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离散型随机变量及其概率分布

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离散型随机变量与概率分布

离散型随机变量与概率分布

离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的性质：取 值具有可数性，取值范围是 离散的
离散型随机变量的定义：在 一定范围内取有限个值的随 机变量
离散型随机变量的概率分布： 描述离散型随机变量取各个 可能值的概率
离散型随机变量的概率分布 函数：描述离散型随机变量
取值范围的累积概率
离散型随机变量的概率分布
方差：D(X)=n*p*(1-p)
泊松分布
定义：泊松分 布是一种离散 概率分布，描 述了在单位时 间内随机事件 发生的次数的
概率分布。
特点：泊松分 布的数学期望 和方差都等于 参数λ。当λ增 加时，随机变 量取较大值的 概率也增加。
应用场景：泊 松分布在多种 领域中有广泛 应用，如物理 学、生物学、 医学、经济学
方差的性质： D(aX+b)=a^2*D(X)，其
中a、b为常数
期望与方差的关系： D(X)=E[(X-E(X))^2]
常见的离散型随机变量
二项分布
定义：一个离散型随机变量的取值 只取0和1，且取每个值的概率为p 或q=1-p
期望值：E(X)=n*p
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
概率计算公式：P(X=k)=C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为试 验次数，k为成功次数
应用：在统计学、 概率论、决策理 论等领域有广泛 应用。
离散型随机变量的概率分布表
离散型随机变量的定义
离散型随机变量的概率分 布函数
离散型随机变量的概率分 布表的意义
离散型随机变量的概率分 布表的计算方法
离散型随机变量的期望与方差
期望的定义与性质
离散型随机变量的期望定义 期望的性质：线性性质、交换律、结合律、期望的期望等于期望本身 期望的计算方法：直接计算法、数学归纳法、递推法 期望与方差的关系：方差是期望的函数，期望是方差的线性函数

离散型随机变量的概率分布

离散型随机变量的概率分布

解
设 p 为每组信号灯禁止汽车通过的概率, 则有
X0
1
2
3
4
pk p (1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
将 p 1 代入得 2
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{X xk }
3.二项分布
(1) 重复独立试验 将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重复独立试验.
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A,则称 E 为伯努利试验. 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X
0 1
1
1
pk
2
2
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那么,若规定
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
P{X = a} = 1 则称 X 服从 a处的退化分布.
2.两点分布（Bernoulli分布)

2.2离散型随机变量及其概率分布

2.2离散型随机变量及其概率分布

8
5
k
24
小结
离 散 型 随 机 变 量 的 分 布
二项分布 泊松分布
两点分布
两点分布
n1
二项分布
n 10, p 0.1, np
泊松分布
25
二项分布与 (0 1) 分布、泊松分布之间的 关系 .
二项分布是 (0 1) 分 布 的 推 广 , 对 于n 次 独 立重复伯努利试验 ,每 次 试 验 成 功 的 概 率 为 p, 设 , 1, 若 第 i 次 试 验 成 功 Xi ( i 1,2, , n) . 0, 若 第 i 次 试 验 失 败 它们都服从 (0 1) 分 布 并 且 相 互 独 立 , 那末 X X1 X 2 X n 服 从 二 项 分 布 , 参 数 为( n, p).
定义2 如果随机变量 X 只有两个可能取 值，其概率分布为
P{ X x1 } P , P{ X x2 } q 1 p(0 p 1, p q 1)
则称X服从 x1 , x2 处参数为p的两点分布. 特别，若X服从
x1 1, x 0 处参数为p的两点分布，即
p
k 1
5
k
1
1 a . 15
5
关于分布律的说明：
若已知一个离散型随机变量X的概率分布 X P x1 p1 x2 p2 ... ... xn ... pn ...
则可以求X所生成的任何事件的概率，特别地：
P{a X b} P{ { X xi }} pi
a xi b a xi b
26
以 n, p ( np ) 为参数的二项分布 ,当 n 时趋 于以 为参数的泊松分布 ,即

离散型随机变量与概率分布

离散型随机变量与概率分布

离散型随机变量与概率分布离散型随机变量（Discrete Random Variable）是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。

与之相对应的是连续型随机变量，后者可以取任意连续的值。

在概率论和数理统计中，离散型随机变量是一个重要的概念，它通常用于描述实验中可以明确计数的结果。

离散型随机变量的概率分布（Probability Distribution）描述了该变量取特定值的概率。

概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）或累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）来表示。

下面将介绍离散型随机变量的概率质量函数和累积分布函数，并给出两个例子进行说明。

一、概率质量函数概率质量函数（PMF）是离散型随机变量取各个值的概率。

对于离散型随机变量X，其概率质量函数可以表示为P(X=x)，其中x为该随机变量可能取的某个值。

概率质量函数需要满足以下两个条件：1. 非负性：对于所有可能的取值x，P(X=x) ≥ 0。

2. 概率的总和为1：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x) = 1。

通过概率质量函数，我们可以计算出随机变量X取某个特定值的概率。

例如，假设有一个公平的六面骰子，投掷一次，随机变量X代表出现的点数。

则该骰子的概率质量函数为：P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6P(X=3) = 1/6P(X=4) = 1/6P(X=5) = 1/6P(X=6) = 1/6二、累积分布函数累积分布函数（CDF）是离散型随机变量小于等于某个特定值的概率。

对于离散型随机变量X，其累积分布函数可以表示为F(x)=P(X≤x)，其中x为该随机变量的某个值。

累积分布函数也需要满足概率的基本要求。

通过累积分布函数，我们可以计算出随机变量X小于等于某个特定值的概率。

以前述的六面骰子为例，该骰子的累积分布函数为：F(x) = P(X≤x)F(1) = 1/6F(2) = 2/6 = 1/3F(3) = 3/6 = 1/2F(4) = 4/6 = 2/3F(5) = 5/6F(6) = 1三、例子说明例子1：硬币投掷假设有一个公平的硬币，投掷一次，随机变量X代表正面朝上的次数。

离散型随机变量的概率分布

离散型随机变量的概率分布
则称之为离散型随机变量X的概率分布或分布列（律） 亦可用下面的概率分布表来表示
X
pk
x1
p1
x2
p2
…
…
xn
pn
…
…
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
第3页
分布列具有如下性质： （1）非负性： pi ≥ 0 （2）规范性： （i=1,2，…）
i
p
i 1
1
例2 已知随机变量X的概率分布为：
(3) 汽车司机刹车时，轮胎接触地面的点的位置是在[0, 2r]上取值的随机变量，其中r 是轮胎的半径．
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
第2页
定义4 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为
P { X = xi } = pi （i = 1, 2, …）
k 3 k C4 C6 可表示为 P{ X k} (k 0,1,2,3) 3 C10
C 4 C6 C4 3 1 P{X 2} , P{X 3} 3 3 10 C10 C10 30
4红
X
pk
0
1 6
1
1 2
2
3 10
3
1 30
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
X P
0 1 2
1 1 1 2 2
2 1 1 1 2 2 2
3 11 1 22 2
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
第13页
2.1.2 常见的离散型随机变量 1. 0-1分布 若随机变量 X 只可能取 0 和 1 两个值，概率分布为

概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布 第二节 离散型随机变量及其概率分布

概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布 第二节 离散型随机变量及其概率分布

以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台 数”以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“第i人维护的20台中 ,
发生故障时不能及时维修”, 则知80台中发生故障
而不能及时维修的概率为
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 )
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
3、独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习1 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用10ห้องสมุดไป่ตู้0小时已坏的灯泡数 . 把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} 视为事件A .每次试验, A )3+3(0.8)(0.2)2 =(0.2出现的概率为0.8
本例中，n=20，p=0.2, 所以，(n+1)p=4.2, 故k0=4。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习3 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立 的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其 一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同 维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法

第二节 离散型随机变量及其分布

说明： 1) 泊松分布与二项分布的关系：这两个分布的数学模 型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二项分布当n很大 p 很小时的近似计算。 2) Poisson分布主要用于描述一些稀有事件，如地震、 火山爆发、特大洪水等等。
例3.1.3 (进货问题）由某商店过去的销售记录知
道，海尔彩电每月的销售数可用参数为λ =5的泊 松分布来描述，为了以95%以上的把握保证月底不 脱销，问商店在月底至少应进多少台？ 解：设每月的销售数为X，月底进N台，则
其概率分布为 P ( X 1) 3 10 即X服从两点分布。
7 P( X 0) 10
(2) 二项分布 B ( n, p )
背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量
若P ( A ) = p , 则
Pn ( k ) P ( X k ) C p (1 p)
P{ X 1} 1 P{ X 0} =1 0.99
成功次数服从二项概率
400
0.9820
B(400, 0.01)
有百分之一的希望，就要做百分之百的努力!
(3) Poisson 分布 ( ) 或 P ( )
k! 其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布，记作 ( ) 或 P ( )
k n k
n k
, k 0,1,, n
称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli 分布).记作
X ~ B( n, p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布.
例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取
出15件．试求下列事件的概率： B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 } C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 }

概率统计中的离散型随机变量和概率分布

概率统计中的离散型随机变量和概率分布概率统计是一门研究随机现象的概率规律和统计方法的学科，离散型随机变量和概率分布是其中的重要内容。

离散型随机变量是指取有限个或无限个可列值的变量，而概率分布则是描述这些可列值的变量在不同取值下发生的概率的规律。

本文将介绍离散型随机变量的基本概念和概率分布的常见类型。

首先，我们来了解离散型随机变量的定义和特点。

离散型随机变量是一个在随机试验中可能取不同离散值的变量。

它的取值是可数的，即可以通过一个集合表示出来。

比如，随机试验抛掷一个六面骰子，那么点数就是一个典型的离散型随机变量，其可能的取值为1、2、3、4、5、6。

离散型随机变量的特点是在每一个可能的取值上都有一个概率与之对应。

接下来，我们将介绍离散型随机变量的概率分布。

概率分布是描述离散型随机变量在不同取值下的概率规律。

常见的概率分布包括离散型均匀分布、伯努利分布、二项分布和泊松分布等。

离散型均匀分布是最简单的概率分布之一。

它的特点是取值概率相等且固定。

比如，一个骰子的点数就符合离散型均匀分布，因为每一个点数的概率都是1/6。

伯努利分布是描述只有两个可能结果的随机试验的概率分布，比如成功或失败、正面或反面。

伯努利分布的参数是成功的概率p和失败的概率q=1-p。

伯努利分布的概率函数可以用来计算在n次独立重复试验中成功恰好出现k次的概率。

二项分布是伯努利试验的推广，它描述了在n次重复独立试验中成功事件发生k次的概率分布。

二项分布的参数是重复试验的次数n和成功概率p。

二项分布在众多实际问题中具有广泛的应用，比如估计选民中对某候选人的支持率等。

泊松分布是描述在一定时间或空间内事件发生次数的概率分布。

泊松分布的参数是单位时间或单位空间内事件的平均发生率λ。

泊松分布适用于事件发生的次数相对较稀少的情况，比如一个地区某种疾病的发病率。

除了以上几种常见的离散型概率分布外，还有一些其他的概率分布，比如几何分布、负二项分布和超几何分布等，它们在不同的应用场景中发挥着重要作用。

离散型随机变量及其概率分布


(2)
p
k 1

k
1
注意：任一具有上述两个性质的数列｛pk}，都有资格作为 某一个随机变量 X 的分布列。
这是判别某个数列是否成为分布列的充要条件！
用于验证概率函数 的正确与否。
2
练习1
下面给出的是不是概率函数？
1 1 k (1) P ( X k ) ( ) , k 0,1, 2, 2 3 1 k (2) P ( X k ) ( ) , k 1, 2, 2
P{ X k }
单调减少.
先是随之增加直至达到最大值，
随后
(2) 二项分布的最可能值与最大概率 二项分布中 X 共有 n + 1 个可能的取值 0, 1, … , n，使 P(X = k ) 达到最大的 k 记作 k0，称 k0 为二项分布的最可能值. 把 P(X = k0 ) 称为二项分布的最大概率. 由于 P(X = k0 ) 最大，所以
10
2.两点分布 若X的概率分布为：P( X=x1 ) =p, P( X=x2 ) = 1-p . (0<p<1) 则称X服从参数为p的两点分布. X P 0 1-p 1 p
若X服从x1=1 , x2=0 处参数为p的两点分布，则称X服从0-1分布。
注
0-1分布中X的实质： 设P(A)=p，X“一次试验中A发生的次数”，则X服从0-1分 布.
(3) P( X 1) 1 P( X 0) 1 0.110 1
一般地，设X ～b(n, p)，则 A至多发生m 次的概率为 P( X m)
k k nk C np q k 0 m
A至少发生一次的概率为 P(X≥1)=1- P(X=0)= 1- q n

2.2离散型随机变量及其分布


例1
从中任取3 从中任取 个球 取到的白球数X是一个随机变量 取到的白球数 是一个随机变量 X可能取的值是 0,1,2 可能取的值是
C 1 取每个值的概率为 P(X=0)= = C 10 3 且 CC 6 ∑P( X = i) = 1 P(X= )= 1 = i=1 C 10 1 2 这样，我们就掌握了X这个 这样，我们就掌握了 这个 C3C2 3 P(X=2)= 3 = 随机变量取值的概率规律. 随机变量取值的概率规律 C5 10
P( X =1) = p,0 < p <1 P( X = 0) =1 p = q
或 P(X＝k)＝pk(1－p)1－k, (0<p<1;k＝0,1) ＝ ＝ － － ＝ 1)
2. 二项分布
每次试验中， 设将试验独立重复进行n次，每次试验中， 事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为 n重贝努里试验. 重贝努里试验. 表示n重贝努里试验中事件 用X表示 重贝努里试验中事件 （成功） 表示 重贝努里试验中事件A（成功） 出现的次数， 出现的次数，则
P(X=k)=C (0.8) (0.2) , k = 0,1,2,3 把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验, 时数看作一次试验 P(X ≤ =P(X=0)+P(X=1) 1)
k 3 k
3k
“使用到 使用到1000小时已坏” 小时已坏” 使用到 小时已坏 视为“成功” 每次试验, 视为“成功 每次试验 )3+3(0.8)(0.2)2 ”.每次试验 =(0.2 “成功”的概率为 成功” 成功 的概率为0.8
例5 解: 当 当
X p
0 1 2 1 1 1 3 6 2
，求 F(x).
F(x) = P(X ≤ x)
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0.273•
由图表可见 , 当 k 2 或 3 时， 分布取得最大值 P8 (2) P8 (3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数 • 1 • • • • • 2 3 4 5 6 • 7 • 8
• 0
x
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 2 4 6 8
设 X ~ B ( 20,0.2)
0.2 0.15 0.1 0.05
5
10
15
20
二项分布中最可能的成功次数 的定义与推导 若 P( X k ) P ( X j ), j X 可取的一切值 则称 k 为最可能出现的次数
记 pk P ( X k ) Cnk p k (1 p ) n k , k 0,1, , n
3 5 5 3 3 1 1 P( X ) F ( ) F ( ) 2 2 2 2 4 4 2
P ( 2 X 3) F ( 3) F ( 2) P ( X 2)
3 1 3 1 4 2 4
例 袋中有5个球，其中2个白球，3个黑球， 从中随机地一次抽取3个球，求取得白球数的 概率分布．
(2) 二项分布
n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若
Pn (k ) P ( X k ) C p (1 p )
k n k nk
, k 0,1, , n
则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
X ~ B ( n, p )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
P
0.22
•
由图表可见 , 当 k 4 时， 分布取得最大值
P20 (4) 0.22
• • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
Hale Waihona Puke P5000 (5) C5 5000
(0.001) (0.999)
5
4995
0.1756
(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
P( X 1) 1 P( X 1) 1 P( X 0)
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
离散随机变量及分布律
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个 或无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即 或
P( X xk ) pk , k 1,2,
X
P
x1 p1 x2 p2 … … xK pk … …
解 令 X 表示“取得的白球数”，则 X 可 能取值为0，1，2，
可以求得的分布律为
C 1 P{ X 0} C 10
3 3 3 5
CC 6 P{ X 1} 3 C5 10
1 2 C3 C2 3 P{ X 2} 3 C5 10
2 3
1 2
X 的分布列的表格形式为
X 0 1/10 1 6/10 2 3/10
p
k
pk P( X xk ) F ( xk ) F ( xk 1 )
其中 xk 1 xk . F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断.
例:
设随机变量的分布律为
X
pk
-1 1 4
2
3
1
1 求 X 的分布函数,并求 P ( X ), P ( 3 X 5 ), P (2 X 3) 2 2 2
P
常见离散r.v.的分布
(1) 0 – 1 分布
X = xk Pk
1 p
k
0 1-p
1 k
0<p<1
或 P( X k ) p (1 p) , k 0, 1
应用 场合 凡试验只有两个结果, 常用0 – 1
分布描述, 如产品是否合格、人
口性别统计、系统是否正常、电力消耗 是否超标等等.
2
1
4
解 : X的分布函数为
x 1
0 1 4 F ( x) 1 1 4 2 1
1 x 2 2 x3 3 x
即
0 1 4 F ( x) 3 4 1
x 1 1 x 2 2 x3 3 x
1 1 1 又, P ( X ) F ( ) 2 2 4
pk 1 (1 p ) k 1 pk p (n k 1)
pk (1 p )( k 1) 1 pk 1 p(n k )
( n 1) p 1 k ( n 1) p
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p 与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值 当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ] 处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
例
独立射击5000次, 命中率为0.001,
求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ]
= [( 5000+ 1)0.001] =5
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
二项分布的取值情况 设 X ~ B ( 8, 1 3 )
P8 (k ) P ( X k ) C ( ) (1 3 )
k 1 k 3 8 1 8 k
, k 0,1, ,8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 P
或
X ~
x1 x2 p1 p2
xk pk
非负性 规范性
概率分布的性质

pk 0, k 1,2,
pk 1
k 1

离散随机变量及分布函数
F ( x ) P ( X x ) P ( ( X xk ) )
xk x

xk x
P( X x
k
)
xk x