散型随机变量的分布函数是描述随机 变量取值概率的函数，通常用F(x)表示。
VS
性质
分布函数F(x)的值等于随机变量X小于等 于x的所有可能取值的概率之和。
离散型随机变量的概率分布
定义
离散型随机变量的概率分布是描述随机变量 取各个可能值的概率的函数，通常用P(X=x) 表示。
组合概率
如果事件A和B是独立的，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
条件概率
如果事件A和B是独立的，那么P(B|A)=P(B)。
独立性与期望、方差的关系
期望
如果随机变量X和Y是独立的，那么E(XY)=E(X)E(Y)。
方差
如果随机变量X和Y是独立的，那么D(X+Y)=D(X)+D(Y) 。
性质
方差具有线性性质，即D(aX+b)=a^2D(X)，其中a和b是常 数。
方差的期望
对于离散型随机变量X，有D(D(X))=D(X)。
离散型随机变量的期望与方差的计算
期望的计算
根据离散型随机变量的定义和概率分布，计算每个可能取值的概率加权和。
方差的计算
根据离散型随机变量的定义和概率分布，计算每个可能取值的概率加权平方与期望值的 差的平方。

随机变量的分布函数及其计算

随机变量的分布函数及其计算

随机变量的分布函数及其计算随机变量的分布函数是指随机变量取值在一个区间内的概率累计值的函数。

在概率论中，分布函数也被称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）。

分布函数常用于描述随机变量的取值范围和概率分布。

对于离散型随机变量来说，其分布函数可以表示为：F(x)=P(X≤x)，其中P表示概率，X表示随机变量，x表示变量的取值。

对于连续型随机变量来说，其分布函数可以表示为：F(x) = ∫[−∞, x] f(t)dt，其中f(t)表示随机变量的概率密度函数。

下面将分别介绍离散型随机变量和连续型随机变量的分布函数计算方法。

离散型随机变量的分布函数计算方法：在离散型随机变量中，概率函数通常是已知的。

因此，我们只需要对所有可能取值的概率进行累加，即可得到分布函数的值。

具体计算步骤如下：1.确定一些特定值x。

2.计算所有小于等于x的概率之和，即F(x)=P(X≤x)。

如果x取一些可能的取值，那么F(x)就是这个取值之前（包括这个取值）所有概率的累积。

例如，假设X是一个骰子的点数，其可能取值为1、2、3、4、5、6；对应的概率分别为1/6、可以计算得到分布函数如下：F(0)=P(X≤0)=0F(1)=P(X≤1)=1/6F(2)=P(X≤2)=2/6F(3)=P(X≤3)=3/6F(4)=P(X≤4)=4/6F(5)=P(X≤5)=5/6F(6)=P(X≤6)=1连续型随机变量的分布函数计算方法：在连续型随机变量中，通常会给出概率密度函数f(x)，例如正态分布、均匀分布等等。

对于连续型随机变量，其分布函数是通过对概率密度函数进行积分得到的，具体计算步骤如下：1.确定一些特定值x。

2. 计算从负无穷到x的概率密度函数的积分，即F(x) = ∫[−∞, x] f(t)dt。

积分的结果是一个累积概率，表示随机变量的取值小于等于x的概率。

例如，假设X是一个服从正态分布N(0,1)的随机变量，其概率密度函数为：f(x)=(1/√(2π))*e^(-x^2/2)我们可以计算得到分布函数如下：F(−∞) = ∫[−∞, -∞] f(t)dt = 0F(0) = ∫[−∞, 0] f(t)dt = 0.5F(1) = ∫[−∞, 1] f(t)dt ≈ 0.8413F(2) = ∫[−∞, 2] f(t)dt ≈ 0.9772F(3) = ∫[−∞, 3] f(t)dt ≈ 0.9987总结：随机变量的分布函数可以用来描述随机变量在一些取值范围内的概率分布情况。

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•因此 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
•3. 泊松分 设布随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2,L ,而取各个
值的概率为
P{X k} ke , k 0,1, 2,L ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ ().
•随机变量 X 的可能值是 : •1, 2, 3, 4, 5, 6
•实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
1, 2, 3, .
•实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,
•现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 •的次数”•, 则 X 的所有可能取值
数
数
泊松定理 设 X ~ B(n, pn ) P{X k} Cnk pnk (1 pn )nk
且满足
npn 0
则对任意非负整数k , 有
第2.2节 离散型随机变量 及其分布函数
•一、离散型随机变量的分布函数 •二、几种常见的离散型随机变量 •三、小结
•一、离散型随机变量的分布函数
•随机变量
•离散型 •非离散型
•连续型 •其它 • (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限
个或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
•实例1 • 观察掷一个骰子出现的点数.
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
•图示概率分布
•例3 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02, 独立射击 400 次,试求至少击中两次的概率.
•解 设击中的次数为 X ,
则 X ~ B(400,0.02). X 的分布律为
P{ X k} 400(0.02)k (0.98)400k , k 0,1, ,400. k
xk x
二、常见离散型随机变量的概率分布
•1.两点分布
• 设随机变量 X 只取0与1两个值 , 它的分布
律为
X
0
1pk 1 p源自p•则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布或伯努利
分布.
•说明
•
两点分布是最简单的一种分布,任何一
个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿
是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
解：X的分布律为
X0
1
2
3
4
pk
p
(1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
•离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关
系：
F ( x ) P{ X x} pk P ( X xk ).
xk x
xk x
•也就是：
•分布律 pk P{ X xk }
•分布函数 F ( x) P{ X x} pk
•例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电
•话呼唤次数等都服从泊松分布.
•地震
•火山爆发
•特大洪水
•
在生物学、医学、工业统计、保险科学及
•公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
•例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电
•话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
•商场接待的顾客 •电话呼唤次 •交通事故次数
为: 0, 1, 2, 3, , 30.
• (2)连续型 若随机变量所有可能的取值可以连续 • 地充满某个区间,则称其为连续型随机变量.
•实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿
命”.
•则 X 的取值范围为[0, ).
•实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测误
差• ”.
•则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.
k 1
•离散型随机变量的分布律也可表示为
X ~ x1 x2 xn p1 p2 pn
•或
X
x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
例1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号 灯.每盏灯以 （p 0 p 1) 的概率禁止汽车通过.以
X 表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信 号灯的工作是相互独立的），求 X的分布律.
•泊松分布的背景及应用
• 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察
•与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时,
•他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)，发现 •放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 •数X 服从泊松分布.
•
在生物学、医学、工业统计、保险科学及
•公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
•定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2, ), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率,为
P{ X xk } pk , k 1,2, . 称此式为离散型随机变量 X 的分布律.
•说
(1) pk 0, k 1,2, ;
明
(2) pk 1.
• •分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总 数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来 说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
把检查一只元件看它是否为一级品看成是一次 试验,检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
•解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ B(20, 0.2), 因此所求概率为 P{X k} 2k0(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, ,20.
都属于两点分布.
•2.二项分布
•若X的分布律为：
P{X k} Cknpkqnk , k 0,1,2, n 则 •称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为
X ~ B(n , p) •,其中q＝1－p
•二项分布 n 1 •两点分布
•例 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 12500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只.问20只元件 中恰有 k 只(k 0,1, ,20) 一级品的概率是多少?