瞬时变化率

变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。

例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。

拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。

即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。

利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。

瞬时变化率—导数教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。

从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。

所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。

2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：(2) 位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤： 1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆=3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，ts ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率三、数学应用例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。

第1课 平均变化率与瞬时变化率一、平均变化率 1.引例（1）气球膨胀率：我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?①气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=。

如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么343)(πV V r =， ②当V 从0增加到1时,气球半径增加了33(1)(0)0.62()4r r dm π-=≈，气球的平均膨胀率为3(1)(0)30.62(/)104r r dm L π-=≈- ③当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是1212)()(V V V r V r --（2）高台跳水：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系22618h t t =-++.用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动.思考计算：01t ≤≤的平均速度v在01t ≤≤这段时间里，(1)(0)4(/)10h h v m s -==-；2. 函数的平均变化率（1）定义：对于函数()y f x =，给定自变量的两个值1x 和2x ，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1f x 变为()2f x ，把2121()()f x f x y x x x -∆=∆-称为函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率．习惯上用x ∆表示21x x -，即x ∆=21x x -，可把x ∆看作是相对于x 1的一个“增量”，可用1x x +∆代替x 2；类似地y ∆=()()21f x f x -．于是，平均变化率可表示为yx∆∆. （2）平均变化率的几何意义设(())A x f x 11，，(())B x f x 22，是曲线()y f x =上任意不同的两点，函数()y f x =的平均变化率hto211121()()()()f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆==∆-∆为割线AB 的斜率，如右图所示． 【例1】已知函1()f x x x=+，分别计算()f x 在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 【解析】自变量x 从1变到2时，函数()f x 的平均变化率为 f （2）－f （1）2－1＝2＋12－（1＋1）1＝12；自变量x 从3变到5时，函数()f x 的平均变化率为 f （5）－f （3）5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数1()f x x x =+在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．归纳：计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量21x x x ∆=-； ②求函数的增量()()21y f x f x ∆=-；③求平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆- 二、瞬时变化率 1. 瞬时速度:（1）引例：在上例“高台跳水”中，22618h t t =-++，计算运动员在03t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ①运动员在这段时间内使静止的吗？②你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数22618h t t =-++的图像，结合图形可知，(3)(0)h h =， 所以(3)(0)0(/)30h h v m s -==-，虽然运动员在03t ≤≤这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （2）定义：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 ③运动员在1t =的瞬时速度v 是多少？ 运动员在[1,1]t +∆的平均速度为22(1)(1)2(1)6(1)216122(/)h h t h t t v t m s t t t∆+∆--+∆++∆+⨯-⨯====-⋅∆+∆∆∆所以运动员在1t =的瞬时速度为00limlim(22)2(/)t t hv t m s t ∆→∆→∆==-⋅∆+=∆2. 瞬时变化率：一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x ∆→∆→+∆-∆'==∆∆ 【例2】如果某物体的运动路程s 与时间t 满足函数2)2(1(s t s =+的单位为m ，t 的单位为)s ，求此物体在1.2s 末的瞬间速度．【解析】224[()1]2()()21 1.2 1.2.82s t t t ∆∆-==+++∆+∆2，004.82limlim() 4.8t t t st ∆→∆→∆∆=∆+=，即 1.2| 4.8t s =='，故物体在1.2 s 末的瞬时速度为4.8 /m s . 【例3】已知函数()2f x x x =-+(1) 求函数()f x 在1x =-附近的平均变化率 (2) 求函数()f x 在1x =-的瞬时变化率 解：(1)(1)(1)y f x f ∆=-+∆--22(1)(1)[(1)(1)]x x =--+∆+-+∆---+-2()3x x =-∆+⋅∆所以，函数()f x 在1x =-附近的平均变化率为2()33y x xx x x∆-∆+⋅∆==-∆∆∆ （2）函数()f x 在1x =-的瞬时变化率为00(1)limlim(33)x x yf x x ∆→∆→∆'-=-∆==∆【例4】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x fx x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆所以00(2)limlim(3)3x x ff x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．第1课 平均变化率与瞬时变化率同步作业1．已知函数21y x =+，则在2x =，0.1x ∆=时，y ∆的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44【答案】B【解析】2()(21)0.4120.1y +==+2Δ+1-2．一运动物体的运动路程()s t 与时间x 的函数关系为2()2s t t t =-+，则()s t 从2到2t +∆的平均速度为( )A ．t -2ΔB ．t --2ΔC ．t +2ΔD ．()t t -2Δ2Δ【答案】B【解析】因为s (2)＝－22＋2×2＝0，所以s (2＋Δt )＝－(2＋Δt )2＋2(2＋Δt )＝－2Δt－(Δt )2， 所以s （2＋Δt ）－s （2）2＋Δt －2＝－2－Δt .3．一个物体的运动方程为1s t t =-+2，其中s 的单位是：m t ，的单位是：s ，那么物体在t =3s 时的瞬时速度为( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s 【答案】C【解析】：因为221(3)(3)(133)5t t t s t t∆=∆=∆∆-+∆++--++∆所以()005l i 5i /ml m()t t st t ∆→∆→=+=∆∆∆m s4.若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点331,24⎛⎫⎪⎝⎭及邻近一点331,24x y ⎛⎫+∆+∆ ⎪⎝⎭，则y x ∆∆＝( )A ．3B ．－3C ．－3－()2x ∆ D ．－x ∆－3【答案】D【详解】()233322y f x f x x ⎛⎫⎛⎫∆=+∆-=-∆-∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()233x x y x x x-∆-∆∆∴==--∆∆∆.故选：D. 5. 一直线运动的物体，从时间t 到t t ∆+时，物体的位移为s ∆，则tst ∆∆→∆0lim为( )A ．从时间t 到t t ∆+一段时间内物体的平均速度B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度C ．当时间为t ∆时物体的速度D ．在时间t t ∆+时刻物体的瞬时速度 6．（多选）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数表达式为h (t )＝2t 2＋2t ，则下列说法正确的是( ) A ．前3 s 内球滚下的垂直距离的增量Δh ＝24 m ；B ．在时间[2，3]内球滚下的垂直距离的增量Δh ＝12 m ；C ．前3 s 内球的平均速度为6 m/s ；D ．在时间[2，3]内球的平均速度为12 m/s. 【答案】ABD【解析】前3 s 内，Δt ＝3 s ，Δh ＝h (3)－h (0)＝24(m)，此时平均速率为Δh Δt ＝243＝8(m/s)，故A 正确,C 不正确；在时间[2，3]内，Δt ＝3－2＝1(s)，Δh ＝h (3)－h (2)＝12(m)，故平均速度为ΔhΔt＝12(m/s)，所以BD 正确．综上，A ＢＤ都正确．7．2019年4月5日，某地上午9：20的气温为23.4 ℃，下午1：30的气温为15.9 ℃，则在这段时间内气温的平均变化率为__________℃/min. 【答案】－0.03【解析】从上午9：20到下午1：30，共250 min ，这段时间内气温的变化量为15.9－23.4＝－7.5(℃)(即气温下降7.5 ℃)，所以在这段时间内气温的平均变化率为－7.5250＝－0.03(℃/min)．8.一做直线运动的物体，其位移()s m 与时间()t s 的关系是23s t t =-，则该物体的初速度是________． 【答案】3 m/s【解析】2000(0)(0)00333lim lim lim() /t t t t t V s t tt ∆→∆→∆→+=∆-==-+⨯=∆+-∆23ΔΔΔm s 初，故物体的初速度为3 m/s.9.如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________． 【答案】[x 3，x 4]【解析】由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，f （x 3）－f （x 2）x 3－x 2，f （x 4）－f （x 3）x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．10.某河流在一段时间min x 内流过的水量为3m y ，已知y 是x 的函数，且()y f x ==x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？【详解】当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率为()()()381211m /min 8177f f --==-，它表示时间从1min 增加到8min 的过程中，每增加1min ，水流量平均增加31m 7． 11.求函数2()24y f x x x +==在3x =处的瞬时变化率．解：()()()y x x ⨯⨯22Δ23Δ43Δ2343＝＋＋＋－＋()()x x x x x 2212Δ2Δ4Δ2Δ16Δ＝＋＋＝＋， 所以Δy Δx ＝2（Δx ）2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16.所以函数2()24y f x x x +==在3x =处的瞬时变化率为00limlim()16216x x yx x ∆→∆→∆+∆==∆12．已知()0)(f x kx b k =+≠在区间[－2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点(0)2，，试求该一次函数的表达式．【解析】因为函数()f x 的图象过点(0，2)，所以b ＝2，即f (x )＝kx ＋2. 因为Δy Δx ＝f （6）－f （－2）6－（－2）＝2，即（6k ＋2）－（－2k ＋2）8＝2，解得k ＝2，所以该一次函数的表达式为f (x )＝2x ＋2. 13.求函数()2x f x =与1()12g x x =-在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率，并比较它们的大小.【详解】()2x f x =在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率为11()(1)222(1)a a a f f a f a x a a --∆--==-=∆--； 1()12g x x =-在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率为： 111(1)1()(1)122(1)12a a g g a g a x a a ⎛⎫⎡⎤---- ⎪⎢⎥∆--⎝⎭⎣⎦===∆--. 0,11a a <∴-<-111222a --∴<=，()2x f x ∴=在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率比1()12g x x =-在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率小.。

班级 姓名 小组 编写：文科数学备课组§1(2) 瞬时变化率【学习目标】1.复习理解函数平均变化率的意义；2.理解函数的瞬时变化率的概念；3.会求函数在某点的瞬时变化率. 【学习重难点】函数的瞬时变化率 【学习难点】求函数的瞬时变化率 【学习内容】 一.自主学习1. 复习引入：什么叫做函数的平均变化率?它的作用是什么？2．问题提出：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，物体的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求物体的瞬时速度呢？对应的，如何精确地刻画函数在某一点处的变化快慢呢？例1．一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t(单位：s)的函数关系为221gt s =，./8.92）为重力加速度（s m g g =试完成下表并估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度.解：3．函数的瞬时变化率：对于一般的函数y=f(x),在自变量x 从x 1变到x 2的过程中，若设Δx=x 2-x 1,Δy=f(x 2)-f(x 1),则函数的平均变化率是 = . 当Δx →0时，平均变化率就趋于函数在x 1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是 .t 1/st 2/s时间的改变量 （Δt ）/s 路程的改变量 (Δt)/m 平均速度（ts∆∆）/(m/s) 4.9 5 4.99 5 4.999 5 4.9999 5 … … ………二.合作探究1．已知某质点按规律s ＝2t 2＋2t(米)作直线运动．求：①该质点在运动前3秒内的平均速度；(2)质点在2秒到3秒内的平均速度；(3)质点在3秒时的瞬时速度．2.如图，一根质量分布不均匀的和金棒，长为10m ，x （单位：m ）表示OX 这段合金棒的长度，y(单位：kg)表示OX 这段棒的质量，它们满足以下函数关系，y=f(x)=2x .估计该合金棒在x=2m 处的线密度。

三． 课堂检测1. 如果某物体运动时的路程s （单位：m ）与时间t(单位：s)的函数关系为22(1)s t =-，则在t=2秒时的瞬时速度是多少？2.已知函数y=3x 2+6x,求函数在x=3处的瞬时变化率.3．自由落体运动的位移S （单位m ）与时间t （单位s ）的关系为221gt S =（g为常数），（1）求0t t =s 时的瞬时速度；（2）分别求出时间t 为0，1，2秒时的瞬时速度。

第2课时 瞬时变化率学习目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度活动一 复习引入1 什么叫做平均变化率?2 曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数()f x 在区间[,A B x x ]上的平均变化率有何联系？3 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？活动二 求曲线上某点处的切线(阅读书本，体会局部以直代曲的思想，并回答下列问题) 问题1 ：何为曲线的割线和切线？试在同一图中作出，并说明它们的区别与联系?例1 已知2()f x x =，求曲线在2x =处切线的斜率变：已知2()f x x =的一条切线的斜率是4-，求切点的坐标小结：求曲线上某点处的切线斜率的步骤：例2 已知3()f x x =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程思考1：该函数在0x =处有切线吗？若有求出，没有则说明原因活动三 瞬时速度与瞬时加速度(阅读书本，体会逼近思想，并完成下列问题) 例3 一质点的运动方程为2()10s t t =+（位移单位：m ，时间单位：s ），试求该质点在3t s =时的瞬时速度例4 设一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设t s 时的速度为2()3v t t =+，求1t s =时的瞬时加速度和t m =s 时的瞬时加速度小结：求瞬时速度和瞬时加速度的步骤：思考2：从形式上对比瞬时速度、瞬时加速度与求切线斜率，你能发现他们之间的联系吗？思考3：平均变化率与瞬时变化率有何联系区别？活动四 自我检测1.书本第10页练习1.2.3. 42.自由落体运动的位移()S m 与时间()t s 的关系为212S gt =，（g 为常数） （1）求0t t s =时的瞬时速度（2）分别求0,1,2t s =时的瞬时速度.3.若函数2()2f x x =+图像上一点(0,2)P 及邻近一点（2,2x x +），则y x=_________4.函数3()f x x ax b =-++的图像与x 轴相切于点（1,0），则_______,_______a b ==5.已知曲线2y x =上一点39(,)416P ，求(1) 点P 处的切线的斜率. (2) 点P 处的切线的方程.。

1 02 瞬时变化率与平均变化率
一．平均变化率——割线的斜率
平均变化率，是y 的增量与x 的增量的比。

例题：函数f (x )＝－2x ＋10在区间[－3，－1]内的平均变化率为________．
【解析】Δy Δx ＝f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)
＝－2. 二．瞬时变化率——切线的斜率
可以通过减小自变量的该变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率。

形象地理解为函数图像上某点处切线的斜率。

例题：一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是________m/s.
【解析】
t t t
t t t t t t t t t t t t S ∆++-=∆∆+∆⋅+∆-=∆+--∆++∆+-=∆∆21)(2)1()()(1222 当t ∆趋于0时，即为：瞬时速度t 21+-.因此物体在3 s 末的瞬时速度是5321=⨯+-m/s
你能区分瞬时变化率与平均变化率了吗？。